數(shù)字信息處理第2章

1、第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析1/86第第2 2章章 離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析2.1 Z2.1 Z變換的定義及收斂域變換的定義及收斂域2.2 Z2.2 Z反變換反變換2.3 Z2.3 Z變換的性質(zhì)與定理變換的性質(zhì)與定理2.4 Z2.4 Z變換與拉普拉斯變換、傅里葉變換變換與拉普拉斯變換、傅里葉變換的關(guān)系的關(guān)系2.52.5傅里葉變換的定義及性質(zhì)傅里葉變換的定義及性質(zhì)2.62.6利用利用Z Z變換求解差分方程變換求解差分方程2.72.7離散時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和頻率響應(yīng)離散時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和頻率響應(yīng)第第2 2章章離散時(shí)間信

2、號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析2/86 在離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)中， 變換法是變換域分析法中最重要的一種。 變換在離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)中的作用就如同拉普拉斯變換在連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)中的作用。它把描述離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的代數(shù)方程，使其求解大大簡(jiǎn)化。 變換的概念可以從理想抽樣信號(hào)的拉普拉斯變換引出，也可以在離散域直接給出。zzz第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析3/862.1變換的定義及收斂域2.1.1 z變換的定義 一個(gè)序列 的 變換定義為 其中， 是一個(gè)連續(xù)復(fù)變量，也就是說， 變換是在復(fù)頻域內(nèi)對(duì)離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)進(jìn)行分析。由定義可

3、見， 是一個(gè)復(fù)變量 的冪級(jí)數(shù)。亦可將 變換表示成算子的形式： nxz xnznxzXzzzz nxZzX第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析4/86基于此， 變換算子可以看作是將序列 變換為函數(shù) ，二者之間的相應(yīng)關(guān)系可記為由式（2.1.1）所定義的z變換稱為雙邊z變換，與此相對(duì)應(yīng)的單邊z變換則定義為 （2.1.2）顯然，只有 為因果序列（即 ）時(shí)，其單邊z變換與雙邊z變換才是相等的。z nx zX zXnxz nnznxzX nx 0, 0nnx第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析5/862.1.2 z變換的收斂域1 1、

4、收斂域的定義、收斂域的定義 由定義式，只有冪級(jí)數(shù)收斂時(shí)，z變換才有意義。對(duì)于任意給定的序列 ，使其z變換所定義的冪級(jí)數(shù) 收斂的所有z值的集合稱為 的收斂域。 收斂的充分且必要條件是絕對(duì)可和收斂的充分且必要條件是絕對(duì)可和，即 nx nnznx zX nnnnznxznx第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析6/86 為使上式成立，就須確定 取值的范圍，即收斂域。由于 為復(fù)數(shù)的模，則可以想象出收斂域?yàn)橐粓A環(huán)狀區(qū)域，即 zzRzR其中， 、 稱為收斂半徑，可以小到0，而 可以大到 。式（2.1.4）的 平面表示如圖2.1.1所示。RRRR圖2.1.1 環(huán)狀收斂域jI

5、m（z）Re（z）RR0第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析7/86 常見的一類z變換是有理函數(shù)，即使 的那些z值稱為 的零點(diǎn)，而使 的那些z值稱為 的極點(diǎn)。零點(diǎn)、極點(diǎn)也可能包含 處的點(diǎn)。由于 在收斂域內(nèi)是解析函數(shù)，所以，收斂域內(nèi)不包含極點(diǎn)。所以，收斂域內(nèi)不包含極點(diǎn)。 zQzPzX 0zX zX zX zXz zX第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析8/862、序列形式與其、序列形式與其z變換收斂域的關(guān)系變換收斂域的關(guān)系 每一項(xiàng)都有界則必有（1） 為有限長(zhǎng)序列為有限長(zhǎng)序列 其它, 0,21nnnnxnx 21nnnnnnz

6、nxznxzX 21,nnnznxn若21,nnnzn nx第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析9/86第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析10/86 當(dāng) 、 時(shí)，顯然在 內(nèi)的z值都滿足該條件，收斂域?yàn)槌ピc(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的z平面，如圖2.1.1(b)陰影區(qū)域所示。 當(dāng) 、 時(shí)，除去原點(diǎn)外的z值都滿足條件，收斂域?yàn)槌ピc(diǎn)的 z平面，即 ； 當(dāng) 、 時(shí)，除去無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的z值都滿足條件，收斂域?yàn)槌o窮點(diǎn)的z平面， ； 特殊的，當(dāng) 、 時(shí)，收斂域?yàn)檎麄€(gè)z平面，即 。01n02n z001n02n z002n01n z001n02

7、n z0第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析11/86)(2nx 11, 0,nnnnnxnx 1nnnznxzX（2） 為右邊序列為右邊序列 nx 當(dāng) 時(shí)， 為z的負(fù)冪級(jí)數(shù)，根據(jù)級(jí)數(shù)理論，存在一個(gè)收斂半徑 ， 在以原點(diǎn)為中心、 為半徑的圓外處處收斂，即收斂域?yàn)?。此時(shí)的 為因果序列，因此， 在無窮遠(yuǎn)處收斂是因果序列的特征；01n zXR zXRzR nx zX第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析12/86 當(dāng) 時(shí)， 可寫為 上式右端第一項(xiàng)是（1）中討論過的有限長(zhǎng)序列的z變換，其收斂域?yàn)?；第二項(xiàng)為 的負(fù)冪級(jí)數(shù)，同樣其收斂

8、域?yàn)?。因此， 的收斂域?yàn)槎叩闹丿B區(qū)域，即 ，如圖2.1.3(b)陰影區(qū)域所示。01n zX 0111nnnnnnnnznxznxznxzX z0 zXzR zXzR第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析13/86第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析14/86（3 3） 為左邊序列為左邊序列 nx 22, 0,nnnnnxnx 2nnnznxzX 當(dāng) 時(shí)， 為z的正冪級(jí)數(shù)，根據(jù)級(jí)數(shù)理論，必存在一個(gè)最大收斂半徑 ， 在以原點(diǎn)為中心、 為半徑的圓內(nèi)處收斂，即收斂為 ； 02n zXR zXRRz0第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系

9、統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析15/86 當(dāng) 時(shí)， 可寫為上式右端第一項(xiàng)為z的正冪級(jí)數(shù)，同樣其收斂域?yàn)?；第二項(xiàng)為（1）中討論過的有限長(zhǎng)序列的z變換，其收斂域?yàn)?。因此， 的收斂域?yàn)槎叩闹丿B區(qū)域 。02n zXRz0 2210nnnnnnnnznxznxznxzXRz0 z0 zX第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析16/86第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析17/86（4 4） 為雙邊序列為雙邊序列 nx 10nnnnnnznxznxznxzX通過（2）、（3）中的討論可知，上式第一項(xiàng)為右邊序列(因果序列

10、)，其收斂域?yàn)?；第二項(xiàng)為左邊序列，其收斂域?yàn)?；若 ，則取交集得到雙邊序列的收斂域?yàn)?，這是一個(gè)環(huán)形的收斂域。如圖2.1.5(b)陰影區(qū)域所示。 Rz Rz RRRzR第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析18/86第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析19/86)(nx1n2n01n02n z001n02n z001n02n z001n2nzR01n2nzR1n02nRz01n02nRz01n2nRzR)(nx1n2n01n02n z001n02n z001n02n z001n2nzR01n2nzR1n02nRz01n02

11、nRz01n2nRzR表2.1.1 序列的形式與z變換收斂域的關(guān)系第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析20/862.1.3 常用序列的z變換（1）單位抽樣序列( )( )x nn z 變換1)()()(0zznnZzXnn收斂域?yàn)檎麄€(gè)z平面第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析21/861z（2）單位階躍序列)()(nunxz 變換11 210( )( )1()()nnnnnX zu n zzzzz 當(dāng) ，即 有11z1z111)(1zzzzX 的零點(diǎn)為 ，極點(diǎn)為 。( )X z0z1z第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散

12、時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析22/86（3）單位斜變序列)()(nnunx1011zznn1z2120)1()1 ()(zznznn1z22110) 1()1 ()(zzzznzzXnn1z由（2)中討論可知 將上式兩邊對(duì)z求導(dǎo)得兩邊同乘以-z得 的z變換)(nx第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析23/86當(dāng)，即（4）右邊指數(shù)序列)()(nuanxn這是一個(gè)右邊序列，其z變換為111 2100( )( )()1()()nnnnnnnnnX za u n za zazazazaz 當(dāng) ，即 時(shí)，有 11azaz azzazzX111)(az 零點(diǎn)為 ，

13、極點(diǎn)為( )X z0zaz 第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析24/86（5）左邊指數(shù)序列) 1()(nuanxn這是一個(gè)左邊序列，其z變換為111121( )(1)()()nnnnnnnnnnX za unza zaza za za z 當(dāng) ，即 時(shí)，有 11a zaz azzzazazX111)( 零點(diǎn)為 ，極點(diǎn)為( )X z0zaz 第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析25/86z（6）雙邊指數(shù)序列) 1()()(nubnuanxnn(0)ba該序列的z變換00101) 1()()()(nnnnnnnnnnnnnn

14、nnnnzbzazbzaznubnuaznxzXbzaz ,若 ，則上面的級(jí)數(shù)收斂，得到bzzazzbzbazzzX1)(bza第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析26/86)(zX)(zXz 該序列的雙邊z變換的零點(diǎn)位于 及 ，極點(diǎn)位于 與 處。前已提及,z變換的收斂域內(nèi)不應(yīng)該包含任何極點(diǎn)。由上述分析進(jìn)一步看出， 的收斂域內(nèi)確實(shí)不包含任何極點(diǎn)。通常收斂域以極點(diǎn)為邊界，對(duì)于多個(gè)極點(diǎn)的情況：1）右邊序列z變換的收斂域一定在模值最大極點(diǎn)所在的圓外，可能包含 ；2）左邊序列z變換的收斂域一定在模最小的極點(diǎn)所在的圓內(nèi)，可能包含 。0z2bazaz bz zXz0z第

15、第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析27/862.2 z2.2 z反變換反變換 與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中的拉普拉斯變換類似，在離散時(shí)間系統(tǒng)中，應(yīng)用z變換的目的是為了把描述系統(tǒng)的差分方程轉(zhuǎn)換為復(fù)變量z的代數(shù)方程，然后寫出離散系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（z域傳遞函數(shù)）、做某種運(yùn)算處理，再用z反變換求出離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)。第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析28/862.2.1部分分式展開法 在連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)中，曾用部分分式展開法求解拉普拉斯逆變換，同樣在離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)中，當(dāng) 的表達(dá)式為有理分式時(shí)，z反變換也可以用部分分式展開法求取。首先

16、將 分解成多個(gè)部分分式之和，然后對(duì)各部分分式求z反變換，則所求序列 就是各部分分式的z反變換之和。在求各部分分式z反變換時(shí)，可利用表2.1.2中的基本z變換對(duì)。)(zX)(zX)(nx第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析29/86表示成有理分式形式 展成以下部分分式形式 式中，若 時(shí)，才存在整式部分系數(shù) （即上式右邊第一項(xiàng)），可用長(zhǎng)除法得到，而當(dāng) 時(shí)， ； 為 的各一階極點(diǎn)； 為 的一個(gè) s階極點(diǎn)。依據(jù)留數(shù)定理，可求得系數(shù) , 分別為iNiiMiiizazbzQzPzX101)()()(skkiksNkkkNMnnnzzCzzAzBzX11110)1 (1)

17、(NM nBNM 0nBkz)(zXiz)(zXkAkC第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析30/86skzzXzzdzdksCsNkzzXzzzzXsAikkzzsikskskzzkzzk, 2 , 1,)()()!(1, 2 , 1,)()()(Re第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析31/86例例 2.2.1 2.2.1 已知 利用部分分式展開法求z反變換 。22)2)(1(2)(zzzzX2z)(nx2)() 1(1zzzXzA2212)2(21)2)(1(2)(zCzCzAzzzzzX 解：解：第第2 2章章離散

18、時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析32/862)()2(221zzzXzdzdC4)()2(222zzzXzC所以2)2(42212)(zzzzzzzX考慮 收斂域知 應(yīng)為右邊序列。查表2.1.2中的z變換對(duì)，得所求序列為)(zX)(nx)()2()2(2) 1(2)(1nunnxnnn第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析33/86例例 2.2.2 已知 ， 利用部分分式展開法求z反變換 。 )6(5)(2zzzzX32 z)(nx32)3)(2(5)(21zAzAzzzzX解1)()2(21zzzXzA1)()3(31zzzXzA第第2

19、 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析34/86則32)(zzzzzX上式第一項(xiàng)只有極點(diǎn) ，由收斂域中 可知，該項(xiàng)的反變換應(yīng)為右邊因果序列，則2z3znzzZ)3(310n，第二項(xiàng)只有極點(diǎn) ，同樣由收斂域中 可知，該項(xiàng)的反變換應(yīng)為左邊序列，則 ， 3z3znzzZ)3(311n第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析35/86所以，所求序列為1,)3(0,2)(nnnxnn或?qū)懗? 1() 3()(2)(nununxnn 由以上分析可見，在求z反變換時(shí)，一定要考慮收斂域，注意區(qū)別哪些極點(diǎn)對(duì)應(yīng)右邊序列，哪些極點(diǎn)對(duì)應(yīng)左邊序列。第第2 2章

20、章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析36/862.2.2 冪級(jí)數(shù)展開法 前面已經(jīng)提到， 為 的冪級(jí)數(shù)，即 由此可見，在給定的收斂域內(nèi)，如果將 展開為冪級(jí)數(shù)，那么 項(xiàng)的系數(shù)就是序列 。將 展開為冪級(jí)數(shù)常用的方法有兩種。)(zX1z2102)2() 1 ()0() 1()2()()(zxzxzxzxzxznxzXnn)(zXnz)(nx)(zX)(nx第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析37/86 1）按冪級(jí)數(shù)公式展開）按冪級(jí)數(shù)公式展開 這種方法是運(yùn)用已經(jīng)熟知的冪級(jí)數(shù)展開公式完成對(duì) 的展開，往往多用于 是超越函數(shù)的情況，如 是對(duì)數(shù)、雙曲正

21、弦等，這些函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開公式大多已有表格可查。下面通過例子對(duì)其進(jìn)行說明。)(zX)(zX)(zX第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析38/86例例 2.2.3 2.2.3 求 ， 的反變換 。 解: 依據(jù)冪級(jí)數(shù)展開公式 ， 以及 中的 （由收斂域得到），可得由上式看到， 項(xiàng)的系數(shù)是 ，又由收斂域的形式得知， 是一個(gè)右邊序列，則所求 為)1ln()(1azzXaz )(nx11) 1()1ln(nnnnxx11x)(zX11az111) 1()1ln()(nnnnnzaazzXnznann 1) 1()(nx)(nx0, 01,) 1()(1nnnanxnn

22、第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析39/862）長(zhǎng)除法）長(zhǎng)除法 一般為有理分式，用 的分母多項(xiàng)式去除分子多項(xiàng)式就可得到其冪級(jí)數(shù)形式。在做長(zhǎng)除之前，首先應(yīng)該根據(jù) 的ROC判斷 是右邊序列，還是左邊序列，然后決定將 展開z的降冪級(jí)數(shù)或升冪級(jí)數(shù)。觀察z變換的定義式 ，若 是右邊序列，當(dāng) 時(shí),z的冪逐漸減小，則此時(shí)，應(yīng)該將 展開z的降冪級(jí)數(shù)；若 是左邊序列，當(dāng) 時(shí)，z的冪逐漸增加，則應(yīng)該將 展開z的升冪級(jí)數(shù)。)(zX)(zX)(zX)(nx)(zXnnznxzX)()(n)(zX)(nxn)(zX第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域

23、分析40/86例例2.2.22.2.2 試用長(zhǎng)除法求 ， 的z 反變換 。 解 由表達(dá)式知， 只有一個(gè)極點(diǎn) ，且收斂域 在極點(diǎn)所在圓的外部，所以 應(yīng)為右邊序列，則應(yīng)將 展開成z的降冪級(jí)數(shù)。運(yùn)用長(zhǎng)除法得111)(azzXaz )(nx)(zXaz az )(nx)(zX第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析41/86即所以 。2211111)(zaazazzX)()(nuanxn第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析42/86例例2.2.32.2.3 試用長(zhǎng)除法求 ， 的z反變換 。 解 因?yàn)槭諗坑驗(yàn)榄h(huán)狀，所以所求序列為雙邊序列

24、。對(duì)于雙邊序列可先將其分解為右邊序列和左邊序列，所以先將 展開成部分分式再長(zhǎng)除。)41)(4()(2zzzzX441 z)(nx)(zX414)41)(4()(21zAzAzzzzzX第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析43/86根據(jù)式（2.2.3）求系數(shù) 、 則1A2A15141441)()41(15164144)()4(41241zzzzXzAzzXzA( )16/151/15144X zzzz第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析44/86所以 為)(zX121611161( )()( )( )1115 41515 4

25、1544zzzzX zXzXzzzzz)(zX 觀察 的收斂域可知，上式的第一項(xiàng)對(duì)應(yīng)左邊序列，第二項(xiàng)對(duì)應(yīng)右邊序列。分別運(yùn)用長(zhǎng)除法如下：第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析45/86即zzzzzzX441664)(23451第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析46/86641641)(3212zzzzX 的冪級(jí)數(shù)形式為所以z反變換 為)(zX54312321( )(41)156416441664zzzzzzX zzz )(nx21(4),115( )11( ),015 4nnnx nn 第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散

26、時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析47/862.2.3. 圍線積分法(留數(shù)法) 除了以上討論的求解z反變換的兩種方法外，z反變換也可以用反演積分來計(jì)算?，F(xiàn)在用復(fù)變函數(shù)理論來研究 的反變換。 對(duì)z變換定義式兩端同乘以 ，得對(duì)上式兩端進(jìn)行圍線積分，可得)(zX1kz11)()(knnkznxzzX cknnckdzznxjdzzzXj11)(21)(21第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析48/86其中c是一條位于 收斂域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的逆時(shí)針圍線。若級(jí)數(shù)收斂，交換上式右端的積分與求和次序，得 依據(jù)柯西積分定理 則綜合得)(zXcknnckdzzjnxdzzzXj1

27、121)()(21knkndzzjckn,0, 1211第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析49/86)()(211kxdzzzXjck將上式的變量k用n代換，得 （2.2.7）這就是圍線積分的z反變換公式。cndzzzXjnx1)(21)(第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析50/86 直接計(jì)算式（2.2.7）的圍線積分比較復(fù)雜，當(dāng) 是有理分式時(shí)，通常都采用留數(shù)定理來求解。若 是被積函數(shù) 位于c內(nèi)的所有極點(diǎn)，則按照留數(shù)定理，有1)(nzzXkz1)(nzzX111( )( )Re ( )2knnzzckx nXz zdz

28、s Xz zj第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析51/86若 是被積函數(shù) 位于c外的所有極點(diǎn)，且 分母多項(xiàng)式z的階次比分子多項(xiàng)式z的階次高兩階或兩階以上，則按照留數(shù)輔助定理，有 實(shí)際使用中，具體選用哪一個(gè)，取決于計(jì)算的簡(jiǎn)便性，一般選用計(jì)算一階極點(diǎn)留數(shù)的那一個(gè)。mz1)(nzzX1)(nzzX111( )( )Re ( )2mnnzzcmx nXz zdzs Xz zj 第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析52/86 若 是 的一階極點(diǎn)，則有 若 是 的多重（s階極點(diǎn)），則有kz1)(nzzX11Re( )()( )kkn

29、nkz zz zs X z zzzX z zkz1)(nzzX11111Re( )()( )(1)!kksnsnksz zz zds X z zzzX z zsdz需要注意的是，在使用上述兩式時(shí)，一定要計(jì)算 出 位于c內(nèi)或c外的所有可能的極點(diǎn)處的留數(shù)，而且，當(dāng)n取值不同時(shí)， 處極點(diǎn)的階次可能會(huì)發(fā)生變化。1)(nzzX0z第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析53/86例例2.2.4 求 ， 的反變換。解 的反變換為由于收斂域?yàn)?，所以 應(yīng)為因果序列，當(dāng) 時(shí)， 不是 的極點(diǎn)。所以，在收斂域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的圍線c內(nèi)只有一階極點(diǎn) 、 ，則)5 . 0)(1()(2zzz

30、zX)(nx1z( )X z1( )Re(1)(0.5)knkz zzx nszz1z0n0z1(1)(0.5)nzzz1z5 . 0z第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析54/86110.50.5Re(0.5)0.5(1)(0.5)(1)(0.5)nnnzzzzszzzzz 由此得所求序列為( )2(0.5)( )nx nu n1111Re(1)2(1)(0.5)(1)(0.5)nnzzzzszzzzz第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析55/86例2.2.5 試用留數(shù)法求 ， 的z反變換 。解解 c為 收斂域內(nèi)的圍線，

31、如圖2.2.1所示。)41)(4()(2zzzzX441 z)(nxkzzncnkzzzsdzzzzjnx)41)(4(Re)41)(4(21)(11( )X z第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析56/86 當(dāng) 時(shí)，圍線c內(nèi)只有一個(gè)一階極點(diǎn) ，則 當(dāng) 時(shí)，圍線c外只有一個(gè)一階極點(diǎn) ，而c內(nèi)有一個(gè)一階極點(diǎn) 以及 階極點(diǎn) ，而且1n41z1,)41(151)41)(4()41(Re)(411nzzzzsnxnzn2n4z41z) 1( n0z)41)(4(1zzzn第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析57/862,)4(15

32、1)41)(4()4(Re)(241nzzzzsnxnzn綜合上述分析，得可見，與例2.2.3結(jié)果相同。2,)4(1511,)41(151)(2nnnxnn第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析58/862.3 2.3 變換的性質(zhì)與定理變換的性質(zhì)與定理 在研究離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)過程中，理解并掌握z變換的一些常用性質(zhì)與定理是特別重要的。這些性質(zhì)往往與z變換對(duì)結(jié)合起來用，使z變換與z反變換的求解過程得到簡(jiǎn)化。第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析59/861.線性性質(zhì)線性性質(zhì) z變換是一種線性變換，滿足均勻性與疊加性，即若 則對(duì)于

33、任意常數(shù)a、b下式成立： 收斂域一般是 和 收斂域的重疊部分。若在這些組合過程中，某些零點(diǎn)與極點(diǎn)相抵消，則收斂域有可能擴(kuò)大。Z ( )( ),xxx nX zRzRZ ( )( ),yyy nY zRzR),min(),max(),()()()(yxyxRRzRRzbYzaXnbynaxZ)()(zbYzaX)(zX)(zY第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析60/86例例2.3.1 已知 ，求其z變換。解 依據(jù)歐拉公式，得由題知， 是一個(gè)右邊因果序列。查表2.1.2可知 )()cos()(0nunnx0001cos() ( ) ( )2jnjnn u ne

34、eu n)(nx11( ),1nZ a u nzaaz第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析61/86由此得 綜合上述分析，得所求z變換為 00011(),11jnjjZ eu nzeez00011( ),11jnjjZ eu nzeez00011111cos() ( ),12 11jjZn u nzezez第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析62/862移位性質(zhì)移位性質(zhì)1）雙邊）雙邊z變換變換 若序列 的雙邊z變換為 ， 則移位m后的序列 的雙邊z變換為 ， 其中m為任意整數(shù)，若m為正，則為右移（延遲）；若m為負(fù)，則為左移

35、（超前）。)(nxZ ( )( )x nX zxxRzR)(mnxZ ()( )mx nmzX zxxRzR第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析63/86證明 依據(jù)雙邊z變換的定義，可得 可以看出，序列位移只會(huì)使新序列的z變換在 或 處的零極點(diǎn)情況發(fā)生變化：當(dāng) m為正時(shí)，在 處引入極點(diǎn)，在 處引入零點(diǎn)；當(dāng)m為負(fù)時(shí)，在 處引入極點(diǎn)，在 處引入零點(diǎn)。也就是說， 的收斂域與 的收斂域相同， 或 可能除外。)()()()(zXzzkxzzmnxmnxZmkkmnn0zz0zzz0zZ ()x nm( )X z0zz第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)

36、的Z Z域分析域分析64/86 例如， 的收斂域?yàn)檎麄€(gè)z平面，而 在 處不收斂， 在 處不收斂。但如果 是雙邊序列， 的收斂域?yàn)榄h(huán)形區(qū)域，則序列位移并不會(huì)使z變換收斂域發(fā)生變化。Z ( ) 1nZ (1)nzz1Z (1)nz0z)(zX第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析65/862) 單邊單邊z變換變換 設(shè)序列 的單邊z變換為 ，則 右移k與左移k（k為正整數(shù)）后新序列的單邊 變換分別為 )(nx)(zX)(nx()01 ()()( )( )( )nk mnmkknnkZ x nkx nk zx m zzX zx n z010 ()()( )( )( )

37、nk mnm kkknnZ x nkx nk zx m zzX zx n z第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析66/86 （2.3.7） 如果 是因果序列，則 項(xiàng)都等于零，而且由于因果序列的單邊z變換與雙邊z變換是相同的，于是因果序列右移后的單邊z變換為 而因果序列左移后的單邊z變換為)(nx1( )nnkx n z)()()(zXzzXzknxZkk10 ()( )( )kknnZ x nkzXzx n z第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析67/86)(nx由于在實(shí)際中，需處理的信號(hào)大多是因果序列，除了移位性質(zhì)，以外

38、，雙邊z變換的性質(zhì)大多都適用于單邊z變換。 另外，從以上分析可知，若序列 延遲一個(gè)單位，即 ，新序列的z變換多乘一個(gè) ，所以，在后續(xù)內(nèi)容中，繪制信號(hào)流圖時(shí)常用 表示單位延遲。)(nx) 1( nx1z1z第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析68/86例例2.3.2 求序列 的z變換。 解 查表2.1.2可知依據(jù)移位性質(zhì)得因此，依據(jù)線性性質(zhì)得所求為( )( )(3)x nu nu n ( ),11zZ u nzz23 (3) ( ),11zZ u nz Z u nzz2221 ( ),111zzzzZ x nzzzz第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信

39、號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析69/863.序列指數(shù)加權(quán)性質(zhì)（序列指數(shù)加權(quán)性質(zhì)（z域尺度變換）域尺度變換） 此性質(zhì)描述了序列 乘以指數(shù) 后，其z變換如何變化。若 ， 則有 其中a為常數(shù)，可以為復(fù)數(shù)?？梢娦蛄衳(n)乘以實(shí)指數(shù)序列等效于z平面尺度展縮。 證明證明 依據(jù) 定義得 ， 即收斂域?yàn)?。)(nxna)()(zXnxZxxRzRxxnRazRaazXnxaZ),()( )( )( )( )( )nnnnnnzzZ a x na x n zx nXaaxxzRRaxxa Rza R第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析70/860jnae 依據(jù)這一性質(zhì)可見，新

40、序列z變換的零極點(diǎn)的位置均改變了。這是因?yàn)槿绻?有一個(gè)零點(diǎn)或極點(diǎn) 處，則 一定有一個(gè)零點(diǎn)或極點(diǎn)在 ，即 處。也就是說在z域發(fā)生了尺度變換。若a為正實(shí)數(shù)，則表示零極點(diǎn)位置在z平面內(nèi)沿徑向收縮或擴(kuò)展；若 ，則表示零極點(diǎn)在z平面內(nèi)圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度 。( )X zkzz( )zXakzzakzaz0jnae第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析71/864.序列的線性加權(quán)序列的線性加權(quán)(z域微分域微分) 若 則有證明證明 將z定義式 兩端對(duì)z求導(dǎo)得即xxRzRzXnxZ, )()(xxRzRzXdzdznnxZ, )()( )( )nnX zx n z11( )(

41、 )( )()( )( )nnnnnnnndX zddx n zx nzdzdzdznx n zznx n z ( )( )dX zZ nx nzdz 第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析72/86例例2.3.3 求 ， 的z反變換。 解 將 兩端對(duì)z求導(dǎo)得則查表2.1.2知 ， 依據(jù)移位性質(zhì)得 再依據(jù)z域微分性質(zhì)知 綜合上述兩式，得 即所求序列為 1( )ln(1)X zazza1( )ln(1)X zaz21( )1dX zazdzaz21( )()( )1zndX zaaau nzdzaz za11( )()(1)1zndX zazaau nzdzaz

42、 1( )( )1zdX zaznx nzdzaz 1( )()(1)nnx naau n1()(1)( )naau nx nn第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析73/865.共軛序列共軛序列 若 ，則有 其中， 為 的共軛序列。 證明 xxRzRzXnxZ, )()(xxRzRzXnxZ，)()(*)(*nx)(nxxxnnnnnnRzRzXznxznxznxnxZ，)()()()()(*第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析74/866.反褶序列反褶序列 若 ，則有 從上式可見， 的收斂域是 收斂域的倒置。證明證明即收

43、斂域?yàn)?。xxRzRzXnxZ, )()(xxRzRzXnxZ11, )1()()( nx )(nxxxnnnnnnRzRzXznxznxznxnxZ11)1()()()()(，xxRzR11第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析75/86例例2.3.4 求 的z變換。 解 由題可見， 是序列 的反褶序列，查表2.1.2知 ， 則依據(jù)反褶性質(zhì)得所求z變換為 ， ( )()nx na un( )()nx na un( )na u n11( )1nZ a u nazza1( )(1)1nX zZ a u naz1za第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與

44、系統(tǒng)的Z Z域分析域分析76/867.初值定理初值定理 若 是因果序列，則其初值為 證明證明 依據(jù)z變換定義顯然 由初值定理可以看出，若 是因果序列，則根據(jù) 就可求得 ；反過來，若因果序列 的初值為一個(gè)有限值，則其z變換 分子多項(xiàng)式z的階次一定小于等于分母多項(xiàng)式z的階次。( )x n)(lim)0(zXxz120( )( ) ( )( )(0)(1)(2)nnnnX zx n u n zx n zxxzxzlim( )(0)zX zx( )x n)(zX)0(x( )x n)(zX第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析77/868. 終值定理終值定理 對(duì)于因果

45、序列 ，若 的極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，且只允許單位圓上最多在 處有一階極點(diǎn)，則有 證明 依據(jù)序列移位性質(zhì)得因?yàn)?是因果序列，所以 ( )x n( ) ( )X zZ x n1z 11)(Re)() 1(lim)(limzznzXszXznx (1)( )(1)( ) (1)( )nnZ x nx nzX zx nx n z( )x n11(1)( ) (1)( )lim (1)( )nnmnnmzX zx nx n zx mx m z第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析78/86) 1( z又由于只允許 在z=1處可能有一階極點(diǎn)，故因子 將抵消這一極點(diǎn)，因此 在 上

46、收斂，所以可取z1的極限。所以 ( )X z) 1( z)() 1(zXz z111lim(1)( )lim (1)( )lim (0)0 (1)(0) (1)( )lim (1)lim ( )nmznmnnnzX zx mx mxxxx nx nx nx n1lim(1)( )lim ( )znzX zx n第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析79/86 顯然，只有極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，當(dāng) 時(shí) 才收斂，才可應(yīng)用終值定理。該定理又可寫為即通過 可求得 的終值。n( )x n1( )Re ( )zxs X z )(zX( )x n第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離

47、散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析80/869.有限項(xiàng)累加特性有限項(xiàng)累加特性 對(duì)于因果序列 ，若 ， ，則有 證明 令 ，顯然 也為因果序列，則依據(jù)定義得( )x n( ) ( )X zZ x nxzR0( )( ),max,11nxmzZx mX zzRz0( )( )nmy nx m( )y n000 ( )( )( )nnnmnmZ y nZx mx m z 第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析81/86由此可知n、m的取值范圍分別為 ，如圖2.3.1所示，交換求和次序，得收斂域?yàn)榈谝淮吻蠛徒Y(jié)果 的收斂域 及 收斂域 的重疊部分。0,),0, nmn

48、 1max),(1)(1111)()1 ()()()()(00110210000， xmmmmmmmmnnnnnmnmRzzXzzzmxzzzmxzzzmxzmxzmxmxZ111 z1z( )X zxzR第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析82/8610.序列的卷積和序列的卷積和(時(shí)域卷積定理時(shí)域卷積定理) 若 ； ，則 的z變換為 ( ) ( ),xxX zZ x nRzR( ) ( ),hhH zZ h nRzR( )( )( )y nx nh n( ) ( ) ( )( )( )( ),max,min,xhxhY zZ y nZ x nh nX z

49、H zRRzRR Y(z)的收斂域是X(z)和H(z)收斂域的重疊部分。但如果位于某一z變換收斂域邊緣上的極點(diǎn)被另一z變換的零點(diǎn)抵消，則收斂域?qū)?huì)擴(kuò)大。第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析83/86證明證明 ( )( ) ( )( )nnZ x nh nx nh n z( ) ()( )()( )( )( )( )( )( ),max,min,nnmnmnkmmkmmxhxhx m h nm zx mh nm zx mh k zzx m zH zX z H zRRzRR 第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析84/86 可見

50、兩序列在時(shí)域中的卷積對(duì)應(yīng)于在z域中兩序列z變換的乘積。在分析離散線性移不變系統(tǒng)中，時(shí)域卷積定理特別重要。如果x(n)與h(n)分別為線性移不變離散系統(tǒng)的激勵(lì)和單位抽樣響應(yīng)，那么在求系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)y(n)時(shí)，可以避免卷積運(yùn)算，通過X(z)H(z)的逆變換求出y(n)，在很多情況下，這樣會(huì)更方便些。第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析85/86例例2.3.3 已知 ， 求 。 解 、 的z變換分別為則依據(jù)時(shí)域卷積定理，得 ， 1( )( ), ( )( )(1),nnnx na u n h nb u nabu nba( )( )( )y nx nh n( )x n

51、( )h n( ) ( ),zX zZ x nzaza1( ) ( ),zzzazaH zZ h nazzbzbzbzbzbzb( )( )( )zzazY zX z H zza zbzbzb第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析86/86( )Y z上式中 的極點(diǎn)與 的零點(diǎn)相消， 的收斂域擴(kuò)大為 ，所以( )X z( )H z( )Y z1( )( )( ) ( )( )ny nx nh nZY zb u n第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析87/8611.序列相乘序列相乘(z域卷積定理域卷積定理) 若 ； ， ， 則

52、的z變換為 , (2.3.16) 其中, c是在啞元變量v平面上， 、 公共收斂域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的一條逆時(shí)針封閉圍線。( ) ( ),xxX zZ x nRzR( ) ( )H zZ h nnnRzR( )( ) ( )y nx n h ndvvvzHvXjdvvvHvzXjnyZzYcc11)()(21)()(21)()(nxnxRRzRR( / )X z v( )H v第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析88/86例例2.3.4 已知 ， 求 。 解：解： 1( )( ), ( )(1)nnx na u n h nbu n( ) ( ) ( )Y zZ x

53、n h ndvbvzavvjdvbvzavvjnhnxZzYcc)(21121)()()(abz 第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析89/86 的收斂域?yàn)?，而 的收斂域?yàn)?，即 ，則重疊部分為 ；因此圍線c內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn) ，用留數(shù)計(jì)算可得 ( )X vva( )zHvzbvzvbzavb.,)(Re)(21)(abzabzabvzvbvzavvsdvbvzavvjzYavavc第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析90/8612.帕塞瓦爾帕塞瓦爾(parseval)定理定理 若 且 ，則 (2.3.17)其中“*”表示復(fù)

54、共軛，閉合積分圍線c位于 與 收斂域的重疊部分內(nèi)（證明從略）。( ) ( ),( ) ( ),xxhhX zZ x nRzRH zZ h nRzR；，1xnxnR RR R dvvvHvXjnhnxcn1*)1()(21)()()(vX)1(*vH第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析91/86說明說明 ：這表明序列的能量可用頻譜求得。這就是帕塞瓦爾公式（定理）。為實(shí)序列時(shí)，則）當(dāng)（dvvvHvxjnhnxnhcn1)1()(21)()()(111/,1( )( )()()2jjjnvvvex n hnX eHed（2）當(dāng)圍線取單位圓時(shí)，因?yàn)閯t。22( )(

55、)1( )()2jnh nx nx nX ed（3）當(dāng)時(shí)，則第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析92/862.4 z2.4 z變換與拉普拉斯變換、傅里變換與拉普拉斯變換、傅里葉變換的關(guān)系葉變換的關(guān)系 z變換與拉普拉斯變換、傅里葉變換之間有著密切的聯(lián)系，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)換。本節(jié)詳細(xì)分析三者之間的關(guān)系。第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析93/862.4.1 z變換與拉普拉斯變換的關(guān)系1.序列序列z變換與理想抽樣信號(hào)的拉普拉斯變換的關(guān)系變換與理想抽樣信號(hào)的拉普拉斯變換的關(guān)系 設(shè) 為連續(xù)時(shí)間信號(hào)， 為其理想抽樣信號(hào)，則 的

56、拉普拉斯變換為 (2.4.1)(tx)( tx)( tx nnnsTnTsnststnstenTxenTxdtnTtenTxdtenTtnTxdtetxtxLsX)()()()()()()( )( )(第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析94/86而序列 的z變換為 考慮 ，則 時(shí)，序列 的z變換就等于理想抽樣信號(hào)的拉普拉斯變換。即 )(nxnnznxzX)()()()(nTxnxsTez )(nx( )()( )sTsTz eX zX eX s第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析95/86二者的關(guān)系，實(shí)際上就是由復(fù)變量s

57、平面到復(fù)變量z平面的映射，其映射關(guān)系為 ， 現(xiàn)在進(jìn)一步討論這一映射關(guān)系。將s用直角坐標(biāo)形式表示為而z用極坐標(biāo)形式表示為綜合考慮以上三式，得即 sTez zTsln1sj jrez TjTjeere.,TreT 第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析96/86由此可見，z的模 僅對(duì)應(yīng)于s的實(shí)部 ，而z的相角 僅對(duì)應(yīng)于s虛部的 。下面具體分析s平面與z平面的映射關(guān)系。 （1） 與與 的映射關(guān)系的映射關(guān)系 依據(jù) 知， （s平面的虛軸）映射為 （z平面單位圓）； （s平面的左半平面）映射為 （z平面的單位圓內(nèi)部）； （s平面的右半平面）映射為 （z平面的單位圓外部）。

58、其映射關(guān)系如圖2.4.1所示。rrTer01r01r01r第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析97/86圖2.4.1 與 的映射關(guān)系r第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析98/86（2) 2) 與與 的映射關(guān)系的映射關(guān)系依據(jù) 知：T (s平面的實(shí)軸)映射為 (z平面的正實(shí)軸)； 00 (常數(shù))(s平面上平行實(shí)軸的直線)映射為 （z平面上始于原點(diǎn)輻角為 的射線）；0 0T T0 由 增加到 ，對(duì)應(yīng)于 由 增加到 ，即s平面為 的一個(gè)水平條帶對(duì)應(yīng)于z平面輻角由 到 轉(zhuǎn)了一周，也就是覆蓋了整個(gè)z平面。 TT2T第第2 2章章離散

59、時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析99/86 實(shí)際上， 每增加一個(gè) ，則 相應(yīng)地增加一個(gè) ，也就是說，s平面平面上寬度為 的各個(gè)水平條帶都映射為同一個(gè)z平面，如圖2.4.2所示。2T22T圖 2.4.2 與 的映射關(guān)系第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析100/862. 序列序列z變換與連續(xù)時(shí)間信號(hào)的拉普拉斯變換的關(guān)系變換與連續(xù)時(shí)間信號(hào)的拉普拉斯變換的關(guān)系 熟悉了s平面和z平面的映射關(guān)系，就可以通過理想抽樣所提供的橋梁，找到序列x(n)的z變換X(z)與連續(xù)時(shí)間信號(hào) 的拉普拉斯變換 之間的關(guān)系。 是 的周期延拓，即 )(sX)(sXksj

60、ksXTsX)(1)(112( )( )()()sTsz ekkX zX sX sjkX sjkTTT與與 的關(guān)系為的關(guān)系為 )(zX)(sX第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析101/862.4.2 z變換和傅里葉變換的關(guān)系 我們知道，傅里葉變換可以看作是拉普拉斯變換在虛軸 的特例,因而映射到z平面上為單位圓 ，即 這就是說，序列在單位圓上的序列在單位圓上的z變換變換,就等于理想抽樣就等于理想抽樣信號(hào)的傅里葉變換信號(hào)的傅里葉變換。 jsTjez( )()()j Tj Tz eX zX eX j第第2 2章章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z Z域分