工程流體力學(xué)：第14講（第4章-2量綱分析與?定理）

1、一、物理方程量綱一致性原則一、物理方程量綱一致性原則量綱：量綱：物理量單位的屬性。物理量單位的屬性。不能由其他量綱導(dǎo)出的稱為基本量綱。不能由其他量綱導(dǎo)出的稱為基本量綱。可通過基本量綱導(dǎo)出的稱為導(dǎo)出量綱?？赏ㄟ^基本量綱導(dǎo)出的稱為導(dǎo)出量綱。 基本量綱：基本量綱：長度長度LL、時間、時間TT、質(zhì)量、質(zhì)量MM、溫度、溫度 需要指出，角度和弧度屬于輔助量綱，但在量綱運算需要指出，角度和弧度屬于輔助量綱，但在量綱運算中都視為無量綱數(shù)。中都視為無量綱數(shù)。 1.1.量綱量綱2.2.物理方程量綱和諧性物理方程量綱和諧性 任何一個物理方程中各項的量綱必定相同，用量綱表任何一個物理方程中各項的量綱必定相同，用量綱表

2、示的物理方程必定是齊次性的。示的物理方程必定是齊次性的。二、二、 定理定理 如果一個物理過程涉及到如果一個物理過程涉及到 n個物理量和個物理量和r個基本量綱，則這個基本量綱，則這個物理過程可以由個物理過程可以由n個物理量組成的個物理量組成的n-r個無量綱量（相似準(zhǔn)則數(shù)個無量綱量（相似準(zhǔn)則數(shù) i）的函數(shù)關(guān)系來描述。）的函數(shù)關(guān)系來描述。 影響某種流動現(xiàn)象的物理量可以有很多。當(dāng)這些物理量間影響某種流動現(xiàn)象的物理量可以有很多。當(dāng)這些物理量間不能用微分方程表示時，通過量綱分析確定出有關(guān)相似準(zhǔn)則間的不能用微分方程表示時，通過量綱分析確定出有關(guān)相似準(zhǔn)則間的定性關(guān)系。再通過實驗進(jìn)一步確定其定量關(guān)系。定性關(guān)系。

3、再通過實驗進(jìn)一步確定其定量關(guān)系。 123(,)0nf x xxx123(,)0n rF 物理方程物理方程準(zhǔn)則方程準(zhǔn)則方程 量綱分析法中更為普遍的方法是著名的量綱分析法中更為普遍的方法是著名的定理定理,又稱泊金又稱泊金漢定理，它是泊金漢漢定理，它是泊金漢（E.Buckingham）于于1951年提出的，年提出的，應(yīng)用廣泛應(yīng)用廣泛。 無量綱數(shù)無量綱數(shù)的具體構(gòu)造方法：的具體構(gòu)造方法： （1 1）在）在n n個物理量中任選個物理量中任選r r個作為獨立變量，但這個作為獨立變量，但這r r個個獨立獨立變量的量綱不能相同，而且它們必須包含有變量的量綱不能相同，而且它們必須包含有n n個物個物理量所涉及的全

4、部基本量綱。理量所涉及的全部基本量綱。 （2 2）將剩余的）將剩余的(n-r)(n-r)個物理量分別用所選定的個物理量分別用所選定的r r個獨立個獨立變量的乘冪組合來表示，而相差的倍數(shù)就是相應(yīng)的無變量的乘冪組合來表示，而相差的倍數(shù)就是相應(yīng)的無量綱數(shù)量綱數(shù) 。實驗發(fā)現(xiàn)不可壓縮流體在管道內(nèi)流動時的壓力損失實驗發(fā)現(xiàn)不可壓縮流體在管道內(nèi)流動時的壓力損失 p p主要與速度主要與速度v v，密度，密度 ，粘度，粘度 ，管徑，管徑d d，管長，管長l l和壁面粗糙度和壁面粗糙度 有關(guān)。試將這些物理量的關(guān)系用無量綱方程來表示。有關(guān)。試將這些物理量的關(guān)系用無量綱方程來表示。解：解：描述這一流動的定性方程可寫成描

5、述這一流動的定性方程可寫成, , , , ,0fv dp l 其準(zhǔn)則方程應(yīng)為：其準(zhǔn)則方程應(yīng)為： 1234(,)0F 1111lv d2222v d3333v d4444pv d其中，待定系數(shù)其中，待定系數(shù) 由量綱的一致性原則確定。由量綱的一致性原則確定。 , 共涉及了共涉及了7 7個物理量，因此個物理量，因此n=7,n=7,選取密度選取密度MLML-3-3速度速度v vLTLT-1-1和管徑和管徑d dL L作為作為3 3個獨立變量。包括了個獨立變量。包括了3 3個基本量個基本量綱，綱，r r =3=3。1ld2d31Revd42pEuv121(,)0RelpFd dv211(,)Re 2lp

6、fvd d 211(,)Re2lpfvdd 無量綱準(zhǔn)則方程為：無量綱準(zhǔn)則方程為： 由上式可以解出壓強(qiáng)降：由上式可以解出壓強(qiáng)降：根據(jù)實驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)，沿管道的壓強(qiáng)降與管長成正比，于是：根據(jù)實驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)，沿管道的壓強(qiáng)降與管長成正比，于是： (Re,)fd22fpl vhgdg記沿程阻力系數(shù)為記沿程阻力系數(shù)為則沿程阻力損失為則沿程阻力損失為上式就是計算沿程阻力損失的達(dá)西公式上式就是計算沿程阻力損失的達(dá)西公式(Darcy)(Darcy)。 瑞利法表述： 如果一個物理過程涉及的物理量為y、x1、x2，xn，它們之間待定函數(shù)一般表示為 y=f（ x1，x2，xn ） 由于各物理量只能由基本量綱導(dǎo)出，1212n

7、aaanykx xx 12112221nnnnaaaL T ML T ML TML TM三、瑞利法三、瑞利法1 1221 1221 122nnnnnnaaaaaaaaa方程兩邊量綱一致方程兩邊量綱一致一、雷諾實驗一、雷諾實驗實驗裝置實驗裝置顏料水箱玻璃管細(xì)管閥門一、雷諾實驗一、雷諾實驗(續(xù)續(xù))實驗現(xiàn)象實驗現(xiàn)象層流：是指流體質(zhì)點不相互混雜，流體層流：是指流體質(zhì)點不相互混雜，流體作有序的成層流動作有序的成層流動 。紊流：流體質(zhì)點作復(fù)雜的無規(guī)則的運動。紊流：流體質(zhì)點作復(fù)雜的無規(guī)則的運動。著色流束與周圍流體相混，顏色擴(kuò)散至著色流束與周圍流體相混，顏色擴(kuò)散至整個玻璃管。整個玻璃管。過渡狀態(tài)：流體質(zhì)點的運

8、動處于不穩(wěn)定過渡狀態(tài)：流體質(zhì)點的運動處于不穩(wěn)定狀態(tài)。著色流束開始振蕩。狀態(tài)。著色流束開始振蕩。流渡紊 流二、兩種流動狀態(tài)的判定二、兩種流動狀態(tài)的判定1、實驗發(fā)現(xiàn)、實驗發(fā)現(xiàn)2、臨界流速臨界流速crv下臨界流速下臨界流速crv上臨界流速上臨界流速層層 流：流：不穩(wěn)定流：不穩(wěn)定流：紊紊 流：流：crvvcrcrvvvcrvv流動較穩(wěn)定流動較穩(wěn)定流動不穩(wěn)定流動不穩(wěn)定crvvcrvv二、兩種流動狀態(tài)的判定（續(xù)）二、兩種流動狀態(tài)的判定（續(xù)）3、臨界雷諾數(shù)臨界雷諾數(shù)層層 流：流：不穩(wěn)定流：不穩(wěn)定流：紊紊 流：流：Re2320cr下臨界雷諾數(shù)下臨界雷諾數(shù)Re13800cr 上臨界雷諾數(shù)上臨界雷諾數(shù)ReRecr

9、ReReRecrcrReRecrRe2000cr工程上常用的圓管臨界雷諾數(shù)工程上常用的圓管臨界雷諾數(shù)Re2000Re2000層層 流：流：紊紊 流：流：Revd雷諾數(shù)雷諾數(shù)練習(xí)練習(xí)1、如下圖所示不可壓流動，、如下圖所示不可壓流動， ，則，則 = 。122dd12ReRe2、在直徑相同的管中流過相同的流體，當(dāng)流速相等時，它、在直徑相同的管中流過相同的流體，當(dāng)流速相等時，它們的雷諾數(shù)是否相等？當(dāng)流過不同的流體時，它們的們的雷諾數(shù)是否相等？當(dāng)流過不同的流體時，它們的臨界雷臨界雷諾數(shù)諾數(shù)相等嗎？相等嗎？實驗裝置水平等徑管中穩(wěn)定流動，當(dāng)流速 v 一定時，對1、2斷面列伯努利方程，可得：hf1 1lv2

10、2p2 /dp1 /12fpphg流速流速v 與沿程水頭損失與沿程水頭損失hf一一對應(yīng)。一一對應(yīng)。沿程水頭損失沿程水頭損失 hf 可通過兩截面上的測壓管水頭差得出?？赏ㄟ^兩截面上的測壓管水頭差得出。三、沿程損失與流動狀態(tài)三、沿程損失與流動狀態(tài)三、沿程損失與流動狀態(tài)三、沿程損失與流動狀態(tài)(續(xù)續(xù))實驗結(jié)果實驗結(jié)果O hjvcr vDCBAvcr 結(jié)論：結(jié)論： 沿程損失與流動狀態(tài)有關(guān)，故計沿程損失與流動狀態(tài)有關(guān)，故計算各種流體通道的沿程損失，必須算各種流體通道的沿程損失，必須首先判別流體的流動狀態(tài)。首先判別流體的流動狀態(tài)。層流：層流：1.0fhv紊流：紊流：1.752.0fhv四、邊界層四、邊界層 當(dāng)粘性流體流經(jīng)固體壁面時，在固體壁面與流體主流之當(dāng)粘性流體流經(jīng)固體壁面時，在固體壁面與流體主流之間必定有一個流速變化的區(qū)域，在高速流中這個區(qū)域是個間必定有一個流速變化的區(qū)域，在高速流中這個區(qū)域是個薄層，稱為邊界層。薄層，稱為邊界層。五、管道入口段五、管道入口段 當(dāng)粘性流體流入圓管當(dāng)粘性流體流入圓管,由于受管壁的影響由于受管壁的影響,在管壁上形成邊在管壁上形成邊界層界層,隨著流動的深入隨著流動的深入,邊界層不斷增厚邊界層不斷增厚,直至邊界層在管軸處直至邊界層在管軸處相交相交,邊界層相交以前的管段邊界層相交以前的管段,稱為管道入口段。稱為管