第11講齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)課件

1、第四章第四章 線性方程組線性方程組第二節(jié)第二節(jié) 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)本節(jié)教學(xué)要求： 熟悉齊次線性方程組有非零解的條件。 理解齊次線性方程組解的基本性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)。 能熟練地求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。 理解矩陣的特征值和特征向量的概念。 能熟練地計(jì)算矩陣的特征值和特征向量。二. 齊次線性方程組有非零解的條件第二節(jié)第二節(jié) 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)一. 齊次線性方程組解的基本性質(zhì)三. 齊次線性方程組的通解 齊次線性方程組 :組稱為齊次線性方程組右端全為零的線性方程 , 01212111nnxaxaxa , 02222121nnxaxaxa 02211。n

2、mnmmxaxaxa ) (nm 它的矩陣形式為 , 0AX , 其中 , 212222111211mnmmnnaaaaaaaaaA 21。nxxxX一. 齊次線性方程組解的基本性質(zhì) 線性方程組。也可用向量來(lái)表示齊次 , , , , 21222122121111mnnnnmmaaaaaaaaa記 示為則齊次線性方程組可表 02211。nnxxx 的表示法還有常用的齊次線性方程組 ) , , 2 , 1 ( 01。mixanjjj i 本性質(zhì)齊次線性方程組解的基 1 性質(zhì) 組的解。解之和仍是該齊次方程齊次線性方程組的兩個(gè) ) , ,( ) , ,( 2121是齊次線性方程組和設(shè)nn 02211n

3、nxxx , 則有的兩個(gè)解 )()()(222111nnn)()(22112211nnnn , 000 次方程組的解。即兩個(gè)解之和仍是該齊 本性質(zhì)齊次線性方程組解的基 ) , ,( 21是齊次線性方程組設(shè)n 02211nnxxx , , 有則對(duì)任意實(shí)數(shù)的一個(gè)解k 2 性質(zhì) 任意實(shí)數(shù)的乘積齊次線性方程組的解與 。仍是該齊次方程組的解 )()()(2211nnkkk , 0)(2211nnk ) , ,( 21。仍是該齊次方程組的解即nk 本性質(zhì)齊次線性方程組解的基 3 性質(zhì) 個(gè)解的線性組合齊次線性方程組的有限 。仍是該齊次方程組的解 2 1 3 的綜合。性質(zhì)和是性質(zhì)性質(zhì) 二. 齊次線性方程組有非

4、零解的條件 :是右端全部為零齊次線性方程組的特征 , 01212111nnxaxaxa , 02222121nnxaxaxa 02211。nmnmmxaxaxa ) (nm , 0 1.21稱之為平凡解。是它的一個(gè)解nxxx , 顯然 )()( . 2。ArAr ! 我們關(guān)心的是非零解 ! 非零解 1 定理 , 01212111nnxaxaxa , 02222121nnxaxaxa 02211。nmnmmxaxaxa ) (nm 設(shè)齊次線性方程組 , )( ArA的秩為的系數(shù)矩陣 )2( , )( , . 1*只有唯一的零解。則方程組若nArnm )2( , )(0 . 2*有無(wú)窮多個(gè)非零解。

5、則方程組若nAr)2(* , )( , . 1時(shí)nArnm 0det : )2( *。是一個(gè)滿秩的方陣的系數(shù)矩陣方程組AA : , )2( *知故由克萊姆法則立即可的右端全為零因?yàn)榉匠探M )2( *只有唯一的一個(gè)零解。方程組 , )(0 . 2時(shí)nAr , )( 階子式的左上角的且不妨設(shè)系數(shù)矩陣設(shè)rArAr : )(2 ) ( , *與下面的方程組同解可將由消元法則不為零 , 12211111212111nnrrrrrrxaxaxaxaxaxa , 22221122222121nnrrrrrrxaxaxaxaxaxa 22 11 22 11 。nnrrrrrrrrrrrrxaxaxaxaxax

6、a ) 3( 自由變量 , (3) 個(gè)變量且右端的的系數(shù)矩陣是滿秩的方程組rn , , , , ,21值每取定一組不全為零的可以任意取值nrrxxx , , , 21而由。一的一組相應(yīng)值由克萊滿法則可解得唯rxxx , , , , , , ,2121nrrrxxxxxx , )2( *且為非零解。的一個(gè)解即為原齊次線性方程組 )(2 , , , , *21有無(wú)窮多個(gè)非零解。的任意性由nrrxxx 此構(gòu)成的數(shù)組 個(gè)自由變量rn , 12211111212111nnrrrrrrxaxaxaxaxaxa , 22221122222121nnrrrrrrxaxaxaxaxaxa 22 11 22 11

7、 。nnrrrrrrrrrrrrxaxaxaxaxaxa )3(齊次線性方程組有非零解的條件 : 1 可知由定理 )2( , *有無(wú)窮多個(gè)非零解。齊次線性方程組時(shí)當(dāng)nm 0det )2( , *。有非零解齊次線性方程組時(shí)當(dāng)Anm , 01212111nnxaxaxa , 02222121nnxaxaxa 02211。nmnmmxaxaxa ) (nm )2(* 解是否能通過(guò)齊次線性方程組的全部 ?合表示出來(lái)它的有限個(gè)解的線性組三. 齊次線性方程組的通解 , 12211111212111nnrrrrrrxaxaxaxaxaxa , 22221122222121nnrrrrrrxaxaxaxaxa

8、xa 22 11 22 11 。nnrrrrrrrrrrrrxaxaxaxaxaxa )3( : 1 的證明過(guò)程可知由定理 )(2 , )( )(0 *的同解方程組為時(shí)當(dāng)nmnrAr 個(gè)自由變量rn , , , , , , ,2121nrrrxxxxxx )2(*的解 0 , , 0 , 1 0 , , 1 , 0 1 , , 0 , 0 依次取rccc11211 , , ,rccc22221 , , , rrnrnrnccc 2 1 , , , 解向量線性無(wú)關(guān)的個(gè)構(gòu)成rn ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( , )0 , , 0 , 1 , , , ,( 112111rccc令

9、, )0 , , 1 , 0 , , , ,( 222212rccc , )1 , , 0 , 0 , , , ,( 21 rrnrnrnrnccc 個(gè)rn 個(gè)線性無(wú)關(guān)的解。這是齊次線性方程組的rn )(2 ) , , , , , , ,( *2121 是方程組設(shè)nrrr , 則的任意一個(gè)解 , 01212111nnxaxaxa , 02222121nnxaxaxa 02211。nmnmmxaxaxa ) (nm )2(* )(2*2211的解。也是rnnrr個(gè) rn , ) , , , , , , ,(2121 nrrr 2211rnnrr , ) , , , , , , , (2121 n

10、rrrbbb : 與比較 ) , , 2 , 1 ( , 22 11。其中rnicccbirnniriri 相同 , , , 即所以個(gè)數(shù)值相同后面的與由于rn 2211。nnrr )3( )2( , *中所定義程組的任何一個(gè)解均可由方方程組就是說(shuō) )2( *的基礎(chǔ)解系。量為齊次線性方程組 )3( , , , 21中的這一組向于是稱方程組線性表出。的rn 解系齊次線性方程組的基礎(chǔ) )( )2( *解向量的一組解若齊次線性方程組 , , ,21k :滿足下列條件 , , , , . 121線性無(wú)關(guān)k , , , , )2( .221*的線性組合的任何一個(gè)解都是k )2( , , , *21的一個(gè)基

11、礎(chǔ)解系。為則稱該向量組k )2( *關(guān)組。的解向量集合的最大無(wú)基礎(chǔ)解系是 基礎(chǔ)解系不唯一。 :礎(chǔ)解系的步驟求齊次線性方程組的基 )2( . 1*。的系數(shù)矩陣寫出A . 2階的階梯形矩陣。化為相應(yīng)的運(yùn)用初等變換將rA , )3( . 3個(gè)自由變量并依次取右端的的方程組寫出形如rn (3) , ) 1 , 0 , 0( , , )0 , 1 , 0( , )0 , 0 , 1 ( 。求解的值為 ) 1 , 0 , 0( , , )0 , 0 , 1 ( . 4構(gòu)組解與相應(yīng)的將求得的rn )2( *的基礎(chǔ)解系。成 也可選其它值例解解 :礎(chǔ)解系求齊次線性方程組的基 , 072254321xxxxx ,

12、 054324321xxxx 086534321。xxxx 086530543272211A 212rr 313rr 21202014101072211 223rr 7000014101072211 232rr 73r 100000101072211 7321rrr , 100000101001201 , 3)( , 5Arn 235 個(gè)向量。基礎(chǔ)解系含rn 100000101001201 A 得到方程組 , 02431xxx , 042 xx , 05x 即有 , 2431xxx , 42xx , 05x 3x 4x 自由變量 0 1 1 0 , 1) (0, , 0) 1, (),( 43

13、解得原方程組代入方程組后依次將xxT1( 2, 0, 1, 0, 0 ) , T2( 1, 1, 0, 1, 0 ) 。的基礎(chǔ)解系為 1x 2x 3x 4x 5x 齊次線性方程組的通解 )2( *的基礎(chǔ)解系為若齊次線性方程組 , , ,21rn )2( *的通解為則 , 2211rnrnCCC ) , , 2 , 1 ( , 。為任意常數(shù)其中rniCi )(rAr例解解 :解求齊次線性方程組的通 , 072254321xxxxx , 054324321xxxx 086534321。xxxx : 剛才已解得 , 235 , 3)(rnAr 基礎(chǔ)解系為T1( 2, 0, 1, 0, 0 ) , T

14、2( 1, 1, 0, 1, 0 ) , 故所求通解為 2211CCTT12( 2, 0, 1, 0, 0 )( 1, 1, 0, 1, 0 ) , CC) , , (21為任意常數(shù)。其中CC , 01212111nnxaxaxa , 02222121nnxaxaxa 02211。nmnmmxaxaxa ) (nm )2(* , 12211111212111nnrrrrrrxaxaxaxaxaxa , 22221122222121nnrrrrrrxaxaxaxaxaxa 22 11 22 11 。nnrrrrrrrrrrrrxaxaxaxaxaxa ) 3( , 01212111nnxaxax

15、a , 02222121nnxaxaxa 02211。nmnmmxaxaxa ) (nm )2(* , 12211111212111nnrrrrrrxaxaxaxaxaxa , 22221122222121nnrrrrrrxaxaxaxaxaxa 22 11 22 11 。nnrrrrrrrrrrrrxaxaxaxaxaxa ) 3( , 01212111nnxaxaxa , 02222121nnxaxaxa 02211。nmnmmxaxaxa ) (nm )2(* , 12211111212111nnrrrrrrxaxaxaxaxaxa , 22221122222121nnrrrrrrxax

16、axaxaxaxa 22 11 22 11 。nnrrrrrrrrrrrrxaxaxaxaxaxa ) 3(四四 解線性方程組的一個(gè)應(yīng)用解線性方程組的一個(gè)應(yīng)用本節(jié)討論矩陣的特征值與特征向量 定義 4.1使得：，維非零向量及如果存在數(shù)設(shè) , nRAnn) 1 . 4(.A的一個(gè)特征向量。于特征值相應(yīng)稱為矩陣而的一個(gè)特征值為矩陣則稱 , AA 由于A .) (0EA件是齊次方程組的一個(gè)特征值的充要條為矩陣 A )2 . 4() (0 xEA.有非零解有非零解矩陣?yán)碚?，由前面學(xué)過(guò)的方程組及 (4.2) nEA）秩 ( . 0 det(）EA件是的一個(gè)特征值的充要條為矩陣 A )3 . 4(. 0 d

17、et(）EA. ) 3 . 4(.A (4.3)階多項(xiàng)式的為關(guān)于顯然特征多項(xiàng)式階行列式）的特征多項(xiàng)式（是一個(gè)稱為nn. (4.3) ）個(gè)解（重根按重?cái)?shù)計(jì)算存在由多項(xiàng)式理論，n ., A 21nn：個(gè)特征值（可能相等）在復(fù)數(shù)域上有故都成立對(duì)于每個(gè)), 2 , 1( nii. 0 det(）EAi. A . ( 量的特征向相應(yīng)與特征值即為則記為有非零解，）齊次方程組因此，iiiixEA0根計(jì)算行列式并求（)3 . 4.A 的特征值的一個(gè)基礎(chǔ)解系求特征方程組對(duì)每個(gè)特征值)2 . 4( .A 的特征向量子空間的相應(yīng)于例例4.1 求 A 的特征值和特征向量：.003007210A解：解：003007210)det(EA367)13(2, 01.133 , 2i.01求相應(yīng)特征向量為例，下