研究生數(shù)值分析(5)

1、構(gòu)造拉格朗日插值多項(xiàng)式構(gòu)造拉格朗日插值多項(xiàng)式0110011()()()()( )( )()()()()nkknnk kkkkkkkkknx xx xx xx xL xy l xyxxxxxxxx其形式具有對(duì)稱(chēng)性，即便于記憶，其形式具有對(duì)稱(chēng)性，即便于記憶，( )klx(0,1,)kn必須全部重新計(jì)算。必須全部重新計(jì)算。插商與牛頓插商與牛頓(Newton)插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式由于公式中的由于公式中的都依賴(lài)于全部插值節(jié)點(diǎn)在增加或減少節(jié)點(diǎn)時(shí)，都依賴(lài)于全部插值節(jié)點(diǎn)在增加或減少節(jié)點(diǎn)時(shí)，又便于應(yīng)用與編制程序。又便于應(yīng)用與編制程序。這種形式的插值多項(xiàng)式稱(chēng)為這種形式的插值多項(xiàng)式稱(chēng)為n次牛頓插值多項(xiàng)式。次牛頓插值

2、多項(xiàng)式。( )nNx，即，即其中系數(shù)其中系數(shù)ia(0,1, )in可由插值條件可由插值條件()niiNxy(0,1, )in記為記為)()()()()(10102010nnnxxxxaxxxxaxxaaxN為克服這個(gè)缺點(diǎn)，把插值多項(xiàng)式構(gòu)造成如下形式為克服這個(gè)缺點(diǎn)，把插值多項(xiàng)式構(gòu)造成如下形式 )()()()(10102010nnxxxxaxxxxaxxaa確定。確定。定義定義1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)012,xxx012(),(),(),f xf xf x ()( )()jijif xf xijxx為為f(x)在點(diǎn)在點(diǎn),ijxx處的處的一階差商一階差商，記為，記為 ,ijf x x，即，即

3、()(),jiijjif xf xf xxxx稱(chēng)一階差商的差商稱(chēng)一階差商的差商,jkijkif xxf xxxx（, ,i j k為為f(x)在在,ijkx xx處的處的二階差商二階差商，記為，記為,ijkf xxx上的值依次為上的值依次為稱(chēng)稱(chēng)互異）互異）為此我們引入差商概念：為此我們引入差商概念：一般地，稱(chēng)一般地，稱(chēng) m-1 階差商的差商階差商的差商12011010 ,mmmmf x xxf xxxf xxxxx為為 f(x) 在點(diǎn)在點(diǎn)01,mx xx特別地，規(guī)定零階差商特別地，規(guī)定零階差商 ( )iif xf x處的處的m階差商。階差商。即即,jkijijkkif xxf xxf xxxx

4、x為便于應(yīng)用，通常采用差商表，例如為便于應(yīng)用，通常采用差商表，例如kxkf x0 x0f x01,f x x1x1f x012,f xxx12 ,f x x0123,f x x x x2x2f x123,f xxx23,f xx3x3f x一階差商一階差商二階差商二階差商三階差商三階差商性質(zhì)性質(zhì)1 k階差商階差商01,kf xxx是由函數(shù)值是由函數(shù)值01(),(),()kf xf xf x線(xiàn)性組合而成的，即線(xiàn)性組合而成的，即010011( ) , ,()()()()kjkjjjjjjjkf xf x xxxxxxxxxx性質(zhì)性質(zhì)2 差商具有對(duì)稱(chēng)性，即在差商具有對(duì)稱(chēng)性，即在k階差商階差商01,k

5、f xxx中任意調(diào)換中任意調(diào)換2個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn)ix和和jx差商有如下性質(zhì)：差商有如下性質(zhì)：的順序，其值不變。的順序，其值不變。性質(zhì)性質(zhì)3 k階差商階差商01,kf xxx和和 k 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)( )( )kfx( )01( ),!kkff x xxk0101(min,max,)kkxxxxxx之間有如下重要關(guān)系：之間有如下重要關(guān)系： 有了差商的概念和性質(zhì)后，我們就可以用差商有了差商的概念和性質(zhì)后，我們就可以用差商來(lái)表示牛頓差值多項(xiàng)式來(lái)表示牛頓差值多項(xiàng)式中的系數(shù)。中的系數(shù)。)()()()()(10102010nnnxxxxaxxxxaxxaaxN由插值條件由插值條件00()()nNxf x，可得，

6、可得000()af xf x由插值條件由插值條件11()()nNxfx，可得，可得1010110( )(),f xf xaf x xxx由插值條件由插值條件22()()nNxf x，可得，可得2001200120202202121020110201221()() ,()() ,()()() , , , ,f xf xf x xf xf xf x xxxxxaxxxxxxf x xf x xf x x xf x x xxx一般地，可以證明有一般地，可以證明有01,kkaf x xx于是，滿(mǎn)足插值條件于是，滿(mǎn)足插值條件 ( )( )niiNxf x (0,1,2, )in的的n次牛頓插值多項(xiàng)式為次

7、牛頓插值多項(xiàng)式為00100120101011( ),(),()(),()()()nnnNxf xf x xxxf x x xxxxxf x xxxxxxxx例例3 已知函數(shù)表已知函數(shù)表xx10012114416910111213試用牛頓線(xiàn)性插值與拋物線(xiàn)插值求試用牛頓線(xiàn)性插值與拋物線(xiàn)插值求115的近似值，并估計(jì)截?cái)嗾`差。的近似值，并估計(jì)截?cái)嗾`差。解：解：先構(gòu)造差商表，取先構(gòu)造差商表，取0123100,121,144,169xxxxxx一階差商二階差商三階差商100100.04761912111-0.000094110.0434780.000000313814412-0.000072460.040

8、00016913由差商表，牛頓插值多項(xiàng)式的系數(shù)依次為由差商表，牛頓插值多項(xiàng)式的系數(shù)依次為00101210, ,0.047169, ,0.00009411,f xf xxf xx x 牛頓線(xiàn)性插值多項(xiàng)式為牛頓線(xiàn)性插值多項(xiàng)式為 牛頓拋物線(xiàn)插值多項(xiàng)式為牛頓拋物線(xiàn)插值多項(xiàng)式為 )100(047169. 010)(1xxN所求近似值為所求近似值為 7143.10)100115(047169. 010)115(1151 N)121)(100(00009411. 0)100(047169. 010)(2xxxxN所求近似值為所求近似值為 7228.10)121115)(100115(00009411. 0)

9、100115(047169. 010)115(1152 N可知近似值可知近似值1(115)N與與2(115)N的截?cái)嗾`差分別為的截?cái)嗾`差分別為1(115)0.01125R， 2(115)0.0017R由插值余項(xiàng)公式由插值余項(xiàng)公式 (1)10111( )( )( ) , , ,( )(1)!nnnnnfR xxf x xxxn 在實(shí)際計(jì)算中，特別是在函數(shù)在實(shí)際計(jì)算中，特別是在函數(shù)f(x)的高階導(dǎo)數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)比較復(fù)雜或比較復(fù)雜或f(x)的表達(dá)式?jīng)]有給出時(shí)，由性質(zhì)的表達(dá)式?jīng)]有給出時(shí)，由性質(zhì)3，我們可以用差商表示的余項(xiàng)公式我們可以用差商表示的余項(xiàng)公式011( ), ( )nnnRxf xxxxx 實(shí)際計(jì)算中，當(dāng)實(shí)際計(jì)算中，當(dāng)n+1階差商變化不激烈時(shí)，可用階差商變化不激烈時(shí)，可用011,nnf x xxx近似代替近似代替01, nf x xx x取取0111( ),( )nnnnRxf xxxxx來(lái)估計(jì)截?cái)嗾`差。來(lái)估計(jì)截?cái)嗾`差。例例3中，若用此方法估計(jì)截?cái)嗾`差，則有中，若用此方法估計(jì)截?cái)嗾`差，則有201233(115) , ,(115)0.0000003138 (115 100)(115 121)(115 144)0.00082Rf x x x x與實(shí)際誤差與實(shí)際誤差2115(115)0.001N相當(dāng)接近。相當(dāng)接近。練習(xí)：練習(xí)：給定數(shù)據(jù)如下：給定數(shù)據(jù)如下： x 1 1.5 0 2 f