2017年高考數(shù)學(xué)壓軸題大集合

1、2017備戰(zhàn) 高考數(shù) 學(xué)壓軸題 集合1（本小題滿分14分）如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋 物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).（1）求APB的重心G的軌 跡方程.（2）證明PFA=PFB.解：（1）設(shè)切點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為，切線AP的方程為： 切線BP的方程為：解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為：所以APB 的重心G的坐標(biāo)為 ，所以，由點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，從而得到重心G的軌跡方程為： （2）方 法1：因?yàn)橛捎赑點(diǎn)在 拋物線外，則同理 有AFP=PFB.方法2：當(dāng)所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，則P點(diǎn)到直線AF的距離為：即所以P點(diǎn)到 直線BF的距離為：所以d1=d2，即得AFP=P

2、FB.當(dāng)時(shí)，直線 AF的方程：直線BF的方程：所以P點(diǎn)到直線AF的距離為：，同理可得到P點(diǎn)到直線BF的距離，因此由d1=d2，可得到AFP=PFB.2（本小題滿分12分）設(shè)A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn). （）確定的取值范圍，并求直線AB的方程；（）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上？并說(shuō)明理由. （此題不要求在答題卡上畫(huà)圖）本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)以及推理運(yùn)算能力和綜合解決問(wèn)題的能力. （）解法1：依題意，可設(shè)直線AB的方程為，整理得 設(shè)是方程的兩個(gè)不同的根， 且由N（1，3）

3、是線段AB的中點(diǎn)，得 解得k=1，代入得，的取值范圍是（12，+）. 于是，直線AB的方程為 解法2：設(shè)則有 依題意，N（1，3）是AB的中點(diǎn)， 又由N（1，3）在橢圓內(nèi)，的取值范圍是（12，+）.直線AB的方程為y3=（x1），即x+y4=0. （）解法1：CD垂直平分AB，直線CD的方程為y3=x1，即xy+2=0，代入橢圓方程，整理得 又設(shè)CD的中點(diǎn)為是方程的兩根，于是由弦長(zhǎng)公式可得 將直線AB的方程x+y4=0，代入橢圓方程得 同理可得 當(dāng)時(shí)，假設(shè)存在12，使得A、B、C、D四點(diǎn)共圓，則CD必為圓的直徑，點(diǎn)M為圓心.點(diǎn)M到直線AB的距離為 于是，由、式和勾股定理可得故當(dāng)12時(shí)，A、B、

4、C、D四點(diǎn)勻在以M為圓心，為半徑的圓上. （注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得：）A、B、C、D共圓ACD為直角三角形，A為直角|AN|2=|CN|DN|，即 由式知，式左邊由和知，式右邊式成立，即A、B、C、D四點(diǎn)共圓.解法2：由（）解法1及12,CD垂直平分AB， 直線CD方程為，代入橢圓方程，整理得 將直線AB的方程x+y4=0，代入橢圓方程，整理得 解和式可得 不妨設(shè)計(jì)算可得，A在以CD為直徑的圓上.又B為A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，A、B、C、D四點(diǎn)共圓.（注：也可用勾股定理證明ACAD）3（本小題滿分14分）已知不等式為大于2的整數(shù)，表示不超過(guò)的最大整數(shù). 設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)為正，且滿足 （

5、）證明（）猜測(cè)數(shù)列是否有極限？如果有，寫(xiě)出極限的值（不必證明）；（）試確定一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意b0，都有本小題主要考查數(shù)列、極限及不等式的綜合應(yīng)用以及歸納遞推的思想. （）證法1：當(dāng)即 于是有 所有不等式兩邊相加可得 由已知不等式知，當(dāng)n3時(shí)有，證法2：設(shè)，首先利用數(shù)學(xué)歸納法證不等式 （i）當(dāng)n=3時(shí)， 由 知不等式成立.（ii）假設(shè)當(dāng)n=k（k3）時(shí)，不等式成立，即則即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.由（i）、（ii）知，又由已知不等式得 （）有極限，且 （）則有故取N=1024，可使當(dāng)nN時(shí)，都有4如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為4，左準(zhǔn)線

6、l與x軸的交點(diǎn)為M，|MA1|A1F1|21 ()求橢圓的方程； ()若點(diǎn)P為l上的動(dòng)點(diǎn)，求F1PF2最大值本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓方程、兩條直線的夾角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.滿分14分.解：()設(shè)橢圓方程為，半焦距為，則()5已知函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且 ()求函數(shù)的解析式； ()解不等式； ()若在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍本題主要考查函數(shù)圖象的對(duì)稱、二次函數(shù)的基本性質(zhì)與不等式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力.滿分14分.解：()設(shè)函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則點(diǎn)在函數(shù)的圖象上()由當(dāng)時(shí)，此時(shí)不等式無(wú)解.當(dāng)時(shí)

7、，解得.因此，原不等式的解集為.（）6(本題滿分16分)本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分4分, 第2小題滿分6分, 第3小題滿分6分. 對(duì)定義域分別是Df、Dg的函數(shù)y=f(x) 、y=g(x), f(x)g(x) 當(dāng)xDf且xDg 規(guī)定: 函數(shù)h(x)= f(x) 當(dāng)xDf且xDg g(x) 當(dāng)xDf且xDg若函數(shù)f(x)=,g(x)=x2,xR,寫(xiě)出函數(shù)h(x)的解析式;求問(wèn)題(1)中函數(shù)h(x)的值域;(3)若g(x)=f(x+), 其中是常數(shù),且0,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f(x),及一個(gè)的值,使得h(x)=cos4x,并予以證明. 解 (1)h(x)= x(-,1)(1,+) 1

8、 x=1 (2) 當(dāng)x1時(shí), h(x)= =x-1+2, 若x1時(shí), 則h(x)4,其中等號(hào)當(dāng)x=2時(shí)成立若x1時(shí), 則h(x) 0,其中等號(hào)當(dāng)x=0時(shí)成立函數(shù)h(x)的值域是(-,0 14,+)(3)令 f(x)=sin2x+cos2x,=則g(x)=f(x+)= sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x-sin2x,于是h(x)= f(x)f(x+)= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x.另解令f(x)=1+sin2x, =,g(x)=f(x+)= 1+sin2(x+)=1-sin2x,于是h(x)= f(x)f(x+)= (1+sin2x)( 1-s

9、in2x)=cos4x.7(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分4分, 第2小題滿分8分, 第3小題滿分6分. 在直角坐標(biāo)平面中,已知點(diǎn)P1(1,2),P2(2,22),Pn(n,2n),其中n是正整數(shù).對(duì)平面上任一點(diǎn)A0,記A1為A0關(guān)于點(diǎn)P1的對(duì)稱點(diǎn), A2為A1關(guān)于點(diǎn)P2的對(duì)稱點(diǎn), , AN為AN-1關(guān)于點(diǎn)PN的對(duì)稱點(diǎn). (1)求向量的坐標(biāo); (2)當(dāng)點(diǎn)A0在曲線C上移動(dòng)時(shí), 點(diǎn)A2的軌跡是函數(shù)y=f(x)的圖象,其中f(x)是以3為周期的周期函數(shù),且當(dāng)x(0,3時(shí),f(x)=lgx.求以曲線C為圖象的函數(shù)在(1,4上的解析式; (3)對(duì)任意偶數(shù)n,用n表示向量的坐標(biāo).解(1)

10、設(shè)點(diǎn)A0(x,y), A0為P1關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)A0的坐標(biāo)為(2-x,4-y), A1為P2關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)A2的坐標(biāo)為(2+x,4+y), =2,4. (2) =2,4,f(x)的圖象由曲線C向右平移2個(gè)單位,再向上平移4個(gè)單位得到.因此, 曲線C是函數(shù)y=g(x)的圖象,其中g(shù)(x)是以3為周期的周期函數(shù),且當(dāng)x(-2,1時(shí),g(x)=lg(x+2)-4.于是,當(dāng)x(1,4時(shí),g(x)=lg(x-1)-4.另解設(shè)點(diǎn)A0(x,y), A2(x2,y2),于是x2-x=2,y2-y=4,若3 x26,則0 x2-33,于是f(x2)=f(x2-3)=lg(x2-3).當(dāng)1 x4時(shí), 則312，使得

11、A、B、C、D四點(diǎn)共圓，則CD必為圓的直徑，點(diǎn)M為圓心.點(diǎn)M到直線AB的距離為 于是，由、式和勾股定理可得故當(dāng)12時(shí)，A、B、C、D四點(diǎn)勻在以M為圓心，為半徑的圓上. （注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得：）A、B、C、D共圓ACD為直角三角形，A為直角|AN|2=|CN|DN|，即 由式知，式左邊由和知，式右邊式成立，即A、B、C、D四點(diǎn)共圓.解法2：由（）解法1及12,CD垂直平分AB， 直線CD方程為，代入橢圓方程，整理得 將直線AB的方程x+y4=0，代入橢圓方程，整理得 解和式可得 不妨設(shè)計(jì)算可得，A在以CD為直徑的圓上.又B為A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，A、B、C、D四點(diǎn)共圓.（注：也

12、可用勾股定理證明ACAD）3（本小題滿分14分）已知不等式為大于2的整數(shù)，表示不超過(guò)的最大整數(shù). 設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)為正，且滿足 （）證明（）猜測(cè)數(shù)列是否有極限？如果有，寫(xiě)出極限的值（不必證明）；（）試確定一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意b0，都有本小題主要考查數(shù)列、極限及不等式的綜合應(yīng)用以及歸納遞推的思想. （）證法1：當(dāng)即 于是有 所有不等式兩邊相加可得 由已知不等式知，當(dāng)n3時(shí)有，證法2：設(shè)，首先利用數(shù)學(xué)歸納法證不等式 （i）當(dāng)n=3時(shí)， 由 知不等式成立.（ii）假設(shè)當(dāng)n=k（k3）時(shí)，不等式成立，即則即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.由（i）、（ii）知，又由已知不等式得 （）有極限，且 （）

13、則有故取N=1024，可使當(dāng)nN時(shí)，都有4如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為4，左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M，|MA1|A1F1|21 ()求橢圓的方程； ()若點(diǎn)P為l上的動(dòng)點(diǎn)，求F1PF2最大值本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓方程、兩條直線的夾角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.滿分14分.解：()設(shè)橢圓方程為，半焦距為，則()5已知函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且 ()求函數(shù)的解析式； ()解不等式； ()若在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍本題主要考查函數(shù)圖象的對(duì)稱、二次函數(shù)的基本性質(zhì)與不等式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解

14、決問(wèn)題的能力.滿分14分.解：()設(shè)函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則點(diǎn)在函數(shù)的圖象上()由當(dāng)時(shí)，此時(shí)不等式無(wú)解.當(dāng)時(shí)，解得.因此，原不等式的解集為.（）6(本題滿分16分)本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分4分, 第2小題滿分6分, 第3小題滿分6分. 對(duì)定義域分別是Df、Dg的函數(shù)y=f(x) 、y=g(x), f(x)g(x) 當(dāng)xDf且xDg 規(guī)定: 函數(shù)h(x)= f(x) 當(dāng)xDf且xDg g(x) 當(dāng)xDf且xDg(1) 若函數(shù)f(x)=,g(x)=x2,xR,寫(xiě)出函數(shù)h(x)的解析式;(2) 求問(wèn)題(1)中函數(shù)h(x)的值域;(3)若g(x)=f(x+), 其中是常數(shù),且0

15、,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f(x),及一個(gè)的值,使得h(x)=cos4x,并予以證明. 解 (1)h(x)= x(-,1)(1,+) 1 x=1 (2) 當(dāng)x1時(shí), h(x)= =x-1+2, 若x1時(shí), 則h(x)4,其中等號(hào)當(dāng)x=2時(shí)成立若x1時(shí), 則h(x) 0,其中等號(hào)當(dāng)x=0時(shí)成立函數(shù)h(x)的值域是(-,0 14,+)(3)令 f(x)=sin2x+cos2x,=則g(x)=f(x+)= sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x-sin2x,于是h(x)= f(x)f(x+)= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x.另解令f(x)=1+si

16、n2x, =,g(x)=f(x+)= 1+sin2(x+)=1-sin2x,于是h(x)= f(x)f(x+)= (1+sin2x)( 1-sin2x)=cos4x.7(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分4分, 第2小題滿分8分, 第3小題滿分6分. 在直角坐標(biāo)平面中,已知點(diǎn)P1(1,2),P2(2,22),Pn(n,2n),其中n是正整數(shù).對(duì)平面上任一點(diǎn)A0,記A1為A0關(guān)于點(diǎn)P1的對(duì)稱點(diǎn), A2為A1關(guān)于點(diǎn)P2的對(duì)稱點(diǎn), , AN為AN-1關(guān)于點(diǎn)PN的對(duì)稱點(diǎn). (1)求向量的坐標(biāo); (2)當(dāng)點(diǎn)A0在曲線C上移動(dòng)時(shí), 點(diǎn)A2的軌跡是函數(shù)y=f(x)的圖象,其中f(x)是以3為周期

17、的周期函數(shù),且當(dāng)x(0,3時(shí),f(x)=lgx.求以曲線C為圖象的函數(shù)在(1,4上的解析式; (3)對(duì)任意偶數(shù)n,用n表示向量的坐標(biāo).解(1)設(shè)點(diǎn)A0(x,y), A0為P1關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)A0的坐標(biāo)為(2-x,4-y), A1為P2關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)A2的坐標(biāo)為(2+x,4+y), =2,4. (2) =2,4,f(x)的圖象由曲線C向右平移2個(gè)單位,再向上平移4個(gè)單位得到.因此, 曲線C是函數(shù)y=g(x)的圖象,其中g(shù)(x)是以3為周期的周期函數(shù),且當(dāng)x(-2,1時(shí),g(x)=lg(x+2)-4.于是,當(dāng)x(1,4時(shí),g(x)=lg(x-1)-4.另解設(shè)點(diǎn)A0(x,y), A2(x2,y2),于

18、是x2-x=2,y2-y=4,若3 x26,則0 x2-33,于是f(x2)=f(x2-3)=lg(x2-3).當(dāng)1 x4時(shí), 則3 0, n為正整數(shù)，f n ( x ) = x n ( x + a)n ( x 0 )是關(guān)于x的函數(shù).(1) 判定函數(shù)f n ( x )的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.(2) 對(duì)任意n a , 證明f n + 1 ( n + 1 ) 0 , x 0, fn ( x ) a0時(shí), fn ( x ) = xn ( x + a)n是關(guān)于x的減函數(shù), 當(dāng)n a時(shí), 有：(n + 1 )n ( n + 1 + a)n n n ( n + a)n. 2分又 f n + 1 (x )

19、 = ( n + 1 ) xn ( x+ a )n ,f n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) (n + 1 )n ( n + 1 + a )n n ,f n + 1 ( n + 1 ) | u v |，所以p( x)不滿足題設(shè)條件.（2）分三種情況討論：10. 若u ,v 1，0，則|g(u) g (v)| = |(1+u) (1 + v)|=|u v |，滿足題設(shè)條件；20. 若u ,v 0，1， 則|g(u) g(v)| = |(1 u) (1 v)|= |v u|，滿足題設(shè)條件；30. 若u1，0，v0，1，則： |g (u) g(v)|=|(1 u) (1 + v)

20、| = | u v| = |v + u | | v u| = | u v|，滿足題設(shè)條件;40 若u0，1，v1，0, 同理可證滿足題設(shè)條件.綜合上述得g(x)滿足條件.3. (本小題滿分14分)已知點(diǎn)P ( t , y )在函數(shù)f ( x ) = (x 1)的圖象上，且有t2 c2at + 4c2 = 0 ( c 0 ).(1) 求證：| ac | 4;(2) 求證：在(1，+）上f ( x )單調(diào)遞增.(3) (僅理科做)求證：f ( | a | ) + f ( | c | ) 1.證：(1) tR, t 1, = (c2a)2 16c2 = c4a2 16c2 0 ， c 0, c2a2

21、 16 , | ac | 4. (2) 由 f ( x ) = 1 ,法1. 設(shè)1 x1 x2, 則f (x2) f ( x1) = 1 1 + = . 1 x1 x2, x1 x2 0, x2 + 1 0 ,f (x2) f ( x1) 0 , 即f (x2) 0 得x 1, x 1時(shí)，f ( x )單調(diào)遞增.（3）（僅理科做）f ( x )在x 1時(shí)單調(diào)遞增，| c | 0 , f (| c | ) f () = = f ( | a | ) + f ( | c | ) = + +=1. 即f ( | a | ) + f ( | c | ) 1.4（本小題滿分15分）設(shè)定義在R上的函數(shù)（其中

22、R，i=0,1,2,3,4），當(dāng)x= 1時(shí)，f (x)取得極大值，并且函數(shù)y=f (x+1)的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱（1） 求f (x)的表達(dá)式；（2） 試在函數(shù)f (x)的圖象上求兩點(diǎn)，使這兩點(diǎn)為切點(diǎn)的切線互相垂直，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在區(qū)間上；（3） 若，求證：解：（1）5分 （2）或10分 （3）用導(dǎo)數(shù)求最值，可證得15分5（本小題滿分13分）設(shè)M是橢圓上的一點(diǎn)，P、Q、T分別為M關(guān)于y軸、原點(diǎn)、x軸的對(duì)稱點(diǎn)，N為橢圓C上異于M的另一點(diǎn)，且MNMQ，QN與PT的交點(diǎn)為E，當(dāng)M沿橢圓C運(yùn)動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)則1分 3分 由（1）（2）可得6分 又MNMQ，所以 直線QN的方

23、程為，又直線PT的方程為10分 從而得所以 代入（1）可得此即為所求的軌跡方程.13分6（本小題滿分12分）過(guò)拋物線上不同兩點(diǎn)A、B分別作拋物線的切線相交于P點(diǎn)，（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）已知點(diǎn)F（0，1），是否存在實(shí)數(shù)使得？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解法（一）：（1）設(shè)由得：3分直線PA的方程是：即 同理，直線PB的方程是： 由得：點(diǎn)P的軌跡方程是6分（2）由（1）得： 10分所以故存在=1使得12分解法（二）：（1）直線PA、PB與拋物線相切，且直線PA、PB的斜率均存在且不為0，且設(shè)PA的直線方程是由得：即3分即直線PA的方程是：同理可得直線PB的方程是：由得：故點(diǎn)P的

24、軌跡方程是6分（2）由（1）得：10分故存在=1使得12分7（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)在上是增函數(shù).（1） 求正實(shí)數(shù)的取值范圍；（2） 設(shè)，求證：解：（1）對(duì)恒成立，對(duì)恒成立又 為所求.4分（2）取，一方面，由（1）知在上是增函數(shù)，即8分另一方面，設(shè)函數(shù)在上是增函數(shù)且在處連續(xù)，又當(dāng)時(shí)， 即綜上所述，14分8(本小題滿分12分)如圖，直角坐標(biāo)系中，一直角三角形，、在軸上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在邊上，的周長(zhǎng)為12若一雙曲線以、為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)(1) 求雙曲線的方程；(2) 若一過(guò)點(diǎn)（為非零常數(shù)）的直線與雙曲線相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)、，且，問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn)，使？若存在，求出所有這樣定點(diǎn)的坐標(biāo)

25、；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1) 設(shè)雙曲線的方程為，則由，得，即（3分）解之得，雙曲線的方程為（5分）(2) 設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使設(shè)直線的方程為，由，得即（6分），即（8分）把代入，得（9分）把代入并整理得其中且，即且 （10分）代入，得 ，化簡(jiǎn)得 當(dāng)時(shí)，上式恒成立因此，在軸上存在定點(diǎn)，使（12分）9(本小題滿分14分)已知數(shù)列各項(xiàng)均不為0，其前項(xiàng)和為，且對(duì)任意都有（為大于1的常數(shù)），記(1) 求；(2) 試比較與的大?。ǎ?3) 求證：，（）解：(1) ，得，即（3分）在中令，可得是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，（4分）(2) 由(1)可得，（5分）而，且，（）（8分）(3) 由(2)知 ，（

26、）當(dāng)時(shí)，（10分）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）另一方面，當(dāng)，時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）（13分）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）綜上所述，（）（14分）1（本小題滿分13分） 如圖，已知雙曲線C：的右準(zhǔn)線與一條漸近線交于點(diǎn)M，F(xiàn)是雙曲線C的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn). （I）求證：； （II）若且雙曲線C的離心率，求雙曲線C的方程； （III）在（II）的條件下，直線過(guò)點(diǎn)A（0，1）與雙曲線C右支交于不同的兩點(diǎn)P、Q且P在A、Q之間，滿足，試判斷的范圍，并用代數(shù)方法給出證明.解：（I）右準(zhǔn)線，漸近線 ， 3分 （II） 雙曲線C的方程為：7分 （III）由題意可得8分 證明：設(shè)，點(diǎn) 由得 與雙曲線C右支交于不同的兩點(diǎn)P、

27、Q 11分 ，得 的取值范圍是（0，1）13分2（本小題滿分13分）已知函數(shù)，數(shù)列滿足 （I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （II）設(shè)x軸、直線與函數(shù)的圖象所圍成的封閉圖形的面積為，求； （III）在集合，且中，是否存在正整數(shù)N，使得不等式對(duì)一切恒成立？若存在，則這樣的正整數(shù)N共有多少個(gè)？并求出滿足條件的最小的正整數(shù)N；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. （IV）請(qǐng)構(gòu)造一個(gè)與有關(guān)的數(shù)列，使得存在，并求出這個(gè)極限值.解：（I） 1分 將這n個(gè)式子相加，得 3分 （II）為一直角梯形（時(shí)為直角三角形）的面積，該梯形的兩底邊的長(zhǎng)分別為，高為1 6分 （III）設(shè)滿足條件的正整數(shù)N存在，則 又 均滿足條件 它們構(gòu)成首項(xiàng)為2010，公差為2的等差數(shù)列. 設(shè)共有m個(gè)滿足條件的正整數(shù)N，則，解得 中滿足條件的正整數(shù)N存在，共有495個(gè)，9分 （IV）設(shè)，即 則 顯然，其極限存在，并且10分 注：（c為非零常數(shù)），等都能使存在.19. （本小題滿分14分） 設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，離心率為2. （I）求此雙曲線的漸近線的方程； （II）若A、B分別為上的點(diǎn)