基本不等式(第二課時(shí))

1、普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書人教A版數(shù)學(xué)必修5a ab ba a b b2 2 ( (第二課時(shí)第二課時(shí)) )第三章第三章 不等不等式式1. 掌握掌握“兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”的定理的定理.了解它的變式：了解它的變式：(1)a2+b22ab(a，bR)； (2) (a，bR+)；(3) (ab0)； (4) (a，bR).以上各式當(dāng)且僅當(dāng)以上各式當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)，并注意各式中字母的取時(shí)取等號(hào)，并注意各式中字母的取值要求值要求. abba22baab22222baba2.理解四個(gè)理解四個(gè)“平均數(shù)平均數(shù)”的大小關(guān)系；的大小關(guān)系；a，bR

2、+，則，則 其中當(dāng)且僅當(dāng)其中當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)時(shí)取等號(hào).2222babaabbaab2復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): 變式變式 x 0 , 所以2121xxxx 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí), 即x =1時(shí)取等號(hào), 所以當(dāng) x =1時(shí), 的值最小, 最小值為2.xx1xx1 練習(xí)練習(xí) 1. x0 , 當(dāng)當(dāng) x 取什么值時(shí)取什么值時(shí), 的值的值最小最小?最小值是多少最小值是多少?xx1解解: 因?yàn)橐驗(yàn)?x 0. 2)1()(2)1()(xxxx 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)時(shí), 即即 x = - 1時(shí)取等號(hào)時(shí)取等號(hào), 所以當(dāng)所以當(dāng) x = - 1時(shí)時(shí), 的值最大的值最大, 最大值為最大值為 - 2.xx1xx12)1()(1 xxxx故

3、 變式變式 x 0 , 當(dāng) x 取什么值時(shí), 的值最大? 最大值是多少?xx1已知x,y都是正數(shù), 求證:(1)如果積 xy 是定值P,那么當(dāng)x =y時(shí),和 x+y有最小值(2)如果和 x+y是定值S,那么當(dāng)x =y時(shí),積 xy 有最大值; 2 P.412S證明:x, y都是正數(shù), .2xyyx(1)積xy為定值P時(shí), 有.2 ,2PyxPyx上式當(dāng)x=y時(shí)取”=”號(hào), 因此,當(dāng)x=y時(shí),和x+y有最小值; 2 P(2)和x+y為定值S時(shí), 有.41 ,22Sxyyxxy上式當(dāng)x=y時(shí)取”=”號(hào), 因此,當(dāng)x=y時(shí),積xy有最大值.412S極值定理極值定理:(1)(1)如如果果積積xyxy是是

4、定定值值P,P,那那么么當(dāng)當(dāng)xyxy時(shí)時(shí), ,和和xyxy有有最最小小值值2 P;2 P; 2 2(2)(2)如如果果和和xyxy是是定定值值S,S,那那么么當(dāng)當(dāng)xyxy時(shí)時(shí), ,1 1積積xyxy有有最最大大值值S .S .4 4注意：用均值不等式求最值的條件注意：用均值不等式求最值的條件: 一正二定三相等一正二定三相等用均值不等式求最值的規(guī)則用均值不等式求最值的規(guī)則: 和定積最和定積最大大,積定和最積定和最小小例例1:2 22 28 81 1. . 已已知知x x0 0, ,求求x x的的最最小小值值. .x x 解解:, 0 x,81,22Rxx1881281,2222xxxx得由平均不

5、等式,3,8122時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)xxx.188122的最小值為xx 如果給定條件為如果給定條件為X X4 4結(jié)論有變化嗎結(jié)論有變化嗎? ? 的是下列函數(shù)中，最小值為4xxxfA4)(.xxxfBsin4sin)(.xxxfC343)(. ( )lg4log 10 xD f xxC,E練習(xí)練習(xí):1. ( )(2)2E f xxxx225. ( )1xF f xx極值定理可以理解為極值定理可以理解為:;22)(,) 1 (minPxyyxyxyxPxyyx有最小值和時(shí)且是定值的積與當(dāng)兩個(gè)正數(shù).41)2()(,)2(22maxSyxxyxyyxSyxyx有最大值積時(shí)且為定值的和當(dāng)兩個(gè)正數(shù)用極值定理求最值

6、的三個(gè)必要條件用極值定理求最值的三個(gè)必要條件 :一一“正正”、二、二“定定”、三、三“相等相等”.,最大值定值相加最小值定值相乘2 2a ab b( (1 1) ) 已已知知a a, ,b b, ,x x, ,y yR R 且且1 1, ,x xy y求求證證：x xy y( ( a ab b) ). . 解解:ybxxaybaybxayxyxyx)(1)(2)(2bayxbxayba2min)()( ,bayxbayxyxbxay時(shí)即當(dāng)且僅當(dāng)例例2:,21,1132 2,x yRxyxy(2)已知且求證：并指出等號(hào)成立的條件。練習(xí)練習(xí)1:.)21 (,210的最大值求函數(shù)已知xxyx解解:,

7、210 x2x,12x0,2x,12x0,)21 (221xxy.81)2212(212xx.,41,212等號(hào)成立時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)xxx.81,41函數(shù)的最大值為時(shí)當(dāng) x練習(xí)練習(xí)2:40,2 3.xxx已知求的最大值是_證明證明,4,3, 0Rxxx, 3443243xxxx, 342)43(2432xxxx. 342432 ,332,43的最大值是時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)xxxxx,3_.a bababab2.若均為正數(shù)，且，則的取值范圍是, , ,()()_.acbda b c dbdac1.若均為正數(shù)，則的最小值為4ab92220,0,1,21babaab3.設(shè)求的最大值。練習(xí)練習(xí)3:D例例3:其容積體無

8、蓋貯水池某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方,?,1201,1501,3,4800223最低總造價(jià)是多少造價(jià)最低問怎樣設(shè)計(jì)水池能使總元的造價(jià)為池壁每元的造價(jià)為如果池底每深為為mmmm解解:,34800,元水池總造價(jià)為則另一邊的長(zhǎng)為為設(shè)水池底面一邊的長(zhǎng)度ymxxm)348003232(12034800150 xxxxy得依題意,)1600(720240000 xx.29760016002720240000 xx.297600,40,1600有最小值時(shí)即當(dāng)且僅當(dāng)yxxx.297600,40,元最低總造價(jià)為水池的總造價(jià)最低的正方形時(shí)當(dāng)水池的底面是邊長(zhǎng)為因此mAAAAAB練習(xí)練習(xí)3:一段長(zhǎng)為一段長(zhǎng)為L(zhǎng)m的籬笆圍成一個(gè)

9、一邊靠墻的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園的矩形菜園,問這個(gè)矩形的長(zhǎng)問這個(gè)矩形的長(zhǎng),寬各為多少時(shí)寬各為多少時(shí),菜菜園的面積最大園的面積最大,最大面積是多少最大面積是多少?xxl2解解:,)2(,mxlxm則另一邊為設(shè)矩形靠墻一邊的長(zhǎng)為)2(xlxS依題意矩形的面積為)2(221)2(xlxxlxS.81)22(412122lxlx.,4,22矩形的面積最大時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)lxxlx練習(xí)練習(xí)4:.21,:2dd這個(gè)正方形的面積等于大的為正方形面積最的圓的內(nèi)接矩形中在直徑為求證dx22,xdx則另一邊長(zhǎng)為設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為如圖證明一證明一)(22222xdxxdxS面積2222221)2(dxdx.22,2

10、22時(shí)等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)dxxdx.21,2d其最大面積為時(shí)即當(dāng)這個(gè)矩形為正方形練習(xí)練習(xí):.21,:2dd這個(gè)正方形的面積等于大的為正方形面積最的圓的內(nèi)接矩形中在直徑為求證證明二證明二dcossin,dd和則矩形的兩邊分別為角為設(shè)矩形一邊與直徑的夾如圖cossinddS矩形的面積,2sin21cossin22122dd2max21,4, 12sindS時(shí)當(dāng)且僅當(dāng).21,2d其最大面積為時(shí)即當(dāng)這個(gè)矩形為正方形練習(xí)練習(xí):.21,:2dd這個(gè)正方形的面積等于大的為正方形面積最的圓的內(nèi)接矩形中在直徑為求證.,222xySdyxyx面積則設(shè)矩形的邊長(zhǎng)為如圖證明三證明三2max21,dSyx 時(shí)當(dāng)且僅當(dāng).21,2d其最大面積為時(shí)即當(dāng)這個(gè)矩形為正方形dxy,222xyyx222212dyxxyS算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)叫做這nnaaan21個(gè)數(shù)的幾何平均數(shù)叫做這naaann21 n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù) 2 23 3求求函函數(shù)數(shù)y