微分幾何第2章曲面論第三節(jié)曲面的第二基本形式

1、3 曲面的第二基本形式1.1.曲面的第二基本形式；曲面的第二基本形式；2.2.曲面上曲線的曲率；曲面上曲線的曲率；3.3.Dupin指標線；指標線；4.4.曲面的漸近方向和共軛方向；曲面的漸近方向和共軛方向；5.5.曲面的主方向和曲率線；曲面的主方向和曲率線；6.6.曲面的主曲率、曲面的主曲率、Gauss曲率和平均曲率；曲率和平均曲率；7.7.曲面在一點鄰近的結構；曲面在一點鄰近的結構；8.8.Gauss曲率的幾何意義曲率的幾何意義.3.1 曲面的第二基本形式曲面的第二基本形式1.1.切平面到曲面上點的無窮小有向距離切平面到曲面上點的無窮小有向距離2),(: )(CvurrS .P: )(C)

2、(),(svvsuu )(),(svsurr 或或)(sQ.)(ssP .n，nPQ ).)(的的離離差差上上的的點點到到曲曲面面為為平平面面其其中中PS . 下下面面計計算算nPQ nPPQP )(nPPnQP nPP .O)(sr)(ssr nsrssr )()(nsrsr )(212 2)(21snrn )0(時時 s2)(21srn 221dsrn .22dsrn 即即dsdvrdsdurrvu 22dtrdr 22dsudrdsdudsdvrdsduruuvuu 22dsvdrdsdvdsdvrdsdurvvvvu 222222)()(dsvdrdsudrdsdvrdsdvdsdur

3、dsdvdsdurdsdurvuvvvuuvuu 2dsrn 22222vdrudrdvrdudvrdurnvuvvuvuu 22)()(2)(dvnrdudvnrdunrvvuvuu .,nrNnrMnrLvvuvuu 令令rdndsrn 222 則則222NdvMdudvLdu 2.2.曲面的第二基本形式曲面的第二基本形式定義定義的的二二次次微微分分形形式式關關于于dvdu,222NdvMdudvLdu .式式稱稱為為曲曲面面的的第第二二基基本本形形.表表示示用用II即即22222NdvMdudvLdurdndsrnII 其其中中nrNnrMnrLvvuvuu ,.量量稱稱為為曲曲面面的的

4、第第二二類類基基本本注注義義：第第二二基基本本形形式式的的幾幾何何意意.2 II計算公式：計算公式：用用定定義義計計算算：)1(nrNnrMnrLvvuvuu ,)2(vuvurrrrn 2FEGrrvu ,),(2FEGrrrLvuuu ,),(2FEGrrrMvuuv .),(2FEGrrrNvuvv .但但不不是是正正定定的的)3(在在切切平平面面上上，vurr,，0, 0 nrnrvu求求微微分分得得：上上式式兩兩邊邊關關于于vu, 0 uuuunrnr, 0 uvvunrnr, 0 vuuvnrnr, 0 vvvvnrnr與與定定義義比比較較可可知知：,uuuunrnrL vuuvn

5、rnrM ,uvnr .vvvvnrnrN rdndII )4(事事實實上上，0 rdn，02 rdnrdnd.2rdndrdnII 故故).,(:)()5(yxfzS 若若曲曲面面，則則),(,yxzyxr ，于于是是, 0 , 1prx ，, 1 , 0qry ，其中其中yfqxfp ，, 0 , 0rrxx ，, 0 , 0srxy ，, 0 , 0tryy .22222yftyxfsxfr ，.)1(2)1(2222dyqpqdxdydxpI yxyxrrrrn .11 ,22qpqp nrLxx ,122qpr nrMxy ,122qps nrNyy ,122qpt 22222222

6、1121dyqptdxdyqpsdxqprII 例例1 1.sin,sincos,coscos的的第第二二基基本本形形式式求求球球面面 RRRr 解：解：cos,sinsin,cossin RRRr 0 ,coscos,sincos RRr ,cos222 RrE , 0 rrF,22RrG 2FEGrrn cossinsincossin0coscossincoscos13212RRRRReeeR sin,sincos,coscos 0 ,sincos,coscos RRr 又又0 ,cossin,sinsin RRr sin,sincos,coscos RRRr nrL nrM nrN ,c

7、os2 R , 0 ,R ：球球面面的的第第二二基基本本形形式式為為).cos(222 RddRII 例例2 2.)(22的的第第一一和和第第二二基基本本形形式式計計算算拋拋物物面面yxaz 解：解：，ayyzqaxxzp22 .20222222ayztyxzsaxzr ，.)41(8)41(2222222dyyaxydxdyadxxa 222222221121dyqptdxdyqpsdxqprII 222222222244124412dyyaxaadxyaxaa 2222)1(2)1(dyqpqdxdydxpI 3.2 曲面上曲線的曲率曲面上曲線的曲率.P.P1.1.曲面上曲線的曲率曲面上曲

8、線的曲率),(: )(vurrS P.)(C)(),(svsurr )(),(svvsuu n由由伏伏雷雷內(nèi)內(nèi)公公式式，, kr .)(點點的的曲曲率率在在為為曲曲線線其其中中PCkr nknr 則則,cos k 22dsrdnrn 又又22dsrdn .III 222222cosGdvFdudvEduNdvMdudvLduIIIk 2.2.法截線、法曲率法截線、法曲率.PSdvdud:)( n法法截截面面)(0C法法截截線線,)(00kPC的的曲曲率率為為在在點點設設法法截截線線,0 主主法法向向量量為為,0n 則則,0),(00 或或 n0 ndvdud:)( .PS)(0C法法截截線線0

9、 法法截截面面,0IIIk ,0IIIk 即即,的的正正側(cè)側(cè)彎彎曲曲時時取取正正號號法法截截線線向向 n.的的負負側(cè)側(cè)彎彎曲曲時時取取負負號號法法截截線線向向 n定義定義)(法法曲曲率率為為：的的法法曲曲率率曲曲面面在在給給定定點點沿沿一一方方向向nk 的的負負側(cè)側(cè)彎彎曲曲法法截截線線向向的的正正側(cè)側(cè)彎彎曲曲法法截截線線向向nknkkn00,0IIIk ,的的正正側(cè)側(cè)彎彎曲曲時時取取正正號號法法截截線線向向 n.反反之之取取負負號號,IIIkn ,)()(0PCC相相切切于于點點和和法法截截線線設設曲曲面面上上的的曲曲線線.)(點點的的曲曲率率在在為為曲曲線線其其中中PCk,cosIIIk c

10、oskkn 所所以以，若若令令nnkRkR1,1 則則 cosnRR 的的曲曲率率半半徑徑，是是曲曲線線其其中中)(CR的的曲曲率率半半徑徑，是是法法截截線線)(0CRn.稱稱為為法法曲曲率率半半徑徑梅梅尼尼埃埃定定理理定理定理)(梅梅尼尼埃埃定定理理.)()()()(00的的密密切切平平面面上上的的投投影影曲曲線線在在的的曲曲率率中中心心上上同同一一點點具具有有共共同同切切線線的的法法截截線線就就是是與與曲曲線線曲曲率率中中心心的的在在給給定定點點曲曲面面曲曲線線CCPCCCPCn)(d.PS)(0C法法截截線線法法截截面面)(C密密切切平平面面C0C coskkn 即即 cosnRR 梅梅

11、尼尼埃埃定定理理R例例3 3.:)0 , 0(222的的法法曲曲率率沿沿方方向向在在點點求求曲曲面面dydxyxz 解：解：，yyzqxxzp42 . 40222222 yztyxzsxzr，.)161(16)41(2222dyyxydxdydxx 222222221121dyqptdxdyqpsdxqprII 22222284148412dyyxdxyx 2222)1(2)1(dyqpqdxdydxpI .422222)0,0()0,0(dydxdydxIIIkn 例例4 4.理理在在球球面面上上驗驗證證梅梅尼尼埃埃定定證：證：P.n)(0C)(C C3.3 杜邦杜邦(Dupin)指標線指標

12、線)(d.P222222GdvFdudvEduNdvMdudvLduIIIkn .:的的變變化化而而變變化化隨隨著著方方向向dvdu，上上取取一一點點點點沿沿切切方方向向在在NdvdudP:)( ),0(1 nnkkPN使使N改改變變，隨隨切切方方向向)(d點點的的軌軌跡跡N .)(點點的的杜杜邦邦指指標標線線在在稱稱為為曲曲面面PS定義定義)(S方程方程urvr下下，在在標標架架,;vurrP),(yx,vuryrxPN IIIkryrxnvu 1)(2IIIyrxyrrxrvvuu 22222222222222NdvMdudvLduGdvFdudvEduGyFxyEx 即即,/)/(dvr

13、durdPNvu ,:yxdvdu 上上式式化化為為：222222222NyMxyLxGyFxyExGyFxyEx 1222 NyMxyLx1222 NyMxyLx注注.)1(的選取無關的選取無關杜邦指標線的方程與杜邦指標線的方程與n.)2(為中心的有心二次曲線為中心的有心二次曲線表示以表示以杜邦指標線的方程一般杜邦指標線的方程一般P.)3(上的一條曲線上的一條曲線杜邦指標線是在切平面杜邦指標線是在切平面形狀形狀1222 NyMxyLx，若若0)1( NML.杜杜邦邦指指標標線線不不存存在在不不全全為為零零，若若NML,)2(時時，當當022 MLNNMMLI.杜杜邦邦指指標標線線為為橢橢圓圓

14、時時，當當022 MLNNMMLI，03 I.的的雙雙曲曲線線杜杜邦邦指指標標線線為為一一對對共共軛軛時時，當當022 MLNNMMLI,00 NMML.直直線線杜杜邦邦指指標標線線為為兩兩條條平平行行曲面上點的分類曲面上點的分類，）如如果果（012 MLN.為為曲曲面面的的橢橢圓圓點點則則稱稱點點P.橢橢圓圓此此時時，杜杜邦邦指指標標線線為為一一，）如如果果（022 MLN.為為曲曲面面的的雙雙曲曲點點則則稱稱點點P.對對共共軛軛雙雙曲曲線線此此時時，杜杜邦邦指指標標線線為為一一不不全全為為零零，但但）如如果果（MNLMLN,032 .為為曲曲面面的的拋拋物物點點則則稱稱點點P.對對平平行行

15、直直線線此此時時，杜杜邦邦指指標標線線為為一一，）如如果果（04 MNL.為為曲曲面面的的平平點點則則稱稱點點P.在在此此時時，杜杜邦邦指指標標線線不不存存3.4 曲面的漸近方向和共軛方向曲面的漸近方向和共軛方向復習復習0222),(33231322212211 ayaxayaxyaxayxF二次曲線二次曲線1. 漸近方向漸近方向定義：定義：YXYaXYaXaYX:02),(22212211的的方方向向滿滿足足 曲線的分類：曲線的分類： 橢圓型橢圓型沒沒有有實實漸漸近近方方向向拋拋物物型型只只有有一一個個實實漸漸近近方方向向雙曲型雙曲型有有兩兩個個實實漸漸近近方方向向; 02 I; 02 I.

16、 02 I叫做二次曲線的漸近方向叫做二次曲線的漸近方向.2. 中心中心定義：定義： 如果點如果點C是二次曲線的通過它的所有弦的中點是二次曲線的通過它的所有弦的中點那么點那么點C叫做二次曲線的叫做二次曲線的中心中心. .求法：求法： 0),(0),(23221221312111ayaxayxFayaxayxF中心方程組中心方程組曲線的分類：曲線的分類： 中心曲線中心曲線)1(非非中中心心曲曲線線)2(，0221212112 aaaaI，0221212112 aaaaI無心曲線無心曲線)(i.323122121211aaaaaa 線線心心曲曲線線)(ii.323122121211aaaaaa 3.

17、 直徑直徑定義：定義： 也叫做共軛于平行弦方向的直徑也叫做共軛于平行弦方向的直徑.二次曲線的平行弦中點軌跡叫做二次曲線的二次曲線的平行弦中點軌跡叫做二次曲線的直徑直徑，4. 共軛方向共軛方向定義：定義：求法：求法：.:,:的的共共軛軛方方向向叫叫做做非非漸漸近近方方向向方方向向的的直直徑徑的的方方向向二二次次曲曲線線共共軛軛于于非非漸漸近近YXYXYX 0)(221211 YYaYXYXaXXa5. 主直徑與主方向主直徑與主方向定義：定義： 主直徑的方向與垂直于主直徑的方向主直徑的方向與垂直于主直徑的方向都叫做二次曲線的都叫做二次曲線的主方向主方向二次曲線的垂直于其共軛弦的直徑二次曲線的垂直于

18、其共軛弦的直徑叫做二次曲線的叫做二次曲線的主直徑主直徑，1.1.曲面的漸近方向曲面的漸近方向向向的的杜杜邦邦指指標標線線的的漸漸近近方方在在點點曲曲面面PS)(定義定義.)(的的漸漸近近方方向向在在點點叫叫做做曲曲面面PS1222 NyMxyLx杜杜邦邦指指標標線線的的方方程程為為：是是漸漸近近方方向向的的方方向向在在點點曲曲面面dvduPS:)(. 0222 NdvMdudvLdu漸近方向方程漸近方向方程注注漸近方向的個數(shù)漸近方向的個數(shù))1(，若若02 MLN即即橢橢圓圓點點，.有有兩兩個個虛虛漸漸近近方方向向即即雙雙曲曲點點，若若0 MNL，若若02 MLN.有有兩兩個個實實漸漸近近方方向

19、向，若若02 MLN即即拋拋物物點點，.有有一一個個實實漸漸近近方方向向即即平平點點，.任任何何方方向向都都是是漸漸近近方方向向，222222GdvFdudvEduNdvMdudvLduIIIkn )2(. 0: nkdvdu是是漸漸近近方方向向曲曲面面上上的的曲曲線線，定義定義方方向向都都是是如如果果它它上上面面每每一一點點的的切切漸漸近近方方向向，.則則稱稱為為漸漸近近曲曲線線. 0222 NdvMdudvLdu漸漸近近曲曲線線的的方方程程為為：命題命題1 1.,曲曲線線則則它它一一定定是是曲曲面面的的漸漸近近如如果果曲曲面面上上有有直直線線證證: :, 0 k直直線線, 0cos kkn

20、沿沿直直線線方方向向的的法法曲曲率率，即即0222 NdvMdudvLdu.直直線線是是曲曲面面的的漸漸近近曲曲線線.是是直直紋紋面面的的漸漸近近曲曲線線直直紋紋面面上上的的直直母母線線一一定定注注命題命題2 2.)()()()(在在該該點點的的切切平平面面在在每每一一點點的的密密切切平平面面為為是是漸漸近近曲曲線線上上異異于于直直線線的的曲曲線線曲曲面面SCCS證證: :”“的的漸漸近近曲曲線線，是是曲曲面面若若曲曲線線)()(SC, 0)( nkC 有有則則沿沿曲曲線線得得由由0cos kkn, 0cos0 或或k曲曲線線不不是是直直線線，, 0 k, 0cos 故故,2),( n,n 即

21、即,n 又又,/ n.)()(在在該該點點的的切切平平面面在在每每一一點點的的密密切切平平面面為為SC”“.)()(在在該該點點的的切切平平面面在在每每一一點點的的密密切切平平面面為為若若SC,n 則則,2),( n，從從而而0cos kkn.)()(的的漸漸近近曲曲線線是是曲曲面面曲曲線線SC定理定理.)()()()(的的切切平平面面重重合合平平面面與與或或者者它它在在每每一一點點的的密密切切是是直直線線或或者者是是漸漸近近曲曲線線上上的的曲曲線線曲曲面面SCCS注注.平平面面的的漸漸近近曲曲線線平平面面上上每每一一條條曲曲線線都都是是定義定義的的漸漸近近曲曲線線網(wǎng)網(wǎng)稱稱為為曲曲面面曲曲線線

22、網(wǎng)網(wǎng)上上兩兩族族漸漸近近曲曲線線構構成成的的曲曲面面)()(SS注注只只含含橢橢圓圓點點的的曲曲面面上上， 無無漸漸近近曲曲線線， 也也無無漸漸近近曲曲線線網(wǎng)網(wǎng)；只只含含雙雙曲曲點點的的曲曲面面上上，由由于于02 MLN曲曲線線，經(jīng)經(jīng)過過每每一一點點有有兩兩條條漸漸近近有有兩兩組組解解：即即漸漸近近曲曲線線方方程程0222 NdvMdudvLdu，011 dvBduA，022 dvBduA它它們們構構成成漸漸近近曲曲線線網(wǎng)網(wǎng)；. )(簡簡稱稱漸漸近近網(wǎng)網(wǎng)只只含含拋拋物物點點的的曲曲面面上上，由由于于02 MLN, 0)(02222 BdvAduNdvMdudvLdu可可化化為為有有一一組組漸漸

23、近近曲曲線線，只只含含拋拋物物點點的的曲曲面面上上只只也也無無漸漸近近曲曲線線網(wǎng)網(wǎng)；只只含含平平點點的的曲曲面面上上，由由于于0 MNL.是是漸漸近近曲曲線線網(wǎng)網(wǎng)曲曲面面上上的的任任何何曲曲線線網(wǎng)網(wǎng)都都命題命題3 3. 0 NL曲曲紋紋坐坐標標網(wǎng)網(wǎng)是是漸漸近近網(wǎng)網(wǎng)證證: :”“. 0222 NdvMdudvLdu漸漸近近網(wǎng)網(wǎng)的的方方程程為為：. 0 dudv曲曲紋紋坐坐標標網(wǎng)網(wǎng)的的方方程程為為：. 00 dvdu或或即即，若若曲曲紋紋坐坐標標網(wǎng)網(wǎng)是是漸漸近近網(wǎng)網(wǎng). 00 dvdu或或則則. 0 NL代代入入漸漸近近網(wǎng)網(wǎng)的的方方程程得得：”“，若若0 NL. 02 Mdudv則則漸漸近近網(wǎng)網(wǎng)方方

24、程程變變?yōu)闉椋海? M. 0 dudv.即即漸漸近近網(wǎng)網(wǎng)是是曲曲紋紋坐坐標標網(wǎng)網(wǎng)2.2.共軛方向共軛方向定義定義方方向向，點點的的杜杜邦邦指指標標線線的的共共軛軛在在是是和和點點的的兩兩個個方方向向在在若若曲曲面面PSdPS)()()()( .)()()(點點的的共共軛軛方方向向在在就就稱稱為為曲曲面面和和則則PSd . 1222 NyMxyLx杜杜邦邦指指標標線線的的方方程程為為于于是是有有定理定理共共軛軛和和兩兩個個方方向向vudvdud :)(:)( . 0)( vNdvudvvduMuLdu . 00 rdnrnd 或或即即事事實實上上，)()(vrurdvndunrndvuvu vN

25、dvudvvduMuLdu )(. rdn 共共軛軛和和兩兩個個方方向向vudvdud :)(:)( . 00 rdnrnd 或或定義定義曲曲線線網(wǎng)網(wǎng)，曲曲面面上上兩兩族族曲曲線線構構成成的的方方向向都都共共軛軛，如如果果不不同同族族的的曲曲線線的的切切.曲曲線線網(wǎng)網(wǎng)則則稱稱這這個個曲曲線線網(wǎng)網(wǎng)為為共共軛軛命題命題曲曲線線族族)0(0),(),(22 BAdvvuBduvuA是是共共軛軛曲曲線線族族的的微微分分方方程程證：證：線線族族的的切切方方向向，是是已已知知曲曲線線族族的的共共軛軛曲曲設設vu :由由共共軛軛條條件件得得：. 0)()( vANBMuAMBL 0 BdvAdu且且 0)(

26、)(0dvvNuMduvMuLBdvAdu 于于是是方方程程組組.,的的二二元元齊齊次次線線性性方方程程組組是是關關于于dvdu. 0)( vNdvudvvduMuLdu 不不全全為為零零，dvdu,0 vNuMvMuLBA 展展開開整整理理得得：. 0)()( vANBMuAMBL 特特別別地地，：的的共共軛軛曲曲線線族族的的方方程程為為曲曲線線族族0 dvu. 0 vMuL 曲曲線線族族曲曲線線族族的的共共軛軛曲曲線線族族為為 vu. 0 M命題命題4 4. 0 M軛軛網(wǎng)網(wǎng)曲曲面面的的曲曲紋紋坐坐標標網(wǎng)網(wǎng)是是共共3.5 曲面的主方向和曲率線曲面的主方向和曲率線1.1.主方向主方向定義定義的

27、的兩兩個個方方向向，曲曲面面在在一一點點 P，如如果果它它們們既既正正交交又又共共軛軛.的的主主方方向向則則稱稱為為曲曲面面在在點點 P問題：問題：是否存在？是否存在？曲面在一點處的主方向曲面在一點處的主方向有有多多少少個個？若若存存在在,是主方向，是主方向，設方向設方向dvdud:)( 是是另另一一個個主主方方向向，vu :)( 它它們們既既正正交交又又共共軛軛， 00nrdrrd .0)(0)( vNdvudvvduMuLduvGdvudvvduFuEdu 即即將將以以上上兩兩式式改改寫寫為為： 0)()(0)()(vNdvMduuMdvLduvGdvFduuFdvEdu 不不全全為為零零

28、，vu ,0 NdvMduMdvLduGdvFduFdvEdu上上式式還還能能寫寫成成：022 NMLGFEdududvdv反反之之， 將將上上述述過過程程逆逆推推可可知知，.)()(為主方向為主方向和和 d(*).(*)為為主主方方向向方方程程方方程程展展開開得得：將將022 NMLGFEdududvdv0)()()(22 dvGMFNdudvGLENduFLEM的二次方程，的二次方程，這是關于這是關于dvdu:)(4)(2GMFNFLEMGLEN . 0)()( 4)(2)(2222 FLEMEFEGFLEMEFGLEN.(*)總總有有解解方方程程0,0 FLEMGLEN又又.0NGMFL

29、E 即即.,每每一一個個方方向向都都是是主主方方向向此此時時.(*),總總有有兩兩個個不不相相等等的的實實根根方方程程除除此此之之外外.兩兩個個主主方方向向曲曲面面在在每每一一個個點點處處總總有有定義定義.的的點點稱稱為為曲曲面面的的臍臍點點曲曲面面上上滿滿足足NGMFLE .0的的臍臍點點稱稱為為平平點點滿滿足足 NML.0,的的臍臍點點稱稱為為圓圓點點不不全全為為滿滿足足NML，不不全全為為圓圓點點平平點點臍臍點點 0,0NMLNML注注在在臍臍點點處處，(1)，常常數(shù)數(shù))(222222 GdvFdudvEduNdvMdudvLduIIIkn.率率都都相相等等在在臍臍點點沿沿任任何何方方向

30、向法法曲曲在在臍臍點點處處，(2)，0 .任任何何方方向向都都是是主主方方向向在在非非臍臍點點處處，0 .只只有有兩兩個個主主方方向向.有有兩兩個個主主方方向向曲曲面面在在每每一一個個點點處處至至少少例例5 5.是是平平點點證證明明平平面面上上每每一一個個點點都都證：證：0 ,yxr 平平面面方方程程為為：,0 , 0 , 1 xr0 , 1 , 0 yr,0 , 0 , 0 xxr,0 , 0 , 0 yxxyrr,0 , 0 , 0 yyr, 0 NML.點點平平面面上上每每一一個個點點都都是是平平例例6 6.是是圓圓點點證證明明球球面面上上每每一一個個點點都都證：證：sin,sincos

31、,coscos: RRRr 球球面面方方程程為為cos,sinsin,cossin RRRr 0 ,coscos,sincos RRr ,22RrE , 0 rrF,cos222 RrG 2FEGrrn sin,sincos,coscos 又又0 ,cossin,sinsin RRr sin,sincos,coscos RRRr nrL nrM nrN ,R , 0 ,cos2 R 0 ,sincos,coscos RRr ,RNGMFLE . 0,不不全全為為且且NML.點點球球面面上上每每一一個個點點都都是是圓圓.1RIIIkn 沿沿任任何何方方向向法法曲曲率率,22RrE , 0 rrF

32、,cos222 RrG 主方向的判別定理主方向的判別定理)(羅羅德德里里格格定定理理rdnddvdud 是是主主方方向向曲曲面面在在一一點點處處的的方方向向:)(.)(,的的法法曲曲率率）是是曲曲面面沿沿方方向向（其其中中dkknn 證：證：”“,)(是是主主方方向向設設 d的的另另一一個個主主方方向向，是是垂垂直直于于)()(d ,則則它它們們既既垂垂直直又又共共軛軛， 00nrdrrd 是是單單位位向向量量，n,nnd ,nrrd 又又,都都在在切切平平面面上上與與rrdnd , rrdnd 得得：兩兩邊邊點點乘乘 r ,)()(2rrrdrnd , 0)(2 r , 0 r 而而, 0

33、. rdnd ”“,)(rdndd 滿滿足足若若方方向向，垂垂直直的的方方向向取取與與)()( d，則則0 rrd 得得：兩兩邊邊點點乘乘 rrdnd , 0)( rrdrnd ,)()(既既垂垂直直又又共共軛軛與與 d.)(是是主主方方向向故故 d.nk 下下面面計計算算,得得由由rdnd ,2rdrdnd 2rdrdnd III .nk 注注出出，由由羅羅德德里里格格定定理理可可以以看看)1(是是主主方方向向，欲欲證證)(d./ ndrd只只需需證證.2叫叫羅羅德德里里格格方方程程）（rdnd 2.2.曲率線與曲率線網(wǎng)曲率線與曲率線網(wǎng)定義定義曲曲面面上上一一曲曲線線，向向都都是是主主方方向

34、向，如如果果它它在在每每一一點點的的切切方方曲曲率率線線，則則稱稱該該曲曲線線為為曲曲面面上上的的.線線網(wǎng)網(wǎng)稱稱為為曲曲率率線線網(wǎng)網(wǎng)由由兩兩族族曲曲率率線線構構成成的的曲曲方程方程022 NMLGFEdududvdv命題命題.標標網(wǎng)網(wǎng)可可使使曲曲率率線線網(wǎng)網(wǎng)為為曲曲紋紋坐坐，經(jīng)經(jīng)過過參參數(shù)數(shù)的的選選擇擇，在在不不含含臍臍點點的的曲曲面面片片上上證：證：曲曲率率線線網(wǎng)網(wǎng)的的微微分分方方程程為為022 NMLGFEdududvdv0)()()(22 dvGMFNdudvGLENduFLEM即即曲曲面面上上不不含含臍臍點點，對對任任意意一一點點都都有有0 得得兩兩族族曲曲率率線線：故故上上式式可可通

35、通過過因因式式分分解解)2 , 1(0 idvBduAii是是它它們們的的積積分分因因子子，則則設設)2 , 1( ii 的的全全微微分分，為為vudvBduAdvBduA,22221111 ,22221111 dvBduAvddvBduAud 即即,),(),( vuvvvuuu這這相相當當于于作作參參數(shù)數(shù)變變換換且且其其雅雅可可比比行行列列式式. 0),(),(22112122221111 BABABABAvuvu . 0, 0, vdudvu為為新新參參數(shù)數(shù)，且且.的的曲曲紋紋坐坐標標網(wǎng)網(wǎng)于于是是曲曲率率線線網(wǎng)網(wǎng)就就成成為為新新注注.標標網(wǎng)網(wǎng)線線網(wǎng)網(wǎng)都都可可以以選選為為曲曲紋紋坐坐曲曲面

36、面上上任任何何一一個個正正規(guī)規(guī)曲曲類類似似可可以以證證明明：命題命題5 5. 0 MF曲曲紋紋坐坐標標網(wǎng)網(wǎng)是是曲曲率率線線網(wǎng)網(wǎng)例例7 7.求求旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面的的曲曲率率線線)(,sin)(,cos)(tttr 旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面的的方方程程為為解：解：0 ,cos,sin r,sin,cos tr,sin,cos ttr,0 ,cos,sin tr0 ,sin,cos r,sin,cos rrt0 MF.網(wǎng)網(wǎng)曲曲率率線線網(wǎng)網(wǎng)就就是是曲曲紋紋坐坐標標.和和緯緯圓圓組組成成的的曲曲線線網(wǎng)網(wǎng)即即曲曲率率線線網(wǎng)網(wǎng)就就是是子子午午線線3.6 曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲

37、率1.1.主曲率主曲率定義定義.的的主主曲曲率率曲曲面面在在此此點點沿沿主主方方向向的的法法曲曲率率稱稱為為曲曲面面在在一一點點 P),(: )(vurrS P網(wǎng)網(wǎng)，取取曲曲率率線線網(wǎng)網(wǎng)為為曲曲紋紋坐坐標標. 0 MF則則dvdud:)( 22GdvEduI 22NdvLduII ,2222GdvEduNdvLduIIIkn urvr,1ELku 曲曲線線的的主主曲曲率率沿沿,2GNkv 曲曲線線的的主主曲曲率率沿沿),(: )(vurrS Pdvdud:)( urvr rdrrdruu cos則則22)()(dvrdurrdvrdurrvuuvuu ,22GdvEduEEdu ,cos222

38、2GdvEduEdu ,cos1sin22222GdvEduGdv 2222GdvEduNdvLdukn 222222GdvEduGdvGNGdvEduEduEL .sincos2221 kk .sincos2221 kkkn 歐歐拉拉公公式式),(: )(vurrS Pdvdud:)( urvr .sincos2221 kkkn 歐歐拉拉公公式式注注.)()1(歐歐拉拉公公式式仍仍然然成成立立，的的夾夾角角與與換換成成若若將將角角 vrd事事實實上上，)2(sin)2(cos2221 kkkn 2221cossinkk .sincos2122 kk 2 .)2(然然成成立立在在臍臍點點處處，

39、歐歐拉拉公公式式仍仍，此此時時21kk .21kkkn 沿沿任任何何方方向向的的法法曲曲率率命題命題6 6.小小值值的的法法曲曲率率的的最最大大值值和和最最曲曲面面在在這這點點所所有有方方向向曲曲面面在在一一點點的的主主曲曲率率是是證：證：點點的的兩兩個個主主曲曲率率，在在是是曲曲面面，設設PSkk)(21.是是臍臍點點，顯顯然然成成立立若若點點P是是非非臍臍點點，若若點點P，則則21kk ，不不妨妨設設21kk ,是是沿沿任任意意方方向向的的法法曲曲率率nk.sincos2221 kkkn 則則 222122sincoskkkkkn 2122cos)sin1(kk 2122coscoskk

40、212cos)(kk . 0 .2nkk .,22等等號號成成立立所所在在方方向向共共線線時時與與即即當當且且僅僅當當kkn .1kkn 同同理理可可得得.21kkkn 總總之之，主曲率的計算公式主曲率的計算公式網(wǎng)網(wǎng)，若若曲曲率率線線網(wǎng)網(wǎng)是是曲曲紋紋坐坐標標)1(,1ELk 則則;2GNk 一一般般情情況況，)2(由由羅羅德德里里格格定定理理，有有：沿沿主主方方向向)(drdkndN .)(的的主主曲曲率率是是沿沿主主方方向向其其中中dkN上上式式又又可可寫寫成成：)(dvrdurkdvndunvuNvu 得得：兩兩邊邊分分別別點點乘乘vurr,)(FdvEdukMdvLduN )(GdvFd

41、ukNdvMduN 即即：0)()( dvFkMduEkLNN0)()( dvGkNduFkMNN，不不全全為為0,dvdu0 NNNNGkNFkMFkMEkL即即：0)()2()(222 MLNkNEMFLGkFEGNN.主主曲曲率率的的計計算算公公式式 , 0 其其中中相相等等的的實實根根；在在非非臍臍點點處處，有有兩兩個個不不的的實實根根，在在臍臍點點處處，有有兩兩個個相相等等.只只有有一一個個值值即即Nk2.2.高斯曲率和平均曲率高斯曲率和平均曲率定義定義在在該該點點的的高高斯斯曲曲率率之之積積叫叫做做曲曲面面率率曲曲面面在在一一點點的的兩兩個個主主曲曲21,kk.(或或全全曲曲率率）

42、.K記記作作在在該該點點的的平平均均曲曲率率的的平平均均值值叫叫做做曲曲面面率率曲曲面面在在一一點點的的兩兩個個主主曲曲21,kk.(或或中中曲曲率率）.H記記作作由由主主曲曲率率的的計計算算公公式式0)()2()(222 MLNkNEMFLGkFEGNN:得得2221FEGMLNkkK )(222221FEGNEMFLGkkH ).,(:)(yxfzS 若若曲曲面面,1,122qGpqFpE 則則,122qprL ,122qpsM ,122qptN ,1222qpFEG ,)1(2222qpsrtK ,)1(2)1(2)1(232222qptqpqsrqH 例例8 8.)0)()(,sin)

43、(,cos)(平平均均曲曲率率的的主主曲曲率率、高高斯斯曲曲率率和和求求旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面 uuuur 解：解：，)(,sin)(,cos)(uuuru ,0 ,cos)(,sin)( uur ，)(,sin)(,cos)(uuuruu ,0 ,cos)(,sin)(uuruur ，0 ,sin)(,cos)( uur ,sin,cos rru22,sin,cos rrrrnuu,22 E，0 F,2 Gxyzo),(zyx ,)()( uzux nrLuu nrMu nrN ,22 , 0 ,22 , 0 FMELk 1GNk 2,)(2322 ,)(2122 ,)()(22221 kkK.)

44、(2)()(223222221 kkH特特別別地地， )()(uzuxxoz 面面上上最最初初的的曲曲線線為為若若取取uz )( xyzo),(zyx ,)(23221 k,)(21222 k,)()(222 K.)(2)()(232222 H，作作為為最最初初的的曲曲線線的的參參數(shù)數(shù)即即取取z)0)(,sin)(,cos)( zzzzr 于于是是旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面方方程程為為,)1(2321 k此此時時,)1(12122 k,)1(22 K.)1(212322 H例例9 9.求求出出極極小小的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面注：注：.0的的曲曲面面叫叫做做極極小小曲曲面面平平均均曲曲率率 H解：解：2322

45、)1(21 H令令. 0 ，得得：012 ， 112 ， 21221，即即ln )1ln(212 ， lnln)1ln(212 a， 21a)(為為正正常常數(shù)數(shù)其其中中a，22)(1a ，11)(2 a 可可化化為為，aaa11ln22 積積分分得得：，Cazaa 1)(ln2 )(為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中C，令令0 C，則則azeaa 1)(2 )2(azazeea 解解得得：azacosh )(懸懸鏈鏈線線程程為為：軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所得得旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面方方將將此此曲曲線線繞繞z.,sincosh,coscoshzazaazar )(懸懸鏈鏈面面xyzo3.7 曲面在一點鄰近的結構曲面在

46、一點鄰近的結構曲面上點的分類曲面上點的分類，）（012 MLN橢橢圓圓點點，）（022 MLN雙雙曲曲點點，）（032 MLN拋拋物物點點，）（04 MNL平平點點 22FEGMLNK . 0 K. 0 K. 0 K 橢橢圓圓點點1. 021 kkK. 0, 021 kk不不妨妨設設 2221sincoskkkn . 0 的的正正方方向向彎彎曲曲，方方向向的的法法截截線線總總朝朝沿沿nkn.nk且且曲曲率率即即為為;21211xkyk 于于的的主主方方向向的的法法截截線線近近似似故故沿沿;21222xkyk 于于的的主主方方向向的的法法截截線線近近似似沿沿.212xkyknn 于于的的主主方方

47、向向的的法法截截線線近近似似沿沿1k2kn.個個橢橢圓圓拋拋物物面面曲曲面面在在橢橢圓圓點點近近似似于于一一雙雙曲曲點點2. 021 kkK. 0, 021 kk不不妨妨設設,21211xkyk 于于的的主主方方向向的的法法截截線線近近似似故故沿沿.的的負負向向一一側(cè)側(cè)彎彎曲曲且且向向n;21222xkyk 于于的的主主方方向向的的法法截截線線近近似似沿沿.的的正正向向一一側(cè)側(cè)彎彎曲曲且且向向n 2221sincoskkkn 的的變變化化情情況況如如下下表表：各各方方向向法法曲曲率率nk nk02 23 21k2k001k02k01k1k2k0 0 0 nk0 nk0 nk0 nk 0 nk0

48、 nk 0 nk0 nk , 0sincos2221 kk令令21tankk 得得：1k2knP.物物面面曲曲面面近近似似于于一一個個雙雙曲曲拋拋拋拋物物點點3, 021 kkK不不全全為為零零，但但MNL,，有有一一個個不不為為有有一一個個為為此此時時0, 0,21kk, 0(21 kk若若，則則0sincos2221 kkkn，任任何何方方向向都都是是漸漸近近方方向向)與與拋拋物物點點矛矛盾盾, 0, 021 kk不不妨妨設設,21211xkyk 于于的的主主方方向向的的法法截截線線近近似似故故沿沿.的的負負向向一一側(cè)側(cè)彎彎曲曲且且向向n的的主主方方向向是是漸漸近近方方向向，沿沿02 k.法法截截線線形形狀狀比比較較復復雜雜, 02 k若若,6132xky 法法截截線線近近似似于于.是是一一條條立立方方拋拋物物線線, 021 kkkn.的的負負向向一一側(cè)側(cè)彎彎曲曲一一切切法法截截線線都都向向 n.個個拋拋物物柱柱面面曲曲面面在在拋拋物物點點近近似似于于一一Pn1k2k平平點點4, 0 MNL且且, 021 kk此此時時, 021 kkK, 0, 021 kk不不妨妨設設,61311xkyk 方方向向的的法法截截線線近近似似于于沿沿.61322xkyk