數(shù)列經典訓練題及詳解

1、a1數(shù)列an的前n項和Sn 2an 2n 1 I證明：數(shù)列 n是等差數(shù)列，并求數(shù)2列an的通項公式；n假設不等式 2n n 3 (5 )a.對任意n N恒成立，求實 數(shù)的取值范圍解：2已 f(x) (X 1)2,g(x) 10(x 1),數(shù)列an滿足 ai2,佝 1 an)g(an) fn) 0,9bn(n 2)(an 1). I丨求證：數(shù)列an, -1是等比數(shù)列；10n當n取何值時，bn取最大值，并求出最大值；假設Cbm-m 1-對任意m N恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.bm 13.經濟困難學生支付在校學習期間所需的學費、住宿費及生活費每一年度申請總額不超 過6000元.某大學2022屆畢業(yè)生

2、李順在本科期間共申請了24000元助學貸款，并承諾在畢業(yè)后3年內按36個月計全部還清.簽約的單位提供的工資標準為第一年內每月1500元，第13個月開始，每月工資比前一個月增加5%直到4000元.李順同學方案前 12個月每個月還款額為 500元，第13 個月開始，每月還款額比前一月多x元.I假設李順恰好在第 36個月即畢業(yè)后三年還清貸款，求x的值；II丨當x=50時，李順同學將在第幾個月還清最后一筆貸款？他還清貸款的那一個月的 工資余額是多少？參考數(shù)據：1819, 20, 214.設數(shù)列a是公差為d的等差數(shù)列，其前n項和為Sn 曰1,d2,S 641求當n N*時，n的最小值；n*232當n N

3、時，求證：SS3 S2S44n 15S3S5SnSn 2165.數(shù)列an的首項ai2an 1 1求數(shù)列On的通項公式;2設 f(x) a1x a2x2 anxn(n N ),求 a12a2 3a3 nan .6集合A x x 2n 1,n N ,B xx 6n 3, n N ，設Sn是等差數(shù)列 an的 前n項和 假設an的任一項an A B,首項a1是Al B中的最大數(shù),且750 So 300.I求數(shù)列 an的通項公式；n假設數(shù)列滿足bn(=2)an13n9，令Tn24(b2b4b6b2n)，試比擬Tn與 空丄的大小.22n 11數(shù)列an的前n項和Sn 2ana2n1證明：數(shù)列-是等差數(shù)列，并

4、求數(shù)列an的通項公式; 數(shù)n假設不等式2n2n 3 (5)an對任意N恒成立，求實解:2.已的取值范圍I當n 1時,兩式相減得：anai Si 2ai2am 2n，即項，1為公差的等差數(shù)列n/ an (n 1)2nn N恒成立.令bn22 , aian 12n2n2 (n1)原問題等價于2 n 3丁 那么bn1 bnn 2時，bn 1 bn 0, 當 n 3 時，bn 13，故37882時,Sn 2an 2n1 ,Sn 1 2an 12f(x) (x2(n21)n 1bn21) ,g(x)10(x 1),數(shù)列佝滿足a1bn細n當n取何值時，bn取最大值，并求出最大值;2)(an 1). I求證

5、：數(shù)列an, -1川mm 1假設-對任意mbmbm 1解:1 (an 1 an)g(an)(an 1 an)10(an -1) (ana12an91 10an2 數(shù)列守是以2為首an(n2n2 n(n0，當 n2,(an 1是等比數(shù)列;N恒成立，求實數(shù)f(an)0，-1)2 0.可知對任何1an 110 an9公比為的等比數(shù)列.109 bn(n 2)(an 1)10項,f (an)即(an1)2n.1)2n32門3對任意2n2n 35 2n2*2*13 時，(bn)maxan)g(an)t的取值范圍.2(an1) , g(an)1)(10an 1 -9an -1)an，二當baf(an)10(

6、an0,1),91彳an1J 10101an 1II丨由I可知9 n(n 2)(亦).an910an1是以a111為首.bn 1bn(n 2)(即-(1 丄)-10 n 2當n=7時，bsb71, bsb7;當*7時,bn 1bnbn 1bn ;當 n>7 時,bn 1bn1,bn 1當 n=7 或 n=8 時，bn取最大值，最大值為 b7b89；107t mt m 1山由一bmb m 10t9(m3)0*依題意*丨式對任意m N恒成立,當t=0時，*式顯然不成立，因此t=0不合題意.當t<0 時,1 1010，可知 tm 0m 29(m3)10t.而當m是偶數(shù)時tm0 ,因此t&

7、lt;0不合題意. 當t>0時，由tm 0m N 11分110t 門 一 9(m3)0tm 29( m 3)10(m 2)設 h(m)9(m3)10(m2)m N* h(m 1) h(m)9(m4)10(m3)9( m 3)10(m2)9 110 (m 2)(m3)0,. h(1)h(2)h(m 1) h(m) h(m)的最大值為h(1)6 所以實數(shù)t的取值范圍是t -.553.經濟困難學生支付在校學習期間所需的學費、住宿費及生活費每一年度申請總額不超 過6000元.某大學2022屆畢業(yè)生李順在本科期間共申請了24000元助學貸款，并承諾在畢業(yè)后3年內按36個月計全部還清.簽約的單位提供

8、的工資標準為第一年內每月1500元，第13個月開始，每月工資比前一個月增加5%直到4000元.李順同學方案前 12個月每個月還款額為 500元，第13 個月開始，每月還款額比前一月多x元.I假設李順恰好在第 36個月即畢業(yè)后三年還清貸款，求x的值；II丨當x=50時，李順同學將在第幾個月還清最后一筆貸款？他還清貸款的那一個月的 工資余額是多少？參考數(shù)據：1819, 20, 21解：【考點分析】 此題主要考查一元二次不等式的應用，數(shù)列的根本應用和等差數(shù)列的性質，考查等價轉化和建模能力.20 K： (1)依題武 從第個月開蛤 毎個月的述款甑対耳構成等差敬列，其中=500+rs公差為工從而，到第個月

9、，李順共還款12x500+24424x(241)2令1250弋00 +打四+西彎-1“凸。°山解之得a=20 (元片據題意，驗還可行即要使在三年全部還清，第口個月起時月必須比上一個月多還如元©分2設李順第n個月還清，那么應有12 500 (50050) (n 12) (n 12) (n 12 1 50240002整理可得n2 3n 8280，解之得30，取 n 31，即李順工作31個月就可以還清貸款. 這個月，李順的還款額為24000 12 500 (500 50) (3012)(3012) (30 12 1) 50450 元,第31個月李順的工資為1500 1.05191

10、500 2.5263789 元,因此，李順的剩余工資為 3789 4504.設數(shù)列a是公差為d的等差數(shù)列，其前S 64n N*時，一n的最小值；3339 .n項和為Sn a1,d2,1求當2當 nN時，求證:S,S4S3S5SnSn 216解1Ta11,d Snn(n 1)d6416當且僅當n 8時取等號。2nna1n 64S 64n 的最小值為16。2證明:由知SnSn 2n 1SSS? S4SS5Sn Sn 2nn2(n1=41 1 r 12 =12)24 n21113.1 122+24于11n2n+ 2 21 122(n 1)21 11 12一2+ 汁十 J 43 + 4 + + (n

11、1)21115(n 2)24416即2SSs34n 15S2S4SASnSn 2o165.數(shù)列an,的首項a15,且ar,1 2an 11求數(shù)列an的通項公式;2設 f(x)2axa?xn /anX (nN ),求 a12a2 3aa n an.解 an+i =2an+l二 an+1+1=2(an+1)又 a+1=6an+1是以6為首項，2為公式的等比數(shù)列an+仁6 2nT an=3 2n12 f &)=印+2a2x+nanxn 1 f (1)=q+2a2 + nan=3(2+2 22+n 2n) (1+2+n) =3(n1) 2n+1 +66集合A x x 2n 1,n N ,B x

12、x 6n 3, n N ，設Sn是等差數(shù)列 an的 前n項和 假設an的任一項an A B,首項a1是aD B中的最大數(shù),且所以數(shù)列an的通項公式為an 912n nbn(工2戶伽9(l-2)n£=24為斗婦+毎+=750 3。300.I求數(shù)列 an的通項公式；n假設數(shù)列 bn滿足由此可得，對任意的n N ,有 A B BaPIb中的最大數(shù)為3,即 a13設等差數(shù)列an的公差為d ,那么an3 (n 1)d ,編10(2 310) 45d30因為750 S。300,75045d30300,即 16 d6bn(?)an13n9，令Tn24(b2b4b6b2n)，試比擬Tn與上竺 的大小

13、.22n 1解I根據題設可得：集合A中所有的元素可以組成以3為首項，2為公差的遞減等差數(shù)列；集合B中所有的元素可以組成以3為首項，6為公差的遞減等差數(shù)列.由于B中所有的元素可以組成以3為首項，6為公差的遞減等差數(shù)列所以d6m(m 乙m 0),由 16 6m6 m 2，所以d12伽 _ 24 _ 24 _ 4Bh _ 24(2M-2w-l) 2斥十1 _ 矛2 + 12%2卄1于是確定Tn與二8的大小關系等價于比擬 2n與2n 1的大小2n 1由 2 2 1 1 , 22 2 2 1, 23 2 3 1 , 24 2 4 1 ,可猜測當n 3時，2n 2n 1證明如下：證法1： 1當n 3時，由上驗算可知成立