數(shù)值模擬技術(shù)3xin

1、第二章 平面線彈性問題的有限單元法第一節(jié) 有限單元法的基本思路第二節(jié) 位移模式及單元分析第三節(jié) 整體分析整體剛度矩陣及其修正第四節(jié) 小結(jié)及算例第一節(jié) 有限單元法的基本思路 平面線彈性問題的有限單元法是針對平面問題，依據(jù)彈性力學(xué)的基本方程所構(gòu)造的有限單元法。（Finite Element Method_FEM) 有限單元法的基礎(chǔ)：結(jié)構(gòu)力學(xué) 對于巖土體這樣的連續(xù)介質(zhì)，怎樣用結(jié)構(gòu)力學(xué)的分析方法來解決它的彈性力學(xué)問題？ 其步驟如下： 1、將連續(xù)體離散化：即將連續(xù)的彈性體變換成一個離散的結(jié)構(gòu)物（構(gòu)件）。這個結(jié)構(gòu)物（構(gòu)件）是由有限多個有限大小的構(gòu)件，在有限個連續(xù)點上聯(lián)系起來而構(gòu)成的。（如圖）其中：這有限大

2、小的構(gòu)件就稱為單元； 有限個連續(xù)點就稱為節(jié)點。 連續(xù)介質(zhì)的單元離散化又稱為單元剖分。 對于平面問題的單元形狀，常用的有：三角形（如左圖）、四邊形（如右圖） 注意：在進行剖分時1）注意單元大?。合噜弳卧床畈灰?；2）注意單元分布：不要出現(xiàn)嚴重畸形單元，在邊界部位可有不同類型單元；3）節(jié)點連續(xù)形式。 剖分原則：在需連續(xù)部位詳細劃分。2、在剖分基礎(chǔ)上，為便于區(qū)分個不同單元，須對各單元、節(jié)點進行整體編碼。 在介質(zhì)被離散化的情況下，每個單元都有相應(yīng)的單元節(jié)點力、單元節(jié)點位移、單元應(yīng)變和單元應(yīng)力等物理量，以矩陣符號依次表示為： e屬于編號為e的那個單元； 如圖：三角形單元，其單元整體編號為e，節(jié)點編號

3、為i, j, m. i節(jié)點位移為： j節(jié)點位移為： m節(jié)點位移為： eeeeF, mmmjjjiiivuvuvu 單元e節(jié)點位移列陣： 按照結(jié)構(gòu)力學(xué)思路，單元間的作用力是通過節(jié)點傳遞的，因此，需知道節(jié)點荷載，各節(jié)點荷載表示為： i節(jié)點荷載 j節(jié)點荷載 m節(jié)點荷載單元荷載列陣為： 如果是4節(jié)點四邊形單元則單元節(jié)點位移矢量和節(jié)點荷載矢量均有8個分量。 Tmmjjiievuvuvu, TmmjjiieTmmmTjjjTiiiYXYXYXRYXRYXRYXR, 在應(yīng)力分析課題中，采用結(jié)構(gòu)力學(xué)的位移法，即取基本未知量是節(jié)點的位移。 未知量整體節(jié)點位移列陣為： 單元位移列陣以單元e為例為:u , v 求單

4、元應(yīng)變的公式幾何方程為： 從式中不難看出，知道單元位移就可求出單元應(yīng)變。 Tjjvuvuvu,.,.,221, 1 單元。下，認為單元為常應(yīng)變是單元位移。一般情況其中：vurxvyuyvxuxyyx, 求單元位移，需建立一個單元位移和節(jié)點位移未知量之間的關(guān)系。 然后，根據(jù)物理方程: 從上述分析可知，求單元應(yīng)力、應(yīng)變的關(guān)鍵問題是求節(jié)點位移與單元位移的關(guān)系。 ，代入上式即可。換為換為將上式中的）平面應(yīng)變問題：）平面應(yīng)力問題：是彈性矩陣，對于其中即可求出單元應(yīng)力。2221121120001011EEEDD 要求單元內(nèi)任一點的位移，即單元位移與節(jié)點位移之間的關(guān)系，對常應(yīng)變單元可以采用“線性插值”的方法

5、，采用該方法，即設(shè)單元內(nèi)任一點的位移為： 、單元的位移模式。稱為插值函數(shù)或形函數(shù)其中：6262166212NvuvuvuvuNfmmjjiie 建立了單元位移與節(jié)點位移的關(guān)系后，即可由幾何方程，求得應(yīng)變。即 到此，我們已完成了一半的工作，還需求節(jié)點位移。求節(jié)點位移可采用兩種方法：1）虛功原理；2）節(jié)點力平衡方程。下面以后者為例來建立節(jié)點力與節(jié)點荷載的關(guān)系。 間的關(guān)系。單元應(yīng)力與節(jié)點位移之為應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣，反映，即再由物理方程求得應(yīng)力間的關(guān)系。單元應(yīng)變與節(jié)點位移之為應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣，反映SSBBee166313166313 單元組合體在外力（總體節(jié)點荷載）作用下處于平衡狀態(tài)，則每個節(jié)點在節(jié)點力與節(jié)點荷

6、載作用下也應(yīng)該處于平衡狀態(tài)。因此，可利用節(jié)點力的平衡方程來建立兩者之間的關(guān)系。 對于單元e，其節(jié)點荷載列陣為： 節(jié)點力列陣為： TYmXmYjXjYiXieTmmjjiieFFFFFFFYXYXYXR 對任意節(jié)點i，若被k個單元所共用，則其節(jié)點力是k個單元相應(yīng)節(jié)點之和，其平衡方程為： 系節(jié)點力與節(jié)點位移的關(guān)為單元剛度矩陣，反映其中稱為單元剛度方程。，有：對于任意單元寫成列陣形式：eeeeikeeikeeYiikeeXiKKFeRFYFXF166616111 對整個研究區(qū)有： 形單元為例。線彈性常應(yīng)變平面三角注意：以上所介紹是以。，最后求出，進而求由此方程，可以解出反映介質(zhì)的力學(xué)特性。疊加得到的

7、。由所有單剛矩陣對應(yīng)項為總體剛度矩陣，它是為節(jié)點位移列陣；其中整體平衡方程nnnnnnnKRK2222222 通過以上分析，可總結(jié)出有限元分析思路，它分兩部分： 1、單元分析：A、研究位移模式問題Ne B、荷載列陣Re; C、應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣Se; D、應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣Be; E、單元剛度矩陣Ke. 2、整體分析：A、建立整體節(jié)點荷載列陣Ke; B、建立整體剛度矩陣 C、求解大型線性方程組。 具體步驟如下： 1、研究區(qū)域的離散化； 2、選擇位移模式； 3、計算等效節(jié)點荷載； 4、單元分析Be, Se, Ke 5、集合所有單元的剛度方程，建立整個結(jié)構(gòu)的平衡方程； 6、引入位移邊界條件，修正總體平衡方程；

8、 7、解方程，求未知節(jié)點位移及單元應(yīng)力。第二節(jié) 位移模式及單元分析一、位移模式與解答的收斂性 位移模式：假定的單元內(nèi)任一點位移與坐標x,y的某種函數(shù)關(guān)系式，用以描述單元內(nèi)部的位移形態(tài)。 選取依據(jù)：單元節(jié)點數(shù)及其自由度。 有限元分析的 關(guān)鍵：適當選擇位移模式，以保證單元內(nèi)部的變形協(xié)調(diào)及相鄰單元間的變形協(xié)調(diào)。 若此條件得到滿足，則有限元的解將隨離散化網(wǎng)格單元尺寸的縮小，不斷收斂于精確解。 對于常應(yīng)變?nèi)切螁卧▓D式），其三個節(jié)點為I, j, m.為求此單元內(nèi)任一點（x,y)的位移u,v. 首先，假定：u,v是坐標x,y的線性函數(shù)，即選取位移模式。 由于，該三角形有6個自由度，所以位移函數(shù)只能包含6

9、個待定系數(shù)。由于單元位移函數(shù)不僅適用于單元內(nèi)部點，而且也適用于單元節(jié)點，因此可以將某節(jié)點坐標代入上式所得到的位移值u,v，就應(yīng)該等于該節(jié)點的兩個位移分量。即：yxyxvyxyxu6541321,mmmjjjiiimmmjjjiiiyxvyxvyxvyxuyxuyxu654654654321321321 解上述兩方程，可得：應(yīng)沿逆時針排列。為正，節(jié)點為保證或是三角形單元的面積。其中，mjicbcbyxyxyxvcvcvcvbvbvbvavavaucucucubububuauauajmmjmmjjiimmjjiimmjjiimmjjiimmjjiimmjjiimmjjii,111212121621

10、5214213212211 上式中a,b,c是只與節(jié)點坐標有關(guān)的常數(shù)，稱為節(jié)點坐標差值。其值為：mmjjiimmjjiimmmmjjjjiiiimmmmjjjjiiiimmmmjjjjiiiijmimiiimmiivNvNvNvuNuNuNuycxbaNycxbaNycxbaNvycxbavycxbavycxbavuycxbauycxbauycxbaucbamjimjixxcmjiyybyxyxa則上式可寫成：設(shè)：的式子，可得：的式子代入求單元位移將求的值。外兩組進行輪換，從而得到另表示其中記號2121212121,上式寫成矩陣形式：可以看出：當ui=1或I=1,其它節(jié)點位移分量為0時，u(x

11、,y)=Ni(x,y)或v(x,y)=Ni(x,y).可見，函數(shù)Ni表示當節(jié)點I發(fā)生單位位移時在單元內(nèi)部產(chǎn)生的位移分布形態(tài)。 的函數(shù)。簡稱形函數(shù)，均是坐標稱為位移的形態(tài)函數(shù)，的位移形態(tài)，形函數(shù)矩陣，反映單元其中令：mjimjimjimmjjiimjimjiNNNNNfNNNNNNNvuvuvuNNNNNNvuf,0000000000 位移模式收斂條件： 1）位移模式應(yīng)包含單元的剛體位移。即包含與本單元形變無關(guān)，而由其它單元發(fā)生形變所引起的位移； 2）位移模式應(yīng)包含單元的常量應(yīng)變。 所謂常量應(yīng)變即與坐標位置無關(guān)，在單元內(nèi)各點相同的應(yīng)變。 3）位移模式應(yīng)保證相鄰單元在公共邊界處位移的連續(xù)性。 1）

12、，2）為收斂的必要條件，3）為充分條件。可以證明，我們所選的三角形單元的位移模式滿足上述條件： （1）若單元發(fā)生剛體唯一：水平位移uo，垂直位移vo，繞Z軸的轉(zhuǎn)角為wo，則單元任一點（x,y)的位移為： （2）由幾何方程可得：。包含于線性位移模式中即剛體位移狀態(tài)已全部式中寫為：可將單元位移表達式改20400226422213535353535vuxxyvyyxuyvvyuuoooo含于線性位移模式中?？梢娙砍Ａ繎?yīng)變已包5362xyyx （3）因為所選的是線性位移模式，所以單元上任一直線在位移后仍為直線。如圖相鄰單元二、由節(jié)點位移求應(yīng)變應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣已知單元內(nèi)任一點的位移與節(jié)點位移的關(guān)系利用幾何

13、方程：mmjjiimmjjiivNvNvNvuNuNuNumjiiiiicyNbxNxvyuxyyvyxux,22導(dǎo)數(shù)其中形函數(shù)對坐標的偏從而可得：寫成矩陣形式：B為應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣，其中各元素是僅與三角形單元幾何性質(zhì)有關(guān)的常量?？赏浦獞?yīng)變分量為常量，即三角形單元為常應(yīng)變單元。mmjjiimmjjiiyxmmjjiiymmjjiixucucucvbvbvbvcvcvcububub21212121 單元應(yīng)變公式。簡寫成：Bvuvuvubccbccbccbbbmjimmjjiimmmjjjiiimjixyyx00000021三、由節(jié)點位移求應(yīng)力應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣已知應(yīng)變時，可利用物理方程求應(yīng)力：S的特點：1

14、）與座標有關(guān)；2）與E，u有關(guān)。S可寫成分塊矩陣形式：S=Si，Sj，Sm對于平面應(yīng)力問題：平面應(yīng)變問題：將 應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣_SSBDDee iiiiiiEibcccbbS2121122即可11,2EE從上式可以看出： 1）在同一單元中應(yīng)力分量也是常量； 2）相鄰單元具有不同的應(yīng)力，因而在其公共邊上會有應(yīng)力突變。 這種應(yīng)力突變將隨單元面積的縮小而急劇減少。不影響解答的收斂性。四、節(jié)點位移表示節(jié)點力單元剛度矩陣1、單元剛度方程的建立 單元剛度方程可由虛功原理導(dǎo)出。 由于有限元分析中單元所受荷載都移置到節(jié)點上，因此單元所受外力僅為節(jié)點力。 若用 則外力虛功W為： 虛變形功v為： 由虛功原理可得： 表

15、示節(jié)點力表示虛應(yīng)變，表示虛位移，eeeF* 1*tdxdyFtdxdyvFWTeeTeTeeTe設(shè)虛位移與實位移有相同的位移模式，則：由于虛位移中的元素為常數(shù)，可將其放到積分號外。同時左乘 ： 則（3）式可簡化為： 3122*dxdytBDBtdxdyBDBFBDSBeTTeeTeeTeeeee式：代入將 e* 4eeeeTeKFtdxdyBDBF可簡寫為：單元剛度方程注意:(1）上式中Ke是平面問題中計算單元剛度矩陣的一般形式；（2）對常應(yīng)變?nèi)切螁卧琄可簡化為： 將B、D代入（5）式中，可得到單剛矩陣的具體表達式，Ke可寫成分塊矩陣形式： ，與單元的位置無關(guān)。性常數(shù)形態(tài)、大小、方位和彈階

16、方陣，決定于單元的為665KtBDBKTe 即可。，換平面應(yīng)變問題，只須替對平面應(yīng)力問題：EmjismjirbbcccbbcbccbccbbKKKKKKKKKKKsrsrsrsrsrsrsrsrAtEersmmmjmijmjjjiimijiie,.76212121211422.單元剛度矩陣的物理意義將（4）式寫成下面形式： 單剛矩陣的2*2階子矩陣Krse表示節(jié)點s（s=i,j,m)產(chǎn)生單位位移時，在節(jié)點r（r=i,j,m)上所需施加的節(jié)點力的大小。 mmmjmjimimmjmjjjijijmimjijiiiimjimmmjmijmjjjiimijiimjiKKKFKKKFKKKFKKKKKK

17、KKKFFF據(jù)矩陣乘法可得：8 將（8）式中各列陣進一步展開，則有：其中各個元素的物理意義為： 。，無橫線表示鉛直方向中的橫線表示水平方向其中srmjissrsss rrymjisssrssrrxkmjirvkukFmjirvkukF,。加的水平節(jié)點力的大小所須施移時，在節(jié)點在垂直方向產(chǎn)生單位位表示節(jié)點如：點力的大小。點力與垂直節(jié)上分別需施加的水平節(jié)位移時，在節(jié)點產(chǎn)生單位在水平方向、鉛垂方向表示節(jié)點ijkmjirrmjisskkkkj irss rsrsr),(),(,3.單元剛度矩陣的特性（1）對稱性：（2）奇異性： 物理意義：若僅知節(jié)點力，不知約束條件，則單元除產(chǎn)生本身的形變外，還可產(chǎn)生任

18、意的剛體位移。這部分剛體位移分量按給定的節(jié)點力是無法唯一確定的。（3）分塊性。 i jj ii jixjj iiyjiiyjjxkkkFvkFuvFuF,1;,19時時意義可知，上式中：由單元剛度矩陣的物理0eK五、荷載向節(jié)點的移置單元荷載列陣 移置原因：有限元討論的是節(jié)點的受力、平衡和位移。 移置原則：靜力等效原則。 靜力等效原則： （1）對于彈性體，原荷載與節(jié)點荷載在任何虛位移上的虛功都相等。 （2）原荷載與節(jié)點荷載在任一軸上的投影之和及對任一軸的力矩之和都相等，具相同的主矢量和主矩。 荷載分類：（1）集中力；(2)體積力：重力、地震力 (3)面力：構(gòu)造應(yīng)力、自重應(yīng)力、風(fēng)力。1、集中力的移

19、置 如圖，將集中荷載移置到節(jié)點上后形成的節(jié)點荷載列陣用Re表示： 假設(shè)(1)M點發(fā)生的虛位移： (2)各節(jié)點與之相應(yīng)產(chǎn)生虛位移為由靜力等效原則： TmmjjiieYXYXYXR Tvuf* *mmjjiievuvuvu PNPNPfRNfPfRTTeTeTeTeeTeTe*兩邊同乘 則上式變?yōu)椋?、體力的移置 設(shè)單元內(nèi)分布體力的密度為 在單元內(nèi)取一小的微分體，體積為tdxdy,t為厚度將rtdxdy當作一集中力P，由（10）有： 1*Te 通用表達式。集中荷載向節(jié)點移置的該式為單元內(nèi)任一點的擴展后為：1110TymxmyjxjyixiTmmjjiieTePNPNPNPNPNPNYXYXYXRPNR Tyxrrr 用公式。為體力向節(jié)點移置的通12tdxdyrNRTe3、面力的移置 圖示，設(shè)在單元ij邊上作用分布面力 在ij邊上取微段tds，作用于此段上的荷載為將其作為集中荷載，則可由(10)式積分得：4、線性位