小波分析概述

1、第三章第三章 小波分析概述小波分析概述n1、小波的產(chǎn)生及定義n2、小波窗的優(yōu)點(diǎn)n3、一些常用概念n4、連續(xù)小波變換n5、離散小波變換一、小波的產(chǎn)生及定義一、小波的產(chǎn)生及定義n小波是一個(gè)快速衰減快速衰減的振蕩，是一個(gè)時(shí)頻窗，它具有時(shí)頻局部化時(shí)頻局部化特點(diǎn)，而且其窗口是自適應(yīng)的。n小波是針對(duì)傅立葉分析的一些不足而發(fā)展出來(lái)的，二者不能相互代替。傅立葉分析n傅立葉變換和逆變換：n傅立葉變換沒(méi)有時(shí)域局域化的能力，任何局部時(shí)域上的變化都會(huì)影響整個(gè)頻域。（例子：一次實(shí)現(xiàn)多通道圖像的傅立葉變換）n小波基與傅立葉變換基函數(shù)的差別？（提問(wèn)）( )( )jxFf x edx1( )( )2jxf xFed 小波變換

2、小波變換基函數(shù)基函數(shù)（時(shí)頻局部化） （ ）付氏變換付氏變換基函數(shù)基函數(shù)（頻域局部化時(shí)域無(wú)限）注意第三種情況：時(shí)域有限，頻域無(wú)限（時(shí)域基函數(shù)為沖激函數(shù)，頻域?yàn)檎倚盘?hào)）； 傅立葉變換的對(duì)偶性質(zhì)1、小波是窗函數(shù)： 從中可看出，在遠(yuǎn)處f(x)必然是有界的，且比x衰減快，注意圖形2、小波具有時(shí)頻局部化特點(diǎn)，即：時(shí)域和頻域窗的半徑都是有限的（注：窗的中心位置和窗寬類(lèi)似期望值與方差；注意這里是等效窗寬）。 測(cè)不準(zhǔn)原理：測(cè)不準(zhǔn)原理： 注：1）其它類(lèi)似的還有：光學(xué)系統(tǒng)中空間分辨率與光闌/基帶波形的界 2） 時(shí)頻窗面積最小的是高斯函數(shù)，但它不是小波, 為什么？為什么不用高斯函數(shù)作基帶波形（Q） 3）不等式中的常

3、數(shù)隨傅立葉變換的定義而變（差 ）且時(shí)頻窗面積小波的定義小波的定義2( )( )xf xL R2*221( )xx f xdxf12* 2221 ()( )fxxf xdxf 12ff 24ff 3、小波是振蕩的：4、小波變換可重建（逆變換存在） 注：并非所有小波變換都可重建 由上面四個(gè)條件，可推出小波函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的容許性條件容許性條件(必要條件，逆變換存在的條件，容許小波）必要條件，逆變換存在的條件，容許小波）：( )0 x dx2( )Cd 二、小波的優(yōu)點(diǎn)窗口自適應(yīng)性n小波的收縮與平移（尺度和位移變換）小波時(shí)窗中心 x* bax*時(shí)窗半寬度時(shí)窗范圍12,( )()a bxbxaa( )x*,b

4、axabaxaaba *, *xx *x*b axa n頻窗中心：n頻窗半寬度： n頻窗范圍：n時(shí)頻窗面積不變時(shí)頻窗面積不變12,( )()a bxbxaa( )x( ) ( ) =e() -j babaa *aaba* *aa222()2()4ababaa R問(wèn)題：為何b沒(méi)有對(duì)頻窗寬度以及位置產(chǎn)生影響？ *b axa 時(shí)域：aba時(shí)域：小波窗口的自適應(yīng)性1 11111( )()a bxbxaa2 22221( )()a bxbxaa例：數(shù)字示波器采樣頻率提高，存貯深度不變Gabor變換與小波變換三、常用的概念n1、框架、框架Riesz基正交基基正交基nHilbert空間空間H中的函數(shù)族 稱(chēng)為

5、一個(gè)框架框架，若： 能量特性，回憶Parseval定理：H空間中完全規(guī)范正交系列滿(mǎn)足n緊框架：當(dāng) A=B時(shí)n注：框架、緊框架不是正交基，因 不是線性獨(dú)立的n框架與規(guī)范正交基之間的聯(lián)系框架與規(guī)范正交基之間的聯(lián)系：若A=B=1且 （ ) 則 構(gòu)成一組規(guī)范正交基（此時(shí)滿(mǎn)足Parseval定理）Jjj)(222,jjA ffB fBA, 0j1jJjJjj)(22|,|nxxx Riesz基：Banach空間空間中的ej若滿(mǎn)足 （1）對(duì)任意 ,存在 唯一的唯一的 aj 使 （2）存在c2c10, 使得對(duì)任意 aj有 （范數(shù)而非內(nèi)積，長(zhǎng)度）Riesz基與框架的區(qū)別？Riesz基是線性無(wú)關(guān)的/空間不同/能

6、量與長(zhǎng)度/Riesz基不一定正交框架框架-（線性無(wú)關(guān)）Riesz基- (正交）正交基正交基Bf jjjeafjjBjjjjjaceaac2/1222/121)()(2212jjjjlljBcaa eca 222,jjA ffB f注意框架定義：2、Lipschitz正則性正則性（描述函數(shù)的光滑程度光滑程度）n稱(chēng)函數(shù)f(t)在t 有Lipschitz指數(shù) ，若存在常數(shù)K0和 m次多項(xiàng)式 ，使： 助記：助記： f(t)相當(dāng)于m次多項(xiàng)式的程度 n一致一致Lipschitz指數(shù)指數(shù)：對(duì)所有 都成立，且K與t無(wú)關(guān)nLipschitz正則性正則性： f(x)有一致Lipschitz指數(shù)an正則性階數(shù)正則性

7、階數(shù)：a 的上確界討論：討論： 若 ，則Lipschitz條件變?yōu)椋簄若a=0, 則f(x)在該點(diǎn)有界但不連續(xù)n若 ，則f(x)在該點(diǎn)連續(xù)但不可微（例如：第一類(lèi)不連續(xù)間斷點(diǎn)）( )p t0a,0bat 00,( )( )tRf tp tK tt 有10 a0( )( )f tp tK10 am （） 從頻域的角度求正則性，若： 則稱(chēng)函數(shù)f(x)有界且有一致的Lipschitz指數(shù)a (注意a越大，頻域衰減越快，正則性階數(shù)越高，時(shí)域越光滑，且此時(shí)的a刻畫(huà)了整體整體正則性強(qiáng)弱，為什么？）3、消失矩、消失矩（描述函數(shù)時(shí)域的衰減快慢，注意與Lipschitz指數(shù)頻域定義的相似性和區(qū)別） 的k 階矩：

8、n若 ，而 則稱(chēng) 具有p 階消失矩 。(回憶k階導(dǎo)數(shù)與傅立葉變換的關(guān)系）( )ktt dt( )0,0,1,.,1,1ktt dtkpp( )0ptt dt() t( ) tdfa)1 ()(四、連續(xù)小波變換四、連續(xù)小波變換n定義函數(shù)f(x) 的小波變換為：n這是一個(gè)加窗的過(guò)程，從f(x)中提取出由a,b決定位置、形狀的窗內(nèi)信息。（注意與卷積、相關(guān)、內(nèi)積、積分算子的關(guān)系）1( , )( ) ()fxbWa bf xdxaaabf,)(1)(abxaxab反演公式n逆變換： 注意存在條件：容許小波n類(lèi)似傅立葉逆變換，可看成是對(duì)f(x)的一種分解（不同的是這種分解有一個(gè)多尺度的思想）21( )(

9、, ) ( , )fdadbf xWa ba bCa2( )Cd 五、離散小波變換五、離散小波變換210210( )( )1( )( )NjnkNnNjnkNkX kx n ex nX k eN離散傅立葉變換離散傅立葉變換離散傅立葉變換的基函數(shù)是離散的，而離散小波變換的基函數(shù)是連續(xù)的以 劃分頻域 二進(jìn)離散的含意：對(duì)頻域以 形式劃分。這正是小波引入a因子并對(duì)a二進(jìn)取值的原因。2j2j2,2(2)jjj kxk/222(2)jjji kjke問(wèn)題：上圖為離散小波變換對(duì)頻域的劃分情況，請(qǐng)指出圖中哪種情況與Riesz基和正交基分別對(duì)應(yīng)。離散后小波的窗口情況（頻域）*t 中心222|( )|ttdt1/

10、22222|( )|(*)tttdt 半徑atbtabaab2abja2abja離散后的頻窗中心和半徑:離散小波變換后能重建原信號(hào)的小波離散小波變換后能重建原信號(hào)的小波n若基小波滿(mǎn)足穩(wěn)定性條件（重構(gòu)條件），則它二進(jìn)離散后的窗可覆蓋整個(gè)正頻域:n意義：用這組窗對(duì)信號(hào)濾波后，信號(hào)無(wú)損失，不管有多少冗余，總有方法可重構(gòu)。 20(2)jAB n小波級(jí)數(shù)：對(duì)信號(hào)f(x)用穩(wěn)定性條件下的離散小波做分解（展開(kāi)），總能找到辦法重建。 是相對(duì)于 的重構(gòu)小波注意: 1. 正交與雙正交的情況、對(duì)偶 2. 從積分到離散和的變化（冗余度的變化）,( ),j kj kf xf, j k, j k21()(,)(,)fdadbfxWa ba bCa回顧：n1、各種小波的關(guān)系（a,b的取值類(lèi)型不同）。n2、小波是一種窗，是