數(shù)學歸納法專題復習

1、?數(shù)學歸納法?專題復習1某個命題與正整數(shù) n有關(guān)，假設(shè)n k(k N*)時該命題成立，那么可推得 n k 1時該命題也成立，現(xiàn)在當n 5時該命題不成立，那么可推得A當n 6時，該命題不成立B.當n 6時，該命題成立C.當n 4時，該命題不成立D.當n 4時，該命題成立2用數(shù)學歸納法證明“2n 1 n2 n 2(n N ) 時，第一步驗證為 .3用數(shù)學歸納法證明：當n N時，1 2 22 23 . 25n 1是31的倍數(shù)時，當n 1時原式為，從k到k1時需增添的項是11 11 1 131 114.觀察不等式：1丄,11, 112 ,22 32372，2 315111.15 ，由此猜測第n個不等式

2、為(nN?) 2 33125凸n邊形有f(n)條對角線，那么凸n 1邊形有對角線條數(shù) f(n 1)與f(n)的關(guān)系式為6求證：132333n3n(n21)2 (nN ).7.證明不等式112, (n N).n1 18.在各項為正的數(shù)列an中，數(shù)列的前n項和S滿足Sn2* “ 1 求 ， ；2由1猜測數(shù)列 an的通項公式并證明9.選修2-2P94例2數(shù)列1 14 77 101(3n2)(3 n 1)計算,S2,S3,S4，根據(jù)計算結(jié)果，猜測Sn的表達式，并用數(shù)學歸納法證明。10.在數(shù)列 an , bn中，& 2 , b 4，且an, bn , a* 1成等差數(shù)列,bn, an i, bn

3、 i 成等比列 n N ). 1求 a2,a3,a4 與 bzbb 的值2由1猜測an , bn的通項公式，并證明你的結(jié)論.11.函數(shù) f(x) x sinx，數(shù)列an滿足：0 a1 1 , an 1f (an) , n N證明：0 an1an 1.12數(shù)列 an滿足Sn an 2n 1 .(1)寫出a1, a2, a3，并推測an的表達式;(2)用數(shù)學歸納法證明所得的結(jié)論.n?(n 1)2 忖伽2 bn c)對15數(shù)列 an的通項an13.是否存在常數(shù)a,b,c,使得等式1?222?32一切自然數(shù)n成立？并證明你的結(jié)論.1lg(1)，記Sn為an的前n項和，試比擬Sn與2n 1lg . 2n

4、 1的大小，并證明你的結(jié)論.?數(shù)學歸納法?專題復習答案1答案：C.解析：因為假設(shè)n k(k N*)時該命題成立，那么可推得 n k 1時該命題也成立，由它的逆否命題可知， 假設(shè)當n k 1時該命題不成立，那么當n k(k N*)時該命題也不成立.應(yīng)選C.2.當n 1時，左邊右邊，命題正確.3.12 22 2324, 25k111n4 .答案：1解析：232n 1231251，可猜測第n個不等式為：11221 14，右邊12124，所以左邊?5k 1?5k 43221,7231, 15241,11 n3.2n 12.5答案：f(n 1) f(n) n 1.解析：由n邊形到n 1邊形，增加的對角線

5、是增加的一個頂點與原n2個頂點連成的n2條對角線，及原先的一條邊成了對角線，故f(n 1) f (n) n 21，即 f (n 1) f(n) n 1.A r6.證明 1當n 1時，左邊=13=1，右邊=(一=1，等式成立3333k(k 1)2假設(shè)當n k時，等式成立，就是13 23 3 k3 ，那么4(k1)13 23 33 k3 (k 1)3 2 (k 1)3(2k22 2(k 1)(k2)2.即當n k 1時，等式也成立.2綜上所述，等式對任何自然數(shù)n都成立7.證明：當n1時，左邊1，右邊2 .左邊 右邊，不等式成立.假設(shè)nk時，不等式成立，即111_.k那么當nk 1 時，1A故即要證

6、明2 k 2 . k 1 ,v'k 1只需證2 一 k.k 112( k 1)，即證2. k k 1 2k 1，只要證4k(k 1)4k24k 1，即證01，而01成立，所以當nk 1時，不等式成立.由、可知，原不等式對任意自然數(shù)n都成立.8解：1當n 1時，ai丄ai 丄，1,又數(shù)列an的各項均為正數(shù)，ai 1.2a1當n2 時，S2a1 a21(a2丄2a2 2a2 1 0，a212，2a2又數(shù)列an的各項均為正數(shù)，a221.當當 n 3 時，S3 a1a2a31/ 1(a32a32as2 2as 10，as23，又數(shù)列an的各項均為正數(shù)，as32.2由1猜測數(shù)列an的通項公式為a

7、nnn 1.下面用數(shù)學歸納法證明：由1已得當n1時，命題成立；假設(shè)n k時,命題成立，即ak、kk1.，Ska1a2.ak12 132 . k k 1 k.nk 1時，S 1 1Sk 1ak 1，2ak 1即SkJak 1 (ak 121 )ak 1k1ak 1 (ak 1212)，即 ak 12 kak 1ak 110，ak 1電 kk 1，又數(shù)列an的各項均為正數(shù),ak 1k1.k.即當n k1時,命題成立.根據(jù)得n N,annn1都成立.9.選修 2-2P94 例 210.解:1由條件牛得20anan1 , an21bn bn 1又a12,a1a22b'12a224a26b|42

8、，即2a2b1b2a24b2b29同理a312a420.2a1212 , a262 3, a312 3 4 ,b316b425a420 4 5,又b1 422,b2932, b3162 242, b4255 ,猜測ann(n1)，bn(n1)2.-F面用數(shù)學歸納法證明ann(n 1) , bn (n 1)2 :當n1 時，a12 ,b4 ,結(jié)論:成立假設(shè)殳當nk(kN 時結(jié)論成立，即akk(k1)，bk(k1)2，那么當nk1時，ak 122bk ak 2(k1)k(k 1) (k 1)2(k1) k (k 1)(k2)(k2221)(k 1) 1.bk1 也 (k 1 (k 2 2) (k

9、2)2(k 1) 12.bk(k 1)2.當n k 1時，結(jié)論也成立由知，ann(n 1) , bn (n 1)2對一切正整數(shù)都成立.11 證明：先用數(shù)學歸納法證明 ：0 an 1, n N .當n1時,0a11，當 n1時，0an1 ；假設(shè)當nk( k1)時，結(jié)論成立,即0ak 1.那么當nk1時，ak1f(ak)ak sinak,ak (0,1).當 0x1時，f (x)1 cosx0 ,f (x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增f(x)在0,1上連續(xù)， f (0)f(aQf(1)，即 0 ak 11 sinl 1.當n k 1時，結(jié)論成立.由、可得，0 an 1對一切正整數(shù)都成立an12.解:1當

10、n 1時，a12 1 1，即 2a13 ,a1當n 2時,S2 a2221 ,即 a1 a2a25, a274當n 3時,S3a3231,即 a1 a2a3a37,a3由此猜測：an2n . (2)由1已得當n1時，命題成立；假設(shè)nk時,命題成立，即ak2 I 當?nk 1時，Sk 1又：0 an 1， sinan 0,an 1an， 0 an 1an sinan2322158ak1 2(k1)1 ,即Sk2ak1 2k3，又 Sk(2k 1)ak(2k11)(22k) 2k2k12k1 2ak12k3，2ak 141 ,2k1 即 ak1 2211 .即當nk1得nN,an 2 丄n2門都成

11、立.12k13 解：假設(shè)存在a,b,c，使得題設(shè)的等式成立，那么當時 n 1,2,3也成立，代入得1.2270!(3 b61(4a29a 3bc)2b c)解得3, b 11,c10,于是對n1,2,3，下面等式成立:1?222?32n?(n1)211n10)令Sn1?222?32n?(n 1)2 假k 時上Sk空衛(wèi)(3k211k12k(k 1)22(3k2 11k 10) (k 1)(k 2)2(k 1)(k 2)(3k2 5k 12k 10)匕1210)，那么 Sk 1Sk (k21)( k 2)忖(k 2)(3k 皆3(k 1)25)(k1)(k 2)2這就是說，等式當 n k 1時也成

12、立綜上所述，當 a對一切自然數(shù)n都成立.115解：Sn 皿11)(13).(111(k1)103,b11, c 10 時,題設(shè)的等式因此要比擬Sn與lg . 2n 1的大小，可先比擬(1 1)(11 1 lg(1 1)(1 -).(1).32n 11 )與2n 1的大 2n 13).(1n 1 時，1n1時1100 - 34 一 322649LI,45-91 13時,(11)(113)(115)16 農(nóng) 2 31、717525由此推測(111)(13).(12.* 2n 1.下面用數(shù)學歸納法證明上面猜測:1 1時，不等式成立.假設(shè)當n k時，不等式成立，即(1 1)(1 -).(1-)32k 11 1