數(shù)學(xué)建模線性規(guī)劃

1、 線性規(guī)劃線性規(guī)劃數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)內(nèi)容實(shí)驗(yàn)內(nèi)容2、掌握用數(shù)學(xué)軟件包求解線性規(guī)劃問(wèn)題。、掌握用數(shù)學(xué)軟件包求解線性規(guī)劃問(wèn)題。1、了解線性規(guī)劃的基本內(nèi)容。、了解線性規(guī)劃的基本內(nèi)容。* *2 2、線性規(guī)劃的基本算法。、線性規(guī)劃的基本算法。5 5、實(shí)驗(yàn)作業(yè)。、實(shí)驗(yàn)作業(yè)。3、用數(shù)學(xué)軟件包求解線性規(guī)劃問(wèn)題。、用數(shù)學(xué)軟件包求解線性規(guī)劃問(wèn)題。1、兩個(gè)引例。、兩個(gè)引例。4、建模案例：投資的收益與風(fēng)險(xiǎn)、建模案例：投資的收益與風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題一問(wèn)題一 ： 任務(wù)分配問(wèn)題：某車間有甲、乙兩臺(tái)機(jī)床，可用于加工三種工件。假定這兩臺(tái)車床的可用臺(tái)時(shí)數(shù)分別為800和900，三種工件的數(shù)量分別為400

2、、600和500，且已知用三種不同車床加工單位數(shù)量不同工件所需的臺(tái)時(shí)數(shù)和加工費(fèi)用如下表。問(wèn)怎樣分配車床的加工任務(wù)，才能既滿足加工工件的要求，又使加工費(fèi)用最低？ 單位工件所需加工臺(tái)時(shí)數(shù) 單位工件的加工費(fèi)用 車床類 型 工件1 工件2 工件3 工件1 工件2 工件3 可用臺(tái)時(shí)數(shù) 甲 0.4 1.1 1.0 13 9 10 800 乙 0.5 1.2 1.3 11 12 8 900 兩個(gè)引例兩個(gè)引例解解 設(shè)在甲車床上加工工件1、2、3的數(shù)量分別為x1、x2、x3，在乙車床上加工工件1、2、3的數(shù)量分別為x4、x5、x6?？山⒁韵戮€性規(guī)劃模型：6543218121110913minxxxxxxz 6

3、 , 2 , 1, 09003 . 12 . 15 . 08001 . 14 . 0500600400 x . .654321635241ixxxxxxxxxxxxtsi 解答問(wèn)題二：?jiǎn)栴}二： 某廠每日8小時(shí)的產(chǎn)量不低于1800件。為了進(jìn)行質(zhì)量控制，計(jì)劃聘請(qǐng)兩種不同水平的檢驗(yàn)員。一級(jí)檢驗(yàn)員的標(biāo)準(zhǔn)為：速度25件/小時(shí)，正確率98%，計(jì)時(shí)工資4元/小時(shí)；二級(jí)檢驗(yàn)員的標(biāo)準(zhǔn)為：速度15件/小時(shí)，正確率95%，計(jì)時(shí)工資3元/小時(shí)。檢驗(yàn)員每錯(cuò)檢一次，工廠要損失2元。為使總檢驗(yàn)費(fèi)用最省，該工廠應(yīng)聘一級(jí)、二級(jí)檢驗(yàn)員各幾名？解解 設(shè)需要一級(jí)和二級(jí)檢驗(yàn)員的人數(shù)分別為x1、x2人,則應(yīng)付檢驗(yàn)員的工資為：212124

4、323848xxxx因檢驗(yàn)員錯(cuò)檢而造成的損失為：21211282)%5158%2258(xxxx故目標(biāo)函數(shù)為：故目標(biāo)函數(shù)為：2121213640)128()2432(minxxxxxxz約束條件為：0, 0180015818002581800158258212121xxxxxx線性規(guī)劃模型：線性規(guī)劃模型：213640minxxz0, 01594535 . .212121xxxxxxts 解答返 回1.1.線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式：線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式：xmin z=)(xf. .ts )(xgi0 （), 2 , 1mi其中目標(biāo)函數(shù))(xf和約束條件中)(xgi都是線性函數(shù)min min f = =

5、c xs.t. s.t. Ax = = b （1 1） x 0 0這里 A = (ija)m,n , x = T 21nxxx b= T 21nbbb, c= nccc21用單純法求解時(shí)，常將標(biāo)準(zhǔn)形式化為：2. 線性規(guī)劃的基本算法線性規(guī)劃的基本算法單純形法單純形法線性規(guī)劃的基本算法線性規(guī)劃的基本算法單純形法單純形法例例 min z = 10 x1 + 9x2st6x1 + 5x2 60 10 x1 + 20 x2 150 x1 8 x1, x2 0引入松弛變量x3, x4, x5, 將不等式化為等式, 即單純形標(biāo)準(zhǔn)形: min z = 10 x1 + 9x2st6x1 + 5x2 + x3 =

6、 60 10 x1 + 20 x2 - x4 = 150 x1 + x5 = 8 xi 0 (i = 1,2,3,4,5)系數(shù)矩陣為: 6 5 1 0 0 A = 10 20 0 -1 0 = (P1 P2 P3 P4 P5) 1 0 0 0 1 b = (60, 150, 8 ) T 顯然A的秩ran(A)=3, 任取3個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量,如P3 P4 P5稱為一組基基, 記為B. 其余列向量稱為非基非基, 記為N .于是 f = cBxB + cNxN , Ax = BxB + NxN = b, 則 xB = B-1b-B-1NxN , f = cBB-1b + (cN cBB-1N)xN

7、 令非基變量 xN = 0, 解得基變量 xB = B1b, 稱(xB, xN)為基解基解.基解的所有變量的值都非負(fù)，則稱為基可行解基可行解，此時(shí)的基稱為可行基可行基. 若可行基進(jìn)一步滿足: cN cBB-1N0, 即: cBB-1N - cN0則對(duì)一切可行解x, 必有f(x) cBB-1b, 此時(shí)稱基可行解x = (B-1b, 0) T為最優(yōu)解最優(yōu)解. 3. 最優(yōu)解的存在性定理最優(yōu)解的存在性定理將A的列向量重排次序成A = (B, N), 相應(yīng)x = (xB, xN) T, c = (cB, cN)基對(duì)應(yīng)的變量xB稱為基變量基變量, 非基對(duì)應(yīng)的變量xN稱為非基變量非基變量.定理定理1 1 如

8、果線性規(guī)劃(1)有可行解，那么一定有基可行解.定理定理2 2 如果線性規(guī)劃(1)有最優(yōu)解，那么一定存在一個(gè)基可行解 是最優(yōu)解.4. 4. 基可行解是最優(yōu)解的判定準(zhǔn)則基可行解是最優(yōu)解的判定準(zhǔn)則因?yàn)?f = cBB-1b + (cN cBB-1N)xN，即 f - 0 xB + (cBB-1N- cN )xN = cBB-1b若基B=(1P,2P,mP), 非基N=(1mP,2mP,nP)，令j=Bc1BjP-jc，j=m+1,m+2, ,n ,則 (1) 可寫成min fs.t. Bx + 1BNNx = 1Bbf + 0Bx + nmjjjx1 = Bc1Bb x 0稱為（1）式的典式典式.定

9、理定理 3 3 設(shè)（1x,2x,mx）是規(guī)劃 (1) 的一個(gè)可行基，B是對(duì)應(yīng)的基陣,如果典式中的1,2,m都不大于零,即對(duì)應(yīng)的1m0,2m0,n0,則基（1x,2x,mx）對(duì)應(yīng)的基可行解0X = 01bB 是最優(yōu)解.令1Bb = m21，1BN= nmmmmmnmmnmm,2,1, 22, 21, 2, 12, 11, 15.5.基可行解的改進(jìn)基可行解的改進(jìn) 線性規(guī)劃（1）的典式變?yōu)椋簃in fs.t. ix + nmjjijx1= i i=1,2, ,mf + 0Bx + nmjjjx1 =Bc1Bb x 0定理定理 4 4 設(shè)（1x,2x,mx）是規(guī)劃 (1) 的一個(gè)可行基，B是對(duì)應(yīng)的基陣

10、,如果存在km0，使1) km, 1,km, 2,kmm,中至少有一個(gè)大于零；2) 所有的i0，i=1,2, ,m則一定存在另一個(gè)可行基，它對(duì)應(yīng)的基可行解使目標(biāo)函數(shù)值更小.令0=kmiikmi,0,min = kmll,則把lx從原有的基中取出來(lái)，把kmx加進(jìn)后得到的（1x,2x,lx ,kmx,1lx,mx）仍是基，即是所要找的新基.改進(jìn)方法：改進(jìn)方法：返 回用用MATLAB優(yōu)化工具箱解線性規(guī)劃優(yōu)化工具箱解線性規(guī)劃min z=cX bAXts. .1、模型：命令：x=linprog（c，A，b） 2、模型：min z=cX bAXts. .beqXAeq命令：x=linprog（c，A，b，

11、Aeq,beq）注意：若沒(méi)有不等式： 存在，則令A(yù)= ，b= .bAX 3、模型：min z=cX bAXts. .beqXAeqVLBXVUB命令：1 x=linprog（c，A，b，Aeq,beq, VLB，VUB） 2 x=linprog（c，A，b，Aeq,beq, VLB，VUB, X0） 注意：1 若沒(méi)有等式約束: , 則令A(yù)eq= , beq= . 2其中X0表示初始點(diǎn) beqXAeq4、命令：x,fval=linprog()返回最優(yōu)解及處的目標(biāo)函數(shù)值fval.解解 編寫編寫M文件文件xxgh1.m如下：如下：c=-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -0.64 -0.6

12、; A=0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0;0 0 0.03 0 0 0.08; b=850;700;100;900; Aeq=; beq=; vlb=0;0;0;0;0;0; vub=;x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 例例1 max 6543216 . 064. 072. 032. 028. 04 . 0 xxxxxxz 85003. 003. 003. 001. 001. 001. 0. .654321xxxxxxt s 70005. 002. 041

13、xx 10005. 002. 052xx 90008. 003. 063xx 6, 2 , 10jxj To Matlab (xxgh1)例例 2 321436minxxxz 120. .321xxxts 301x 5002 x 203x解解: 編寫編寫M文件文件xxgh2.m如下：如下： c=6 3 4; A=0 1 0; b=50; Aeq=1 1 1; beq=120; vlb=30,0,20; vub=; x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)To Matlab (xxgh2)321)436(minxxxz32120030 xxx5012001011

14、1 .321xxxtsS.t.Xz8121110913min 9008003 . 12 . 15 . 000000011 . 14 . 0X500600400100100010010001001X ，0654321xxxxxxX改寫為：例例3 問(wèn)題一的解答 問(wèn)題問(wèn)題編寫編寫M文件文件xxgh3.m如下如下:f = 13 9 10 11 12 8;A = 0.4 1.1 1 0 0 0 0 0 0 0.5 1.2 1.3;b = 800; 900;Aeq=1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1;beq=400 600 500;vlb = zeros(6,1);vu

15、b=;x,fval = linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)To Matlab (xxgh3)結(jié)果結(jié)果:x = 0.0000 600.0000 0.0000 400.0000 0.0000 500.0000fval =1.3800e+004 即在甲機(jī)床上加工600個(gè)工件2,在乙機(jī)床上加工400個(gè)工件1、500個(gè)工件3，可在滿足條件的情況下使總加工費(fèi)最小為13800。例例2 問(wèn)題二的解答 問(wèn)題問(wèn)題 213640minxxz s.t. )45(3521xx改寫為：編寫編寫M文件文件xxgh4.m如下：如下：c = 40;36;A=-5 -3;b=-45;Aeq=;beq=;

16、vlb = zeros(2,1);vub=9;15; %調(diào)用linprog函數(shù)：x,fval = linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)To Matlab (xxgh4)結(jié)果為：結(jié)果為：x = 9.0000 0.0000fval =360即只需聘用9個(gè)一級(jí)檢驗(yàn)員。 注：注：本問(wèn)題應(yīng)還有一個(gè)約束條件：x1、x2取整數(shù)。故它是一個(gè)整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題。這里把它當(dāng)成一個(gè)線性規(guī)劃來(lái)解，求得其最優(yōu)解剛好是整數(shù)：x1=9，x2=0，故它就是該整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解。若用線性規(guī)劃解法求得的最優(yōu)解不是整數(shù)，將其取整后不一定是相應(yīng)整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解，這樣的整數(shù)規(guī)劃應(yīng)用專門的方法求解。返 回

17、 投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)基本假設(shè)：基本假設(shè)：1. 投資數(shù)額 M 相當(dāng)大,為了便于計(jì)算，假設(shè) M=1；2投資越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)越??；3總體風(fēng)險(xiǎn)用投資項(xiàng)目is中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來(lái)度量；4n 種資產(chǎn) Si之間是相互獨(dú)立的；5在投資的這一時(shí)期內(nèi), ri,pi,qi，r0為定值，不受意外因素影響；6凈收益和總體風(fēng)險(xiǎn)只受 ri,pi,qi影響，不受其他因素干擾。二、基本假設(shè)和符號(hào)規(guī)定二、基本假設(shè)和符號(hào)規(guī)定三、模型的建立與分析三、模型的建立與分析1.總體風(fēng)險(xiǎn)用所投資的Si中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來(lái)衡量,即max qixi|i=1，2,n2購(gòu)買 Si所付交易費(fèi)是一個(gè)分段函數(shù),即 pixi xiui 交易費(fèi) =

18、piui xiui而題目所給定的定值 ui(單位:元)相對(duì)總投資 M 很小, piui更小,可以忽略不計(jì),這樣購(gòu)買 Si的凈收益為(ri-pi)xi 3要使凈收益盡可能大，總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小,這是一個(gè)多目標(biāo)規(guī)劃模型: 目標(biāo)函數(shù) MAXniiiixpr0)( MINmax qixi 約束條件 niiixp0)1 (=M xi0 i=0,1,n4. 模型簡(jiǎn)化：c投資者在權(quán)衡資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)和預(yù)期收益兩方面時(shí)，希望選擇一個(gè)令自己滿意的投資組合。因此對(duì)風(fēng)險(xiǎn)、收益賦予權(quán)重 s（0s1)，s 稱為投資偏好系數(shù).模型模型 3 目標(biāo)函數(shù)：min smaxqixi -（1-s）niiiixpr0)( 約束條件 niiix

19、p0)1 (=M， xi0 i=0,1,2,nb若投資者希望總盈利至少達(dá)到水平 k 以上，在風(fēng)險(xiǎn)最小的情況下尋找相應(yīng)的投資組合。模型模型 2 固定盈利水平，極小化風(fēng)險(xiǎn) 目標(biāo)函數(shù)： R= minmax qixi 約束條件：niiiixpr0)(k， Mxpii)1 ( ， xi 0 i=0，1，na 在實(shí)際投資中，投資者承受風(fēng)險(xiǎn)的程度不一樣，若給定風(fēng)險(xiǎn)一個(gè)界限 a，使最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn) qixi/Ma，可找到相應(yīng)的投資方案。這樣把多目標(biāo)規(guī)劃變成一個(gè)目標(biāo)的線性規(guī)劃。模型模型 1 1 固定風(fēng)險(xiǎn)水平，優(yōu)化收益 目標(biāo)函數(shù)： Q=MAX11)(niiiixpr 約束條件： Mxqiia Mxpii)1 (，

20、xi 0 i=0，1，n四、模型四、模型1 1的求解的求解 模型1為: minf = (-0.05, -0.27, -0.19, -0.185, -0.185) (x0 x1 x2 x3 x 4 ) T x0 + 1.01x1 + 1.02x2 +1.045x3 +1.065x4 =1s.t. 0.025x1 a 0.015x2 a 0.055x3 a 0.026x4a xi 0 (i = 0,1,.4) 由于a是任意給定的風(fēng)險(xiǎn)度，到底怎樣給定沒(méi)有一個(gè)準(zhǔn)則，不同的投資者有不同的風(fēng)險(xiǎn)度。我們從a=0開(kāi)始，以步長(zhǎng)a=0.001進(jìn)行循環(huán)搜索，編制程序如下：a=0;while(1.1-a)1 c=-0

21、.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185; Aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065; beq=1; A=0 0.025 0 0 0;0 0 0.015 0 0;0 0 0 0.055 0;0 0 0 0 0.026; b=a;a;a;a; vlb=0,0,0,0,0;vub=; x,val=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub); a x=x Q=-val plot(a,Q,.)，axis(0 0.1 0 0.5)，hold on a=a+0.001;end xlabel(a),ylabel(Q)To Matlab（xxgh5）a = 0.0030 x = 0.4949 0.1200 0.2000 0.0545 0.1154 Q = 0.1266a = 0.0060 x = 0 0.2400 0.4000 0.1091 0.2212 Q = 0.2019a = 0.0080 x = 0.0000 0.3200 0.5333 0.1271 0.0000 Q = 0.2112a =