同濟大學第六版導數(shù)與微分課件

1、第一講 導數(shù)概念導數(shù)概念導數(shù)概念一、導數(shù)概念二、求導舉例導數(shù)概念導數(shù)概念一、導數(shù)概念二、求導舉例一、導數(shù)概念一、導數(shù)概念(一) 函數(shù)在一點處可導的概念(二) 函數(shù)在區(qū)間上可導的概念一、導數(shù)概念一、導數(shù)概念(一) 函數(shù)在一點處可導的概念(二) 函數(shù)在區(qū)間上可導的概念( (一一) ) 函數(shù)在一點處可導的概念函數(shù)在一點處可導的概念1引例2導數(shù)定義3單側(cè)導數(shù)4幾何意義5可導與連續(xù)的關系( (一一) ) 函數(shù)在一點處可導的概念函數(shù)在一點處可導的概念1引例2導數(shù)定義3單側(cè)導數(shù)4幾何意義5可導與連續(xù)的關系xyo（一）引例（一）引例變速直線運動的速度變速直線運動的速度（1 1）勻速運動：勻速運動：變速運動：變

2、速運動：平面曲線的切線平面曲線的切線（2 2）tsv t)(tfs 0tt tt 0)(0tf)(ttf 0)()(00tfttfs ts v )(0tv )(0tv? tst 0lim)(0tv 瞬時速度瞬時速度切線定義：切線定義：（一）引例（一）引例變速直線運動的速度變速直線運動的速度（1 1）勻速運動：勻速運動：變速運動：變速運動：平面曲線的切線平面曲線的切線（2 2）tsv t)(tfs 0tt tt 0)(0tf)(ttf 0)()(00tfttfs ts v )(0tv )(0tv? tst 0lim)(0tv 瞬時速度瞬時速度切線定義：切線定義：xyoMN（一）引例（一）引例變速

3、直線運動的速度變速直線運動的速度（1 1）勻速運動：勻速運動：變速運動：變速運動：平面曲線的切線平面曲線的切線（2 2）tsv t)(tfs 0tt tt 0)(0tf)(ttf 0)()(00tfttfs ts v )(0tv )(0tv? tst 0lim)(0tv 瞬時速度瞬時速度切線定義：切線定義：xyoMN（一）引例（一）引例變速直線運動的速度變速直線運動的速度（1 1）勻速運動：勻速運動：變速運動：變速運動：平面曲線的切線平面曲線的切線（2 2）tsv t)(tfs 0tt tt 0)(0tf)(ttf 0)()(00tfttfs ts v )(0tv )(0tv? tst 0li

4、m)(0tv 瞬時速度瞬時速度切線定義：切線定義：xyoMN（一）引例（一）引例變速直線運動的速度變速直線運動的速度（1 1）勻速運動：勻速運動：變速運動：變速運動：平面曲線的切線平面曲線的切線（2 2）tsv t)(tfs 0tt tt 0)(0tf)(ttf 0)()(00tfttfs ts v )(0tv )(0tv? tst 0lim)(0tv 瞬時速度瞬時速度切線定義：切線定義：xyoMN（一）引例（一）引例變速直線運動的速度變速直線運動的速度（1 1）勻速運動：勻速運動：變速運動：變速運動：平面曲線的切線平面曲線的切線（2 2）tsv t)(tfs 0tt tt 0)(0tf)(t

5、tf 0)()(00tfttfs ts v )(0tv )(0tv? tst 0lim)(0tv 瞬時速度瞬時速度切線定義：切線定義：x xyoMT割線的極限位置割線的極限位置（一）引例（一）引例變速直線運動的速度變速直線運動的速度（1 1）勻速運動：勻速運動：變速運動：變速運動：平面曲線的切線平面曲線的切線（2 2）tsv t)(tfs 0tt tt 0)(0tf)(ttf 0)()(00tfttfs ts v )(0tv )(0tv? tst 0lim)(0tv 瞬時速度瞬時速度切線定義：切線定義：割線的極限位置割線的極限位置xo0 xx xx 0)(0 xf)(xxf 0y)()(00

6、xfxxfy xy MNk MTk xyx 0limMTk MTk? 切線斜率切線斜率物物 理理 問問 題題幾幾 何何 問問 題題不同點：不同點：背景不同背景不同（一）引例（一）引例變速直線運動的速度變速直線運動的速度（1 1）勻速運動：勻速運動：變速運動：變速運動：平面曲線的切線平面曲線的切線（2 2）tsv t)(tfs 0tt tt 0)(0tf)(ttf 0)()(00tfttfs ts v )(0tv )(0tv? tst 0lim)(0tv 瞬時速度瞬時速度切線定義：切線定義：割線的極限位置割線的極限位置xo0 xx xx 0)(0 xf)(xxf 0y)()(00 xfxxfy

7、xy MNk MTk xyx 0limMTk MTk? 切線斜率切線斜率不同點：不同點：背景不同背景不同相同點：相同點：方法相同方法相同算算 增增 量量求求 比比 值值取取 極極 限限（一）引例（一）引例變速直線運動的速度變速直線運動的速度（1 1）勻速運動：勻速運動：變速運動：變速運動：平面曲線的切線平面曲線的切線（2 2）tsv t)(tfs 0tt tt 0)(0tf)(ttf 0)()(00tfttfs ts v )(0tv )(0tv? tst 0lim)(0tv 瞬時速度瞬時速度切線定義：切線定義：割線的極限位置割線的極限位置xo0 xx xx 0)(0 xf)(xxf 0y)()

8、(00 xfxxfy xy MNk MTk xyx 0limMTk MTk? 切線斜率切線斜率不同點：不同點：背景不同背景不同相同點：相同點：方法相同方法相同數(shù)學形式相同數(shù)學形式相同極限極限極限極限xyx 0lim( (一一) ) 函數(shù)在一點處可導的概念函數(shù)在一點處可導的概念1引例2導數(shù)定義3單側(cè)導數(shù)4幾何意義5可導與連續(xù)的關系( (一一) ) 函數(shù)在一點處可導的概念函數(shù)在一點處可導的概念1引例2導數(shù)定義3單側(cè)導數(shù)4幾何意義5可導與連續(xù)的關系即即: :xxfxxfxyxfxx )()(limlim)(00000定義定義設函數(shù)設函數(shù))(xfy 在點在點0 x的某個鄰域內(nèi)有定義的某個鄰域內(nèi)有定義,

9、 , 并稱這個極限為函數(shù)并稱這個極限為函數(shù)在點在點0 x處處可導可導, , 當自變量當自變量x在在x0處取得增量處取得增量( (點點x xx 0仍在該鄰域內(nèi)仍在該鄰域內(nèi)) )時時, ,相應地，相應地，因變量取得增量因變量取得增量);()(00 xfxxfy 如果如果y 與與x 之比之比當當0 x時的極限存在時的極限存在, ,那么稱函數(shù)那么稱函數(shù))(xfy 在點在點0 x處的導數(shù)處的導數(shù), , )(xfy 記為記為)(0 x f也可記作也可記作: :0|xxy 0|ddxxxy 0|d)(dxxxxf 或或l注注變化率變化率導數(shù)的實質(zhì)導數(shù)的實質(zhì): : (1)線密度、線密度、電流強度電流強度xy

10、因變量因變量y在區(qū)間上的平均變化率在區(qū)間上的平均變化率0 x)(0 xf 因變量因變量y在一點處的變化率在一點處的變化率導數(shù)的背景導數(shù)的背景 (2)反應速度反應速度物理：物理： 角速度、角速度、 加速度、加速度、化學：化學：經(jīng)濟學：經(jīng)濟學：邊際成本邊際成本導數(shù)的定義式導數(shù)的定義式: : (3)(0 xf xxfxxfx )()(lim000導數(shù)的定義式的其它形式導數(shù)的定義式的其它形式: : (4)(0 xf 000()()limhf xhf xh 000 xxxfxfxx )()(limu例例1 1xxfxxfx )()(lim000)(0 xf 000()()limhf xhf xhh )(

11、02xf 初值必須是初值必須是f (x0 0)形式相同形式相同)(0 xf 存在存在 若若,lim0 xyx也稱也稱)(xf在在0 x的導數(shù)為無窮大的導數(shù)為無窮大. .(5) 若若在點在點 0 x就說函數(shù)就說函數(shù)不可導不可導 不存在不存在, ,xyx 0lim)(xfy ( (一一) ) 函數(shù)在一點處可導的概念函數(shù)在一點處可導的概念1引例2導數(shù)定義3單側(cè)導數(shù)4幾何意義5可導與連續(xù)的關系( (一一) ) 函數(shù)在一點處可導的概念函數(shù)在一點處可導的概念1引例2導數(shù)定義3單側(cè)導數(shù)4幾何意義5可導與連續(xù)的關系若極限若極限xxfxxfxyxx )()(limlim0000記作記作)(0 xf ( (左左)

12、 )( (左左) )0( x)0( x)(0 xf 0 x存在存在, ,定理定理定義定義在點在點的某個右的某個右 鄰域內(nèi)有定義鄰域內(nèi)有定義, ,設函數(shù)設函數(shù))(xfy 0 x則稱此極限值為則稱此極限值為)(xf在在0 x處的右處的右 導數(shù)導數(shù), ,函數(shù)函數(shù)在點在點)(xfy 0 x可導可導)(0 xf)(0 xf和和都存在且相等都存在且相等( (一一) ) 函數(shù)在一點處可導的概念函數(shù)在一點處可導的概念1引例2導數(shù)定義3單側(cè)導數(shù)4幾何意義5可導與連續(xù)的關系( (一一) ) 函數(shù)在一點處可導的概念函數(shù)在一點處可導的概念1引例2導數(shù)定義3單側(cè)導數(shù)4幾何意義5可導與連續(xù)的關系 導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何

13、意義xyo)(xfy CT0 xM曲線曲線)(xfy 在點在點),(00yx的切線斜率的切線斜率)(tan0 xf 切線方程切線方程: :)(000 xxxfyy法線方程法線方程: :)()(1000 xxxfyy)0)(0 xf( (一一) ) 函數(shù)在一點處可導的概念函數(shù)在一點處可導的概念1引例2導數(shù)定義3單側(cè)導數(shù)4幾何意義5可導與連續(xù)的關系( (一一) ) 函數(shù)在一點處可導的概念函數(shù)在一點處可導的概念1引例2導數(shù)定義3單側(cè)導數(shù)4幾何意義5可導與連續(xù)的關系定理定理處可導在點0 xxf)(處連續(xù)在點0 xxf)(函數(shù)在點函數(shù)在點x0 0連續(xù)未必可導連續(xù)未必可導u例例2 23xxf )(在在0

14、x處連續(xù)處連續(xù)但在但在0 x處不可導處不可導u例例3 3xxf )(在在0 x處連續(xù)處連續(xù)但在但在0 x處不可導處不可導l注注xoyxoy一、導數(shù)概念一、導數(shù)概念(一) 函數(shù)在一點處可導的概念(二) 函數(shù)在區(qū)間上可導的概念一、導數(shù)概念一、導數(shù)概念(一) 函數(shù)在一點處可導的概念(二) 函數(shù)在區(qū)間上可導的概念定義定義定義定義定義定義 若函數(shù)若函數(shù))(xfy 在區(qū)間在區(qū)間I上的每一點處可導，上的每一點處可導，這時，對于區(qū)間這時，對于區(qū)間I上的任一點上的任一點x，都對應著，都對應著)( xf的一個確定的導數(shù)值，這樣就構(gòu)成了一個新的函數(shù)，的一個確定的導數(shù)值，這樣就構(gòu)成了一個新的函數(shù)，這個函數(shù)稱為原來函數(shù)

15、這個函數(shù)稱為原來函數(shù))( xf的導函數(shù)的導函數(shù)記作記作: :,y ),(xf xyddxxfd)(d或或若函數(shù)若函數(shù))(xfy 在在),(ba內(nèi)的每一點處可導內(nèi)的每一點處可導, ,則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xfy 在在內(nèi)可導內(nèi)可導. .),(ba若函數(shù)若函數(shù))(xfy 在在則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xfy 在在上可導上可導. .在在ax 處右可導，處右可導， 在在bx 處左可導，處左可導，),(ba內(nèi)的每一點處可導內(nèi)的每一點處可導, ,ba導函數(shù)與導數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系導函數(shù)與導數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別區(qū)別: :)(xf 函數(shù)函數(shù))(0 xf 數(shù)數(shù)聯(lián)系聯(lián)系: :00 xxxfxf )()(注意注意: : )()(00 xfxf結(jié)論結(jié)論導函數(shù)的定義式導函數(shù)的定義式xxfxxfxfx )()(lim)(0函數(shù)函數(shù))(xfy 在在上可導上可導,ba函數(shù)函數(shù))(xfy 在在上連續(xù)上連續(xù),ba導數(shù)概念導數(shù)概念一、導數(shù)概念二、求導舉例導數(shù)概念導數(shù)概念一、導數(shù)概念二、求導舉例用定義求導步驟用定義求導步驟: :()( );yf xxf x ()( );yf xxf xxx xxfxxfxyxfxx )()(limlim)(00導函數(shù)的定義式導函數(shù)的定義式: :xxfxxfxfx )()(lim)(0(1)(1)算增量算增