微積分課件第5節(jié)隱函數(shù)的求導公式

1、1 在一元函數(shù)微分學中在一元函數(shù)微分學中,我們曾引入了隱函數(shù)我們曾引入了隱函數(shù)的概念，并介紹了不經(jīng)過的概念，并介紹了不經(jīng)過顯化顯化而直接由方程而直接由方程一一. 由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法（直接法直接法）來求它所確定的隱函數(shù)來求它所確定的隱函數(shù)y=f(x)的的導數(shù)的方法導數(shù)的方法.F(x,y)=0方程方程 兩邊對兩邊對x 求導，得求導，得0esin xyyx0eecossin xxyyyyxy所以所以, 得得.ecosesinxxyxyyy 解解(直接法直接法)例例 求由方程求由方程所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)0esin xyyx.)(yxfy 的的導導數(shù)數(shù)

2、這里將進一步從理論上闡明隱函數(shù)的這里將進一步從理論上闡明隱函數(shù)的存在性存在性，并利用多元復合函數(shù)求導的鏈式法則建立隱函數(shù)并利用多元復合函數(shù)求導的鏈式法則建立隱函數(shù)的求導公式的求導公式, 給出用偏導數(shù)來求隱函數(shù)的導數(shù)的給出用偏導數(shù)來求隱函數(shù)的導數(shù)的隱式求導法。隱式求導法。（公式法公式法）一一. 由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法 0;)y,(1)F(x 00 );(),( ),(),()( 0 00 00 00 01 1xfyxfyPUyxF 且且連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)內內唯唯一一確確定定了了單單值值在在則則注意注意: (1) 證明從略證明從略, 求導公式推導如下求導公式推導

3、如下:, 0)(, xfxF一一. .定理定理（隱函數(shù)存在定理（隱函數(shù)存在定理I I）（一元隱函數(shù)的求導公式）（一元隱函數(shù)的求導公式）將函數(shù)將函數(shù) 代入方程代入方程 得得0),( yxF)(xfy Fxy),(yxFF )(xfy )(,(xfxFF 上式兩端對上式兩端對x求導，由復合函數(shù)求導鏈式法則，得求導，由復合函數(shù)求導鏈式法則，得, 0 dxdyFFyx即即滿滿足足：若若二二元元函函數(shù)數(shù)),(yxF;),()( 0 03 30 00 0 yxFy ;),(),()(內內有有連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)在在2 20 0PUyxF.)(yxFFdxdy 有連續(xù)導數(shù)有連續(xù)導數(shù)2 2, 0 dxdyFF

4、yx即即,F),P(U,)(y0 03 30 0 使得使得可知可知由由.yxFFdxdy .,),( )(則則可可求求二二階階導導數(shù)數(shù)有有二二階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導若若yxF2 2Fxy, 0)(, xfxF一一. 由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法 yxFFdxddxyd22 yxFFdxddxyd22yxFF xy yxFFx2yyxxyxxFFFFF 2 2yyyxyxyFFFFF .2322yxyyxyyxyxxFFFFFFFF 一一. 由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法dxdyFFyyx yxFF.yxFFdxdy 例例1 設設.dd

5、0esinxyyyxx，求求 解解1(公式法公式法),esin),(xyyxyxF 令令 ,esinxxyyF 由求導公式由求導公式, 得得.ecosesinddxxyxyxyyFFxy .ecos xyyxF 所以所以, .ecosesinddxxyxyyxy 則有則有解解2(直接法直接法)解解3(微分法微分法)0eecossin dydxyydyxydxxx等式兩端求微分，得等式兩端求微分，得一一. 由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法注注1、用、用公式法公式法時，時，F(xiàn)(x,y)中的變量中的變量x，y.,yFxF 2、用、用直接法直接法時，時，應視為應視為彼此無關

6、彼此無關的變量，的變量，并利用復合函數(shù)的求導法則。并利用復合函數(shù)的求導法則。),(xfy 計算出計算出應記住應記住y是是x的函數(shù)的函數(shù)一一. 由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法解解令令則則,arctanln),(22xyyxyxF ),(yxFx,),(22yxxyyxFy ddxyFyxF .xyyx 一一. 由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法,2 22 2yxyx 解解.2sin),(xyeyyxFx 令令 .cosxyyeydxdyx2 22 2 ,2cosxyyFy 一一. 由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法

7、 ;),(),()(內內有有連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)在在1 10 0PUzyxF);,(),( ),(),()( 0 00 00 00 00 01 1yxfzyxfzPUzyxF 且且連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)內內唯唯一一確確定定了了單單值值在在則則注意注意: (1) 證明從略證明從略, 求導公式推導如下求導公式推導如下:二二. .定理定理 （隱函數(shù)存在定理（隱函數(shù)存在定理IIII）滿滿足足：若若三三元元函函數(shù)數(shù)),(zyxF;),()( ;),()( 0 03 30 02 20 00 00 00 00 00 0 zyxFzyxFz一一. 由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法.,)(

8、 zyzxFFyzFFxz 有有連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)2 2 設方程設方程 確定具有連續(xù)偏導數(shù)的二元函確定具有連續(xù)偏導數(shù)的二元函數(shù)數(shù) 0),( zyxF),(yxfz 將將z= f(x , y) 代入方程代入方程F(x, y, z)=0，得恒等式，得恒等式.0),(, yxfyxF將上式兩端分別對將上式兩端分別對x和和y求偏導，得求偏導，得 , 0 0 xzFFzx所以，所以， ,zyzxFFyzFFxz （二元隱函數(shù)求導公式）（二元隱函數(shù)求導公式）Fxyzxy0),( zyxFz且且, 0 0 yzFFzy),(zyxFF ),(yxfz ),(,(yxfyxFF 一一. 由一個方程確定的隱函

9、數(shù)的微分法由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法例例3 設由方程設由方程 確定確定 求偏導數(shù)求偏導數(shù).解解1（公式法（公式法）由求導公式得由求導公式得解解2（直接法直接法）所以所以0 xyzez),(yxzz ,),(xyzezyxFz ,yzFx ,xzFy xyeFzz zxFFxz 方程方程 兩邊對兩邊對x 求偏導得求偏導得0 xyzez0 xzxyyzxzez. xyeyzxzz 類似可得類似可得. xyexzyzz 則有則有令令 zyFFyz , xyeyzz . xyexzz 一一. 由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法解解3 （全微分法全微分法）方程方程 兩邊求全

10、微分，得兩邊求全微分，得0 xyzez0)( xydzxzdyyzdxdzezdyxyexzdxxyeyzdzzz 即即所以所以, xyeyzxzz . xyexzyzz 利用一階全微分形式的不變性來求隱函數(shù)利用一階全微分形式的不變性來求隱函數(shù)的導數(shù)時，甚至不用分清哪個是自變量，那個的導數(shù)時，甚至不用分清哪個是自變量，那個是因變量，因而十分方便。是因變量，因而十分方便。一一. 由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法解解1（公式法（公式法）由求導公式得由求導公式得,ln),(yzzxzyxF ,zFx1 1 )(2 2yzzyFy yzyzxFz1 12 2 zxFFxz

11、則有則有令令 zyFFyz ,y1 1 ,zzx1 12 2 ,xzz ,)(xzyz 2 2dz一一. 由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法22yzdyydzzyzxdzzdx 即即 )(dyyzdxzxzdz 整整理理得得 Method3.也可先求偏導再代入全微分公式得所求也可先求偏導再代入全微分公式得所求.)(2dyyzxzdxzxz 解解2 （全微分法全微分法）一一. 由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法思路思路：把把z看成看成yx,的函數(shù)對的函數(shù)對x求偏導數(shù)得求偏導數(shù)得xz ，把把x看看成成yz,的的函函數(shù)數(shù)對對y求求偏偏導導數(shù)數(shù)得得y

12、x ，把把y看成看成zx,的函數(shù)對的函數(shù)對z求偏導數(shù)得求偏導數(shù)得zy .解解令令, zyxu ,xyzv 則則),(vufz 一一. 由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法把把z看看成成yx,的的函函數(shù)數(shù)對對x求求偏偏導導數(shù)數(shù)得得把把z看成看成yx,的函數(shù)對的函數(shù)對x求偏導數(shù)得求偏導數(shù)得xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看成看成yz,的函數(shù)對的函數(shù)對y求偏導數(shù)得求偏導數(shù)得)1(0 yxfu),(yxyzxzfv 一一. 由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法整理得整理得,vuvuyzf

13、fxzff yx 把把y看成看成zx,的函數(shù)對的函數(shù)對z求偏導數(shù)得求偏導數(shù)得)1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff 一一. 由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法 例例5 設設F(xaz, ybz)=0 (a,b為常數(shù)為常數(shù)), F(u,v)可微可微, 證明由方程所確定的證明由方程所確定的z=f(x,y)滿足方程滿足方程.1 yzbxza令令u=xaz，v=ybz，uvuFFF 01vvuFFF 10vubFaF 所以所以zxFFxz 證證 設設F(x,y,z) = F(xaz, ybz)，xvFxuFFvux yvFyu

14、FFvuy zvFzuFFvuz ,vuuvuubFaFFbFaFF uvFxyz,vuvvuvzybFaFFbFaFFFFyz 從而有從而有yzbxza vuvvuubFaFFbbFaFFa . 1 1 例例5 設設F(xaz, ybz)=0 (a,b為常數(shù)為常數(shù)), F(u,v)可微可微, 證明由方程所確定的證明由方程所確定的z=f(x,y)滿足方程滿足方程.1 yzbxza令令u=xaz，v=ybz，所以所以xz 證二證二（全微分法全微分法）,vuubFaFF ,vuvbFaFFyz 從而有從而有yzbxza vuvvuubFaFFbbFaFFa . 1 1 0 0 vFuvddFuuF

15、az)-d(xvF bz)-d(y0 0 uFadz)-(dxvF bdz)-(dy0 0 vuvvbFaFFdxbF uuaFFdz.,0422222xzzzyx 求求設設練習練習：解解（公式法（公式法）則有則有令令 ,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFz由求導公式得由求導公式得zxFFxz , 2zx 22xz )2()2(2zxzxz )2(2)2(2zzxxz . )2()2(322zxz 一一. 由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法.,),(),(,),(.yzxzyxzzxzzyyxfwvufex 求求確確定定了了函函數(shù)數(shù)，方方程程具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)設設0 03 3解解.zxffxz 1 11 10 01 10 01 13 32 21 13 3