線性代數(shù)課件--第一章_矩陣

1、 第一節(jié)第一節(jié) 矩陣的概念矩陣的概念1.1 矩陣的概念矩陣的概念 矩陣是從數(shù)表抽象出來的概念。例如，考察n個變量的線性方程組其各常數(shù)aij(i=1,2,m,j=1,2,n)為方程組的系數(shù)。方程組系數(shù)組成的數(shù)表確定了方程組。因此可由該數(shù)表來研究方程組。11 11221nn21 12222nnm1 1m22mnna x +a x +a x = 0a x +a x +a x = 0a x +a x +a x = 011121n21222nm1m2mnaaaaaaaaa1.1 矩陣的概念 又如，某班同學(xué)某學(xué)期成績表組成了一張二維數(shù)表，研究該數(shù)表可獲得該班同學(xué)的有關(guān)信息。事實上應(yīng)用數(shù)表可研究的問題很多。

2、所以有必要對數(shù)表進(jìn)行研究。學(xué)號線代概率英語美學(xué)200530001001899286822005300010027685878520053000103090877577mnijijijm n由mn個數(shù)a (1im, 1jn)排成m行n列的數(shù)表稱為。 矩陣常用大寫黑斜體字母表示。數(shù)a 稱為矩陣的第i行第j列的元素，簡稱 (i,j) 元素定義陣矩陣(1.1)式也可寫作 。=(a ) 1.1 (mn矩 1.1 (mn矩) )AAA11121n21222nm1m2mnaaaaaa=aaa(1.1)1.1 矩陣的概念1212nmm 11m1 n1naa aaaan nnnb a矩陣(只有 列的矩陣)稱為

3、維列向量；矩陣(只若矩陣 的元素都是實數(shù)(復(fù)數(shù))， 為實 復(fù) 矩陣。向量常用小寫黑斜體字母表示。列向矩陣也稱為 階矩陣或 階方陣。一階矩陣只量，行向量行、列向量手有 行的矩陣)稱為 維行向量有一寫為 、 。個元素。# # # # # # # AAab( () )1.1 矩陣的概念例例1.2 設(shè)平面直角坐標(biāo)系xOy繞原點O旋轉(zhuǎn)角后，得到新的坐標(biāo)系x1Oy1，如下圖所示。平面上一點A在這兩個坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(x,y)和(x1,y1)之間有關(guān)系111111xx cosy sinyx siny coscossinsincos坐標(biāo)變換該線性方程組的系數(shù)矩陣稱為(陣。 矩)xOyxOy1234123jiij

4、12343j12iP ,P ,P ,PM ,M ,MP1MaPPPPM0.250.300.400.35M0.350.200.150.20M0.150.250.200.10a生產(chǎn)四類產(chǎn)品需要三種原材料。假如生產(chǎn)萬元需原材料的價值為萬元，得到。例如： 投入產(chǎn)出矩陣每列之和與1的差值為生產(chǎn)該類產(chǎn)品的潤陣 。)利(A1.1 矩的概念例例1.31.3投投入入產(chǎn)產(chǎn)出出矩矩陣陣12m2nx ,x ,x ,a ,a ,a設(shè)有城市它們之間有高速公路相連(這些公路是單向道，方向用箭頭表示)，如圖定義陣1 1例例1.4 1.4 1.1 矩的概念1x2x3x4x1a4a2a3a5aijijijijij12345123

5、41xamxaxa= (m )aaaaax10010 x=xx 若 是 的起點定義 -1 若 是 的終點 0 若 不是 的端點矩陣稱為該圖的上圖的關(guān)聯(lián)矩陣為 -陣關(guān)聯(lián)矩陣。M M1.1 矩的概念110010110000111- -1x2x3x4x1a4a2a3a5a1.1 矩陣的概念例例1.5 甲、乙二人玩擲硬幣的游戲。兩人同時各擲一枚硬幣。若兩枚硬幣以相同的一面向上，乙付給甲一元，反之甲付給乙一元。則可用如下矩陣表示各種情況下甲的收益，叫做甲的收益矩陣收益矩陣。 甲 乙 正面 反面 正面 反面 1 -1 -1 11.1 矩陣的概念矩陣的相等矩陣的相等 若兩個mn矩陣A和B的對應(yīng)元素都相等，即

6、aij=bij(1im, 1jn)，稱A和B相等，記為A=B。定義定義1.21.2 主對角線，主對角線元主對角線，主對角線元111212122212i i1122nn第 i 主對角線元主對角設(shè) 是n階矩陣，元素a 稱為 的。元素a ,a , ,a 組的線。成nnnnnnaaaaaaaaaAAAAm nm nmn0mn000000000mn 若一個矩陣的所有元素都為 ，稱它為零矩陣，記為 若其行列數(shù)不會搞錯時，也可省略下標(biāo)，簡記。陣為三三類類特特殊殊矩矩陣陣(1)(1)零零矩矩陣陣OOO1.1 矩的概念ij12n12n1212nnnija0,0000(,)00 如果 階矩陣 除主對角線元外，其他

7、元素都是零，即當(dāng)時稱 是主對角線元為,的對角矩陣，也可記為diag( ， ， ，)，即diag500例如：三階對角矩陣 = 030000 。AAD對對角角矩矩陣陣1.1 矩陣的概念(2) 對角矩陣對角矩陣1.1 矩陣的概念(3) 單位矩陣單位矩陣 主對角線元全是1的對角矩陣稱為單位矩陣單位矩陣，n階單位矩陣記為En 。 節(jié)數(shù)n不必要時可省去，這時單位矩陣記為E。nijij100010001ja = 0nija0ij 在n階矩陣 =(a )中，若當(dāng)i時都有,稱 為。 同樣，若在 階矩陣 中，當(dāng)時都有，稱為。 EAAAA定定義義 1.3 1.3 上上三三角角陣陣、下下三三角角陣陣上上三三角角陣陣下

8、下三三角角陣陣5124024300350007例如： 四階上三角矩陣10002300四階下三角矩陣05406891AB1.1 矩陣的概念第二節(jié)第二節(jié) 矩陣的運算矩陣的運算定義定義1.41.4 矩陣的和矩陣的和ijijijij()(a )(b )mnmn(i, j)ab可證明矩陣加法滿足下列運算規(guī)律 設(shè) 、 、都是矩陣設(shè)和都是矩陣，則它們的 定義為一個矩陣，其元素為 。這個矩陣記為即AABAB, AB11111n1nijij mnm1m1mnmna+ba+b+=(a+b )=a+ba+b和和BCBCmn(2)(3)換結(jié)A+ B = B+ A (A+ B)+ C = A+ (B+ C) A+ O=

9、 A(1) 交律：合律：m n1.2 矩陣的運算定義定義1.5 1.5 矩陣的差矩陣的差ijijijij11111n1nijij m nm1m1mnmn(a )(b )mnmn(i, j)ababab(ab )abab50 60 8040 5545 35 62設(shè)和都是注意：矩陣相加|減為對應(yīng)元素相加減。 具有相同行數(shù)和列數(shù)的矩陣才能相加減矩陣，則它們的差定義為一個矩陣，它的元素為 ，這個矩陣記為即|例如。ABAB, AB5090 115 13050 42 6395 77 1252312301413021035013111041.2 矩陣的運算定義定義1.6 1.6 矩陣的數(shù)乘矩陣的數(shù)乘1j11

10、22i211121n21222nm nijmnm1m21.6mn(1)m()()(2)()n(a )mnaaaaaa( a )aaa12解析幾何中定義的向量乘以一個數(shù)的規(guī)則與定義相同。矩陣的數(shù)乘運算滿足下列運算定律(設(shè) 、 為矩陣， ，是數(shù))： 數(shù) 與矩陣的乘積仍是矩陣，記 為即 ABAA, A AA 12(3)()(4)1;0(5)( 1)( 1) 即 AAAABABAAAOABAB B = B1.2 矩陣的運算120826435534221(2 )38261201(2)5344353222112 設(shè) ，滿足，求 。- ABAXBXXXBA例例解解 1231234ijij12341ij23P

11、 ,P ,PM ,M ,MM1tPMaMMMMP0.50.30.20.6aP0.10.20.50.4P0.30.20.10.3某工廠生產(chǎn)三種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品都需要四種原材料,。已知每生產(chǎn)需原材料的數(shù)量為為t，得到投入產(chǎn)出矩陣()=已知這四種原材料的價格分別是12,15,9,8(萬元/t),求這三種產(chǎn)品每t的生成成本(只計原 材料)。A例例1 1. .7 71.2 矩陣的運算123P0.5120.3 150.290.6817.1(/ t)P0.1 120.2150.590.4811.9(/ t)P0.3 120.2150.190.389.9(/ t)13 1121598 的成本為萬元的成本為萬元的

12、成本為萬元 把四種原材料的價格和三種產(chǎn)品的成本分別寫成4矩陣和矩陣 ： 解解 bcb =123iic17.1c11.9c9.9cP，其中 表示產(chǎn)品 的成本。稱矩陣 為矩陣 和 的乘積，記為 。c =cAbc = Ab1 12 21()()()i ikkjijsijikkjijijissjkam sbs nm ncca ba ba ba b設(shè)是矩陣，是矩陣，那么 和 的乘積是一個矩陣。其中1m, 1 j n記作。A=B =ABC = , CAB 只只有有當(dāng)當(dāng)?shù)诘谝灰粋€個矩矩陣陣的的列列數(shù)數(shù)等等于于第第二二個個矩矩陣陣的的行行數(shù)數(shù)時時，兩兩個個矩矩陣陣才才能能相相乘乘。定定義義1 1. .7 7

13、矩矩陣陣的的乘乘法法 乘乘積積的的( (i i, ,j j) )元元素素等等于于前前一一個個矩矩陣陣的的第第i i行行各各元元素素與與后后一一個個矩矩陣陣的的第第j j列列相相應(yīng)應(yīng)元元素素乘乘積積之之和和。111211111212212111 sjnjniiisssjsnmmmnjjaaabbbbbbiaaabbbaaa第列第列第行111111jniijinmmjmncccccciccc第行1.2 矩陣的運算2 ,(1, 1,2),302( 1, 1,2) 312( 1)3201031.832212( 1)222243 (1, 1,2)3 13( 1)3200 10( 1)02求和 其中 乘積

14、是一個數(shù)， 乘積是一個矩陣， abbaabababba ba例例解解 3360004132 02 ,513041431 54( 2)1 1320203250( 2)21513033053( 2)0 1177 10296 求ABABAB例例1.91.9解解 1.2 矩陣的運算2422,=,1211(1), (2)3224222224(1) =12111112002424=0012122422216(2) 32= 32=121154-求-ABABBAABABBAAB例例1 1. .1 10 0解解 =1.2 矩陣的運算1.2 矩陣的運算 由上述舉例可知，矩陣乘法與一般數(shù)值乘法有以下三點不同：第一，

15、矩陣乘法不滿足交換律。 AB有意義，BA可能無意義(例1.9)； 即使AB和BA都有意義，其行列數(shù)未必相同(例1.8)； 即使AB和BA都有意義，且其行列數(shù)相同，它們未必相等(例1.10)。故一般情況下， ABBA。第二，當(dāng)AB=0時，不能推出A=0或B=0。如例1.10， AB=0，但AO，BO1.2 矩陣的運算2422242200=121100110024241200241311 1210012626 13130-但又如且，但是 ABC ABAC ABACABC第三，當(dāng)ABCB且BO時，也不能斷定A=C。例如mnm s,s p,p n()();()() (1) (2)(3;()()()()

16、m n4) 結(jié)合律：設(shè)分別是矩陣，則 分配律：； 關(guān)于數(shù)乘的結(jié)合律：設(shè) 是矩陣，則 矩陣乘法與數(shù)值乘法類似的規(guī)律： 。 A,B,CAB CA BCA B CABACB C A= BA CAABA BA BAE AAEA ；ikm skrs prj p nsiririkkrk 1pkjkjkrrjr 1pirrjr=1(a ),(b ),(c ),ffa b ,gngb c()=(i, j) f c 設(shè) =記 =則 =()是mp矩陣，且=()是s矩陣，且因此矩陣的元素為ABCF AB G BC, F GAB CFC例例證證(1)(1)ppssikkrrjikkrrjr 1k 1r 1 k 1pp

17、psssikkjikkrrjikkrrjikkrrjk 1r 1k 1 r 1r 1 k 1a bca b c() =(i, j) a gab ca b ca b c()()()()sk=1而的元素為由此可知與的對應(yīng)元素相等，因此= A BCAGAB CA BCAB C A BC1.2 矩陣的運算1.2 矩陣的運算nnnmnm+nm nmnnnnmn, ( () 5 個如果 是 階方陣，則 的 次冪表示 個 的乘積，即 顯然， 對任意正整 和 有 AAAAAA AAAA = A, A= A2k1112k2k222knnnaaaaaaaaa2例如，對于對角矩陣， ，AAA1.2 矩陣的運算n22

18、3223nn10120n(n2,3,)110110110220202011110210110320202011110n201：，求的 次冪。以此類推，法 AAAAAA AA例例解解1 1 2nnn 1n 22nnn 1nn 1n1 0 110 0 12 020 0 0110 0 0n(n1)()n2!n110 0 12n20 0 0110 0 010 0 12n 0 0 010 0由于，且則： ABCBCCB COBCBBCBCCBBC解解法法2 2n10n20011.2 矩陣的運算例例1.11 1.11 求對角矩陣A=diag(a1,a2,an), B=diag(b1,b2,bn)的乘積。解

19、解 所以AB仍是對角矩陣，且AB=diag(a1b1,a2b2,an bn)。1122nn1122nna00b000a00b000a00ba b000a b000a b AB ikikkjkjijn njnnijikkjikkjikkjk 1k 1k j 1jnkjikk 1k j 1a,ika0b,kjb0c,ijca ba ba b0 ba00設(shè) 由于 是上三角陣，當(dāng)時， 設(shè) 由于 是上三角陣，當(dāng)時， 設(shè) 當(dāng)時，所以，是n階上三角矩陣。對下三角矩陣有 同樣的結(jié)果。 證證 AABBCABCAB例例1.12 設(shè)A, B是n階上三角矩陣,試證明AB仍是上三角矩陣。 設(shè)A, B是n階下三角矩陣,試

20、證明AB仍是下三角矩陣。 ikikkjkjijn nj 1nnijikkjikkjikkjk 1k 1k jj 1nikkjk 1k ja,ika0b,kjb0c,ijca ba ba ba00 b0設(shè) 由于 是下三角陣，當(dāng)時， 設(shè) 由于 是下三角陣，當(dāng)時， 設(shè) 當(dāng)時，所以，是n階下三角矩陣。 證證 AABBCABCAB111112212121212111112222112221212 (,)(,) (1. ) 5 設(shè)坐標(biāo)系上每一點對應(yīng)著在坐標(biāo)系上一點，其中寫成矩討論座標(biāo)變換與矩陣陣形式：乘法的關(guān)系。例例1.13 1.13 x OxP x xy OyQ y yxa yaxa yyxaa yya

21、 yyxa1112122221222111121221222111112222122 , , (1.5) 令：式可表示成矩陣形式：xA yxyAaaya yaayxaayxaayxyaaxyaa1.2 矩陣的運算11121212121212121211 1122221 1222(,)( ,) (1.5) (1.6 (1.6) ) 再設(shè)坐標(biāo)系上每一點對應(yīng)平面上一點，其中和分別是平面與平面之間和平面與平面之間的坐標(biāo)變換令：yyb zb zyb zby OyQ y yz OzR z zx Oxy Oyy OyzzOzyy1111222212212121212, , (1.6) (,)( ,() =)

22、()式可表示成矩陣形式：這兩個變化的復(fù)合變換把平面上一點變?yōu)槠矫嫔弦稽c，即 兩次變換形成的復(fù)合運算對應(yīng)于兩個變換矩陣的乘積。yBzxzBAy = A BzB z Azbbzbbx OxP x xz OzR z z1.2 矩陣的運算1.2 矩陣的運算12n12m11111221nn22112222nnmm11m22mnn11111221nn22112222nmx ,x ,xy ,y ,yya xa xa xya xa xa x( )yaxaxaxya xa xa xya xa xa x*y 一般地，設(shè)有從一組變量到另一組變量的變換 改寫成： 11121n1n21222n2m11m22mnnm1m

23、2mnnaaaxaaaxaxaxaxaaax1.2 矩陣的運算111121n1221222n2mm1m2mnn111121n1221222n2mm1m2mnnyaaaxyaaaxyaaaxyaaaxyaaax=yaaax所以有 記 ,得 yAxjn 1im 1ijm n(x )(y )(a ) (*)式稱為從向量到向量的一個線性變換，矩陣稱為它的系數(shù)矩陣(變換矩陣)。 利用矩陣符號，一般的線性變換( )式可表示成 稱為 的稱為 的*。yAxyAxxyAyxxy原原像像像像， 1.2 矩陣的運算例例1.14 某生態(tài)公園現(xiàn)有某種鳥類5000只，其中患病的有20%，設(shè)每年健康的鳥有20%患病，而患病

24、的鳥有60%治愈。求兩年后健康的鳥和患病的鳥各有多少？解：設(shè)轉(zhuǎn)移矩陣A為：0.8 0.640000.2 0.410000.8 0.6400038000.2 0.4100012000.8 0.638003760()0.2 0.41200124037601240 健康 患病健康，現(xiàn)有的鳥的情況為患病一年后的情況：兩年后的情況：即兩年后只鳥健康， 只鳥患病AxAxA Ax。30.70.20.100.50.30.10.10.20.30.40.1很好 較好 一般 差式樣耐穿價格某服裝公司調(diào)查一種新款服裝的銷售前景，考慮式樣、耐穿和價格 個因素。某地區(qū)抽樣調(diào)查得到的評價矩陣為若評價“很好”、“較好”、“一

25、般”和“差”分別給分3、2、1、0，那么該款服裝在式樣、耐穿和價格三方面的平均分各為例例1.15 1.15 30.70.20.102.620.50.30.10.12.210.20.30.40.11.600.50.30.2,2.60.50.30.22.22.281.6另外，需考慮不同顧客的偏好差異。設(shè)該地區(qū)顧客的偏好權(quán)重為式樣，耐穿，價格則對該款服裝評價的總平均分為 可知總平均評價略高于“較好”。 1.2 矩陣的運算定義定義1.81.8 矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置T11121112112122212222T1212Ti, j 1312725 , 35474矩陣轉(zhuǎn)置矩陣是個矩陣它的)記為(或)。則如：則

26、nmnmmmmnnnnmaaaaaaaaaaaaaaaaaaijjimn=(a )的一nm，(元素是a ,AAAAAAAT TTTTTTTTTTTTTk2T1TT12k 設(shè) =(1,2,-1), =(2,3,5),求。2(1,2,-1) 33。5轉(zhuǎn)置矩陣（1） () =(2) (+) =+轉(zhuǎn)置矩陣就是把原矩陣 的行和列互換所得的矩(3) () =(4) () =陣。 有下列一般地有(=性：，)質(zhì) AAABABAAABB AA AxyxyxAAAAAAy 例例 1 1. .6 6解解1.2 矩陣的運算1.2 矩陣的運算TTT1 12TT121TTTT22T1T ()()()mn()nm()( ,

27、 )( , )(nm),()ikm skjs nsikkjijijissjkkjn siksjijijssimabi ja ba ba ba bbaia bjja ba bi是矩陣的元素的元素是設(shè)，則是矩陣，的元素為則陣，矩證證明明( (4 4) )ABABB AA, BABAABB, A, BABB A B A1 122TT11TTTTTT1TTT1( , )( , ) ( , )( , )()()( , )( , ), , ) ()jijijssksksskijkjkkikiksi ji kk jk ij kb aa ba ba ba bnmi ji j可見，和都是矩陣的元素的元素的元素=

28、的元素的元素即，且的元素的元素ABABB AABBBABAB AA TTTTk21TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT212kk1122111223312321123441234321122112kk12k由于 () ()() ()(對于一般情況() =的遞推證明： () =或由數(shù)學(xué)歸納法)已知 ()，設(shè)(證明：) =則 (A AA AA A AAA AA A AA A A AAA A AA A A AA AAA AAAA AA AAA AAAA AAAA ATTTTTTTk+1TTTTk2k+1k211k112kk+112k2k) =() =故對任意的正整數(shù) ，() =有A

29、 AA AAA AAAAA AA AAAA A1.2 矩陣的運算定義定義1.9 1.9 對稱矩陣，反對稱矩陣對稱矩陣，反對稱矩陣i jjii jjiTTa= a (1i, jn)a= a (1i, jn)。對稱矩陣反對于 階矩陣 ，若滿足稱 為 若滿足稱 為由定義得出：是的充要條件是： ；是的充要條件是： -；10對稱矩陣：5， 反對稱矩陣：090上例中6622反對稱矩6-對稱矩陣-2-23-36陣-33 n,AAAAAAAA,A；例例對對稱稱矩矩陣陣反反 對對稱稱矩矩陣陣0的主對角線元素全部等于0，即a。ii1.2 矩陣的運算ijjiiiiiiiiia = a 000(),a = a2a =

30、 0,= 00a12131n21232n31323nn1n2n3對于反對稱矩陣的元素，-1i,jn特別當(dāng)i=j時，-故即，所以，一般反對稱反對稱矩陣主對角線上的元素均為0aaa-aaa-a-a矩陣可表示為 a-a-a- a, 若是 階矩陣設(shè) , 都是n階對稱矩陣，證明也是對稱 矩陣的充要條件是 , 可交換。設(shè)都是對稱矩陣，則 是對稱矩陣，稱是可交的。且換TTTTTn(),可可交交換換矩矩陣陣定定義義例例1.17 1.17 證證A,BA BABA BA, BAA, BB, ABABAB B AAB A,B ABBA 可交換 BAAB A,B1.2 矩陣的運算第三節(jié)第三節(jié) 逆矩陣逆矩陣 許多實際問

31、題需要研究包含n個未知量x1,x2,xn的線性方程組A=(aij)mn稱為(*)的系數(shù)矩陣，x=(xj)n1稱為(*)的未知數(shù)向量，b=(bi)m1稱為(*)的常數(shù)項向量。則上述線性方程組可寫成矩陣方程 Ax=b使用將矩陣乘法看作線性變換的觀點，解上述線性方程組就是根據(jù)系數(shù)矩陣A，從像向量b求出原像向量x。 1111221nn12112222nn2m11m22mnnma xa xa xba xa xa xba(*xaxaxb)1.3 逆矩陣 解代數(shù)方程ax=b時，可在方程兩邊同乘a-1，解得x=a-1b?？煞裼妙愃葡敕▉斫饩仃嚪匠?？1 ,1, -1 設(shè) 是階矩陣,若存在階矩陣 滿足 稱。(這類

32、似于：設(shè)是兩個實數(shù)，若則。是可逆矩陣 稱 為 的逆矩陣,記為)定定義義1 1. .1 10 0 n n階階方方陣陣的的逆逆矩矩陣陣ABBAABABBAAEnnna babbaba1.3 逆矩陣111, ()(), (,1) 若 是可逆矩陣 則 的逆矩陣是惟一的。 設(shè) ，都是可逆矩陣 的逆矩陣，則， 可見的逆矩陣是惟一的。 若表示可逆矩陣 的逆矩陣 ，于是 若 可逆 則定定理理1 1. .1 1證證定定理理1 1. .2 2 AABCA ABBAE ACCAE BBEB ACBA CECCAAAABAEAAAA=1111111, , ()()也可逆 且。若 可逆，設(shè)其逆矩陣為，則 由于，按定義，

33、也可逆，且 的逆矩陣就是 ， 記為即。證證ABAABBAEBAABAAEBBABAAA 惟一存在1.3 逆矩陣TTTTTTTTTTTTTTT1 TT1TT1T,()() ;,() = () =()() =() = ()=(2)() (-1-1-1-1-1-11-1-若 可逆 則也可逆 且 若 可逆 則 因此有 所以，也可逆，的逆矩陣是即。定定理理1.2 1.2 證證AAAAAAAA AEE AA = AAEEAAAAAEAAAA1.3 逆矩陣1111112kk2112k11111111111111,(),)()()(3)()()()若可逆 則也可逆 且。上述結(jié)論: 若都可逆 則它們的乘積也可逆

34、,且 ( 若 ， 都可逆可推廣到k個矩陣相乘的情況，則定定理理1.2 1.2 證證 BBA BABA AAABA BBAAEAAAEBAAAAABBA AAAEBA AB ABABABBB111111112kk21()由可逆矩陣定義知，是可逆的，且。而(可用數(shù)學(xué)歸納法證明。 EABAABB AAAAA A1.3 逆矩陣11111111111111111 (,), 0, 1,2, .11 (,)1111(,)000000求證下列矩陣可逆，并求出逆矩陣。(1) 其中令同樣，所以，可逆，且。例例1 1. .1 18 8 解解ABA BEB AEAABnnnnnaaiadiag aaaindiagaa

35、diagaaa1.3 逆矩陣21112222221221112112112222221222122111121122212212122223 2(2) 0 1 ,32323 21 00 10 1132133202, 0301解 ：設(shè)滿 足得 到 方 程 組 ：解 得 ： bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbABA BEA B1212333322221213322213 21 0, 0 10 1010101故可 驗 證 ：所 以 ，可 逆 ,且 BB AEAAB1.3 逆矩陣00011100-1-1-1-1 設(shè) 是n階可逆矩陣， 和 是n 1矩陣， 則矩陣方程=有惟一解。設(shè)是= 的一

36、個解，則有=由于 可逆，存在，于是= 設(shè)也是方程的解，則有= ， 由于 可逆，= 可見，方程 的解是惟一的解。=例例1.191.19解解XAXBAXBXAXBAXBAAXA BXAXBAXA BXA B1.3 逆矩陣111111111111111111111111 ,()() ( )( ) 設(shè)都是可逆矩陣 求證:也是可逆矩陣。 思路：設(shè)法把表示成可逆矩陣的乘積。即 由定理1.2(3)知，可逆，故是可逆的例例1.201.20證證A B ABABABABABABABAEEBBA ABABABAABABBABABBA1111111)() () ()()-1-1，且(。ABBABAB ABA 第四節(jié)第

37、四節(jié) 分塊矩陣分塊矩陣22221210000000010012011211001114112001010111121 為了運算的方便，有時，這種方法稱為。例如， ，把把矩矩陣陣看看成成是是由由幾幾個個小小矩矩陣陣組組成成的的矩矩陣陣的的分分塊塊22EE O AO BAA E11212211211001 14,1201 12， 22BoBB Bo =B,B=21121221221121112122100120254132，即與直接計算結(jié)果計算乘積時，可把小矩陣當(dāng)成相同。數(shù)來計算2EOBo AB =AEBBBoA BBBAB1.4 分塊矩陣1.4 分塊矩陣ijm n11121s21222sr1r2

38、1212s12rsijijrir12sjmmmmn(a )nmn,:mn(1ir,1js)rs,immmnnnnn列列列行行行一般設(shè)是矩陣 且 則可將 分塊如下其中是矩陣。若且 中行,列當(dāng) 時 AAAAAAAAAAAAAAAOj=1122rr，這時 稱為，即準(zhǔn)對角矩陣 的形式為： 準(zhǔn)準(zhǔn)對對角角矩矩陣陣AOOOAOOOAAAA1.4 分塊矩陣 分塊矩陣也可以按普通矩陣的運算方法運算。前提是: 所有小矩陣之間的運算有意義所有小矩陣之間的運算有意義。 121112111121212222122212112121212 列列列列列列行行行行行行列ssssrssrrrrsrrrsnnnnnnmmmmmm

39、nn(1)AAABBBAAABBBABAAABBB分分塊塊矩矩陣陣的的加加法法111112121121212222222111222 列列行行行sssssrrrrrsrsrnmmmABABABABABABABABABAB1.4 分塊矩陣111212112121222212 列列列行行行列列列設(shè)分塊矩陣，則 與常數(shù) 的乘積稱為分塊ssrssrrsrnnnmmmnnn(2)AAAAAAAAAAA分分塊塊矩矩陣陣的的數(shù)數(shù)乘乘12111212122212行行行矩陣 的數(shù)乘：srssrrrmmmAAAAAAAAAAA1.4 分塊矩陣12121112111111212122221222121222 列列列

40、列列列行行行行行行設(shè)，tstsrrrttttststrpppnnnpmpmpm(3)AAABBBAAABBBABAAABBB分分塊塊矩矩陣陣的的乘乘法法11112121222122112 列列列行行行分塊矩陣的乘法：其中：小矩陣kssrrrstijiskjrknnnmmmCCCCCCABCCCCCA B1.4 分塊矩陣21222T21T22T11112T1TT2T21T1121212T21T121 列列列行行行列列列設(shè)分塊矩陣其轉(zhuǎn)置矩陣：ssrrrrrsrrrssssnnnmmmmmm(4)AAAAAAAAAAAAAAAAAAAA分分塊塊矩矩陣陣的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置 1T2行行行 分塊矩陣 的轉(zhuǎn)將 轉(zhuǎn)

41、置且其每個子矩陣也都轉(zhuǎn)置的新矩置矩是。陣陣snnnAAA1.4 分塊矩陣1122112221 n ()列列列行行行設(shè) 階矩陣 是矩陣，且是 階，證明 是可逆矩準(zhǔn)對角可逆陣。矩陣rriirrirnnnnnnnnnnnAOAAOOOAOOAAA例例1 1. .2 21 1 1.4 分塊矩陣1211111221111111222212 列列列行行行令證證 OOOOBOOOOOAAAAOOOOO ABOOOAOAAAArrrrrrrrnnnnnn1.4 分塊矩陣121111112222111112211rnnrrrrnnrnrn同理有 ，所以 。則 可逆，且 OOOOOOOOOOOOEBAEABEA

42、AEA AA AEBAEAAOOOOAABOOA1.4 分塊矩陣12111222121112212211121112222122,(1,2)(), , 設(shè)有 階矩陣其中是 階可逆矩陣證明 是可逆矩陣。設(shè)法求一個矩陣使于是由， 。niniinninnnn例例1 1. .2 22 2證證 AAAOAXXAEEOAAXXAXOAXXOAAAXXXXEX1.4 分塊矩陣21111112211112122222212222, (3 (1) ( 2) ) 得， ， nn A XO AA XA XE X OEA XA X211122222211111111122222222211222221222111111222111222111111222122,(1 (4) (2) ), 可逆，由 (4)式得:同樣，由 (3)得： 代入