數(shù)字信號處理(第三版)_課后習題答案全_(原題+答案+圖) - 副本

1、時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章1.4習題與上機題解答習題與上機題解答1. 用單位脈沖序列(n)及其加權(quán)和表示題1圖所示的序列。 題1圖時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章解： x(n)=(n+4)+2(n+2)(n+1)+2(n)+(n1)+2(n2)+4(n3)+0.5(n4)+2(n6)2 給定信號： 2n+54n160n40 其它(1) 畫出x(n)序列的波形， 標上各序列值； (2) 試用延遲的單位脈沖序列及其加權(quán)和表示x(n)序列；(x(n)=時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章（3） 令x1(n)=2x(n2)， 試畫出x1(n)波形； （4） 令x2(n)=2x(n+2)，

2、 試畫出x2(n)波形； （5） 令x3(n)=x(2n)， 試畫出x3(n)波形。 解解： (1) x(n)序列的波形如題2解圖（一）所示。 (2) x(n)=3(n+4)(n+3)+(n+2)+3(n+1)+6(n) +6(n1)+6(n2)+6(n3)+6(n4)4014)(6)()52(mmmnmnm時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章（3） x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位， 再乘以2， 畫出圖形如題2解圖（二）所示。 (4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位， 再乘以2， 畫出圖形如題2解圖（三）所示。 (5) 畫x3(n)時， 先畫x(n)的波形(即將x(n)的波

3、形以縱軸為中心翻轉(zhuǎn)180)， 然后再右移2位， x3(n)波形如題2解圖（四）所示。 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章題2解圖（一）時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章題2解圖（二）時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章題2解圖（三）時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章題2解圖（四）時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章3 判斷下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 確定其周期。 是常數(shù)AnAnx 873cos)()81( je)(nnx(1)(2)解解： （1） 因為=, 所以, 這是有理數(shù)， 因此是周期序列， 周期T=14。（2） 因為=, 所以=16, 這是無理數(shù)， 因此是非周期序列。7

4、38123142時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章4 對題1圖給出的x(n)要求： (1) 畫出x(n)的波形； (2) 計算xe(n)=x(n)+x(n)， 并畫出xe(n)波形； (3) 計算xo(n)= x(n)x(n)， 并畫出xo(n)波形; (4) 令x1(n)=xe(n)+xo(n), 將x1(n)與x(n)進行比較， 你能得到什么結(jié)論？2121時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章解解：（1） x(n)的波形如題4解圖（一）所示。(2) 將x(n)與x(n)的波形對應(yīng)相加， 再除以2， 得到xe(n)。 毫無疑問， 這是一個偶對稱序列。 xe(n)的波形如題4解圖（二）所示。

5、(3) 畫出xo(n)的波形如題4解圖（三）所示。時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章題4解圖（一）時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章題4解圖（二）時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章題4解圖（三）時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章(4) 很容易證明： x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n)上面等式說明實序列可以分解成偶對稱序列和奇對稱序列。 偶對稱序列可以用題中(2)的公式計算， 奇對稱序列可以用題中(3)的公式計算。 5 設(shè)系統(tǒng)分別用下面的差分方程描述， x(n)與y(n)分別表示系統(tǒng)輸入和輸出， 判斷系統(tǒng)是否是線性非時變的。 （1）y(n)=x(n)+2x(n1)+3x(n2)

6、 （2）y(n)=2x(n)+3 （3）y(n)=x(nn0)n0為整常數(shù) （4）y(n)=x(n)時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章（5）y(n)=x2(n) （6）y(n)=x(n2) （7）y(n)= （8）y(n)=x(n)sin(n)解解： （1） 令輸入為x(nn0)輸出為 y(n)=x(nn0)+2x(nn01)+3x(nn02) y(nn0)=x(nn0)+2x(nn01)+3(nn02) =y(n)nmmx0)(時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章故該系統(tǒng)是非時變系統(tǒng)。 因為 y(n)=Tax1(n)+bx2(n) =ax1(n)+bx2(n)+2ax1(n1)+bx2(n

7、1) +3ax1(n2)+bx2(n2) Tax1(n)=ax1(n)+2ax1(n1)+3ax1(n2) Tbx2(n)=bx2(n)+2bx2(n1)+3bx2(n2)所以 Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n)故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章（2） 令輸入為x(nn0)輸出為y(n)=2x(nn0)+3y(nn0)=2x(nn0)+3=y(n)故該系統(tǒng)是非時變的。 由于Tax1(n)+bx2(n)=2ax1(n)+2bx2(n)+3Tax1(n)=2ax1(n)+3Tbx2(n)=2bx2(n)+3Tax1(n)+bx2(n)aTx1(n)+

8、bTx2(n)故該系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章(3) 這是一個延時器， 延時器是線性非時變系統(tǒng)， 下面證明。 令輸入為x(nn1)輸出為y(n)=x(nn1n0)y(nn1)=x(nn1n0)=y(n)故延時器是非時變系統(tǒng)。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(nn0)+bx2(nn0)=aTx1(n)+bTx2(n)故延時器是線性系統(tǒng)。時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章(4) y(n)=x(n)令輸入為x(nn0)輸出為y(n)=x(n+n0)y(nn0)=x(n+n0)=y(n)因此系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(

9、n)=aTx1(n)+bTx2(n)因此系統(tǒng)是非時變系統(tǒng)。時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章（5） y(n)=x2(n)令輸入為 x(nn0)輸出為y(n)=x2(nn0)y(nn0)=x2(nn0)=y(n)故系統(tǒng)是非時變系統(tǒng)。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)2 aTx1(n)+bTx2(n) =ax21(n)+bx22(n)因此系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章（6） y(n)=x(n2)令輸入為x(nn0)輸出為y(n)=x(nn0)2)y(nn0)=x(nn0)2)=y(n)故系統(tǒng)是非時變系統(tǒng)。 由于Tax1(n)+bx2(n)=a

10、x1(n2)+bx2(n2)=aTx1(n)+bTx2(n)故系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章（7） y(n)=x(m)令輸入為x(nn0)輸出為 y(n)=0DD)x(m-n0)y(nn0)=x(m)y(n)故系統(tǒng)是時變系統(tǒng)。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(m)+bx2(m)=aTx1(n)+bTx2(n)故系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。nm 0nm 000nnmnm 0時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章（8） y(n)=x(n) sin(n)令輸入為x(nn0)輸出為y(n)=x(nn0) sin(n)y(nn0)=x(nn0) sin(nn0)y(n)故系統(tǒng)不是非時變

11、系統(tǒng)。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n) sin(n)+bx2(n) sin(n)=aTx1(n)+bTx2(n)故系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章6 給定下述系統(tǒng)的差分方程， 試判定系統(tǒng)是否是因果穩(wěn)定系統(tǒng)， 并說明理由。 （1） y(n)=x(nk) （2） y(n)=x(n)+x(n+1) （3） y(n)= x(k) （4） y(n)=x(nn0) （5） y(n)=ex(n)101NkN00nnnnk時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章解解：（1）只要N1， 該系統(tǒng)就是因果系統(tǒng)， 因為輸出只與n時刻的和n時刻以前的輸入有關(guān)。 如果|x(n)|M， 則|

12、y(n)|M， 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。（2） 該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)， 因為n時間的輸出還和n時間以后（n+1）時間）的輸入有關(guān)。如果|x(n)|M, 則|y(n)|x(n)|+|x(n+1)|2M, 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。（3） 如果|x(n)|M， 則|y(n)|x(k)|2n0+1|M， 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的； 假設(shè)n00， 系統(tǒng)是非因果的， 因為輸出還和x(n)的將來值有關(guān)。 00nnnnk時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章m（4）假設(shè)n00， 系統(tǒng)是因果系統(tǒng)， 因為n時刻輸出只和n時刻以后的輸入有關(guān)。 如果|x(n)|M, 則|y(n)|M， 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（5） 系統(tǒng)是因果系統(tǒng)， 因為系

13、統(tǒng)的輸出不取決于x(n)的未來值。 如果|x(n)|M, 則|y(n)|=|ex(n)|e|x(n)|eM， 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。7 設(shè)線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)和輸入序列x(n)如題7圖所示， 要求畫出y(n)輸出的波形。解解： 解法（一）采用列表法。 y(n)=x(n)*h(n)=x(m)h(nm)時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章題7圖時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章y(n)=2,1,0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章解法（二）采用解析法。 按照題7圖寫出x(n)和h(n)的表達式

14、分別為x(n)=(n+2)+(n1)+2(n3)h(n)=2(n)+(n1)+ (n2)由于x(n)*(n)=x(n)x(n)*A(nk)=Ax(nk)故21時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章y(n)=x(n)*h(n) =x(n)*2(n)+(n1)+ (n2) =2x(n)+x(n1)+x(n2)將x(n)的表示式代入上式， 得到 y(n)=2(n+2)(n+1)0.5(n)+2(n1)+(n2) +4.5(n3)+2(n4)+(n5)2121時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章8. 設(shè)線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)和輸入x(n)分別有以下三種情況， 分別求出輸出y(n)。 （1）

15、 h(n)=R4(n), x(n)=R5(n)（2） h(n)=2R4(n), x(n)=(n)(n2)（3） h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n)解解： （1） y(n)=x(n)*h(n)=R4(m)R5(nm) 先確定求和域。 由R4(m)和R5(nm)確定y（n）對于m的非零區(qū)間如下:0m34mnm時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章根據(jù)非零區(qū)間， 將n分成四種情況求解： n7時， y(n)=0nm 034nm時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章最后結(jié)果為 0 n7 n+1 0n3 8n4n7y(n)的波形如題8解圖（一）所示。 (2) y(n) =2R4(n)*(n)(n2

16、)=2R4(n)2R4(n2) =2(n)+(n1)(n+4)(n+5)y(n)的波形如題8解圖（二）所示y(n)=時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章題8解圖（一）時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章題8解圖（二）時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章(3) y(n)=x(n)*h(n) = R5(m)0.5nmu(nm)=0.5nR5(m)0.5mu(nm)y（n）對于m 的非零區(qū)間為 0m4, mn n0時， y(n)=0 0n4時， mm時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章nmnmnny0115 . 015 . 015 . 05 . 0)(=(10.5n1)0.5n=20.5n n5時n

17、nmmnny5 . 0315 . 05 . 015 . 015 . 05 . 0)(4015最后寫成統(tǒng)一表達式： y(n)=(20.5n)R5(n)+310.5nu(n5)時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章9 證明線性卷積服從交換律、 結(jié)合律和分配律， 即證明下面等式成立： （1） x(n)*h(n)=h(n)*x(n)（2） x(n)*(h1(n)*h2(n)=(x(n)*h1(n)*h2(n)（3） x(n)*(h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)證明： （1） 因為令m=nm, 則mmnhmxnhnx)()()()()()()()()()(nxnhmhmn

18、xnhnxm時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章(2) 利用上面已證明的結(jié)果， 得到)()()()()()()()()()()()(12121221kmnhkhmxmnhmnhmxnhnhnxnhnhnxmkm時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章交換求和號的次序， 得到)()( )()()()()()()(121221knhknxkhkmnhmxkhnhnhnxkmk)()()(12nhnxnh)()()(21nhnhnx時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章)()()()()()()()()()()()()()( )3(21212121nhnxnhnxmnhmxmnhmxmnhmnhmxnhn

19、hnxmmm10 設(shè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)=(3/8)0.5nu(n)， 系統(tǒng)的輸入x(n)是一些觀測數(shù)據(jù)， 設(shè)x(n)=x0, x1, x2, , xk, ， 試利用遞推法求系統(tǒng)的輸出y(n)。 遞推時設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零狀態(tài)。時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章解解： 5 . 083)(5 . 083)()()(0mnnmmmnmmxmnuxnhnxnyn=0時， n0083)( xnyn=1時， )5 . 0(835 . 083)( 10110 xxxnymmm時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章)5 . 05 . 0(835 . 083)( 2102220 xxxxnymmmn=2時

20、， 最后得到nmmnmxny05 . 083)(11 設(shè)系統(tǒng)由下面差分方程描述： ) 1(21)() 1(21)(nxnxnyny設(shè)系統(tǒng)是因果的， 利用遞推法求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章解解： 令x(n)=(n), 則) 1(21)() 1(21)(nnnhnhn=0時， 1) 1(21)0() 1(21)0(hhn=1時， 12121)0(21) 1 ()0(21) 1 (hh時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章n=2時， 21) 1 (21)2(hhn=3時， 221)2(21) 3(hh歸納起來， 結(jié)果為)() 1(21)(1nnunhn時域離散信號和時域離

21、散系統(tǒng)第 1 章12. 設(shè)系統(tǒng)用一階差分方程y(n)=ay(n1)+x(n)描述， 初始條件y(-1)=0， 試分析該系統(tǒng)是否是線性非時變系統(tǒng)。 解解： 分析的方法是讓系統(tǒng)輸入分別為(n)、 (n1)、 (n)+(n1)時， 求它的輸出， 再檢查是否滿足線性疊加原理和非時變性。 （1） 令x(n)=(n), 這時系統(tǒng)的輸出用y1(n)表示。)() 1()(11nnayny該情況在教材例1.4.1 中已求出， 系統(tǒng)的輸出為y1(n)=anu(n)時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章(2) 令x(n)=(n1)， 這時系統(tǒng)的輸出用y2(n)表示。 ) 1() 1()(22nnaynyn=0時， 0

22、) 1() 1( )0( 22yayn=1時， 1)0()0( ) 1 (22yayn=2時， ayay) 1 () 1 ( )2(2212)(nany任意 n 時， 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章最后得到) 1()( 12nuanyn(3) 令x(n)=(n)+(n1), 系統(tǒng)的輸出用y3(n)表示。 ) 1()() 1()(33nnnaynyn=0時， n=1時， 1) 1()0() 1( )0(33yay1)0() 1 ()0( ) 1 (33ayayn=2時， 233)1 () 1()2() 1 ( )2(aaaayay時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章n=3時， 任意 n 時

23、， 32233)()2()3()2( )3(aaaaayay13)( nnaany最后得到)() 1()(13nuanuanynn時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章由（1）和（2）得到y(tǒng)1(n)=T(n), y2(n)=T(n1)y1(n)=y2(n1)因此可斷言這是一個時不變系統(tǒng)。 情況（3）的輸入信號是情況（1）和情況（2）輸入信號的相加信號， 因此y3(n)=T(n)+(n1)。 觀察y1(n)、 y2(n)、 y3(n)， 得到y(tǒng)3(n)=y1(n)+y2(n)， 因此該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。 最后得到結(jié)論： 用差分方程y(n)=ay(n1)+x(n), 0a1描寫的系統(tǒng)， 當初始條件為零

24、時， 是一個線性時不變系統(tǒng)。 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章13 有一連續(xù)信號xa(t)=cos(2ft+j)， 式中， f=20 Hz, j=/2。（1） 求出xa(t)的周期；（2） 用采樣間隔T=0.02 s對xa(t)進行采樣， 試寫出采樣信號 的表達式；（3） 畫出對應(yīng) 的時域離散信號（序列）x(n)的波形， 并求出x(n)的周期。 解解： （1） xa(t)的周期為)(txa)(txas 05. 01fT時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章)( )40cos()()2cos()(nTtnTnTtfnTtxnnajj（2）（3） x(n)的數(shù)字頻率=0.8， 故， 因而周期N=

25、5， 所以 x(n)=cos(0.8n+/2)畫出其波形如題13解圖所示。252時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章題13解圖時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章14. 已知滑動平均濾波器的差分方程為)4()3()2() 1()(51)(nxnxnxnxnxny（1） 求出該濾波器的單位脈沖響應(yīng)；（2） 如果輸入信號波形如前面例1.3.4的圖1.3.1所示， 試求出y(n)并畫出它的波形。解： （1） 將題中差分方程中的x(n)用(n)代替， 得到該濾波器的單位脈沖響應(yīng)， 即)4()3()2() 1()(51)(nnnnnnh時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章（2） 已知輸入信號， 用卷積法

26、求輸出。 輸出信號y(n)為kknhkxny)()()(表1.4.1表示了用列表法解卷積的過程。 計算時， 表中x(k)不動， h(k)反轉(zhuǎn)后變成h(k)， h(nk)則隨著n的加大向右滑動， 每滑動一次， 將h(nk)和x(k)對應(yīng)相乘， 再相加和平均， 得到相應(yīng)的y(n)。 “滑動平均”清楚地表明了這種計算過程。 最后得到的輸出波形如前面圖1.3.2所示。 該圖清楚地說明滑動平均濾波器可以消除信號中的快速變化， 使波形變化緩慢。 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章15*. 已知系統(tǒng)的差分方程和輸入信號分別為)2(2)() 1(21)(nxnxnyny

27、1 , 2 , 4 , 3 , 2 , 1 )(nx用遞推法計算系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。 解： 求解程序ex115.m如下： %程序ex115.m% 調(diào)用filter解差分方程y(n)+0.5y(n1)=x(n)+2x(n2)xn=1， 2， 3， 4， 2， 1， zeros(1， 10)； %x(n)=單位脈沖序列， 長度N=31B=1， 0， 2； A=1， 0.5； %差分方程系數(shù)時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章yn=filter(B， A， xn) %調(diào)用filter解差分方程， 求系統(tǒng)輸出信號y(n)n=0： length(yn)1； subplot(3， 2， 1)； stem(n

28、， yn， .) ； axis(1， 15， 2， 8)title(系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) )； xlabel(n)； ylabel(y(n)程序運行結(jié)果： 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章yn =1.0000 1.5000 4.2500 5.8750 5.0625 6.4688 0.7656 1.6172 -0.8086 0.4043 -0.2021 0.1011 -0.0505 0.0253 -0.0126 0.0063 -0.0032 0.0016 -0.0008 0.0004 -0.0002 0.0001 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000程序運行結(jié)果的y(n)波

29、形圖如題15*解圖所示。時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章題15*解圖時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章16*. 已知兩個系統(tǒng)的差分方程分別為 （1）y(n)=0.6y(n1)0.08y(n2)+x(n) （2）y(n)=0.7y(n1)0.1y(n2)+2x(n)x(n2)分別求出所描述的系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)。 解解： （1） 系統(tǒng)差分方程的系數(shù)向量為B1=1， A1=1， 0.6， 0.08（2） 系統(tǒng)差分方程的系數(shù)向量為B2=2， 0， 1, A2=1， 0.7， 0.1時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章2.5習題與上機題解答習題與上機題解答1 設(shè)X(ej)和Y(ej)分別

30、是x(n)和y(n)的傅里葉變換， 試求下面序列的傅里葉變換： (1) x(nn0) (2) x*(n)(3) x(n) (4) x(n)*y(n)(5) x(n)y(n) (6) nx(n)(7) x(2n) (8) x2(n)奇數(shù)偶數(shù)nnnxnx 0 )2/()(9(9)時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章解解：（1） nnnnxnnxj00e )()(FT令n=nn0, 即n=n+n0， 則)e (e )()(FTjj)(j000Xenxnnxnnnn（2）)e (e )(e )()(FTjjjXnxnxnxnnnn時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章（3） nnnxnxje )()(FT令n=

31、n， 則)e (e )()(FTjjXnxnxnn（4） FTx(n)*y(n)=X(ej)Y(ej) 下面證明上式成立： mmnymxnynx)()()()(時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章mnnmnymxnynxje)()()()(FT令k=nm, 則)e ()e (e )(e )(ee)()()()(FTjjjjjjyxmxkykymxnynxmnkkmnkk時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章（5） nnnnnYnxnynxnynxjjjjede )e (21)( e )()()()(FT)( j)( jd)e ()e (21de )()e (21XYnxYjnnj時域離散信號和系統(tǒng)的頻域

32、分析第章或者 )( jjd)e ()e (21)()(FTYXnynx（6） 因為nnnxXjje )()e (對該式兩邊求導(dǎo)， 得到)(jFTe )(jd)e (dnnxnnxXnnjj時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章因此d)e (dj)(FTjXnnx（7） nnnxnxje)2()2(FT令n=2n， 則時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章)(e)e (21)(ee )(21e)() 1()(21e )()2(FT)(21j21j21j21j21j， 2/jXXenxnxnxnxnxnxnnnjnnnnnnnn取偶數(shù)時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章或者)e()e (21)2(FT21j21j

33、XXnx（8） nnnxnxj22e )()(FT利用（5）題結(jié)果， 令x(n)=y(n), 則d)e ()e (21)e ()e (21)(FTjjjj2XXXXnx時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章（9）nnnxnxje )2/()2/(FT令n=n/2， 則)e (e )()2/(FT2 j2 jXnxnxnn2 已知 |, 0|, 1)e (00jX求X(ej)的傅里葉反變換x(n)。 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章解解： nnnxnsinde21)(0j003. 線性時不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（頻率響應(yīng)函數(shù)）H(ej)=|H(ej)|ej()， 如果單位脈沖響應(yīng)h(n)為實序列， 試證明輸

34、入x(n)=A cos(0n+j)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為)(cos| )e (|)(00j0jnHAny時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章解解： 假設(shè)輸入信號x(n)=ej0n，系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)為h(n)， 則系統(tǒng)輸出為nmmnmmnHmhmhnxnhny00000jjjj)(je )e (e )(e e )()()()(上式說明當輸入信號為復(fù)指數(shù)序列時， 輸出序列仍是復(fù)指數(shù)序列， 且頻率相同， 但幅度和相位取決于網(wǎng)絡(luò)傳輸函數(shù)。 利用該性質(zhì)解此題：時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章)cos()(0jnAnxeeee 21jjjj00jjnnA)(jjjj)(jjjjjjjjjj0000000000e)e (

35、eee)e (e21)e (ee)e (ee 21)(jjjjHHeAHHAnynnnn時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章上式中|H(ej)|是的偶函數(shù)， 相位函數(shù)是的奇函數(shù)， |H(ej)|=|H(e-j)|， ()=(), 故)(cos()e (eeeeee)e (21)(00j)(j)(jjj000000jjjnHAHAnynjjnj4設(shè)其它01 . 01)(nnx時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章將x(n)以4為周期進行周期延拓， 形成周期序列， 畫出x(n)和的波形， 求出的離散傅里葉級數(shù)和傅里葉變換。)(nx)(nx)(nx)(kX解： 畫出x(n)和的波形如題4解圖所示。 )(nx為

36、周期以4) ( e)4cos(2)ee (ee1ee )()(DFS)(4j4j4j4j2j102j42j30kXknxnxkXkkkkknknknn時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章題4解圖時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章或者 為周期以4)( 41sin21sine )e(ee)ee (ee1e1e)(4141j41j41j21j21j21j2j102jkXkkkXkjkkkkkkkkjnkn時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章)2( e )4cos()2( )(2)42()(42)(FT)e (4jjkkkkXkkXnxXkkkk時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章5. 設(shè)題5圖所示的序列x(n)的

37、FT用X(ej)表示， 不直接求出X(ej)， 完成下列運算或工作：題5圖時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章)e (0 jX(1)(2)jd)e (X(3)e (jX(4) 確定并畫出傅里葉變換實部ReX(ej)的時間序列xa(n)；2jd| )(e|X(5)(6)d|d)e (d|2jX時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章解解(1)6)()e (730 jnnxX(2)42)0(d)e (jxX(3)2)() 1(e )()e (73jjnnnnnxnxX（4） 因為傅里葉變換的實部對應(yīng)序列的共軛對稱部分， 即nnjnxeXRjeee )()()()(21)(enxnxnx時域離散信號和系統(tǒng)的頻域

38、分析第章按照上式畫出xe(n)的波形如題5解圖所示。題5解圖時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章(5)28)(2d)e (7322njnxX(6) 因為)(jFTd)e (djnnxX因此316)(2dd)e (d7322jnnnxX時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章6 試求如下序列的傅里葉變換：(1) x1(n)=(n3)(2) 1(21)() 1(21)(2nnnnx(3) x3(n)=anu(n)0a1(4) x4(n)=u(n+3)u(n4)解解(1)3jjj1ee)3()e (nnnX時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章(2)cos1)ee (211 e211e21e )()e (jjjjj2

39、j2nnnxX(3)j0jjj3e11e e )()e (aanuaXnnnnnn時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章(4)33jjj4ee )4()3()e (nnnnnunuXjj3 jj4j31j30j31j30jee1e1e1e1eeeennnnnnnn)21sin()27sin(e)ee (e)ee (eee1e1e1eee1e1e1e13j21j21j21j27j27j27j3 jj7 jj4 j3 jj3jj4 j時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章或者: )3()4()3()(73nRnununxnnnRXj7j4e )3()e (j7 j60j7e1e1e)(FTnnnRnnnRXj

40、7j4e )3()e (3 jj7 jee1e1)21sin()27sin()ee (e)ee (ee)ee (e)ee (e2j2j2j27j27j2j3 j2j2j227j2727jjj時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章7 設(shè)： （1） x(n)是實偶函數(shù)， （2） x(n)是實奇函數(shù)， 分別分析推導(dǎo)以上兩種假設(shè)下， 其x(n)的傅里葉變換性質(zhì)。 解解：令nnnxXjje )()e (1) 因為x(n)是實偶函數(shù)， 對上式兩邊取共軛， 得到)e (e)(e)()e (j)( jjjXnxnxXnnnn時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章因此 X(ej)=X*（ej）上式說明x(n)是實序列， X

41、(ej)具有共軛對稱性質(zhì)。 nnnnxnxXsinj)cos(e )()e (jj由于x(n)是偶函數(shù)， x(n) sin是奇函數(shù)， 那么nnx0sin)(因此nnxXcos)()e (j時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章該式說明X(ej)是實函數(shù)， 且是的偶函數(shù)。 總結(jié)以上, x(n)是實偶函數(shù)時， 對應(yīng)的傅里葉變換X(ej)是實函數(shù)， 是的偶函數(shù)。 （2） x(n)是實奇函數(shù)。 上面已推出， 由于x(n)是實序列， X(ej)具有共軛對稱性質(zhì)， 即 X(ej)=X*(ej)nnnnxnxXsinj)cos(e )()e (jj時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章由于x(n)是奇函數(shù)， 上式中x(

42、n) cos是奇函數(shù)， 那么0cos)(nnx因此 nnxXsin)(j)(ej這說明X(ej)是純虛數(shù)， 且是的奇函數(shù)。 8 設(shè)x(n)=R4(n)， 試求x(n)的共軛對稱序列xe(n)和共軛反對稱序列xo(n)， 并分別用圖表示。 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章解解：)()(21)(44enRnRnx)()(21)(44onRnRnxxe(n)和xo(n)的波形如題8解圖所示。 題8解圖時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章9已知x(n)=anu(n), 0a1， 分別求出其偶函數(shù)xe(n)和奇函數(shù)xo(n)的傅里葉變換。解解：nnnxXjje )()e (因為xe(n)的傅里葉變換對應(yīng)X(

43、ej)的實部， xo(n)的傅里葉變換對應(yīng)X(ej)的虛部乘以j， 因此時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章cos21cos1e1e1e11e11)e ()(FT2jjjejejeeaaaaaaRaRXRnxcos21sine1e1e11Imje11Imje (Imj)(FT2jjjjjaaaaaaaXnxo時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章10 若序列h(n)是實因果序列， 其傅里葉變換的實部如下式： HR(ej)=1+cos求序列h(n)及其傅里葉變換H(ej)。 解解：nnRnhnhHjeejjje )()(FT e21e211cos1)e (時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章121011 21

44、)(ennnnhnnnnnhnnhnnh其它01101 0)(20)(00)(ee)2/cos(e2e1e )()e (2/jjjjnnnhH時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章11 若序列h(n)是實因果序列， h(0)=1， 其傅里葉變換的虛部為HI(ej)=sin求序列h(n)及其傅里葉變換H(ej)。 解解： eej21sin)e (jjjIHnnoIonhHnhjjjje )(ee 21)(ej)(FT時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章12100121)(onnnnhnnnnnhnnhnnh其它011010)(20)(00)(o)2/cos(e2e1e )()e (2/jjjjnnnhH時

45、域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章12 設(shè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)=anu(n), 0a1， 輸入序列為x(n)=(n)+2(n2)完成下面各題： (1) 求出系統(tǒng)輸出序列y(n)； (2) 分別求出x(n)、 h(n)和y(n)的傅里葉變換。 解解(1)2(2)( )2()()()()(2nuanuannnuanxnhnynnn時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章(2)2 jjje21e)2(2)()e (nnnnXj0jjje11ee )()e (aanuaHnnnnnnj2jjjje1e21)e ()e ()e (aXHY時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章13 已知xa(t)=2 cos(2f0

46、t)， 式中f0=100 Hz， 以采樣頻率fs=400 Hz對xa(t)進行采樣， 得到采樣信號和時域離散信號x(n)， 試完成下面各題： （1） 寫出的傅里葉變換表示式Xa(j)； （2） 寫出和x(n)的表達式； （3） 分別求出的傅里葉變換和x(n)序列的傅里葉變換。 解解： )(txa)(txa)(txa)(txatttttxXtttttaade ee de )cos(2de )()j ( jjjj0j00時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章上式中指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換不存在， 引入奇異函數(shù)函數(shù)， 它的傅里葉變換可以表示成： )()(2)j ( 00aX（2） )()cos(2)()()(

47、0nnaanTtnTnTttxtxnnTnx- )cos(2)(0ms 5 . 21 rad 2002s00fTf時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章（3） )()(2 )jj (1)(s00ksksaakkTkXTjX式中rad/s 8002ssf)2()2(2e ee e )cos(2e )cos(2e )()e (00jjjj0j0jj00kknnTnxXknnnnnnnnnn時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章式中0=0T=0.5 rad上式推導(dǎo)過程中， 指數(shù)序列的傅里葉變換仍然不存在， 只有引入奇異函數(shù)函數(shù)才能寫出它的傅里葉變換表示式。 14 求出以下序列的Z變換及收斂域:(1) 2nu(n

48、)(2) 2nu(n1)(3) 2nu(n)(4) (n)(5) (n1)(6) 2nu(n)u(n10)時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章解(1)21 2112)(2)(2ZT110zzzznununnnnnnn(2)21 21121222) 1(2)1(2ZT1111zzzzzzznununnnnnnnnnn時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章21 2112 2)(2)(2ZT00zzzzznununnnnnnnnnn(3)(4) ZT(n)=10|z|(5) ZT(n1)=z10|z|(6) 0 2121 2)10()(2ZT11101090zzzznununnnn時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析

49、第章15 求以下序列的Z變換及其收斂域， 并在z平面上畫出極零點分布圖。 (1) x(n)=RN(n)N=4(2) x(n)=Arn cos(0n+j)u(n)r=0.9, 0=0.5 rad, j=0.25 rad(3)其它02 12 0)(NnNnNNnnnx式中， N=4。時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章解(1) 0 ) 1(1z11 )()(3414304zzzzzzznRzXnnnn由z41=0， 得零點為3 , 2 , 1 , 0 ez 42jkkk由z3(z1)=0， 得極點為 z1, 2=0, 1零極點圖和收斂域如題15解圖(a)所示， 圖中, z=1處的零極點相互對消。時域離

50、散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章題15解圖時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章(2) )( ee eeAr21 )()cos()(jjjj000nununArnxnnnnjjje1ee1e21eeee21)(1jj1j00jjjj0000zrzrAzrzrAzXjnnnnnnnnjjjj)e1 ()e1 ()cos(cos1j1j1000zrzrzrAjjrz 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章零點為 cos)cos(01jj rz極點為00j3j2e erzrz極零點分布圖如題15解圖(b)所示。(3)令y(n)=R4(n), 則x(n+1)=y(n)*y(n)zX(z)=Y(z)2, X(z)=z1Y

51、(z)2時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章因為) 1(111)(3414zzzzzzY因此2472341) 1(11) 1(1)(zzzzzzzzX極點為z1=0, z2=1零點為3 , 2 , 1 , 0 e42jkzkk在z=1處的極零點相互對消， 收斂域為0|z|， 極零點分布圖如題15解圖(c)所示。時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章16 已知112122113)(zzzX求出對應(yīng)X(z)的各種可能的序列表達式。 解解： X(z)有兩個極點： z1=0.5, z2=2， 因為收斂域總是以極點為界， 因此收斂域有三種情況： |z|0.5，0.5|z|2， 2|z|。 三種收斂域?qū)?yīng)三種不同的

52、原序列。 （1）收斂域|z|0.5： 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章zzzXjnxcnd)(21)(1令nnnzzzzzzzzzzXzF)2)(5 . 0(75 )21)(5 . 01 (75)()(11111n0時， 因為c內(nèi)無極點，x(n)=0;n1時， c內(nèi)有極點 0 ， 但z=0是一個n階極點， 改為求圓外極點留數(shù)， 圓外極點有z1=0.5, z2=2， 那么時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章) 1(22)21(3)2()2)(5 . 0()75()5 . 0()2)(5 . 0()75(2),(sRe5 . 0),( sRe)(25 . 0nuzzzzzzzzzzzFzFnxnnzn

53、zn(2)收斂域0.5|z|2:)2)(5 . 0()75()( zzzzzFn時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章n0時， c內(nèi)有極點0.5，nzFnx)21(35 . 0 ),( sRe)( n0時， c內(nèi)有極點 0.5、 0 ， 但 0 是一個n階極點， 改成求c外極點留數(shù)， c外極點只有一個， 即2，x(n)=ResF(z), 2=2 2nu(n1)最后得到) 1(22)()21(3)(nununxnn時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章（3）收斂域|z|2: )2)(5 . 0()75()( zzzzzFnn0時， c內(nèi)有極點 0.5、 2，nnzFzFnx222132 ),( sRe5 .

54、 0),( sRe)( n0時， 由收斂域判斷， 這是一個因果序列， 因此x(n)=0； 或者這樣分析， c內(nèi)有極點0.5、 2、 0， 但0是一個n階極點， 改求c外極點留數(shù)，c外無極點， 所以x(n)=0。 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章最后得到)(22213)( nunxnn17 已知x(n)=anu(n), 0a1。 分別求： (1) x(n)的Z變換；(2) nx(n)的Z變換；(3) anu(n)的Z變換。解解： (1)azazznuanuazXnnnn 11)()(ZT)(1時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章azazazzXzznnx )1 ()(dd)( ZT212(2)(3)

55、100 11)(ZTazazzazanuannnnnnn18 已知2112523)(zzzzX分別求： （1） 收斂域0.5|z|2對應(yīng)的原序列x(n)。 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章解解：cnzzzXnxd)(j21)(1)2)(5 . 0(232523)()(12111zzzzzzzzzXzFnnn（1） 收斂域0.5|z|2:n0時，c內(nèi)有極點0.5，x(n)=ResF(z), 0.5=0.5n=2nn0時， c內(nèi)有極點0.5、 0， 但0是一個n階極點， 改求c外極點留數(shù)， c外極點只有2， x(n)=ResF(z), 2=2n時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章最后得到 x(n)=2

56、nu(n)+2nu(n1)=2|n|n2:n0時， c內(nèi)有極點0.5、 2，nnznnzzzzzFzFnx25 . 0)2()2)(5 . 0(235 . 02),(sRe5 . 0),( sRe)( 2時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章n0時， c內(nèi)有極點0.5、 2、 0， 但極點0是一個n階極點， 改成求c外極點留數(shù)， 可是c外沒有極點， 因此x(n)=0最后得到 x(n)=(0.5n2n)u(n)19 用部分分式法求以下X(z)的反變換：21|,252311)(211zzzzzX(1)時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章(2)21|,41121)(21zzzzX解解： (1)21z 4113

57、11)(21zzzX 4131)(22zzzzX時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章21652161 )21)(21(31 4131)(2zzzzzzzzzX)(2165)21(61)(2116521161)(11nunxzzzXnn時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章(2)21z 41121)(21zzzX 21252123 2121z2z 412)(2zzzzzzzX112112521123)(zzzX時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章) 1()21(25)21(23)(nunxnn20 設(shè)確定性序列x(n)的自相關(guān)函數(shù)用下式表示： nxxmnxnxmr)()()(試用x(n)的Z變換X(z)和x(

58、n)的傅里葉變換X(ej)分別表示自相關(guān)函數(shù)的Z變換Rxx(z)和傅里葉變換Rxx(ej)。時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章解： 解法一nxxmnxnxmr)()()(mnmmnmxxzmnxnxzmnxnxzR )()()()()(令m=n+m, 則)()( )()()()()(1zXzXzmxznxzmxnxzRnmmnnmnmxx時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章解法二)()()()()()()()(1zXzXzRmxmxmnxnxmrxxnxx)e ()e ()()e (jjejjXXzRRzxxxx因為x(n)是實序列， X(ej)=X*(ej)， 因此2jj)e ()e (XRxx時

59、域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章21 用Z變換法解下列差分方程： (1) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)， y(n)=0 n1(2) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)， y(1)=1， y(n)=0n1(3) y(n)0.8y(n1)0.15y(n2)=(n) y(1)=0.2, y(2)=0.5, y(n)=0, 當n3時。解解： (1) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)， y(n)=0n1)1)(9 . 01 (05. 0)(1105. 0)(9 . 0)(1111zzzYzzzYzY時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章1111119 . 005. 019 . 0

60、105. 0)()(nnnzzzzzzzzYzFn0時， 5 . 09 . 05 . 0 1 . 005. 0)9 . 0(1 . 005. 0 1),( sRe9 . 0),( sRe)(11nnzFzFnyn0時， y(n)=0最后得到 y(n)=0.5 (0.9)n+1+0.5u(n)時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析第章(2) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n), y(1)=1, y(n)=0 n1111105. 0)()(9 . 0)(zzkyzYzzYkk11111105. 09 . 0)(9 . 0)(105. 0) 1()(9 . 0)(zzYzzYzzyzYzzY)1)(9