函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)

1、第三章第三章 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性 引言：引言： 客觀世界的許多現(xiàn)象都是連續(xù)變化客觀世界的許多現(xiàn)象都是連續(xù)變化的，比如的，比如, ,時(shí)間的變化是連續(xù)的。所謂連續(xù)就時(shí)間的變化是連續(xù)的。所謂連續(xù)就是不間斷，但是在數(shù)學(xué)上要用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)是不間斷，但是在數(shù)學(xué)上要用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)描述著這種現(xiàn)象。描述著這種現(xiàn)象。一、函數(shù)連續(xù)性的概念一、函數(shù)連續(xù)性的概念二、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類二、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類三、連續(xù)函數(shù)求極限的簡(jiǎn)便法則三、連續(xù)函數(shù)求極限的簡(jiǎn)便法則 3-1 3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)1 1理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與間斷

2、的概念理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與間斷的概念, ,掌握掌握判斷分段函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的方法；判斷分段函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的方法；2 2會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)；會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)；3 3了解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，了解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會(huì)利用連續(xù)性求極限。會(huì)利用連續(xù)性求極限。3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn) 1. 1.自變量與函數(shù)的增量自變量與函數(shù)的增量 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量從初點(diǎn)從初點(diǎn)x1變化到終點(diǎn)變化到終點(diǎn)x2 時(shí)，終點(diǎn)與初點(diǎn)的差稱為時(shí)，終點(diǎn)與初點(diǎn)的差稱為自變量自變量的改變量的改變量或或增量增量，記為，記為x

3、=x2 -x1顯然有顯然有x2 =x1+xxy01xxx1)(xfy x y 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值從從初值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值從從初值y1=f(x1)變化變化到終值到終值y2=f(x2)=f(x1+x),其差稱為其差稱為函數(shù)的函數(shù)的改變量改變量或或增量增量，記為，記為y=y2 -y1或y=f(x1+x)-f(x1)3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn) 1. 1.自變量與函數(shù)的增量自變量與函數(shù)的增量自變量的改變量自變量的改變量或或增量增量，記為，記為x=x2 -x1xy01x)(xfy x y 函數(shù)的改變量函數(shù)的改變量或或增量增量，記為，記為y=y2 -y1或y=f(x1+x)-f(x1)xy01x

4、2xx y 2xx、y 可正可負(fù)可正可負(fù)例例 設(shè)設(shè) f (x) =2x+1，分別求，分別求x和和y.（1）x由由2變到變到2.1,（2）x由由2變到變到1.8,解解:（1）x=2.1-2 = 0.1y=f (2.1) -f (2)= (22.1+1)-(22+1) =5.2-5 = 0.2（2） x=1.8-2 = -0.2y=f (1.8) f (2) =(21.8+1)-(22+1) =4.6-5 = -0.4一、函數(shù)連續(xù)性的概念一、函數(shù)連續(xù)性的概念3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn) 2. 2.函數(shù)的點(diǎn)連續(xù)的概念函數(shù)的點(diǎn)連續(xù)的概

5、念一、函數(shù)連續(xù)性的概念一、函數(shù)連續(xù)性的概念函數(shù)的點(diǎn)連續(xù)的形象描述：函數(shù)的點(diǎn)連續(xù)的形象描述： 觀察函數(shù)觀察函數(shù)f(x)=x+1與與 在點(diǎn)在點(diǎn)x0=1處的連續(xù)性。處的連續(xù)性。 11)(2xxxgxyo1-112y=f(x)xyo1-112y=g(x) 函數(shù)函數(shù)f(x)圖象在點(diǎn)圖象在點(diǎn)x0=1處處連續(xù)連續(xù)，是一條連續(xù)的曲線；，是一條連續(xù)的曲線； 函數(shù)函數(shù)g(x)圖象在點(diǎn)圖象在點(diǎn)x0=1處處斷開斷開了。了。3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn) 2. 2.函數(shù)的點(diǎn)連續(xù)的概念函數(shù)的點(diǎn)連續(xù)的概念 一、函數(shù)連續(xù)性的概念一、函數(shù)連續(xù)性的概念 定義定義1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0的某一鄰域

6、內(nèi)有定義，的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)當(dāng)xx0時(shí)時(shí)f(x)的的極限存在極限存在，并且，并且等于等于該點(diǎn)處的該點(diǎn)處的函數(shù)值函數(shù)值f(x0)，即即 ,則稱則稱函數(shù)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處連續(xù)處連續(xù)，稱稱x0為函數(shù)為函數(shù)f(x)的的連續(xù)點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)。00lim( )()xxf xf x 由定義可知，由定義可知，函數(shù)函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處連續(xù)處連續(xù)， x0必屬于必屬于函數(shù)函數(shù)f(x)的的定義域定義域。例例如：如： 討論函數(shù)討論函數(shù) 2xy ，在在 2x處的連續(xù)性處的連續(xù)性. 222lim)(limxxfxx)2(4f函數(shù)函數(shù) 2xy 在在 2x處連續(xù)處連續(xù)3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷

7、點(diǎn) 2. 2.函數(shù)的點(diǎn)連續(xù)的概念函數(shù)的點(diǎn)連續(xù)的概念 一、函數(shù)連續(xù)性的概念一、函數(shù)連續(xù)性的概念3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn) 2. 2.函數(shù)的點(diǎn)連續(xù)的概念函數(shù)的點(diǎn)連續(xù)的概念 一、函數(shù)連續(xù)性的概念一、函數(shù)連續(xù)性的概念 引入增量記號(hào)，定義引入增量記號(hào)，定義1中的中的xx0和和f(x)f(x0)，可以改寫為可以改寫為x=x -x00，y=f(x0+x)-f(x0)0。 定義定義2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)當(dāng)x=x -x00，y=f(x0+x)-f(x0)0，即，即 , 則則稱稱函數(shù)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處連續(xù)處連續(xù)。0lim

8、0 xy 定義定義2反映了函數(shù)連續(xù)性的本質(zhì)特征：反映了函數(shù)連續(xù)性的本質(zhì)特征：自變量變化很小時(shí)，函數(shù)值變化也很小。自變量變化很小時(shí)，函數(shù)值變化也很小。 函數(shù)函數(shù) y = f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0連續(xù)的幾何解釋連續(xù)的幾何解釋xy0)(xfy 0 xxx 0 x y xy00 xx xx 0y 00 yx時(shí)，時(shí)，當(dāng)：當(dāng)：顯然顯然y 不趨于不趨于0 連續(xù)的幾何解釋連續(xù)的幾何解釋:自變量的改變量自變量的改變量x0時(shí)時(shí), 函數(shù)的改變量函數(shù)的改變量 y0點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù)在在0 x. 1點(diǎn)不連續(xù)點(diǎn)不連續(xù)在在0 x. 23-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn) 2. 2.函數(shù)的點(diǎn)連續(xù)的概念函數(shù)的點(diǎn)連續(xù)的概念 函

9、數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn) x0 連續(xù)的定義連續(xù)的定義此定義主要用于此定義主要用于證明函數(shù)的連續(xù)性證明函數(shù)的連續(xù)性 利用此定義可證明利用此定義可證明: :基本初等函數(shù)在定義基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)的連續(xù)性。域內(nèi)的連續(xù)性。3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn) 2. 2.函數(shù)的點(diǎn)連續(xù)的概念函數(shù)的點(diǎn)連續(xù)的概念 一、函數(shù)連續(xù)性的概念一、函數(shù)連續(xù)性的概念)()(00 xfxxfy, 0)(4limlim200 xxyxx)2()2(fxf2)(4xx函數(shù)函數(shù) 2xy 在在 2x處連續(xù)處連續(xù)例例如：如： 討論函數(shù)討論函數(shù) 2xy ，在在 2x處的連續(xù)性處的連續(xù)

10、性. xx 22:3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn) 3. 3.左連續(xù)和右連續(xù)左連續(xù)和右連續(xù) 定義定義4 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)(a，x0內(nèi)有定義內(nèi)有定義,當(dāng)當(dāng)x x0-時(shí)的左極限時(shí)的左極限存在，且等于函數(shù)值存在，且等于函數(shù)值f(x0)， 即即 ,則稱函數(shù)則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處處左連續(xù)左連續(xù)。000(0)lim( )()xxf xf xf x000(0)lim( )()xxf xf xf x 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0，b)內(nèi)有定義內(nèi)有定義,當(dāng)當(dāng)x x0+時(shí)的左極限存在，時(shí)的左極限存在，且等于函數(shù)值且等于函數(shù)值f(x0)， 即即 ,則稱函數(shù)則稱函數(shù)y=f(

11、x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處處右連續(xù)右連續(xù)。函數(shù)函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處處連續(xù)的充要條件是連續(xù)的充要條件是f(x0-0）=f(x0+0）=f(x0) 在區(qū)間上在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)的函數(shù),叫做在該叫做在該區(qū)間區(qū)間上的上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù),或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).,)(,),(上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)則則稱稱處處左左連連續(xù)續(xù)在在右右端端點(diǎn)點(diǎn)處處右右連連續(xù)續(xù)并并且且在在左左端端點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)如如果果函函數(shù)數(shù)在在開開區(qū)區(qū)間間baxfbxaxba 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函

12、數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn) 4. 4.函數(shù)函數(shù)f(x)的區(qū)間連續(xù)性的區(qū)間連續(xù)性一、函數(shù)連續(xù)性的概念一、函數(shù)連續(xù)性的概念初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的連續(xù)的.)1, 0( aaayx指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);),(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在)1, 0(log aaxya對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);), 0(內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)且且連連續(xù)續(xù)在在 3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)定理定理1 1 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的. .定理定理2 2 一切初等函數(shù)在其一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)

13、的內(nèi)都是連續(xù)的. .定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間. .3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn) 4. 4.函數(shù)函數(shù)f(x)的區(qū)間連續(xù)性的區(qū)間連續(xù)性一、函數(shù)連續(xù)性的概念一、函數(shù)連續(xù)性的概念1. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), 在其定義域內(nèi)不一定連續(xù)在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);注意注意 1.在分段區(qū)間上定連續(xù)。在分段區(qū)間上定連續(xù)。 2.分段點(diǎn)分段點(diǎn)連續(xù)性需利用定義去判斷。連續(xù)性需利用定義去判斷。步驟：步驟：1、求函數(shù)值、求函數(shù)值f(x0)=?2、求極限值、求極限值 ？3、判斷：、判斷： ？)()(lim00 xfxfxx)(lim

14、0 xfxx5.5.分段函數(shù)的連續(xù)性分段函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)連續(xù)性的概念一、函數(shù)連續(xù)性的概念3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn).0, 0, 1, 0,1)(2處連續(xù)在討論函數(shù)xxxxxxfxy0 xxf 1)(1)(2 xxf11)0( f1)1(lim)(lim00 xxfxx1)1(lim)(lim200 xxfxx1)0()(lim0 fxfx.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf1)(lim0 xfx2 2. .求極限值求極限值1 1. .求函數(shù)值求函數(shù)值3 3. .判斷：判斷： 分段點(diǎn)兩邊函數(shù)表達(dá)式分段點(diǎn)兩邊函數(shù)表達(dá)式不同不同需分需分左右極限左右極限3-1 函數(shù)的連續(xù)

15、性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)例例2 2.),(sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間函數(shù)函數(shù)證明證明 xy證證),( x任取任取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 則則,0,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)對(duì)對(duì)任任意意的的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).),(sin都都是是連連續(xù)續(xù)的的對(duì)對(duì)任任意意函函數(shù)數(shù)即即 xxy3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)一、函數(shù)連續(xù)性的概念一、函數(shù)連續(xù)性的概念例例3 3解解 分段函數(shù)的定義可知，分段函數(shù)的定義可知，f(0)=0)(lim)

16、(lim00 xxfxx0),0(f .0)(處連續(xù)在點(diǎn)故函數(shù)xxf.000)(處的連續(xù)性在，討論函數(shù)xxxxxxf)(lim)(lim00 xxfxx0),0(f 3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)一、函數(shù)連續(xù)性的概念一、函數(shù)連續(xù)性的概念練習(xí)練習(xí)) 1(lim)(lim22xxfxx3),2(f4lim)(lim222xxfxx),2(f左左連續(xù)但不連續(xù)但不右右連續(xù)連續(xù) ,.0)(處處不不連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)故故函函數(shù)數(shù) xxf.)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù)22122xxxxxxf解解 分段函數(shù)的定義可知，分段函數(shù)的定義可知，f(2)=22=例例4 4.001)(2

17、在定義域內(nèi)連續(xù)性，討論函數(shù)xxxxxf3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)一、函數(shù)連續(xù)性的概念一、函數(shù)連續(xù)性的概念解解 分段函數(shù)的定義分段函數(shù)的定義域?yàn)椋ㄓ驗(yàn)椋?，+）(,0( )1xf xxx 當(dāng)時(shí)，是 的一次函數(shù)；2(0,)( )xf xxx當(dāng)時(shí)，是 的二次函數(shù).在在函數(shù)的分段點(diǎn)函數(shù)的分段點(diǎn)x=0處，函數(shù)的左右極限分別為：處，函數(shù)的左右極限分別為：0(00)lim11xfx20(0 0)lim0 xfx(00)(00)ff所以函數(shù)所以函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x=0處不連續(xù)處不連續(xù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)1111xbaxxxaxxf)(例例5 5)(limxfx1aaxx)(li

18、m1)(limxfx1babaxx)(lim1在在x = 1處連續(xù)，求處連續(xù)，求a、b的值的值a = -1 b = 2 解解 分段函數(shù)的定義可知，分段函數(shù)的定義可知，f(1)=13-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)課堂小結(jié)課堂小結(jié)1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);由連續(xù)的定義可知，由連續(xù)的定義可知， 函數(shù)函數(shù) )(xf在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x必須滿足三個(gè)條件：必須滿足三個(gè)條件：函數(shù) )(xf在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x處有定義處有定義)(lim0 xfxx存在存在)()(lim00 xfxfxx連續(xù)連續(xù) 以上三個(gè)條件只要以上三個(gè)

19、條件只要有一個(gè)不滿足有一個(gè)不滿足，則函數(shù)，則函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處處不連續(xù)（或間斷）不連續(xù)（或間斷）。課本：課本：P113-114 習(xí)題習(xí)題3-1（A）1,2,4課后作業(yè)課后作業(yè) 定義定義1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)當(dāng)xx0時(shí)時(shí)f(x)的的極限存在極限存在，并且，并且等于等于該點(diǎn)處的該點(diǎn)處的函數(shù)值函數(shù)值f(x0)，即即 ,則稱則稱函數(shù)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處連續(xù)處連續(xù)，稱稱x0為函數(shù)為函數(shù)f(x)的的連續(xù)點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)。00lim( )()xxf xf x二、函數(shù)間斷點(diǎn)及其分類二、函數(shù)間斷點(diǎn)及其分類此定義常用于判斷此定義常用于判斷分段函數(shù)分段點(diǎn)

20、分段函數(shù)分段點(diǎn)的連續(xù)性的連續(xù)性函數(shù)的點(diǎn)連續(xù)的概念函數(shù)的點(diǎn)連續(xù)的概念 3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)由連續(xù)的定義可知，由連續(xù)的定義可知， 函數(shù)函數(shù) )(xf在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x必須滿足三個(gè)條件：必須滿足三個(gè)條件：函數(shù) )(xf在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x處有定義處有定義)(lim0 xfxx存在存在)()(lim00 xfxfxx連續(xù)連續(xù) 以上三個(gè)條件只要以上三個(gè)條件只要有一個(gè)不滿足有一個(gè)不滿足，則函數(shù)，則函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處處不連續(xù)（或間斷）不連續(xù)（或間斷）。二、函數(shù)間斷點(diǎn)及其分類二、函數(shù)間斷點(diǎn)及其分類無(wú)定義的點(diǎn)無(wú)定義的點(diǎn)不存在)(lim0 xfxx)()(lim00 xfxfxx有情況之一有

21、情況之一為間斷點(diǎn)為間斷點(diǎn)3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)（1）討論函數(shù)討論函數(shù) 在在 點(diǎn)處的連續(xù)性點(diǎn)處的連續(xù)性xxftan)( 2 x（2）討論函數(shù)討論函數(shù) 在在 點(diǎn)處的連續(xù)性點(diǎn)處的連續(xù)性11)(2 xxxf1 x2 xy o2 23 xyo112無(wú)窮間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)二、函數(shù)間斷點(diǎn)及其分類二、函數(shù)間斷點(diǎn)及其分類3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù) )(xf在點(diǎn) 0 x處左右極限都存在的間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)左右極限存在且相等左右極限存在且相等 可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)左右極限存在不相等左右極限存在不相等 跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷

22、點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)二、函數(shù)間斷點(diǎn)及其分類二、函數(shù)間斷點(diǎn)及其分類函數(shù)函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0 處處,左右極限左右極限至少有一個(gè)不至少有一個(gè)不存在存在的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn) 第二類間斷點(diǎn)無(wú)窮無(wú)窮間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)震蕩震蕩間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)二、函數(shù)間斷點(diǎn)及其分類二、函數(shù)間斷點(diǎn)及其分類1.跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn).)(),0()0(,)(0000的的跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)但但存存在在右右極極限限都都處處左左在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果xfxxfxfxxf 例例1 1.0, 0,1, 0,)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解, 0)00

23、( f, 1)00( f),00()00( ff.0為為函函數(shù)數(shù)的的跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) xoxy3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)例例2 研究取整函數(shù)研究取整函數(shù)f(x)=x在點(diǎn)在點(diǎn)x=2處的連續(xù)性處的連續(xù)性. 3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)解：因?yàn)楫?dāng)解：因?yàn)楫?dāng)1x2時(shí)，時(shí)，f(x)=x=1； 當(dāng)當(dāng)2x3時(shí)，時(shí)，f(x)=x=2； 易知易知f(2)=2=2f(2+0)=2=f(2);f(2-0)=1f(2)在點(diǎn)在點(diǎn)x=2處的是右連續(xù)，但不是左連續(xù)處的是右連續(xù)，但不是左連續(xù). 所以取整函數(shù)所以取整函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)x=2處不連續(xù)，但不是左連續(xù)處不連續(xù)，但不是左連續(xù).2

24、點(diǎn)為取整函數(shù)的跳躍間斷可知2.可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn).)()(),()(lim,)(00000的可去間斷點(diǎn)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)義則稱點(diǎn)義則稱點(diǎn)處無(wú)定處無(wú)定在點(diǎn)在點(diǎn)或或但但處的極限存在處的極限存在在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例3 3.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)的可去間斷點(diǎn) x例例3 3.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 3-1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)如例如例3中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2