71平面向量的概念及線性運(yùn)算說(shuō)課材料

1、【課題】7.1平面向量的概念及線性運(yùn)算【教學(xué)目標(biāo)】知識(shí)目標(biāo)：（1）了解向量的概念；（2）理解平面向量的線性運(yùn)算；（3）了解共線向量的充要條件能力目標(biāo)：（1）能將生活中的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題抽象為向量問(wèn)題；（2）正確進(jìn)行平面向量的線性運(yùn)算，并作出相應(yīng)的圖形；（3）應(yīng)用共線向量的充要條件判斷兩個(gè)向量是否共線；（4）通過(guò)相關(guān)問(wèn)題的解決，培養(yǎng)計(jì)算技能和數(shù)學(xué)思維能力情感目標(biāo)：（1）經(jīng)歷利用有向線段研究向量的過(guò)程，發(fā)展“數(shù)形結(jié)合”的思維習(xí)慣.（2）經(jīng)歷合作學(xué)習(xí)的過(guò)程，樹(shù)立團(tuán)隊(duì)合作意識(shí).【教學(xué)重點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算.【教學(xué)難點(diǎn)】已知兩個(gè)向量，求這兩個(gè)向量的差向量以及非零向量平行的充要條件.【教學(xué)設(shè)計(jì)】從“不同方向的力

2、作用于小車(chē)，產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)的效果不同”的實(shí)際問(wèn)題引入概念.向量不同于數(shù)量，數(shù)量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向.教材中用有向線段來(lái)直觀的表示向量，有向線段的長(zhǎng)度叫做向量的模，有向線段的方向表示向量的方向.數(shù)量可以比較大小，而向量不能比較大小，記號(hào)“a>b”沒(méi)有意義，而“丨aI>|b丨”才是有意義的.教材通過(guò)生活實(shí)例，借助于位移來(lái)引入向量的加法運(yùn)算.向量的加法有三角形法則與平行四邊形法則向量的減法是在負(fù)向量的基礎(chǔ)上，通過(guò)向量的加法來(lái)定義的.即a-b=a+（-b）,它可以通過(guò)幾何作圖的方法得到，即a-b可表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量.作向量減法時(shí)，必須將兩個(gè)向量平移至同

3、一起點(diǎn).實(shí)數(shù)乘以非零向量a，是數(shù)乘運(yùn)算，其結(jié)果記作a,它是一個(gè)向量，其方向與向量a相同，其模為a的倍.由此得到a/bab.對(duì)向量共線的充要條件，要特別注意“非零向量a、b”與“0”等條件.【教學(xué)備品】教學(xué)課件.【課時(shí)安排】2課時(shí).【教學(xué)過(guò)程】教學(xué)過(guò)程教師行為學(xué)生行為教學(xué)意圖時(shí)間*揭示課題介紹了解07.1平面向量的概念及線性運(yùn)算*創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入如圖71所示，用100屮的力，按照不冋的方向拉一輛播放觀看從實(shí)課件課件例出車(chē)，效果一樣嗎？發(fā)使思考學(xué)生自然引導(dǎo)的走向知分析自我分析CTO識(shí)點(diǎn)3圖71*動(dòng)腦思考探索新知【新知識(shí)】在數(shù)學(xué)與物理學(xué)中，有兩種量只有大小，沒(méi)有方向的量總結(jié)思考帶領(lǐng)叫做數(shù)量（標(biāo)量），

4、例如質(zhì)量、時(shí)間、溫度、面積、密度等既歸納學(xué)生有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位分析移等.我們經(jīng)常用箭頭來(lái)表小方向，帶有方向的線段叫做有向線理解段.通常使用有向線段來(lái)表示向量.線段箭頭的指向表示向量的方向，線段的長(zhǎng)度表示向量的大小如圖7-2所示，有向線仔細(xì)引導(dǎo)段的起點(diǎn)叫做平面向量的起點(diǎn)，有向線段的終點(diǎn)叫做平面向量分析式啟uuu講解發(fā)學(xué)的終點(diǎn).以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的向量記作AB.也可以使用關(guān)鍵生得小寫(xiě)英文字母，印刷用黑體表示，記作a；手寫(xiě)時(shí)應(yīng)在字母上詞語(yǔ)出結(jié)面加箭頭，記作a.記憶果教學(xué)過(guò)程教師行為學(xué)生行為教學(xué)意圖時(shí)間平面內(nèi)的有向線段表示的向量稱(chēng)為"B平面向量.uuu向

5、量的大小叫做向量的模.向量a,AB的模依次記作|a,juiruAB|.10模為零的向量叫做零向量.記作0,零向量的方向是不確定的.模為1的向量叫做單位向量.*鞏固知識(shí)典型例題例1一架飛機(jī)從A處冋止南萬(wàn)冋飛行200km另一架飛機(jī)觀察從A處朝北偏東45°方向飛行200km,兩架飛機(jī)的位移相同嗎？分別用有向線段表示兩架飛機(jī)的位移.說(shuō)明強(qiáng)調(diào)引領(lǐng)通過(guò)解位移是向量.雖然這兩個(gè)向量的模相等，但是它們的思考例題進(jìn)一一萬(wàn)冋不同，所以?xún)杉茱w機(jī)的位移不相同兩架飛機(jī)位移的有冋線段表示分別為圖7-3中的有向線段a與b.講解說(shuō)明步領(lǐng)會(huì)主動(dòng)/求解強(qiáng)調(diào)A/含義aF圖7-313*運(yùn)用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)說(shuō)出下圖中各向量的模，

6、并指出其中的單位向量（小方格為1）.7NM/BEA/TLH1CDLZQPG圖7-4提問(wèn)巡視指導(dǎo)思考口答及時(shí)了解學(xué)生知識(shí)掌握得情況18*創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入uuuuuuru觀察圖7-4中的向量AB與MN，它們所在的直線平行,兩個(gè)向量的方向相同；向量uuuruuurCD與PQ所在的直線平行，兩個(gè)向量的方向相反.播放課件質(zhì)疑引導(dǎo)分析觀看課件自我分析從實(shí)例出發(fā)使學(xué)生自然的走向知識(shí)點(diǎn)20*動(dòng)腦思考探索新知【新知識(shí)】方向相同或相反的兩個(gè)非零向量叫做互相量a與向量b平行記作ab.平行的向量.向規(guī)定：零向量與任何一個(gè)向量平行由于任意一組平行向量都可以平移到同一條直線上，因此相互平行的向量又叫做共線向量.總結(jié)歸納仔

7、細(xì)分析講解關(guān)鍵思考?xì)w納理解記憶帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)教學(xué)教師學(xué)生教學(xué)時(shí):過(guò)程行為行為意圖間【想一想】詞語(yǔ)23圖7-4中，哪些向量是共線向量？*動(dòng)腦思考探索新知【新知識(shí)】uuuuuuru圖7-4中的平行向量AB與MN，方向相同，模相等；平總結(jié)思考思考?xì)w納uuuruuu行向量HG與TK,方向相反，模相等.歸納歸納理解我們所研究的向量只有大小與方向兩個(gè)要素.當(dāng)向量a與向量b的模相等并且方向相冋時(shí)，稱(chēng)向量a與向量b相等，記仔細(xì)分析理解記憶記憶作a=b.也就是說(shuō)，向量可以在平面內(nèi)任意平移，具有這種講解性質(zhì)的向量叫做自由向量.與非零向量a的模相等，且方向相反的向量叫做向量a的負(fù)向量，記作a.關(guān)鍵詞語(yǔ)規(guī)定：零向量的負(fù)

8、向量仍為零向量.28uuuuuuuuuuuuuu顯然，在圖7-4中，AB=MN,GH=TK.教過(guò)學(xué)程教師行為學(xué)生行為教學(xué)意圖時(shí)間*鞏固知識(shí)典型例題說(shuō)明觀察例2在平行四邊形ABCD中(圖7-5),O為對(duì)角線交點(diǎn).強(qiáng)調(diào)uuu思考(1)找出與向量DA相等的向量；DC區(qū)9通過(guò)uuur/(2)找出向量DC的負(fù)向量；/丿壬/引領(lǐng)主動(dòng)例題求解進(jìn)一uuuAB(3)找出與向量AB平行的向量.圖7-5步領(lǐng)講解注意分析要結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行分析兩個(gè)向量相等，說(shuō)明觀察觀察它們必須是方向相同，模相等:;兩個(gè)向量互為負(fù)向量，它們必學(xué)生思考是否須是方向相反，模相等；兩個(gè)平行向量的方向相同或相反.引領(lǐng)求解理解解由平行四邊

9、形的性質(zhì)，得領(lǐng)會(huì)知識(shí)+uuuuuu(1)CB=DA；強(qiáng)調(diào)思考占求解反復(fù)含義uuuuuuuuuluur說(shuō)明強(qiáng)調(diào)(2)BA=DC,CDDC；uuuuuiuuuuruuuuuuruuu(3)BA/AB,DC/AB,CD/AB.33*運(yùn)用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)1.如圖，ABC中，D、E、F分別是三邊的中點(diǎn)，試寫(xiě)出uuu(1)與EF相等的向量；uuur(2)與AD共線的向量.啟發(fā)思考引導(dǎo)了解F,*JTrA可以d/交給FA7D學(xué)生b/VvyDC自我BC(第1題圖題第21題圖)發(fā)現(xiàn)歸納2.如圖，0點(diǎn)是正六邊形ABCDEF的中心，試寫(xiě)出提問(wèn)動(dòng)手uuuruuuruuur巡視求解(1)與0C相等的向量；(2)0C的負(fù)向量；

10、(3)與0C指導(dǎo)共線的向量.教學(xué)過(guò)程教師行為學(xué)生行為教學(xué)意圖時(shí)間38*創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入土濤同學(xué)從豕中（A處）出發(fā)，冋止南萬(wàn)冋仃走500m到播放觀看從實(shí)達(dá)超市（B處），買(mǎi)了文具后，又沿著北偏東60角方向仃走課件課件例出200m到達(dá)學(xué)校（C處）（如圖7-6）.王濤同學(xué)這兩次位移的課件課件例出總效果是從家（A處）到達(dá)了學(xué)校（C處）發(fā)使學(xué)生A質(zhì)疑自我自然分析的走500mc向知引導(dǎo)B1,/200m分析識(shí)點(diǎn)圖7642*動(dòng)腦思考探索新知uuuruuuuuur位移AC叫做位移AB與位移BC的和，記作uuuruuuuuurAC=AB+BC.B,Ad總結(jié)思考C歸納歸納圖7-7一般地，設(shè)向量a與向量b不共線，在平面

11、上任取一點(diǎn)A（如帶領(lǐng)uuuuuuruuur學(xué)生圖7-6）,依次作AB=a,BC=b,則向量AC叫做向量a與向總結(jié)量b的和，記作a+b，即uuuuuuruuura+b=AB+BC=AC(7.1)求向量的和的運(yùn)算叫做向量的加法.上述求向量的和的方理解法叫做向量加法的三角形法則.仔細(xì)記憶觀察圖77可以看到：依照三角形法則進(jìn)行向量a與向分析量b的加法運(yùn)算，運(yùn)算的結(jié)果仍然是向量，叫做a與b的和向講解關(guān)鍵量.其和向量的起點(diǎn)是向量a的起點(diǎn)，終點(diǎn)是向量b的終點(diǎn).詞語(yǔ)【做一做】教學(xué)過(guò)程教師行為學(xué)生行為教學(xué)意圖時(shí)間給出兩個(gè)不共線的向量a和b,畫(huà)出它們的和向量.【想一想】(1)a+b與b+a相等嗎？請(qǐng)畫(huà)出圖來(lái)說(shuō)明.

12、(2)如果向量a和向量b共線，如何畫(huà)出它們的和向量？50*動(dòng)腦思考探索新知uuuruuur如圖7-9所示，ABCD為平行四邊形，由于AD=BC,根據(jù)三角形法則得總結(jié)思考?xì)w納歸納D/uuuuuuruuuuuuruuur/AB+AD=AB+BC=ACA丄帶領(lǐng)圖79學(xué)生L這說(shuō)明，在平行四邊形總結(jié)uuuruuuuuur理解ABCD中，AC所表示的向量就是AB與AD的和.這種求和理解記憶方法叫做向量加法的平行四邊形法則.仔細(xì)平行四邊形法則不適用于共線向量，可以驗(yàn)證，向量的加分析講解法具有以下的性質(zhì)：關(guān)鍵(1)a+0=0+a=a;a+(-a)=0;詞語(yǔ)(2)a+b=b+a;(3)(a+b)+c=a+(b+

13、c).55*鞏固知識(shí)典型例題例3一艘船以12km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度為5km/h，求該船的實(shí)際航行速度uuu解如圖710所示，AB表示船速,uuurAC為水流速度，由向量加法的平行四邊形uuur法則，AD是船的實(shí)際航行速度，顯然圖710說(shuō)明強(qiáng)調(diào)觀察uuurAD|JuurAB2uuuAC2:J12252=13.又tanCAD12利用計(jì)算器求得5CAD6723思考即船的實(shí)際航行速度大小是13km/h，其方向與河岸線（水流方向）的夾角約6723.*例4用兩條同樣的繩子掛一個(gè)物體（圖711）.設(shè)物體的重力為k,兩條繩子與垂線的夾角為，求物體受到沿兩條繩子的方向的拉力F1與F2的

14、大小.分析由于兩條同樣的繩子與豎直垂線所成的角都是，所以F1F2.解決問(wèn)題不考慮其它因素，只考慮受力的平衡，所以Vk圖711引領(lǐng)講解說(shuō)明主動(dòng)求解引領(lǐng)分析觀察思考求解注意觀察學(xué)生是否理解知識(shí)占八、F1F2k.領(lǐng)會(huì)解利用平行四邊形法則，可以得到F1F22F1COSk,所以【想一想】Fik2cos根據(jù)例題4的分析，判斷在單杠上懸掛身體時(shí)（如圖7-12），兩臂成什么角度時(shí)，雙臂受力最小?反復(fù)強(qiáng)調(diào)圖7-12講解思考說(shuō)明求解62*運(yùn)用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)練習(xí)1.如圖，已知a,b，求a+b.(1)啟發(fā)引導(dǎo)思考了解第1-題圖第圖題圖5）2.填空（向量如圖所示）(1)a+b=(2)b+c=提問(wèn)巡視指導(dǎo)動(dòng)手求解可以交給學(xué)

15、生自我發(fā)現(xiàn)歸納(3)a+b+c=3.計(jì)算:(1)uuuuuuruuurAB+BC+CD;(2)uuuuuuruuuOB+BC+CA.65*創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入質(zhì)疑引導(dǎo)思考啟發(fā)教學(xué)過(guò)程教師行為學(xué)生行為教學(xué)意圖時(shí)間在進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的時(shí)候，減去一個(gè)數(shù)可以看作加上這個(gè)數(shù)引導(dǎo)參與學(xué)生分析分析思考的相反數(shù).66*動(dòng)腦思考探索新知與數(shù)的運(yùn)算相類(lèi)似，可以將向量a與向量b的負(fù)向量的和總結(jié)定義為向量a與向量b的差.即歸納a-b=a+(-b).uuuuuu思考設(shè)a=0A,bOB，貝y歸納UUUuuuuuuUUUUUULUTLUUUUHUUUOAOBOA()OB=OABOBOOABA.UUUUUUUUU即OAOB=BA(7

16、.2)帶領(lǐng)觀察圖7-13可以得到：起點(diǎn)相同的兩個(gè)向量a、b，其學(xué)生差a-b仍然是一個(gè)向量，叫做a與b的差向量,其起點(diǎn)是減仔細(xì)總結(jié)分析理解向量b的終點(diǎn)，終點(diǎn)是被減向量a的終點(diǎn).講解記憶-WA關(guān)鍵詞語(yǔ)X/O圖71368*鞏固知識(shí)典型例題例5已知如圖714(1)所示向量a、b,請(qǐng)畫(huà)出向量ab.強(qiáng)調(diào)思考含義求解/Ob注意觀察/b學(xué)生A是否(1)(2)理解圖714領(lǐng)會(huì)知識(shí)說(shuō)明解如圖714(2)所示，以平面上任一點(diǎn)O為起點(diǎn)，作點(diǎn)UUUUUUULTUOA=a,OB=b，連接BA，則向量BA為所求的差向量，即卩思考求解70uuuBA=ab【想一想】當(dāng)a與b共線時(shí)，如何畫(huà)出ab*運(yùn)用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)uuuuuu1.

17、填空：(1)ABAD(2)uuuruuuBCBA：uuuruuu(3)ODOA：2如圖，在平行四邊形uuuuuurABCD中，設(shè)AB=a,AD=b,uuuruuu試用a,b表示向量AC、BD、啟發(fā)引導(dǎo)提問(wèn)巡視指導(dǎo)思考了解可以交給學(xué)生動(dòng)手自我求解發(fā)現(xiàn)歸納72uuuDB*創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入觀察圖715可以看出，向量uuurOC與向量a共線，并且質(zhì)疑思考uuurOC=3a.引導(dǎo)分析參與分析引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生思考aaa74OABC圖7-15*動(dòng)腦思考探索新知一般地，實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，記作a，它的模為Ia|a|(7.3)若|a|0，則當(dāng)>0時(shí)，a的方向與a的方向相同，當(dāng)v0時(shí)，a的方向與a的方向

18、相反.總結(jié)歸納思考?xì)w納帶領(lǐng)學(xué)生教學(xué)過(guò)程教師行為學(xué)生行為教學(xué)意圖時(shí)間由上面定義可以得到，對(duì)于非零向量a、b,當(dāng)0時(shí)，分析有a/bab(7.4)一般地，有0a=0,0=0.數(shù)與向量的乘法運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘運(yùn)算，容易驗(yàn)證，對(duì)于任意向量a,b及任意頭數(shù)、，向量數(shù)乘運(yùn)算滿足如下的理解記憶法則：11aa,1aa;2aaa;3aaa;4abab.仔細(xì)理解引導(dǎo)分析記憶啟發(fā)【做一做】講解學(xué)生關(guān)鍵得出請(qǐng)畫(huà)出圖形來(lái)，分別驗(yàn)證這些法則.詞語(yǔ)結(jié)論向量加法及數(shù)乘運(yùn)算在形式上與實(shí)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算規(guī)律相類(lèi)似，因此，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并冋類(lèi)項(xiàng)等變形，可直接應(yīng)用于向量的運(yùn)算中.但是，要注意向量的運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算的意義是不同的

19、.78*鞏固知識(shí)典型例題例6在平行四邊形ABCD中，0為兩對(duì)角線交點(diǎn)如圖7uuuuuuruuuruuur16,AB=a,AD=b,試用a,b表示向量AO、OD.ULUT1UULTUULT1ULUI分析因?yàn)锳OAC,ODBD,所以需要首先分別求22UUUTUUU出向量AC與BD.強(qiáng)調(diào)思考含義求解教學(xué)過(guò)程教師行為學(xué)生行為教學(xué)意圖時(shí)間rA厶*k"X/puuurb'占解AC圖7T6UUU=a+b,BD=b-a,因?yàn)?分別為AC,BD的中點(diǎn)，所以luir1iur111AOAC(a+b)=a+b,2222uuur1uuu111OD=BD=(b-a)=-a+b.22221111例6中，a+

20、b和-a+b都叫做向量a,b的線性組2222uuuruuur合，或者說(shuō)，AO、OD可以用向量a,b線性表示.一般地，a+b叫做a,b的一個(gè)線性組合(其中，均為系數(shù)).如果1=a+b,則稱(chēng)1可以用a,b線性表小.向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算都叫做向量的線性運(yùn)算.說(shuō)明領(lǐng)會(huì)思考求解注意觀察學(xué)生是否理解知識(shí)占八、81*運(yùn)用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)1. 計(jì)算：(1)3(a-2b)2(2a+b);(2)3a-2(3a-4b)+3(a-b).uuuuuu12. 設(shè)a,b不共線，求作有向線段OA，使OA=-(a+b).uuuuu3. 在正方形ABCD中，ABa,BCb。一uuurDC(1) 用a、b表示向量OD；r1uuur(2) 用a、b表示向量CO。AB啟發(fā)引導(dǎo)提問(wèn)巡視指導(dǎo)思考了解動(dòng)手求解可以交給學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)歸納83*理論升華整體建構(gòu)思考并回答下面的冋題