五年級奧數(shù)完整教案老師版

1、奧數(shù)第一講巧算小朋友，你是不是在日常生活和解答數(shù)學問題時，經常要進行計算？在數(shù)學課里我們學習了一些簡便計算的方法，但如果善于觀察、勤于思考，計算中還能找到更多的巧妙的計算方法哦，不僅使你能算得好、算得快，還可以讓你變得聰 明和機敏。一、計算：9.996+ 29.98+ 169.9+ 3999.5解：算式中的加法看來無法用數(shù)學課中學過的簡算方法計算， 但是，這幾個數(shù)每 個數(shù)只要增加一點，就成為某個整十、整百或整千數(shù)，把這幾個數(shù) 湊整”以后， 就容易計算了。當然要記住， 湊整”時增加了多少要減回去。9.996+ 29.98+169.9+ 3999.5=10+ 30+ 170+ 4000 ( 0.0

2、04+ 0.02+ 0.1+ 0.5)=42100.624=4209.376二、計算：1 + 0.99-0.98-0.97+ 0.96+0.95-0.94-0.93+ - +0.04+0.03-0.02 -0.01解：式子的數(shù)是從1開始，依次減少0.01,直到最后一個數(shù)是 0.01,因此，式 中共有100個數(shù)而式子中的運算都是兩個數(shù)相加接著減兩個數(shù)，再加兩個數(shù)，再減兩個 數(shù)這樣的順序排列的。由于數(shù)的排列、運算的排列都很有規(guī)律，按照規(guī)律可以考慮每4個數(shù)為一組添上括號，每組數(shù)的運算結果是否也有一定的規(guī)律？可以看到把每組數(shù)中第1個數(shù)減第3個數(shù)，第2個數(shù)減第4個數(shù)，各得0.02,合起來是0.04,那么

3、，每組數(shù)(即每個括號)運算的結果都是0.04,整個算式100個數(shù)正好分成25組，它的結果就是25個 0.04的和。1 + 0.99- 0.98 0.97+ 0.96+ 0.95- 0.94-0.93+ + 0.04+ 0.03- 0.020.01 =(1 + 0.99-0.98- 0.97) + (0.96+ 0.95-0.94- 0.93) + + (0.04+0.03- 0.02 0.01)=0.04 25=1如果能夠靈活地運用數(shù)的交換的規(guī)律，也可以按下面的方法分組添上括號計算：1 + 0.99 0.98 0.97+ 0.96+ 0.95 0.94 0.93+ + 0.04+ 0.03 0

4、.02 0.01=1+ (0.99-0.98- 0.97+0.96)+(0.95-0.94- 0.93+0.92) + + (0.03 0.02 0.01)=1三、計算：0.1 + 0.2+0.3+-+0.8+0.9+ 0.10+ 0.11+0.12+ 0.19+ 0.20解：這個算式的數(shù)的排列像一個等差數(shù)列，但仔細觀察，它實際上由兩個等差數(shù)列組成，0.1 + 0.2+ 0.3+ + 0.8+ 0.9是第一個等差數(shù)列，后面每一個數(shù)都比前一個數(shù)多 0.1,而0.10+0.11 + 0.12+ + 0.19+0.20是第二個等差數(shù)列，后面每一個數(shù)都 比前一個數(shù)多0.01,所以，應分為兩段按等差數(shù)列

5、求和的方法來計算。0.1+0.2+0.3+0.8+0.9+0.10+0.11+0.12+ + 0.19+0.2=(0.1 + 0.9) >9笠 + (0.10+0.20) X112=4.5+1.65=6.15四、計算：9.9 9.9+1.99解：算式中的9.9 >9.9兩個因數(shù)中一個因數(shù)擴大10倍，另一個因數(shù)縮小10倍， 積不變，即這個乘法可變?yōu)?99X0.99+1.99可以分成0.99+1的和，這樣變化以 后，計算比較簡便。9.9 9.9+1.99=99X0.99+ 0.99+ 1=(99+1) >0.99+ 1=1002.437 36.54+ 243.7 0.6346解：

6、雖然算式中的兩個乘法計算沒有相同的因數(shù)，但前一個乘法的2.437和后一個乘法的243.7兩個數(shù)的數(shù)字相同，只是小數(shù)點的位置不同，如果把其中一個乘法的兩個因數(shù)的小數(shù)點按相反方向移動同樣多位，使這兩個數(shù)變成相同的，就可以運用乘法分配律進行簡算了。2.437 36.54+ 243.7 0.6346=2.437 36.54+ 2.437 63.46=2.437 X(36.54+ 63.46)=243.7六、計算：1.1 1.2 1.3 1.4 X.5解：算式中的幾個數(shù)雖然是一個等差數(shù)列，但算式不是求和，不能用等差數(shù)列求和的方法來計算這個算式的結果。平時注意積累計算經驗的同學也許會注意到7、11和13這

7、三個數(shù)連乘的積是 1001,而一個三位數(shù)乘1001,只要把這個三 位數(shù)連續(xù)寫兩遍就是它們的積，例如578M001=578578,這一題參照這個方法計算，能巧妙地算出正確的得數(shù)。1.1 1.2 X.3 1.4 1.5=1.1 1.3 處.7 2X1.2 1.5=1.001 3.6=3.6036練習1. 5.467+ 3.814+7.533+ 4.1862. 6.25 1.25 6.43. 3.997+ 19.96+1.9998+ 199.74. 0.1 + 0.3+0.9+ 0.11 + 0.13+ 0.15+0.97+ 0.995. 199.9 19.98-199.8 19.976. 23.7

8、5 8.987+ 6.013 92.07+6.832 39.877. 20042005)20052004-20042004)200520058. (1+0.12+0.23) X (0.12+0.23+ 0.34) ( 1 +0.12+0.23+ 0.34) X (0.12 + 0.23)9. 6.734- 1.536+ 3.266-4.46410. 0.8 0.12511. 89.1 + 90.3 + 88.6 +92.1 + 88.9 + 90.812. 4.83 X0.59 + 0.41 X 1.59 - 0.324 X 5.913. 37.5 X21.5 X 0.112 + 35.5 X

9、 12.5 X 0.11214. 9999X2222+3333X 333415. 1989X 1999-1988 X2000奧數(shù)第二講數(shù)的整除如果整數(shù)a除以不為零數(shù)b,所得的商為整數(shù)而余數(shù)為0,我們就說a能被 b整除，或叫b能整除a。如果a能被b整除，那么，b叫做a的約數(shù)，a叫做 b的倍數(shù)。數(shù)的整除的特征：（1） 能被2整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的個位數(shù)字是2、4、6、8、0, 那么這個整數(shù)一定能被2整除。（2） 能被3 （或9）整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的各個數(shù)字之和能被3 （或9）整除，那么這個整數(shù)一定能被 3 （或9）整除。（3） 能被4 （或25）整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的末兩

10、位數(shù)能被4（或25）整除，那么這個數(shù)就一定能被 4 （或25）整除。（4） 能被5整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的個位數(shù)字是 0或5,那么這 個整數(shù)一定能被5整除。（5） 能被6整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)能被 2整除，又能被3整除， 那么這個數(shù)就一定能被6整除。（6） 能被7 （或11或13）整除的數(shù)的特征：一個整數(shù)分成兩個數(shù)，末三 位為一個數(shù)，其余各位為另一個數(shù)，如果這兩個數(shù)之差是0或是7（或11或13） 的倍數(shù)，這個數(shù)就能被7 （或11或13）整除。（7） 能被8 （或125）整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的末三位數(shù)能被8（或125）整除，那么這個數(shù)就一定能被 8 （或125）整除。（8）

11、能被11整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位 數(shù)字之和的差（大減?。┠鼙?1整除，那么它必能被11整除。一、例題與方法指導例1、下列各數(shù)哪些能被7整除？哪些能被13整除？（數(shù)的整除特征）88205, 167128, 250894, 396500,675696, 796842, 805532, 75778885。例2、一個六位數(shù)23D56口是88的倍數(shù)，這個數(shù)除以88所得的商是或 思路導航：一個數(shù)如果是88的倍數(shù),這個數(shù)必然既是8的倍數(shù),又是11的倍數(shù).根據(jù)8 的倍數(shù)，它的末三位數(shù)肯定也是8的倍數(shù)，從而可知這個六位數(shù)個位上的數(shù)是 0 或8.而11的倍數(shù)奇偶位上數(shù)字和的差應是 0或

12、11的倍數(shù)，從已知的四個數(shù)看， 這個六位數(shù)奇偶位上數(shù)字的和是相等的，要使奇偶位上數(shù)字和差為0,兩個方框 內填入的數(shù)字是相同的，因此這個六位數(shù)有兩種可能23 056 O 或 23 856 8J又 230560 88=2620 23856888=2711所以，本題的答案是2620或2711.例3、1234567890 ,這個H一位數(shù)能被36整除，那么這個數(shù)的個位上的數(shù) 最小是.思路導航：36=9 4,所以這個十一位數(shù)既能被9整除，又能被4整除.因為1+2+ +9=45,由能被9整除的數(shù)的特征，(可知+口之和是0 (0+0)、9 (1+8, 8+1, 2+7, 7+2, 3+6, 6+3, 4+5,

13、 5+4)和18 (9+9).再由能被4整除的數(shù)的特征：這 個數(shù)的末尾兩位數(shù)是4的倍數(shù)，可知是00,04,，36,，72, 96.這樣， 這個H一位數(shù)個位上有0,2,6三種可能性.所以，這個數(shù)的個位上的數(shù)最小是0.例4、下面一個1983位數(shù)33一-3口444中間漏寫了一個數(shù)字(方框)，已 991個99T"個知這個多位數(shù)被7整除，那么中間方框內的數(shù)字是 . 思路導航：33- -3D44 y 'Y'¥J 991個 991 個二33=3 10993+3口4 10990+44- 4990 個990因為111111能被7整除，所以33二3和444都能被7整除，所以只要

14、990廠個 990 73口4能被7整除，原數(shù)即可被7整除.故得中間方框內的數(shù)字是6.例5、有三個連續(xù)的兩位數(shù)，它們的和也是兩位數(shù)，并且是11的倍數(shù).這三個 數(shù)是.思路導航：三個連續(xù)的兩位數(shù)其和必是3的倍數(shù)，已知其和是11的倍數(shù)，而3與11互質, 所以和是33的倍數(shù)，能被33整除的兩位數(shù)只有3個，它們是33、66、99.所以有 當和為33時，三個數(shù)是10,11,12 ;當和為66時，三個數(shù)是21,22,23 ;當和為99時，三個數(shù)是32,33,34.所以，答案為 10,11,12 或 21,22,23 或 32,33,34。注“三個連續(xù)自然數(shù)的和必能被3整除”可證明如下：設三個連續(xù)自然數(shù)為 n,

15、n+1,n+2,則n+(n+1)+( n+2)=3n+3=3(n+1)所以，n (n 1) (n 2)能被3整除.二、鞏固訓練1 .有這樣的兩位數(shù)，它的兩個數(shù)字之和能被4整除，而且比這個兩位數(shù)大1 的數(shù)，它的兩個數(shù)字之和也能被4整除.所有這樣的兩位數(shù)的和是 .2 . 一個小于200的自然數(shù)，它的每位數(shù)字都是奇數(shù)，并且它是兩個兩位數(shù) 的乘積,那么這個自然數(shù)是.3 .任取一個四位數(shù)乘3456,用A表示其積的各位數(shù)字之和，用B表示A的 各位數(shù)字之和,C表示B的各位數(shù)字之和，那么C是.4 .有0、1、4、7、9五個數(shù)字，從中選出四個數(shù)字組成不同的四位數(shù)，如 果把其中能被3整除的四位數(shù)從小到大排列起來，

16、第五個數(shù)的末位數(shù)字是1. 118符合條件的兩位數(shù)的兩個數(shù)字之和能被 4整除,而且比這個兩位數(shù)大1的數(shù), 如果十位數(shù)不變，則個位增加1,其和便不能整除4,因此個位數(shù)一定是9,這種兩 位數(shù)有:39、79.所以，所求的和是39+79=118.2. 195因為這個數(shù)可以分解為兩個兩位數(shù)的積，而且15 15=225>200，所以其中至少有1個因數(shù)小于15,而且這些因數(shù)均需是奇數(shù)，但11不可能符合條件，因為對 于小于200的自然數(shù)凡11的倍數(shù)，具有隔位數(shù)字之和相等的特點，個位百位若是 奇數(shù)，十位必是偶數(shù).所以只需檢查13的倍數(shù)中小于200的三位數(shù)13 13=169不 合要求,13 15=195適合要

17、求.所以，答案應是195.3. 9根據(jù)題意，兩個四位數(shù)相乘其積的位數(shù)是七位數(shù)或八位數(shù)兩種可能.因為3456=384 9,所以任何一個四位數(shù)乘3456,其積一定能被9整除，根據(jù) 能被9整除的數(shù)的特征，可知其積的各位數(shù)字之和 A也能被9整除，所以A有以下八種可能取值：9,18,27,36,45,54,63,72.從而A的各位數(shù)字之和B總是9, B的各位數(shù)字之和C也總是9.4. 90+1+4+7+9=21能被3整除，從中去掉0或9選出的兩組四個數(shù)字組成的 四位數(shù)能被3整除.即有0,1,4,7或1,4,7,9兩種選擇組成四位數(shù)，由小到大排列 為:1047,1074,1407,1470,1479,149

18、7.所以第五個數(shù)白末位數(shù)字是 9.三、拓展提升1 .找出四個互不相同的自然數(shù)，使得對于其中任何兩個數(shù)，它們的和總可以 被它們的差整除，如果要求這四個數(shù)中最大的數(shù)與最小的數(shù)的和盡可能的小 ，那 么這四個數(shù)里中間兩個數(shù)的和是多少？2 .只修改21475的某一位數(shù)字,就可知使修改后的數(shù)能被225整除，怎樣修 改？3 .試問，能否將由1至100這100個自然數(shù)排列在圓周上，使得在任何5個相 連的數(shù)中，都至少有兩個數(shù)可被3整除？如果回答：“可以”，則只要舉出一種排 法；如果回答：“不能”，則需給出說明.答案1 .如果最小的數(shù)是1,則和1 一起能符合“和被差整除”這一要求的數(shù)只 有2和3兩數(shù)，因此最小的數(shù)

19、必須大于或等于2.我們先考察2、3、4、5這四個數(shù)，仍不符合要求，因為5+2=7,不能被5-2=3整除.再往下就是2、3、4、6,經試 算，這四個數(shù)符合要求.所以，本題的答案是（3+4）=7.2 .因為225=25 9,要使修改后的數(shù)能被25整除，就要既能被25整除，又能 被9整除，被25整除不成問題，末兩位數(shù)75不必修改，只要看前三個數(shù)字即可， 根據(jù)某數(shù)的各位數(shù)字之和是9的倍數(shù)，則這個數(shù)能被9整除的特征，因為 2+1+4+7+5=19,19=18+1,19=27-8,所以不難排出以下四種改法：把1改為0;把4 改為3;把1改為9;把2改為1.3 .不能.假設能夠按照題目要求在圓周上排列所述的

20、100個數(shù)，我們來按所排列順序將它們每5個分為一組，可得20組,其中每兩組都沒有共同的數(shù)，于是，在每一組的5 個數(shù)中都至少有兩個數(shù)是3的倍數(shù).從而一共有不少于40個數(shù)是3的倍數(shù).但事 實上，在1至100的自然數(shù)中有33個數(shù)是3的倍數(shù)，導致矛盾.奧數(shù)第三講數(shù)字謎小朋友們都玩過字謎吧，就是一種文字游戲，例如 空中碼頭”（打一城市名）。 謎底你還記得嗎？記不得也沒關系，想想 空中”指什么？天”。這個地名第1個 字可能是天。碼頭”指什么呢？碼頭又稱渡口，聯(lián)系這個地名開頭是天”字,容易想到 天津”這個地名，而 律”正好又是 渡口 ”的意思。這樣謎底就出來了：大 津。算式謎又被稱為蟲食算”，意思是說一道算

21、式中的某些數(shù)字被蟲子吃掉了無法辨認，需要運用四則運算各部分之間的關系， 通過推理判定被吃掉的數(shù)字，把 算式還原。蟲食算”主要指橫式算式謎和豎式算式謎，其中未知的數(shù)字常常用口 、等圖形符號或字母表示。文字算式謎是前兩種算式謎的延伸，用文字或字 母來代替未知的數(shù)字，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的數(shù)字， 相同 的數(shù)字或字母表示同一個數(shù)字。文字算式謎也是最難的一種算式謎。在數(shù)學里面，文字也可以組成許許多多的數(shù)學游戲， 就讓我們一起來看看吧。橫式字謎、例題與方法指導例1、口，口8, 口97在上面的3個方框內分別填入恰當?shù)臄?shù)字，可以使得這3個數(shù)的平均數(shù)是150。那么所填的3個數(shù)字之和是多少？思路

22、導航：150 X 3-8-97-5=340所以3個數(shù)之和為3+4+5=12。例2、我學數(shù)學樂 械學數(shù)學樂=數(shù)數(shù)數(shù)學數(shù)數(shù)學學數(shù)學在上面的乘法算式中， 我、學、數(shù)、樂”分別代表的4個不同的數(shù)字。如果 樂”代表9,那么我數(shù)學”代表的三位數(shù)是多少？分析：學=1,我=8,數(shù)=6 , 81619X 81619=6661661161例3、+ （口 + 口 + 口） =24在式中的4個方框內填入4個不同的一位數(shù),使左邊的數(shù)比右邊的數(shù)小，并且等式成立。思路導航：這樣，我們可以先用字母代替數(shù)字，原等式寫成：a+ （b天勺）=a>CR也（去括號）當 a=1 時，有 6X8攵=24, 8X93=24;當 a=2

23、 時，有 4>9與=12, 6X8W=12, 8刈與=12;所以，滿足要求的等式有：1+ （2與3） =24, 1+ （3與得）=24, 2+ （3/與）=24, 2+ （4與3） =24, 2+ （634）=24。例4、 口乂口=5口；12+ =,把1至9這9個數(shù)字分別填入上 面兩個算式的各個方框中，使等式成立，這里有 3個數(shù)字已經填好。分析：根據(jù)第一個等式，只有兩種可能：7 >8=56, 6X9=54;如果為7X8=56, 則余下的數(shù)字有：3、4、9,顯然不行；而當6X9=54時，余下的數(shù)字有：3、7、 8,那么，12+3-7=8或12+3-8=7者B能滿足。二、訓練鞏固1 .

24、迎迎 審春二杯迎迎杯，數(shù)數(shù) 次學=數(shù)賽賽數(shù)，春春 引春=迎迎賽賽在上面的3個算式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字。如果這3個等式都成立，那么， 迎+春+杯+數(shù)+學+賽”等于多少？分析：考察上面三個等式，可以從最后一個等式入手：能夠滿足：春春 審 春=迎迎賽賽的只有88刈8=7744,于是，春=8,迎=7,賽=4;這樣，不難得到 第一個為：77刈8=6776,第二個為：55>99=5445;所以，迎+春+杯+數(shù)+學+賽=7+8+6+5+9+4=39。2 .迎+春X#=迎春，（迎+杯）X（迎十杯）=迎杯在上面的兩個橫式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的

25、數(shù)字。那么迎+春+杯”等于多少？分析：同樣可以從第二個算式入手，發(fā)現(xiàn)滿足要求的只有（8+1） X （8+1） =81,于是，迎=8;這樣，第一個算式顯然只有：8+9X9=89;所以，迎+春+杯=8+9+1=18。三、拓展提升1 .在下列各式的 E分別填入相同的兩位數(shù)：(1)5 XU=2口；(2)6 XD= 3D02 .將39中的數(shù)填入下列各式，使算式成立，要求各式中無重復的數(shù)字:(1) + = + ;(2) ->-03 .在下列各式的口中填入合適的數(shù)字：(1)448 -=;(2)2822=；(3)13 X 二 4口6。4 .在下列各式的口中填入合適的數(shù)：(1) 0-32=831;(2)5

26、73 +32= 29;4837 + 口 = 7427。答案與提示練習22L 5義國二2國亭6 乂四:3日。2 .四十圖二叵I *囪 回+回回丁回3 . (1)馱8 3國團二8或4要一國國三口彳(2)2822 -國區(qū)或2822 一國圖二國國.(3)13 乂圍困二4.(1)287; (2)17; (3)65。豎式字謎、例題與方法指導例1在圖4-1所示的算式中，每一個漢字代表一個數(shù)字，不同的漢字代表不 同的數(shù)字.那么 喜歡”這兩個漢字所代表的兩位數(shù)是多少？喜如歡喜+ 喜歡人人喜圖4T分析：首先看個位，可以得到 歡”是0或5,但是歡”是第二個數(shù)的十 位，所以 歡”不能是0,只能是5。再看十位，歡”是5

27、,加上個位有進位1, 那么，加起來后得到的 人”就應該是偶數(shù)，因為結果的百位也是 入“，所以 入” 只能是2;由此可知，喜”等于8。所以，喜歡”這兩個漢字所代表的兩位數(shù)就 是85。例2在圖4-2所示的豎式中，相同的漢字表示相同的數(shù)字，不同的漢字表示不同的數(shù)字.如果：巧+解+數(shù)+字+謎=30,那么 數(shù)字謎”所代表的三位數(shù)是多少?謎謎謎謎謎 字字字字 數(shù)數(shù)數(shù)蟀蟀巧解數(shù)字謎 圖4-2分析：還是先看個位，5個謎”相加的結果個位還是等于 謎“，謎"必 定是5 （0顯然可以排出）；接著看十位，四個 字”相加再加上進位2,結果尾 數(shù)還是 學”，那說明 學”只能是6;再看百位，三個 數(shù)”相加再加上進

28、位2,結 果尾數(shù)還是 數(shù)“，數(shù)”可能是4或9;再看千位，（1）如果 數(shù)”為4,兩個 解” 相加再加上進位1,結果尾數(shù)還是 解"，那說明 解”只能是9; 5+6+4+9=24, 30-24=6,巧”等于6與 學”等于6重復，不能； （2）如果 數(shù)”為9,兩個 解” 相加再加上進位2,結果尾數(shù)還是 解"，那說明 解”只能是8; 5+6+9+8=28, 30-28=2,可以。 所以 數(shù)字謎”代表的三位數(shù)是965。例3圖4-4是一個加法豎式，其中 E, F, I, N, O, R S, T, X, Y分別表示從0到9的不同數(shù)字，且F, S不等于零.那么這個算式的結果是多少？FORT

29、Y I E N + TEN -SIXT Y圖4-4分析：先看個位和十位，N應為0, E應為5;再看最高位上，S比F大1; 千位上O最少是8;但因為N等于0,所以，I只能是1, O只能是9;由于百位 向千位進位是2,且X不能是0,因此決定了 T、R只能是7、8這兩個；如果 T=7, X=3,這是只剩下了 2、4、6三個數(shù)，無法滿足S、F是兩個連續(xù)數(shù)的要求。 所以，T=8、R=7;由此得到X=4;那么，F(xiàn)=2, S=3, Y=6。所以，得到的算式 結果是31486。、訓練鞏固1 .在圖4-5所示的減法算式中，每一個字母代表一個數(shù)字，不同的字母代表 不同的數(shù)字.那么D+G等于多少？B DA Gf F

30、F 圖4-5分析：先從最高位看，顯然 A=1, B=0, E=9;接著看十位，因為E等 于9,說明個位有借位，所以F只能是8;由F=8可知，C=7;這樣，D、G有2、 4, 3、5和4、6三種可能。所以，D+G就可以等于6, 8或10。2 .王老師家的電話號碼是一個七位數(shù)，把它前四位組成的數(shù)與后三位組成的 數(shù)相加得9063,把它前三位數(shù)組成的數(shù)與后四位數(shù)組成的數(shù)相加得2529.求王老師家的電話號碼.分析：我們可以用abcdefg來表示這個七位數(shù)電話號碼。由題意知， abcd+efg=9063, abc+defg=2529;首先從第一個算式可以看出，a=8,從第二個算式可以看出，d=1；再回到第

31、一個 算式，g=2,掉到第二個算式，c=7;又回到第一個算式，f=9,掉到第二個算式， b=3;那么，e=6o所以，王老師家的電話號碼是 8371692。3 .將一個四位數(shù)的各位順序顛倒過來，得到一個新的四位數(shù).如果新數(shù)比原數(shù)大7902,那么在所有符合這樣條件的四位數(shù)中，原數(shù)最大是多少？分析：用abcd來表示愿四位數(shù)，那么新四位數(shù)為 dcba, dcba-abcd=7902; 由最高為看起，a最大為2,則d=9;但個位上10+a-d=2,所以，a只能是1;接 下來看百位，b最大是9,那么，c=8正好能滿足要求。所以，原四位數(shù)最大是 1989。三、拓展提升1 .已知圖4-6所示的乘法豎式成立.那

32、么 ABCDE是多少？1 A B C D Ex3-A B C D E 1圖4-6分析：由 1/7 的特點易知，ABCDE=42857。142857X 3=428571。2.某個自然數(shù)的個位數(shù)字是4,將這個4移到左邊首位數(shù)字的前面，所構成 的新數(shù)恰好是原數(shù)的4倍.問原數(shù)最小是多少？分析：由個位起逐個遞推：4X4=16,原十位為6; 4X6+1=25,原百位 為5; 4X5+2=22,原千位為2;4X2+2=10,原萬位為0; 1X4=4,正好。所以，原數(shù)最小是102564。奧數(shù)第四講定義新運算定義新運算通常是用特殊的符號表示特定的運算意義。 它的符號不同于課本 上明確定義或已經約定的符號，例如

33、“卡 -、又摟、>、<”等。表示運算意義的 表達式，通常是使用四則運算符號，例如 ab=3a-3b,新運算使用的符號是 , 而等號右邊表示新運算意義的則是四則運算符號。正確解答定義新運算這類問題的關鍵是要確切理解新運算的意義， 嚴格按照 規(guī)定的法則進行運算。如果沒有給出用字母表示的規(guī)則，則應通過給出的具體的 數(shù)字表達式，先求出表示定義規(guī)則的一般表達式，方可進行運算。值得注意的是：定義新運算一般是不滿足四則運算中的運算律和運算性質， 所以，不能盲目地運用定律和運算性質解題。一、例題與方法指導例1、設ab都表示數(shù)，規(guī)定aAb表示a的4倍減去b的3倍，即aAb=4Xa-3 >b,

34、試計算5A6, 6A5o解 5A6=5>4-6 >3=20-18=26A5=6X4-5 8=24-15=9說明 例1定義的沒有交換律，計算中不得將 前后的數(shù)交換。例2、對于兩個數(shù)a、b,規(guī)定 腔b表示3刈+2沖,試計算(56)7,5( 67)。 思路導航：先做括號內的運算。解：(56) 7= (5M+6X2) 7=277=27X3+7X2=955表(67) =5 (6M+7>2) =532=5M+32>2=79說明 本題定義的運算不滿足結合律。這是與常規(guī)的運算有區(qū)別的。例3、已知243=2X3M, 4A2=4X5, 一般地，對自然數(shù) a、b, aAb表示 aX(a+1)

35、 x<a+b-1).計算(6A3) - (5A2)O思路導航： .，.Fif h rjr h ” 原式=6 X7-5 6=336-30規(guī)定：aiA =a+(a+1)+(a+2)+ + (a+b-1)，其中 a,b表示自然數(shù)。例 4、已知3=1+2+3=6,求 I4IOO 的值。已知 x410=75，求 x. 思路導航：(1)原式=1+2+3+ +100= (1+100) X100攵=5050(2)原式即 x+(x+1)+(x+2)+ + (X+9) =75, 所以：10X+(1+2+3+ +9)=7510x+45=7510x=30x=3例 5、定義運算：aOb=3a+5ab+kb, 其中

36、a, b為任意兩個數(shù)，k為常數(shù)。比如：2。7=3X2+5X2X7+7k。(1)已知502=73。問：80 5與5。8的值相等嗎？(2)當k取什么值時，對于任何不同的數(shù)a, b,都有a。b=bOa,即新運算 ” 符合交換律？分析與解：(1)首先應當確定新運算中的常數(shù) k0因為5。2=3X5+5X5>2+kX2=65+2k, 所以由已知5 0 2=73,得65+2k=73,求得k= (73-65)攵=4。定義的新運算是： a© b=3a+5ab+4b。8 O 5=3 X8+5 88 >5+4 >5=244, 50 8=3 >5+5 X5 刈+4 刈=247。因為2

37、44w247所以8。5*508。(2)要使a。b=bOa,由新運算的定義，有3a+5ab+kb=3b+5ab+kq 3a+kb-3b-ka=0,3X(a-b)-k(a-b)=0,(3-k)(a-b)=0o對于兩個任意數(shù)a, b,要使上式成立，必有3-k=0,即k=3當新運算是a© b=3a+5ab+3b時，具有交換律，即a© b=bOao例6、對任意的數(shù) a, b,定義：f (a) =2a+1, g (b) =bxb。(1)求f (5) -g (3)的值；(2)求f (g (2) +g (f (2)的值；(3)已知f (x+1) =21,求x的值。解：(1) f (5) -

38、g (3) = (2X5+1) - (3M) =2;(2) f (g (2) +g (f (2)=f (2>2) +g (2>2+1)=f (4) +g (5) = (2M+1) + (5X5) =34;(3) f (x+1) =2X (x+1) +1=2x+3,由 f (x+1) =21,知 2x+3=21,解得 x=9o二、鞏固訓練1、若對所有b,a Ab =aXx,x是一個與b無關的常數(shù)；ab=(a+b)+2,且 (1A3) 3=1A (33)0 求(1z4) 2的值。,=8X9X0,求2、如果規(guī)定：=2MM,=3必>5,=4X5>6,+-+-+-的值。3、對于任

39、意的兩個數(shù)a和b,規(guī)定a*b=3將-b 3。求8*9的值。4、對于任意的兩個數(shù)P, Q,規(guī)定PQ= (PXQ)為。例如：28= (2X8) M 已知x (85) =10,求x的值。5、定義：定義：aAb=ab-3b, aOb=4a-b/a。計算：(4A3) (204)6、已知：2©3=2MM, 405=4>5>6>7X8,求(4©4) + (30 3)的值。7、定義兩種運算 ”和”如下：aX b表示a, b兩數(shù)中較小的數(shù)的3倍，aAb表示a, b兩數(shù)中較大的數(shù)的2.5倍。比如：4X5=4X3=12, 4A5=5X2.5=12.5。計算：(0.60.5)+(

40、0.3/0.8)伯1.20.7)-(0.64/0.2)。8、設m, n是任意的自然數(shù)，A是常數(shù)，定義運算mOn= (AXm-n) -4, 并且2。3=0.75。試確定常數(shù)A,并計算：(5。7) X (202) + (302)。9、對任意兩個不同的自然數(shù)a和b,較大的數(shù)除以較小的數(shù)，余數(shù)記為 a b。比如7# 3=1, 5#29=4, 4#20=0。(1)計算：1998# 2000, (5# 19) #19, 5# ( 1 # 95);(2)已知11#x=4, x小于20,求x的值。10、對于任意的自然數(shù)a, b,定義：f (a) =a>a-1, g (b) =b2+1(1)求f (g (

41、6) -g (f (3)的值；(2)已知f (g (x) =8,求x的值奧數(shù)第五講周期性問題在日常生活中，有一些現(xiàn)象按照一定的規(guī)律不斷重復出現(xiàn)。如：人調查十二 生肖：鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬；一年有春夏秋冬四 個季節(jié)；一個星期有七天等。像這樣日常生活中常碰到的有一定周期的問題，我們稱為簡單周期問題。這類問題一般要利用余數(shù)的知識來解決。在研究這些簡單周期問題時，我們首先要仔細審題，判斷其不斷重復出 現(xiàn)的規(guī)律，也就是找出循環(huán)的固定數(shù)，如果正好有個整數(shù)周期，結果為周期里的 最后一個；如果不是從第一個開始循環(huán)，利用除法算式求出余數(shù)，最后根據(jù)余數(shù) 的大小得出正確的結果。一、例題與方

42、法指導例1、某年的二月份有五個星期日，這年六月一日是星期 .思路導航：1% 7 4=28,由某年二月份有五個星期日，所以這年二月份應是 29天， 且2月1日與2月29日均為星期日，3月1日是星期一，所以從這年3月1日 起到這年6月1日共經過了31+30+31+1=93（天）.因為93 7=13-2,所以這年6月1日是星期二.例2、1989年12月5日是星期二，那么再過十年的12月5日是星期. 思路導航：依題意知，這十年中1992年、1996年都是閏年，因此，這十年之中共有365 10+2=3652 （天）因為（ 3652+1） 7=5216,所以再過十年的12月5日是星期日.注上述兩題（題1題

43、2）都是推斷若干天、若干月或若干年后某一天為星期幾，解答這類問題主要依據(jù)每周為七天循環(huán)的規(guī)律， 運用周期性解答.在計算天數(shù)時，要根據(jù)“四年 一閏，整百不閏，四百年才又一閏”的規(guī)定，即公歷年份不是整百數(shù)時，只要是4的倍數(shù)就是閏年，公歷年數(shù)為整百數(shù)時，必須是 400的倍數(shù)才是閏年.例3、按下面擺法擺80個三角形，有個白色的.思路導航：仄圖中可以看出，三角形按“二黑二白一黑一白”的規(guī)律重復排列，也就是 這一排列的周期為6,并且每一周期有3個白色三角形.因為80 6=13-2,而第十四期中前兩個三角形都是黑色的， 所以共有白色 三角形13 3=39 （個）.例4、節(jié)日的校園內掛起了一盞盞小電燈，小明看

44、出每兩個白燈之間有紅、黃、 綠各一盞彩燈.也就是說，從第一盞白燈起，每一盞白燈后面都緊接著有3盞彩燈, 小明想第73盞燈是燈.思路導航：依題意知，電燈的安裝排列如下：白，紅，黃,綠，白，紅，黃,包錄,白，這一排列是按“白，紅，黃，綠”交替 循環(huán)出現(xiàn)的，也就是這一排列的周期為 4.由73 4=18-1可知第73盞燈是白燈.例5、時針現(xiàn)在表示的時間是14時正，那么分針旋轉1991周后，時針表示的時間是.思路導力日下車+旋轉一周為1小時，旋轉1991周為1991小時.一天24小時,1991 24=82-23,1991小時共82天又23小時.現(xiàn)在是14時正，經過82天仍 然是14時正，再過23小時，正

45、好是13時.注在圓面上，沿著圓周把1到12的整數(shù)等距排成一個圈，再加上一根長針和一根短 針，就組成了我們天天見到的鐘面 .鐘面雖然是那么的簡單平常，但在鐘面上卻包含著十分有 趣的數(shù)學問題，周期現(xiàn)象就是其中的一個重要方面 .例6、在100米地跑道兩側每隔2米站著一個同學。這些同學從一端開始，按兩 女生，再一男生地規(guī)律站立著。問這些同學中共有多少個女生？解：一側：100+ 2=50 （人）50+1=51 （人）51+ （2+1） =17 組一組里有2個女生，女生2X 17=34 （人）兩側共有女生34X2=68 （人）答：共有女生68人。二、鞏固訓練1.把自然數(shù)1,2,3,4,5如表依次排列成5歹

46、1，那么數(shù)“ 1992”在 列.第一列第二列第三列第四列第五列1234598761011121314181716152.把分數(shù)4化成小數(shù)后，小數(shù)點第110位上的數(shù)字是73 .循環(huán)小數(shù)0.1992517與0.34567 .這兩個循環(huán)小數(shù)在小數(shù)點后第 位,首次同時出現(xiàn)在該位中的數(shù)字都是7.4 . 一審數(shù):1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4,共有1991個數(shù).（1） 其中共有個1,個9個4;（2）這些數(shù)字的總和是.5、7 7 77所得積末位數(shù)是v'50個答案：1、3仔細觀察題中數(shù)表.1 2 3 4 5（奇數(shù)排）第一組二9 9 8 7 6（ 偶數(shù)排）10

47、 11 12 13 14 （奇數(shù)排）第二組18117 16 15 （偶數(shù)排）19 20 21 22 23 （奇數(shù)排）第三組:27匕6 25 24 （偶數(shù)排）可發(fā)現(xiàn)規(guī)律如下：（1）連續(xù)自然數(shù)按每組9個數(shù)，且奇數(shù)排自左往右五個數(shù)，偶數(shù)排自右往左四 個數(shù)的規(guī)律循環(huán)排列；（2）觀察第二組，第三組，發(fā)現(xiàn)奇數(shù)排的數(shù)如果用9除有如下規(guī)律：第1列用9 除余數(shù)為1,第2列用9除余數(shù)為2,，第5列用9除余數(shù)為5.（3）10 9=1 1, 10 在 1+1 組,第 1 列199=2-1, 19在 2+1 組，第 1 列因為1992 9=221- -3,所以1992應排列在（221+1） =222組中奇數(shù)排第3 列數(shù)

48、的位置上.2、744=0.571428577它的循環(huán)周期是6,具體地六個數(shù)依次是5, 7, 1, 4, 2, 8110 6=18- 2因為余2,第110個數(shù)字是上面列出的六個數(shù)中的第 2個，就是7.3、35 .因為0.1992517的循環(huán)周期是7,0.34567的循環(huán)周期為5,又5和7的最小 公倍數(shù)是35,所以兩個循環(huán)小數(shù)在小數(shù)點后第 35位，首次同時出現(xiàn)在該位上的數(shù) 字都是7.4、853,570,568,8255.不難看出，這串數(shù)每7個數(shù)即1,9,9,1,4,1,4 為一個循環(huán)，即周期為7,且每 個周期中有3個1,2個9,2個4.因為1991 7=2843,所以這申數(shù)中有284個周 期，加上

49、第285個周期中的前三個數(shù)1,9,9.其中1的個數(shù)是:3 284+1=853（個）,9 的個數(shù)是2 284+2=570（個）,4的個數(shù)是2 284=568（個）.這些數(shù)字的總和為1 853+9 570+4 568=8255.三、拓展提升1.緊接著1989后面一用數(shù)字，寫下的每個數(shù)字都是它前面兩個數(shù)字的乘 積的個位數(shù).例如8 9=72，在9后面寫2,9 2=18，在2后面寫8,得到一審數(shù) 字：1 9 8 9 2 8 6這串數(shù)字從1開始往右數(shù)，第1989個數(shù)字是什么？2.1991個1990相乘所得的積與1990個1991相乘所得的積，再相加的和 末兩位數(shù)是多少？3 .設n=2 2 22,那么n的末

50、兩位數(shù)字是多少？'v'1991 個4 .在一根長100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一個紅點，同時自 右至左每隔5厘米也染一個紅點，然后沿紅點處將木棍逐段鋸開，那么長度是1厘米的短木棍有多少根？答案：1、依照題述規(guī)則多寫幾個數(shù)字:1989286884286884可見1989后面的數(shù)總是不斷循環(huán)重復出現(xiàn) 286884,每6個一組，即循環(huán)周期為 6.因為(1989-4)6=330- 5,所以所求數(shù)字是8.2、1991個1990相乘所得的積末兩位是0,我們只需考察1990個1991相乘 的積末兩位數(shù)即可.1個1991末兩位數(shù)是91,2個1991相乘的積末兩位數(shù)是81,3 個199

51、1相乘的積末兩位數(shù)是71,4個至10個1991相乘的積的末兩位數(shù)分別是 61,51,41,31,21,11,01,11 個1991相乘積的末兩位數(shù)字是 91,，由此可見， 每10個1991相乘的末兩位數(shù)字重復出現(xiàn)，即周期為10.因為1990 10=199,所以1990個1991相乘積的末兩位數(shù)是01,即所求結果是01.3、n是1991個2的連乘積，可記為n=21991,首先從2的較低次幕入手尋找規(guī) 律，歹表如下:nn的十 位數(shù)字n的個 位數(shù)字nn的十 位數(shù)字n的個 位數(shù)字21022129622042139223082148424162156825322163626642177227282184

52、428562198829122207621。24221522114822204觀察上表，容易發(fā)現(xiàn)自22開始每隔20個2的連乘積，末兩位數(shù)字就重復出現(xiàn) 周期為20.因為1990 20=99- 10,所以21991與211的末兩位數(shù)字相同，由上表知 211的十位數(shù)字是4,個位數(shù)字是8.所以，n的末兩位數(shù)字是48.4、因為100能被5整除，所以自右至左染色也就是自左至右染色.于是我們 可以看作是從同一端點染色.6與5的最小公倍數(shù)是30,即在30厘米的地方,同時染上紅色,這樣染色就會 出現(xiàn)循環(huán)，每一周的長度是30厘米，如下圖所示.61218243096 100.I . . . I.1510152025

53、9095由圖示可知長1厘米的短木棍，每一周期中有兩段，如第1周期中,6-5=1,5 5-6 4=1.剩余10厘米中有一段.所以鋸開后長1厘米的短木棍共有 7段.綜合算式為：2 (100-10)30+1=2 3+1二7(段)注解決這一問題的關鍵是根據(jù)整除性把自右向左每隔5厘米的染色，轉化為自左向右的染色，便于利用最小公倍數(shù)發(fā)現(xiàn)周期現(xiàn)象，化難為易.奧數(shù)第六講行程問題行程問題是小學奧數(shù)中變化最多的一個專題，不論在奧數(shù)競賽中還是在“小升初”的升學考試中，都擁有非常重要的地位。行程問題中包括：火車過橋、流 水行船、沿途數(shù)車、獵狗追兔、環(huán)形行程、多人行程，等等。每一類問題都有自 己的特點，解決方法也有所不

54、同，但是，行程問題無論怎么變化，都離不開“三 個量，三個關系”：這三個量是：路程（s）、速度（v）、時間三個關系：1.簡單行程：路程=速度X時間2 .相遇問題：路程和=速度和X時間3 .追擊問題：路程差=速度差x時間牢牢把握住這三個量以及它們之間的三種關系，就會發(fā)現(xiàn)解決行程問題還是 有很多方法可循的。追擊及相遇問題一、例題與方法指導例1. 有甲、乙、丙三人同時同地出發(fā)，繞一個花圃行走，乙、丙二人同方向 行走，甲與乙、丙相背而行。甲每分鐘走 40米，乙每分鐘走38米，內每分鐘走 36米。在途中，甲和乙相遇后3分鐘和內相遇。問：這個花圃的周長是多少米？ 思路導航：這個三人行程的問題由兩個相遇、一個

55、追擊組成，題目中所給的條件只有三 個人的速度，以及一個“3分鐘”的時間。第一個相遇：在3分鐘的時間里，甲、內的路程和為（40+36） X 3=228 （米） 第一個追擊：這228米是由于在開始到甲、乙相遇的時間里，乙、內兩人的速度差造成的，是逆向的追擊過程，可求出甲、乙相遇的時間為228+ （38-36） =114 （分鐘）第二個相遇：在114分鐘里，甲、乙二人一起走完了全程所以花圃周長為（40+38） X 114=8892 （米）我們把這樣一個抽象的三人行程問題分解為三個簡單的問題，使解題思路更加清晰。例2.東西兩地間有一條公路長217.5千米，甲車以每小時25千米的速度從東到西地，1.5小時后，乙車從西地出發(fā)，再經過 3小時兩車還相距15千米。 乙車每小時行多少千米？ 思路導航：L5小時 3小時3小時I 5千米從圖中可以看出，要求乙車每小時行多少千米，關鍵要知道乙車已經行 了多少路程和行這段路程所用的時間。解：（1）甲車一共行多少小時？ 1.5+3=4.5 （小時）（2）甲