北京理工大學理學院力學系工程力學課件扭轉

1、北京理工大學理學院力學系 韓斌12.1 12.1 圓軸扭轉時的應力分析圓軸扭轉時的應力分析1. 扭轉的概念扭轉的概念4種基本變形（軸向拉壓、剪切、扭轉、彎曲）之一種基本變形（軸向拉壓、剪切、扭轉、彎曲）之一特點：特點：幾何幾何直桿（軸）直桿（軸）圓截面軸（實心、空心）圓截面軸（實心、空心）非圓截面軸非圓截面軸外力外力僅有軸橫截面內的外力偶僅有軸橫截面內的外力偶內力內力橫截面上只有扭矩橫截面上只有扭矩變形變形橫截面繞軸線轉動，任意兩橫截面產(chǎn)橫截面繞軸線轉動，任意兩橫截面產(chǎn)生相對扭轉角生相對扭轉角例如，傳動軸：主動輪例如，傳動軸：主動輪1，從動輪，從動輪2，3 123Mt1Mt2Mt3已知：軸的轉

2、速已知：軸的轉速 n (轉轉/分，分，r/min) 該輪傳遞的功率（輸入或輸出）該輪傳遞的功率（輸入或輸出） N (KW)則該輪處的外力偶矩為：則該輪處的外力偶矩為：min)/()(9549)(rnKWNmNMt主動輪或輸入功率處主動輪或輸入功率處Mt與與n 同向；同向；從動輪或輸出功率處從動輪或輸出功率處Mt與與n 反向。反向。123Mt1Mt2Mt3mNnNMt1 .222830070954995491mNMt9 .9543003095492mNMt2 .1273300409549370KW30KW40KWn=300 r/min 若已知：若已知：2228.1Nm954.9Nm1273.2N

3、mx1x22228.1NmT(x1)1273.2NmT(x2)mNxT1 .2228)(1mNxT2 .1273)(2(T)2228.1Nm1273.2Nm2. 圓軸扭轉應力分析圓軸扭轉應力分析（1）圓軸扭轉變形幾何關系）圓軸扭轉變形幾何關系MtMt單元體：純剪切單元體：純剪切 變形后觀察：軸向線，仍為直線，長短不變，傾斜變形后觀察：軸向線，仍為直線，長短不變，傾斜 角角 圓周線，大小形狀不變，繞桿軸轉動圓周線，大小形狀不變，繞桿軸轉動RBC Rd表層處的單元體表層處的單元體ABCD的切應變：的切應變：dxdRdxRdABBBRO1O2ABCDdxRdxddxd(a) RO1O2ABCDBCd

4、dx 距離桿的軸線距離桿的軸線O1O2半徑為半徑為 處的單元體處的單元體的切應變?yōu)椋旱那袘優(yōu)椋浩渲衅渲衐xd稱為稱為在某一橫截面上在某一橫截面上dxd常數(shù)常數(shù)在橫截面上半徑為在橫截面上半徑為 處切應變處切應變 ，且且 半徑半徑 T（2） 物理關系物理關系由剪切胡克定律由剪切胡克定律dxdGG（b）故橫截面上半徑為故橫截面上半徑為 處切應力處切應力 圓心圓心 =0處，處，00圓截面周邊圓截面周邊 =R處，處，maxR Tmaxmax（3）靜力學關系）靜力學關系dxddxd(a)dxdGG（b）TmaxmaxdA橫截面上分布切應力構成的合橫截面上分布切應力構成的合力偶矩就是該截面上的扭矩力偶矩就

5、是該截面上的扭矩TdAdxdGdAdxdGdATAAA2稱為稱為,單位：單位：m4,cm4,mm4 記幾何量記幾何量dAIAp2(12.1)由此可求出由此可求出dxddxdGIdAdxdGTpA2 (c)dxdGITp (c)dxddxd(a)dxdGG（b）故得出：故得出：pGITdxd(12.2)ppITGITG(12.3)pppWTRITITRmax(12.4)記記RIWpp單位：單位：m3,cm3,mm3(12.5)以上分析只適用于圓截面軸（實心、空心、圓錐軸）以上分析只適用于圓截面軸（實心、空心、圓錐軸）幾何量幾何量 Ip , Wp :32242/022DddAIDAp1623234

6、DDDRIWpp實心圓軸，直徑實心圓軸，直徑 D ：D)1 (3232)(4444DdDIp)1 (162/43DDIWpp空心圓軸，內、外徑空心圓軸，內、外徑 d , D , =d/D :Dd圓軸扭轉時橫截面上的切應力分布：圓軸扭轉時橫截面上的切應力分布：TpWTmaxpWTmaxpWTmax實心圓軸：實心圓軸：TpWTmaxpWTmaxpWTmax空心圓軸：空心圓軸：實驗：圓軸扭轉實驗：圓軸扭轉3. 扭轉時軸內各點的應力狀態(tài)扭轉時軸內各點的應力狀態(tài) 主單元體：主單元體： 1 = 3= - 4545主方向為主方向為45主應力：主應力： 1= ， 2= 0 ， 3= - 各點為純剪切：各點為純

7、剪切：pIT - 4. 扭轉應力的測量扭轉應力的測量TT max 1= max 3= - max - 45純剪應力狀態(tài)：由廣義胡克定律純剪應力狀態(tài)：由廣義胡克定律)(13211Emaxmaxmax3145)1 ()()(1EEE145maxEWTp5. 圓軸扭轉時的變形分析圓軸扭轉時的變形分析由單位長度的扭轉角：由單位長度的扭轉角：pGITdxd(12.2)故得出相距故得出相距dx的兩截面間的相對扭轉角：的兩截面間的相對扭轉角：pGITdxdlTTxABlplABGITdxd0A ，B兩截面間的相對扭轉角為：兩截面間的相對扭轉角為：（12.5）若軸在若軸在 l 段內扭矩段內扭矩T=常數(shù)，則：常

8、數(shù)，則：pGITl(12.6)的單位為弧度的單位為弧度pGITl(12.6)扭轉變形公式扭轉變形公式其中其中GIp稱為稱為若軸中扭矩為分段常數(shù)若軸中扭矩為分段常數(shù)ipiiiiIGlT(12.7)l1l2l3G1Ip1G2Ip2G3Ip3軸向拉壓與扭轉的比較軸向拉壓與扭轉的比較軸向拉壓軸向拉壓扭轉扭轉構件幾何構件幾何直桿直桿圓截面直桿圓截面直桿外力外力軸向外力軸向外力橫截面內力偶矩橫截面內力偶矩橫截面橫截面內力內力軸力軸力FN扭矩扭矩T應力公式應力公式變形公式變形公式AFNpITpWTmaxEAlFlNpGITl6.材料扭轉時的力學性能材料扭轉時的力學性能材料的扭轉試驗：材料的扭轉試驗：低碳鋼：

9、薄壁圓管扭轉低碳鋼：薄壁圓管扭轉低碳鋼低碳鋼（塑性）：（塑性）：沿橫截面、沿橫截面、縱向線出縱向線出現(xiàn)滑移線現(xiàn)滑移線鑄鐵：圓軸扭轉鑄鐵：圓軸扭轉鑄鐵（脆性）：鑄鐵（脆性）：沿沿45斜面斷斜面斷開開7.圓軸扭轉的強度與剛度計算圓軸扭轉的強度與剛度計算（1）扭轉強度條件）扭轉強度條件工作時最大切應力工作時最大切應力 maxmaxpWT(12.8) nu塑性材料：塑性材料：脆性材料：脆性材料：subu對等截面圓軸，即：對等截面圓軸，即： pWTmaxmax（2）扭轉剛度條件）扭轉剛度條件軸類構件對扭轉角的限制條件：軸類構件對扭轉角的限制條件：單位長度的扭轉角單位長度的扭轉角 max180pGIT(1

10、2.9) 常用單位：常用單位：/m工程上，工程上， 精密儀器傳動軸精密儀器傳動軸 m/5 . 025. 0一般傳動軸一般傳動軸 m/0 . 15 . 0 m/0 . 2 剛度要求不高的軸剛度要求不高的軸例例 題題 112 例題例題ABCMt1Mt2Mt3l1l2d1d2n一階梯軸，軸直徑一階梯軸，軸直徑d2=2d1,輸入功率輸入功率N3=30KW,輸出功輸出功率率N1 =13KW, N2=17KW,軸軸的轉速的轉速n=200rpm,若軸材料若軸材料的的G=80Gpa,=50Mpa, (1)根據(jù)強度條件設計根據(jù)強度條件設計d1, d2 (2)按此設計若按此設計若=1.8/m, 校核剛度條件校核剛

11、度條件例例 題題 112 例題例題ABCMt1Mt2Mt3l1l2d1d2n解：解：1.求出各輪處的外力求出各輪處的外力偶矩，畫出扭矩圖偶矩，畫出扭矩圖mNnNMt621200139549954931mNnNMt809200179549954922mNnNMt1430200309549954933(T)621Nm1430N m例例 題題 112 例題例題ABCMt1Mt2Mt3l1l2d1d2n(T)621Nm1430N m3.強度設計強度設計AB段：段： 31max, 116dTAB mmTdAC8 .39501062116163331取取d1=40mm,則則d2=80mm校核校核BC段：段

12、： Mpa2 .14801610143033 32max, 216dTBC例例 題題 112 例題例題ABCMt1Mt2Mt3l1l2d1d2n(T)621Nm1430N m4.剛度條件的校核剛度條件的校核AB段：段：1801pABABGIT mm/8 . 1/77. 11804080321062143BC段：段：1802pBCBCGIT mm/8 . 1/254. 018080803210143043注意單位！注意單位！例例 題題 212 例題例題l1l2MtMtd1d2(1)求此軸兩端的允許外力偶矩求此軸兩端的允許外力偶矩Mt。(2)若要求若要求l1， l2兩段的扭轉角相等，兩段的扭轉角相

13、等， l1和和 l2各長多少？各長多少？(3)校核在最大允許外力偶矩作用下，剛度條件校核在最大允許外力偶矩作用下，剛度條件=2/m是否滿足？是否滿足？圖示傳動軸全長圖示傳動軸全長L=510mm，外徑，外徑D=50mm，長為，長為l1的的一段內徑一段內徑d1 =25mm，另一段長為另一段長為l2，內徑，內徑d2 =38mm，材料的許用切應力，材料的許用切應力 =70Mpa，G=80Gpa，例例 題題 212 例題例題l1l2MtMtd1d2解：解：1.求允許外力偶矩求允許外力偶矩由由l1段的強度條件：段的強度條件： 1max, 1ptWM mNmmNDWMpt1611101 .16170)21(

14、1 (501616)1 (4434131例例 題題 212 例題例題l1l2MtMtd1d2由由l2段的強度條件：段的強度條件： 2max,2ptWM mNmmNDWMpt1145105 .11470)5038(1 (501616)1 (4434232應取應取Mt=Min(1611Nm,1145Nm)=1145Nm例例 題題 212 例題例題l1l2MtMtd1d22.求求l1和和 l2要求要求1=2，則：，則：222111ptptGIlMGIlM4 . 1)50/38(1)2/1 (1114442412121ppIIllmmll51021mmlmml21229821例例 題題 212 例題例

15、題3.校核剛度校核剛度l1l2MtMtd1d2對對l1段：段： mmGIMpt/2/43. 1180)2/1 (1 (50321080101011451804433311對對l2段：段： mllGIMpt/01. 243. 129821218012122%5%5.02201.2但但滿足剛度條件滿足剛度條件8.非圓截面軸的扭轉非圓截面軸的扭轉與圓截面軸的扭轉有本質區(qū)別：與圓截面軸的扭轉有本質區(qū)別：不滿足平截面假定不滿足平截面假定橫截面出現(xiàn)翹曲橫截面出現(xiàn)翹曲比較：圓截面軸的扭轉比較：圓截面軸的扭轉矩形截面軸自由扭轉的結果：矩形截面軸自由扭轉的結果：（1）截面周邊處）截面周邊處 的的方向與邊界相切方

16、向與邊界相切（2）四個角點處）四個角點處 =0 maxTbh =0 =0 =0 =0短邊中點處切應力也較短邊中點處切應力也較大：大：max1（3）截面內切應力最大）截面內切應力最大值發(fā)生在長邊中點處：值發(fā)生在長邊中點處：2maxhbT(12.10)(4)總扭轉角總扭轉角3hbGTlGITlt(12.11)其中：其中： 為與為與 有有關的因數(shù)，可查表關的因數(shù)，可查表12.1,bhh/b1.01.21.52.02.53.04.06.08.010.0 0.2080.2190.2310.2460.2580.2670.2820.2990.3070.3130.3330.1410.1660.1960.229

17、0.2490.2630.2810.2990.3070.3130.3331.0000.9300.8580.7960.7670.7530.7540.7430.7430.7430.743表表12.1 矩形截面桿扭轉時的因數(shù)矩形截面桿扭轉時的因數(shù)， ，當當h/b,即截面為狹長矩形（狹長條）：即截面為狹長矩形（狹長條）：=1/3， =1/3hhbb22max3hbThbT333GhbTlhbGTl(12.12)(12.13)上式也可用于上式也可用于L形、形、C形、形、U 形等形等(展開計算長度展開計算長度)9. 薄壁桿件的自由扭轉薄壁桿件的自由扭轉工程中常見的各種型鋼（工程中常見的各種型鋼（T，I，L，

18、U， ， 等）等） 特點：橫截面內壁厚遠小于另一方向尺寸特點：橫截面內壁厚遠小于另一方向尺寸（1）開口薄壁桿自由扭轉）開口薄壁桿自由扭轉h1h2 1 2h1 1h2 2由若干個狹長條組由若干個狹長條組合而成，截面中線合而成，截面中線不構成封閉曲線。不構成封閉曲線?？煞指顬槿舾蓚€狹長條可分割為若干個狹長條設每個狹長條為設每個狹長條為 hi , i該條上擔負扭矩為該條上擔負扭矩為Ti，扭轉角為，扭轉角為i則有：則有：截面上的總扭矩截面上的總扭矩iiTT截面的扭轉角截面的扭轉角i21對每一個狹長條，有：對每一個狹長條，有：33iiiiGhlT即即3333iiiiiihlGlGhTtiiiiiIlGh

19、lGTT33iiithI33(12.14)tGITl(12.15)h1 1h2 2T1T2T3333iitiitihIThGITllGT(12.16)h1 1h2 2由式由式(12.12)，對第，對第i個狹長條上個狹長條上的最大切應力，有的最大切應力，有:3333iitiitihIThGITllGT(12.16)tiiitiiiiiiIThIThhT333322max,（12.17）故整個截面上的最大切應力為：故整個截面上的最大切應力為：tITmaxmax(12.18)截面上各部分的切應力與截面寬度呈正比截面上各部分的切應力與截面寬度呈正比T開口薄壁桿的扭轉切應力開口薄壁桿的扭轉切應力（2）閉

20、口薄壁桿自由扭轉）閉口薄壁桿自由扭轉橫截面由內、外的封閉曲線構成橫截面由內、外的封閉曲線構成截面中線截面中線s壁厚壁厚 = (s) (s)C s 設：沿壁厚方向上切應力均布設：沿壁厚方向上切應力均布 s 剪力流的含義：單位長度中線的橫截面積上的內力剪力流的含義：單位長度中線的橫截面積上的內力dsT剪力流：剪力流：t = s (s) = 常數(shù)常數(shù)（12.19）SSStdsttdsdsssT2)()(（12.20） 為截面中線為截面中線 s 包圍的面積包圍的面積 SSStdsttdsdsssT2)()(（12.20）C s dsT Tsst)()(22)(2)(sTs（12.21)截面上的最大切應

21、力為：截面上的最大切應力為：minmax2T (12.22)截面兩端的扭轉角：截面兩端的扭轉角：SsdsGTl)(42(12.23)例例 題題 312 例題例題試比較相同材料（試比較相同材料（ =50Mpa），不同形狀的幾種截），不同形狀的幾種截面（但截面積相同）的桿件，依強度條件求出的最大面（但截面積相同）的桿件，依強度條件求出的最大允許扭矩。允許扭矩。100d=100D=150d=100D=1503008.58.5300單位：單位：mm(1)(2)(3)(4)(5)例例 題題 312 例題例題100d=100D=150d=100D=1503008.58.5300單位：單位：mm(1)(2)(3)(4)(5)解：解： （1）實心正方形）實心正方形50100208. 0208. 0322maxTaThbTmkNmmNT4 .101004. 15010208. 076mkN 4 .10例例 題題 312 例題例題100d=100D=150d=100D=1503