數(shù)學(xué)分析習(xí)題

1、習(xí)題小組成員：劉浩思、梅卓、韓亞松、陳薇、 石帆、陳越一.選擇題每題一分，共 1*10=10分1.函數(shù)f(x)所對(duì)應(yīng)的一個(gè)原函數(shù)為F(x),那么丨與d( f(x)dx)等價(jià)A. f (x)dx B. (f (x) c)dx正確的選項(xiàng)是dx =()xA. ln x B. In x c C In | x |3.當(dāng)a,b,c滿足丨條件時(shí)， 是有理函數(shù)A.a=O,b=O,c=R B.a=O,c=O,b=RD.a=0,c=1,b=1C. F(x) D. F(x) cD. In |x| cf(x)呼的原函數(shù)仍x(x 1)C.a=1,b=1,c=14. 以下反常積分收斂的是B.C.In xdxD.ln x

2、dx x5. 如果f(x)在-1,1上連續(xù)，且平均值為2,那么：f(x)dx ()A. 16. 假設(shè)：e2xdx 3，貝U k=(). o21C In 2D- ln 22x7. 設(shè)f (x)是連續(xù)函數(shù),且F(x) xe f(t)dt,那么 F'(x)().A.exf(e x)f(x)B.exf(e x)f(x)C.exf(ex)f(x)D.exf(ex)f(x)8. xsi nt2dt () dx aA. sinx2 sin a2B. 2xcosx2C. si nx2D. 2xsi nx2n=()x 0時(shí)，etanx ex與xn是同階無(wú)窮小，那么 f(x), g(x)是大于 0 的可導(dǎo)

3、函數(shù)，且 g(x)f'(x) f (x)g'(x) 0,那么當(dāng)啊a<x<b時(shí)有A. f(x)g(b)f(b)g(x)B.f (x)g(a)f (a)g(x)C. f(x)g(x)f(b)g(b)D.f(x)g(x)f(a)g(a)二.填空題:每題一分，共1*10=10分| x dx的值y f(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)e,-1,且在任一點(diǎn)處的切線斜率為該點(diǎn)橫坐標(biāo)的倒數(shù)，那么曲線的方程 f(x)的一個(gè)原函數(shù)為1口貝y f'(x)f(x)dx 4.sin mxcosnxdx5.limn1 xnd xo6.(x)dxab f (x)dx10xx elimxcos t2 dt0si

4、n xZvF(x),G(x)都是f(x)的原函數(shù)，貝U F(x)與G(x)滿足的關(guān)系是10. xy 4在點(diǎn)(2,2)的曲率是三.計(jì)算：每題2 分，共 2*20=40 分2.J sin5 x dx3(l-x)七3.4.dxVl+x26.f e_Ksin 5xdx8.9. 110.e_2x sinBxdx11. :12.-2 (zl)(xZ-x+l) jQX13.山14.rl dx15.116.2xzJTf *ir dx coszx4m 二丄dx17/-1口工 M 119點(diǎn)噸卡dx20.r+°° arctanxh 1+x3+ 8伽卜；)3.證明：假設(shè)和 上收斂，和】為常數(shù)，那么

5、 k.-鞏'心也收斂，且1*(,心|；小血- k-八刃卓i.i工仁工收斂，且 lmi 址 t+qq f(ic)r ，證明A=0.Cf 3、絕對(duì)收斂，且二2*8 f (X) =0,證明1 OO- 收斂。6.證明:7. 設(shè)f(x)和g(x)在a,b上都可積，請(qǐng)舉例說(shuō)明在一般情況8. 設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，且 嚴(yán)im v 證明f(x)在3-a,b上恒為09. 利用拉格朗日中值定理證明：丨當(dāng)x>0時(shí)，亠In 1+x)<1 xx成立。答案1. A解析:微分號(hào)和積分號(hào)在一起時(shí)可以互相抵消2. D解析: x有正負(fù)之分，要分情況討論3. B解析:ajc'+bjc 十 cAB_

6、C=-|x(x+l)zXss+lA(x + l)z + bx& + 1) + ex = ax2 + bx + c.形如羞的函數(shù)為有理函數(shù)，A=B=0,即a=0,c=0.1 ,廠事8 11刑匚正 dx= L 臣 dx=； 1= 1收dx In x1 x發(fā)散。In xdxix Inxd In x發(fā)散。In xdx1 xIn xd In x-I n2x2發(fā)散。5. C解析：I2八:表示圍成的面積ss=2*2=4.2x2ke k e136. C 解析：寸0 -y 2 2，k=In 27. A解析：設(shè)G(x)為f(x)的原函數(shù)F(x)二 G(e_x) G(x),F (x) = £ (e

7、x) G (x) = f(e_x)(e_K) f(x).8. C 解析：同7題。tan x 19. C 解析：一 二 一.-,時(shí)，.xt 0 時(shí)eUn5t_Jt - 1 tanx x / Iim'x 0.tan x-x 與是等價(jià)無(wú)窮小。.占疋等價(jià)無(wú)窮小時(shí)，z i, . n=3.10. A 解析：考慮單調(diào)性gwU_U 二 r, a<x<b 時(shí)有蝕、f(K)、f(b)斶 eW g(b)選 A二.填空題：1.x|x|/2+c 2.y= 山列1,9 1 cos (m + n)xcos ；'m-nx3. ； _ +c 5. 0 6. 0 7.e22 m+nm-nV28. -1

8、 9.F(X)-G(X)=C10.1.原式=J Y +x dx = f x2 dx - f dx = f xz dx - J dx + l+xl+-x£f dx - x3 - x + arctan x + C1-bX23原式 J sin4xdcos x = f(l cos2x)2 dcos x 二-cos5 弓? r:+ -cos3x £0S X + C 33.r-T- rt 1 r 8x-FS j r dx 1 f d(94x)原式二汀芋益張二j扁命+討肓寺-arcsi 皿一蠱£Vg+c4.令 x=tan t原式j(luò)彗心畔軸2J tan4t J sdn4t1 si

9、n2tsin4tdsin t3sin3t +2x3 + 3xxn + 1 = t.x = VT7!原式(n 為-小-1* If 1二 J tVtl dt=nJ (t-l)tdt1 I Xn二評(píng) Iml+cmE HCTE H8LHQv<e>OH a + h OH ) +<<4 w + XZ 川a %Md+ s + Q + %)(»+總匡Q+woIHISlfrilg+也宥起盤(pán).xpf xg u'sf 胃 耐 xg 叨 8 g 丨制-xg 口妬 I HwpMaJxs S J S + 同2 xg «H xp Qo)xg sen s J早9制£

10、;sH笊MIn |+ In 1 日-arctanx+C原式=4t2dtt+廠 2+4H + Ct2 +t二 2 低4 坂 + 4 In | x d- 1| + C10原式1e 2xdcos 5x5 01(e2 x cos 5 x02e 2x cos 5xdx )50142x .-e sin5xdx525 0故 U'-二；11.一 -“ 二廣 . 丄 _ -"u35710512)-_匸-13- -二二二V1 x = t-2tdt原式訂原式=-兀 _t)lnsiriO t)dt = Flnsintdt令L . .71?.匚'-217原式In x limx 11In x 1

11、-18tanx3 x原式limx 0x221 sec x lim2x 0 3x2limx 0x23x2V2+4x = t+c4o四.證明題：1. 證：由于-；,而i二h收斂，故i也收斂2l+xJJ-人 T+對(duì)分又arctanx在1, +上單調(diào)有界，因此又Abel判別法，廣十少arc tans .“人,， 八、收斂4分簽qp2. 證明：因?yàn)樯稀? 二匸二.】.=1 1分廣+七&1廠十8 J所以當(dāng)p-q>1時(shí)，一收斂，從而.收斂2尸十81尸十8 k©分當(dāng)p-q'1時(shí)，.；發(fā)散3分，從而_: 也發(fā)散。4分3. 證明：令 ' 'fl,' d

12、9;.=nv.I i二捍I *00嚴(yán)卜I一I g X. 士Hiig?雹上1 分，貝匚J .' 飛=二.，.-.：-.亠.-.-2 分=： li以上 T8 ，匚._ _ ' . ： :3分=:比乞心-心J g(X)dx故收斂。4分4. 證明：假設(shè) A 0,不妨設(shè)A>0,那么由 血£：+J& = A知，對(duì) >0,M>max0,a,當(dāng) x>M時(shí)，有|f(x)-A|<2 分所以f(x)>A-=，于是 -=IJ U也=匸片花"仁 ：(-'d：(3分)而匕.X、訃匚工發(fā)散，故J j I - :-. 1 d. ：,發(fā)散，

13、這與矛盾，因此A=0. 4分5. 證明：由1廿仏一 +亠辱=0知，山使得當(dāng)x>A時(shí)，總有 | f(x)|<1(2分)即m<=|f(x)|,因?yàn)榉e分d(x)收斂。故.(.hx'r clx收斂。4 分6. Uf.，令4(x.' = sinI1_1xJir(x) = cos x原式+ (n - 1)-Fl 1sm Xxcosxsinn_2xcos2xdx-n 1 sm xcosx+ (n 1)sinn_2x(l 一 sin2x) dxsin4x)dxn-2jj)=-sinnixcosx+(n-l)(I T -sinI1_1xcosx+(n亡 n4分7 .例如. J ,那么f(x)dx =乙丿0g(x)dx = 2,f(x)g(x)dx = 2f所以.:二丨 8.證明：反證法 假設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，可知在a,b上連續(xù)，且二I,'-八與0矛盾，所以f(x)在a,b上恒為0.9.證：設(shè) ft)=ln(1+t)，那么 f't)=1 t因?yàn)镮n 1+t丨在0,x上連續(xù)。在0,x)上可導(dǎo)，所以滿足拉格朗日中值定理的條件，0，x