4-2不定積分的基本公式和運(yùn)算法則直接積分法

1、復(fù)習(xí)1原函數(shù)的定義。2不定積分的定義。3不定積分的性質(zhì)。4不定積分的幾何意義。引入在不定積分的定義、性質(zhì)以及基本公式的基礎(chǔ)上，我們進(jìn)一步來(lái)討論不定積分的計(jì)算問(wèn)題，不定積分的計(jì)算方法主要有三種：直接積分法、換元積分法和分部積分法。講授新課第二節(jié)不定積分的基本公式和運(yùn)算直接積分法一基本積分公式由于求不定積分的運(yùn)算是求導(dǎo)運(yùn)算的逆運(yùn)算，所以有導(dǎo)數(shù)的基本公式相應(yīng)地可以得到積分的基本公式如下：導(dǎo)數(shù)公式微分公式積分公式1(kx)kd(kx)kdxkdxkxC(k0)2(2x2)xd(!x2)xdx212xdxxC2311(-)rxx11d(_)弋dxxx11-2dxCxx4(In|x|)1xd(ln|x|)

2、dxx丄dxlnlxCx51x(1)X1xd()xdx11xdxxC(1)16(ex)exd(ex)exdxexdxexC7x/a、xC)aInaxd()adx'lna，xxaadxClna8(sinx)cosxd(sinx)cosxdxcosxdxsinxC9(cosx)sinxd(cosx)sinxdxsinxdxcosxC10(tanx)seCxdx2d(tanx)secxdx12廠dxsecxdxtanxCcosx11(cotx)csc2x2d(cotx)cscxdx12亍dxcscxdxcotxCsinx12(secx)secxtanxd(secx)secxtanxdxsec

3、xtanxdxsecxC13(esc)cscccoxd(csc)csccotxdxcscxcotxdxcscxC14(arctanx)11x1d(arctanx)2dx1x12dxarctanxC1x215(arcsinx)-2v1x1d(arcsinx)廠2dxv1x1,dxarcsinxCJ1x2以上十五個(gè)公式是求不定積分的基礎(chǔ)，必須熟記，不僅要記右端的結(jié)果，還要熟悉左端被積函數(shù)的的形式。求函數(shù)的不定積分的方法叫積分法。例1求下列不定積分(1)Adx(2)X-xdxX2121解：(1)-2dx=x2dxC-CX21x(2)x：xdx=x2dx-xC5此例表明，對(duì)某些分式或根式函數(shù)求不定積分

4、時(shí)，可先把它們化為x的形式，然后應(yīng)用幕函數(shù)的積分公式求積分。二不定積分的基本運(yùn)算法則法則1兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的積分，等于各函數(shù)積分的代數(shù)和，即f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx法則1對(duì)于有限多個(gè)函數(shù)的和也成立的.法則2被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可提到積分號(hào)外，即kf(x)dxkf(x)dx(k0)例2求(2x31ex)dx解(2x31ex)dx=2x3dx+dx-exdx4x=xxeC。2注其中每一項(xiàng)的不定積分雖然都應(yīng)當(dāng)有一個(gè)積分常數(shù)，但是這里并不需要在每一項(xiàng)后面加上一個(gè)積分常數(shù)，因?yàn)槿我獬?shù)之和還是任意常數(shù)，所以這里只把它的和C寫在末尾，以后仿此。注檢驗(yàn)解放的結(jié)果是否正確，只把結(jié)果求導(dǎo)

5、，看它的導(dǎo)數(shù)是否等于1被積函數(shù)就行了。如上例由于(一X4xexC)=2x31ex，所以結(jié)2果是正確的。三直接積分法在求積分的問(wèn)題中，可以直接按基本積分公式和兩個(gè)基本性質(zhì)求出結(jié)果(如上例)但有時(shí)，被積函數(shù)常需要經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?包括代數(shù)和三角的恒等變形)再利用積分的性質(zhì)和公式求出結(jié)果，這樣的積分方法叫直接積分法。例3求下列不定積分.(1(/x1)(x2)dx(2)ldx解：(1)首先把被積函數(shù)(、x1)(x1)化為和式，然后再逐項(xiàng)積1)(x、xx1)dxJxdx-x251x2x2C°注：(1)求函數(shù)的不定積分時(shí)積分常數(shù)C不能丟掉，否則就會(huì)出現(xiàn)概念性的錯(cuò)誤。C即可。(2)等式右端的每個(gè)

6、不定積分都有一個(gè)積分常數(shù)，因?yàn)橛邢迋€(gè)任意常數(shù)的代數(shù)和仍是一個(gè)常數(shù)，所以只要在結(jié)果中寫一個(gè)積分常數(shù)(3)檢驗(yàn)積分計(jì)算是否正確，只需對(duì)積分結(jié)果求導(dǎo)，看它是否等于被積函數(shù)。若相等，積分結(jié)果是正確的，否則是錯(cuò)誤的。(2)x2112dx(1孑)dxx1x1dx2乎x21x2arctanxC°是一種上例的解題思路是設(shè)法化被積函數(shù)為和式，然后再逐項(xiàng)積分,重要的解題方法，須掌握。練習(xí)132x3x2x4,c-dx,2x44丄dx,3x(x1)4±dx°答案12x213_x33x2ln|x|-C,xxarctarxC2arctanx求下列不定積分.(1)tan2xdxsin2-dx2

7、2解：(1)tanxdx2解：(1)tanxdx2(secx1)dxsecxdxdxtanxxC(2)sin2|dx1cosx,11,dxxsinxC222上例的解題思路也是設(shè)法化被積函數(shù)為和式，然后再逐項(xiàng)積分，不過(guò)它實(shí)現(xiàn)化和是利用三角式的恒等變換。練習(xí)cot2xdx2答案cotxxCx.cosdx2-(xsinx)2cos2xdxcosx-sinxsinx-cosxC設(shè)f(sin2x)cos2x，求f(x).解：由于f(sin2x)cos2x1sin2x，因此所以f(x)1x，故知f(x)是1x的原函數(shù),2f(x)X(1x)dxxC-2小結(jié)基本積分公式，不定積分的性質(zhì)，直接積分法。練習(xí)求下列不定積分.2(12sinx)dx(2)(x12.cosxsin-)dx，x(1)csc(cscx3rr)dt，cotx)dx，(5)(8)(6xx6)dx，cos2x|2dx，sinx(9)噸sin-)2dt，(10)2(tan2exx1)dx，(11)ex(3x)dx。答案1x2cosx2ln|x|2tanx-cotxC,2tIn|t|2arcsin3arctahC,6xln6cotxcscxC,cotx2C,costC,10(3e)xtanx2xC，112arcsin