數(shù)學(xué)歸納法典型例題

1、數(shù)學(xué)歸納法典型例題教學(xué)內(nèi)容：高三復(fù)習(xí)專題：數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)目的掌握數(shù)學(xué)歸納法的原理及應(yīng)用三.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法的原理及應(yīng)用四知識(shí)分析【知識(shí)梳理】數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法，在高等數(shù)學(xué)中有著重要 的用途，因而成為高考的熱點(diǎn)之一。近幾年的高考試題，不但要求能用數(shù)學(xué)歸納 法去證明現(xiàn)代的結(jié)論，而且加強(qiáng)了對(duì)于不完全歸納法應(yīng)用的考查， 既要求歸納發(fā) 現(xiàn)結(jié)論，又要求能證明結(jié)論的正確性，因此，初步形成“觀察一-歸納一-猜測(cè) 證明的思維模式，就顯得特別重要。般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按以下步驟進(jìn)行:1歸納奠基證明當(dāng)n取第一個(gè)值n= n °時(shí)命題成立；2歸納遞推假設(shè)n

2、=2%用曲丨時(shí)命題成立，證明當(dāng)"知1 時(shí)命題也成立。只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從 開始的所有正整數(shù)n都成 立。上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。數(shù)學(xué)歸納法是推理邏輯，它的第一步稱為奠基步驟，是論證的根底保證， 即通過驗(yàn)證落實(shí)傳遞的起點(diǎn)，這個(gè)根底必須真實(shí)可靠；它的第二步稱為遞推步驟， 是命題具有后繼傳遞性的保證，即只要命題對(duì)某個(gè)正整數(shù)成立，就能保證該命題 對(duì)后繼正整數(shù)都成立，兩步合在一起為完全歸納步驟， 稱為數(shù)學(xué)歸納法，這兩步 各司其職，缺一不可，特別指出的是，第二步不是判斷命題的真?zhèn)危亲C明命 題是否具有傳遞性，如果沒有第一步，而僅有第二步成立，命題也可能是假命題【要點(diǎn)解析】1

3、、用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)問題的關(guān)鍵在第二步，即 n = k + 1時(shí)為什么成立， n = k + 1時(shí)成立是利用假設(shè)n= k時(shí)成立，根據(jù)有關(guān)的定理、定義、公式、性質(zhì) 等數(shù)學(xué)結(jié)論推證出n = k + 1時(shí)成立，而不是直接代入，否那么n = k + 1時(shí)也成假設(shè) 了，命題并沒有得到證明。用數(shù)學(xué)歸納法可證明有關(guān)的正整數(shù)問題，但并不是所有的正整數(shù)問題都 是用數(shù)學(xué)歸納法證明的，學(xué)習(xí)時(shí)要具體問題具體分析。2、運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)易犯的錯(cuò)誤1對(duì)項(xiàng)數(shù)估算的錯(cuò)誤，特別是尋找 n= k與門=k + 1的關(guān)系時(shí)，項(xiàng)數(shù)發(fā)生什么變化被弄錯(cuò)2沒有利用歸納假設(shè)：歸納假設(shè)是必須要用的，假設(shè)是起橋梁作用的, 橋梁斷了就通不過去了。3

4、關(guān)鍵步驟模糊不清，“假設(shè)n= k時(shí)結(jié)論成立，利用此假設(shè)證明n =k+ 1時(shí)結(jié)論也成立，是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵一步，也是證明問題最重要的環(huán) 節(jié)，對(duì)推導(dǎo)的過程要把步驟寫完整，注意證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)性、標(biāo)準(zhǔn)性。【典型例題】1 1 1 例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明："酎時(shí)，1 -_ 1 _ 1 _ 1 _ 1解析：當(dāng)：-時(shí)，左邊 Li I，右邊:11k - ，左邊=右邊，所以等 式成立。1 丄1k假設(shè)'時(shí)等式成立，即有-U3 + 3x5+ ' +2k-12k-bl中3k + lpk+3= 2k + l+21s+ l2k-n 3 ' 1，那么當(dāng)時(shí)，k2k + 3+ 12k2 + 3k

5、 + 1"2k + lX2k-h 3'2k+ l2k+ 3：k-hl k+l=2k*3 二 2k十 1十 1,所以當(dāng)-時(shí)，等式也成立。由，可知，對(duì)一切' H等式都成立。點(diǎn)評(píng)：1用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的一些等式， 命題關(guān)鍵在于“先 看項(xiàng)，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項(xiàng)，項(xiàng)的多少與 n的取 值是否有關(guān)，由 到-時(shí)等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng)。2在本例證明過程中，I丨考慮“n取第一個(gè)值的命題形式時(shí)，需認(rèn) 真對(duì)待，一般情況是把第一個(gè)值代入通項(xiàng)，考察命題的真假，II :步驟在由 '到的遞推過程中，必須用歸納假設(shè)，不用歸納假設(shè)的證明就不是數(shù) 學(xué)

6、歸納法。此題證明U-.-:時(shí)假設(shè)利用數(shù)列求和中的拆項(xiàng)相消法，即_ 1 " 31靈 樂十3丿5k "，貝q這不是歸納假設(shè)，這是套用數(shù)學(xué)歸納法的一種偽 證。3在步驟的證明過程中，突出了兩個(gè)湊字，一“湊假設(shè)，二“湊結(jié)論，關(guān)鍵是明確時(shí)證明的目標(biāo)，充分考慮由到時(shí)，命題形式之間的區(qū)別和聯(lián)系。111 1 1 1 1 11 4- 1+ =+ +# 例 2.2342n -1 面：n+1 口 + 22n 011 1解析：1當(dāng) -一時(shí)，左邊 ；，右邊，命題成立。2假設(shè)當(dāng)- ' 時(shí)命題成立，即Ill11l 一 -f-2 3 42k-1 2k11I=+十 十. 1 -,那么當(dāng)一一-一-時(shí)，1

7、11 1 1 1 1=1 4- + +左邊1 1 1 1 1-I* +4i + 1 k * 2 2k 21c # 1 2k+ 21 I11=十十十"-+ 。上式說(shuō)明當(dāng)-卜丨時(shí)命題也成立。由1 2知，命題對(duì)一切正整數(shù)均成立不等式例3.用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切大于1的自然數(shù)n，、-：L - 成立。1丄衛(wèi)解析：當(dāng)二時(shí)，左二，右-，左右,不等式成立。假設(shè)一:時(shí)，不等式成立，即1 +1 2k-ij 'U 5J那么當(dāng)一 時(shí),2k- 1J1十難+ 1)1J2k 斗 12k+ 22 2k+ 12 k+ 32-V2kTl/4ks +8k + 4 J*宀 ) _ V2k + 3 - J2k +

8、l2忌十 i2j2k十 12 - 72k+ 1J此+1)+1 2 ,J時(shí)，不等式也成立。由，知，對(duì)一切大于1的自然數(shù)n,不等式都成立。點(diǎn)評(píng)：1此題證明命題成立時(shí)，利用歸納假設(shè)，并對(duì)照目標(biāo)式進(jìn)行了恰當(dāng)?shù)目s小來(lái)實(shí)現(xiàn)，也可以用上歸納假設(shè)后，證明不等式k +1-' 成立。2應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明與非零自然數(shù)有關(guān)的命題時(shí)要注意兩個(gè)步驟缺一 不可，第步成立是推理的根底，第步叫二亠；是推理的依據(jù)即： 成立，那么1亠一成立，成立，從而斷定命題對(duì)所有的自然數(shù)均成立。 另一方面，第步中，驗(yàn)證"-中的未必是1,根據(jù)題目要求，有時(shí)可為2, 3等；第步中，證明一L:時(shí)命題也成立的過程中，要作適當(dāng)?shù)淖冃?，設(shè)

9、法 用上歸納假設(shè)。1111 a4+ 4- - - 4 a例4.假設(shè)不等式' 對(duì)一切正整數(shù)n都成立,求正整數(shù)a的最大值，并證明你的結(jié)論。1 1 3 1 _ 26 解析：取口三1，iT7亍1十廠刃26_a_令4:-，得廠，而，所以?。海旅嬗脭?shù)學(xué)歸納法證明，11125十十十A i.L.-.ii !'!1：-時(shí)，已證結(jié)論正確2假設(shè)時(shí)，11125+ 亠> k+1k+2 3k+ 124那么當(dāng)時(shí)，有k十1十1 k十1十2+ 3k十1十3k十2十孑3k十1十11 、< 1 1 1 1 3k 十 1>+十 2 3k h- 3 3k +-4 k+ 1>25 r 112,2

10、4?k+23k+43k + l,1«k 十 12因?yàn)楣.1 12 n斗、D所以-':-' 'I : I1!1! r 125所以、一卜百二：-十imr rr即I時(shí)，結(jié)論也成立，由12可知，對(duì)一切'125> 衍十124?故a的最大值為25。例5.用數(shù)學(xué)歸納法證明：'上十 能被9整除解析：方法一：令"'T 1 '，1小 'I '1 能被9整除。2假設(shè)能被9整除，那么二恤 + 4，嚴(yán)-1卜業(yè)+1護(hù)-1-92k-F 3-7*l, ，L '''能被 9 整除。由12知，對(duì)一切 H ,

11、命題均成立。方法二：1_ I ,原式=- = '能被9整除，2假設(shè) |:'-能被 9 整除，那么I '時(shí)亠 1斗 l-7t+1 -1= 3k + l4-3l+ 6 7K - 1-3k4 lj-7k -l +3k + l +21-71= 3k + l-71 -lj + lgk +27-7 _時(shí)也能被9整除。由1， 2可知，對(duì)任何附， 能被9整除。點(diǎn)評(píng)：證明整除性問題的關(guān)鍵是“湊項(xiàng)，而采用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)和因式 分解等手段湊出1時(shí)的情形，從而利用歸納假設(shè)使問題獲證。例6.求證：_ ；能被-+ I整除，H-。解析：1當(dāng)一時(shí)，廠' 1 : 1 '，命題顯然成立。

12、2設(shè)卜時(shí)能被h-整除，那么當(dāng)、1廠時(shí)，次鬧* “1嚴(yán)】=“陶十»廳- + 1嚴(yán)】=aak+1 * a + 1嚴(yán)巧斗日+ 1畑1嚴(yán)-盤+1嚴(yán)羽陶斗a"嚴(yán)鼻叭和山門嚴(yán)。由歸納假設(shè)，上式中的兩項(xiàng)均能被整除，故時(shí)命題成立。由12可知，對(duì)，命題成立。例7.平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都交于兩點(diǎn)，且無(wú)三個(gè)圓交于一點(diǎn)， 求證：這n個(gè)圓將平面分成r I +匚個(gè)局部。解析：-時(shí)，1個(gè)圓將平面分成2局部，顯然命題成立。假設(shè).-時(shí)，個(gè)圓將平面分成一 L十.個(gè)局部，當(dāng)：時(shí)，第k+1個(gè)圓一 交前面k個(gè)圓于2k個(gè)點(diǎn)，這2k個(gè)點(diǎn)將圓 分成2k段， 每段將各自所在區(qū)域一分為二，于是增加了2k個(gè)區(qū)域，所以這

13、k+1個(gè)圓將平面分成個(gè)局部，即-1 -個(gè)局部。故：- 時(shí)，命題成立。由，可知，對(duì)，廠命題成立。點(diǎn)評(píng)：用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項(xiàng)，即幾何元素從k個(gè)變成k+1個(gè)時(shí)，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾何知識(shí)或借助于幾何圖形來(lái) 分析，在實(shí)在分析不出來(lái)的情況下，將n=k+1和n=k分別代入所證的式子，然后 作差，即可求出增加量，然后只需稍加說(shuō)明即可，這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何 命題的一大技巧。例8. f(l)“ 的結(jié)論。Fni-2+-3，是否存在關(guān)于自然數(shù)n的函數(shù)門，使等式1對(duì)于的一切自然數(shù)都成立？并證明你解析：當(dāng)，時(shí)，由' 1，|： -"；04-1當(dāng)時(shí) 由 fl+fp=g

14、3f3-l1 + 4- - 123丿猜測(cè)-丨二-。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)血 2 時(shí)，等式 f(l) + f2)+ -+f(n-l>n(fn)-l恒成立。 當(dāng)時(shí)，由上面計(jì)算知，等式成立。 假設(shè)- - I'-11叩；-成立，那么當(dāng)-一時(shí)，= kffk)-l +fk) = (k+l)f(k)-k卸訂雎杠)一丄-kK4 1=(k+llf(k+1)-l當(dāng)-I' 1 1時(shí)，等式也成立。由知，對(duì)一切:的自然數(shù)n,等式都成立。故存在函數(shù)，使等式成立。點(diǎn)評(píng)：1歸納、猜測(cè)時(shí)，關(guān)鍵是尋找滿足條件的-上-與n的關(guān)系式，猜測(cè) 的關(guān)系未必對(duì)任意的：J -"："都滿足條件，故需用

15、數(shù)學(xué)歸納法證明。2通過解答歸納的過程提供了一種思路：可直接解出，即-1nf(n)- 一口 十 1' 1- -1 - -1 ' 0【模擬試題】1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，一能被'整除時(shí)，第二 步歸納假設(shè)應(yīng)寫成A. 假設(shè):-時(shí)，命題成立B. 假設(shè)山li- +時(shí)，命題成立C. 假設(shè)11時(shí)，命題成立D. 假設(shè)時(shí)，命題成立14丄4 丄4 丄4 + -2. 證明''，假設(shè)J二時(shí)成立，當(dāng) = I- 1時(shí)，左端增加的項(xiàng)數(shù)是A. 1 項(xiàng)B. -項(xiàng)C. k 項(xiàng)D. 項(xiàng)3. 記凸k邊形的內(nèi)角和為"，那么凸 > 邊形的內(nèi)角和八'|V|+x3-

16、 JCA. :B. 'C. ' D.-'4. 某個(gè)命題與自然數(shù)n有關(guān)，假設(shè)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)時(shí)該命題也成立，現(xiàn)當(dāng)：時(shí)，該命題不成立，那么可推得A.當(dāng)二時(shí)，該命題不成立B. 當(dāng)' - '時(shí)，該命題成立C. 當(dāng)n=4時(shí)，該命題不成立D. 當(dāng)n=4時(shí)，該命題成立I 1 I111十+ 十十Z / KT *11-5. 用數(shù)學(xué)歸納法證明11 時(shí)，由:到時(shí)，不等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是A.1 , 1B.兒亠 1-C.丄+2k+l1 _ 12k+ 2 kTllilt+ D.6. 5分在數(shù)列 t中，-,且f , 2-成等差數(shù)列r表示數(shù)列3訂的前n項(xiàng)和，那么員，也，冷分別為

17、 由此猜測(cè)久=。7. 5 分 1 + 2x3-p3k33 + 4x33 + -pn-3n-1 = 3n(na- b)+c 對(duì)一切皿 N*者E成立，那么 a=，b=，c=。8. 14分由以下各式：15,11I 1111132 23234572你能得出怎樣的結(jié)論？并進(jìn)行證明。9.16分設(shè)數(shù)列"匚滿足S '，1證明：計(jì) 對(duì)一切正整數(shù)n均成立;叱-p (n U )2令 ，判斷九與-】亠的大小，并說(shuō)明理由10. 14分函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足-，一1-，數(shù)列%滿足虬&-靠|，氐町+%十 +%(! N*)。1用數(shù)學(xué)歸納法證明jSn<2證明：;。_ 311. 16分2006年，江西數(shù)列山 滿足：，且。1求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；2證明：對(duì)一切正整數(shù) n,不等式- ：1恒成立?！驹囶}答案】1. B2. D3. B4.C5. C3 715 尸-16. ：，_，；, :-丄丄丄7. ，-8. 解：對(duì)所給各式進(jìn)行觀察比擬，注意各不等式左邊最后一項(xiàng)的分母特點(diǎn)：_，；，-.，*!4 一，猜測(cè)為；-，對(duì)應(yīng)各式右n端為。歸納得一般結(jié)論當(dāng)1 1 ''