數(shù)學(xué)建模鉛球擲遠(yuǎn)

1、鉛球擲遠(yuǎn)理學(xué)院物理1011 2022533021:童一龍摘要：本文研究了鉛球擲遠(yuǎn)的問題，分析了擲遠(yuǎn)距離和出手速度、出手角度、出手高度的關(guān)系。得出了對于不同的出手速度，確定的了最正確出手角度，且比擬了擲遠(yuǎn)結(jié)果對出手速 度和出手角度的靈敏度。 由運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，影響投擲距離的因素主要有鉛球出手時(shí)的初速度、 出手角度和出手高度。本文利用物理中運(yùn)動(dòng)學(xué)知識研究鉛球投擲運(yùn)動(dòng)，通過建立模型，分析出手速度、出手角度、出手高度三個(gè)因素對投擲距離的影響，從而解決鉛球擲遠(yuǎn)問題關(guān)鍵詞:鉛球擲遠(yuǎn) 出手速度 出手角度 數(shù)學(xué)模型1背景及問題的提出鉛球擲遠(yuǎn)比賽的場地是直徑的圓，要求運(yùn)發(fā)動(dòng)從場地中將重的鉛球擲在 45°

2、的扇形區(qū)域內(nèi)，如圖1。觀察運(yùn)發(fā)動(dòng)的比賽錄像發(fā)現(xiàn)，他們的投擲角度變化較大，一般在38° 45°，有的高達(dá)55°建立模型討論以下問題：1. 以出手速度、出手角度、出手高度為參數(shù)，建立鉛球擲遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)模型。2. 給定出手高度，對于不同的出手速度，確定最正確出手角度。比擬擲遠(yuǎn) 結(jié)果對出手速度和出手角度靈敏性。3. 考慮運(yùn)發(fā)動(dòng)推鉛球時(shí)用力展臂的動(dòng)作，改進(jìn)上面的模型。2數(shù)學(xué)建模問題分析如果出手速度、出手角度、出手高度都已給定，且不考慮鉛球在空氣中所受 的阻力影響，那么根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定理可完全確定鉛球的運(yùn)動(dòng)軌跡方程。2.2模型假設(shè)假設(shè)1:以水平面為參考系，設(shè)運(yùn)發(fā)動(dòng)的出手高度為 h,

3、出手角度為出 手速度為V。，鉛球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)經(jīng)歷時(shí)間為t1，從最高點(diǎn)下落到水平面的時(shí)間 為t2，在總時(shí)間T=t1+t2內(nèi)鉛球水平方向經(jīng)過的路程即為 S。假設(shè)2.鉛球在空氣中所受的阻力對其運(yùn)動(dòng)影響甚小，忽略不計(jì)。假設(shè)3.不考慮運(yùn)發(fā)動(dòng)推鉛球時(shí)用力展臂的動(dòng)作。2.3模型建立v水平面圖2:鉛球擲遠(yuǎn)簡意圖如圖2為鉛球斜拋運(yùn)動(dòng)簡易圖，對鉛球的運(yùn)動(dòng)求解: 將出手速度V。在水平及豎直方向分解:VxV0 COSVyV Sin 鉛球從開始拋出到最高點(diǎn)經(jīng)歷時(shí)間： 鉛球最高點(diǎn)處到拋出位置的垂直高度tihiVy1 22gti 鉛球從最高點(diǎn)落到水平面的時(shí)間:t2 鉛球水平方向經(jīng)過的路程:S Vx tit2聯(lián)立以上5個(gè)方程

4、最后可得擲遠(yuǎn)距離 S與出手速度、出手角度、出手高度的函數(shù)關(guān)系式:2hv02 cos2g(v02sin 22g)2v02 sin 22g因?yàn)閷Τ鍪指叨葲]有要求，可設(shè)出手高度 h= ,g為重力加速度，取/sA2 .Matlab命令1. 建立擲遠(yuǎn)距離隨出手速度和出手角度變化的函數(shù)文件fun cti on f=fun _s(a,v)f=(2.*1.8.*v.*v.*cos(a).*cos(a)./9.8+(v.*v.*si n(2.*a)./19.6).A2)A°.5+v.*v.*si n( 2*a)./19.6;2. 在matlab中繪出函數(shù)圖像v=li nspace(0,30,100);

5、a=li nspace(0,pi/2.100);A,V=meshgrid(a,v);S=fu n_s(A,V);surf(A,V,S) ylabel'速度 V m/s'xlabel'角度'zlabel'投擲距離m'title'不同出手速度和角度對應(yīng)的拋擲距離圖像'axis(O pi/2 0 30 0 100);結(jié)果如以下圖所示：Figure 1File Edit View I nsert Tools Desktop ridow Help q a丨題目o畫刁甑百匚不同出手速度和角J8跡應(yīng)的拋擲距離圖像o o速J#Vrri/-s毎度-

6、0 0-000 呂T-40420OO33模型求解給定出手高度，對于不同的出手速度，確定最正確出手角度。S對B求導(dǎo)：2hvo2cos ( sin ) S 1 g215 2 22hvo cos2 2v°v cos2si n2gg2 2v sin22Vo cos2； g42v°2hv°2sin2 cos2sin2gg4 2v0 sin 22g2v0 cos21 2 2 ；8ghvo cos g2v。/2242g i 8ghv0 cosv0 sin 22(v0 sin2 cos22ghsin 2cos28ghv02cos2v04sin22 )要使擲遠(yuǎn)距離最大，即另S 0，

7、那么2v sin 2 cos2cos2 <8ghv2 2cosv4sin2 22ghsin20化簡最后得到：cos 2ghgh2v1 arccos2gh v所以在給定出手高度，對于不同的出手速度, 出手角度。1 arccos2gh vgh 2為最正確Matlab 命令：1.在給定出手速度v下要到達(dá)最大射程時(shí)對應(yīng)的角度 函數(shù)文件：fun cti on f=fun_sv(v) f=0.5*acos(1.8*98(1.8*9.8+v*v)/pi*180;繪出圖像：fplot('fu n_sv',0,100);xlabel'速度 V m/s'ylabel'

8、角度'title'v不同得到最大投擲距離時(shí)對應(yīng)的角度曲線'axisO 50 0 60;結(jié)果如以下圖所示：比擬擲遠(yuǎn)結(jié)果對出手速度和出手角度的靈敏性。1 對角度B求導(dǎo)函數(shù)文件：fun cti on f=fun _da(a,v)f=(v.A4.*si n(2*a).*cos(2*a)/9.8/9.8-2*h.*v.*v.*si n( 2*a)./9.8)./9.8./sqrt(8*9.8*h.*v.*v.*cos(a).A2+v.A4.*si n( 2*a).A2)+v.A2.*cos(2*a)./9.8;繪出圖像：da=fu n_da(A,V);surf(A/3.14*18

9、0,V,da)ylabel(' 速度 V m/s');xlabel('角度');zlabel('不同角度對應(yīng)的da');title('不同速度和角度下S對B求導(dǎo)圖像');axis(0 90 0 30 -100 100);結(jié)果如以下圖:Bl Figure 1-i -File Edit View Ineert T oals Desktop V/incdciw Helpmh I b i題&口尿丨口不同速度和角痰下£對o求導(dǎo)圏像速.度甲m/s30另雷園反翊嗟垣F-:角IW圖5.不同速度和角度下S對角度求導(dǎo)圖像2.S對速度

10、v求導(dǎo)函數(shù)文件：fun cti on f=fun _dv(v,a)w=4.*1.8.*v.*cos(a).*cos(a)./9.8+v.*v.*v.*si n(2.*a).*si n(2.*a)./98/9.8;q=(2.*1.8*v.*v.*cos(a)./9.8+(v.*v.*si 門(2力)./19.6)八2)八0.5; f=1/2.*w./q+v.*si n(2.*a)./19.6;繪出圖像：dv=fu n_dv(V,A)surf(A/3.14*180,V,dv)ylabel(' 速度 V m/s');xlabel('角度');zlabel('不

11、同角度對應(yīng)的dv');title('不同速度和角度下S對V求導(dǎo)圖像');axis(0 90 0 30 0 5);結(jié)果如以下圖：1二1宵File Edit Wew Tnsfirt Took DfisktapHelpDA 口冒愴型2紳©|_礙旦 LJ 不同速度和角皮"Fs對V朮導(dǎo)囹像連屢V m/eAPE也紜巡粧叵丘4結(jié)果分析、模型改進(jìn)結(jié)果分析:1.給定的出手高度，對于不同的出手速度，確定最正確出手角度。1gharccos( )根據(jù)計(jì)算結(jié)果，得出結(jié)論：當(dāng)出手角度為2gh v時(shí)，鉛球擲得最遠(yuǎn)。由圖4可知，不同的出手速度對應(yīng)不同的最正確角度，速度不斷增加的時(shí)候

12、，角度趨于45°。根據(jù)不同運(yùn)發(fā)動(dòng)的具體情況可從圖 4中確定最正確出手角度。2.比擬擲遠(yuǎn)結(jié)果對出手速度和出手角度的靈敏性。由圖像可知擲遠(yuǎn)結(jié)果對出手速度的靈敏度大于對出手角度的靈敏度。模型改進(jìn)：本方案中，忽略了鉛球在空中運(yùn)行中會(huì)受到空氣阻力的影響以及運(yùn)發(fā)動(dòng)推鉛 球時(shí)用力展臂的動(dòng)作，因此，此方案不是太完美。如果考慮空氣阻力的影響，根據(jù)鉛球運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)可以只考慮水平方向的阻力， 且阻力與速度成正比，設(shè)比例系數(shù)為 k。這時(shí)水平方向可列方程：s ks 0s(0)0, s(0) v0 coskt其解為：s(t) VoCos (1 e )/kkt因?yàn)樽枇苄。瑫r(shí)間t也很短，所以將上式e 作泰勒展開后忽略二階以上 項(xiàng)得到：s vt cos vkt2 cos2所以投擲距離S與出手角度和出手速度的關(guān)系式即可由上式進(jìn)行改進(jìn)。如果考慮運(yùn)發(fā)動(dòng)推鉛球時(shí)用力展臂的動(dòng)作，那么根據(jù)運(yùn)發(fā)動(dòng)的臂長需將出手高 度進(jìn)行