概率統(tǒng)計41隨機變量的數學期望

1、Ch4-1第四章第四章 隨機變量的數字特征隨機變量的數字特征Ch4-2 分布函數能完整地描述 r.v.的統(tǒng)計特性, 但實際應用中并不都需要知道分布函數，而只需知道 r.v.的某些特征. 判斷棉花質量時, 既看纖維的平均長度平均長度 平均長度越長,偏離程度越小, 質量就越好; 又要看 纖維長度與平均長度的偏離程度纖維長度與平均長度的偏離程度例如例如：Ch4-3 考察一射手的水平, 既要看他的平均環(huán)數是否高, 還要看他彈著點的范圍是否小, 即數據的波動是否小. 由上面例子看到，與 r.v. 有關的某些數值，雖不能完整地描述 r.v.但能清晰地描述 r.v.在某些方面的重要特征 , 這些數字特征在理

2、論和實踐上都具有重要意義.Ch4-4q r.v.的平均取值 數學期望 q r.v.取值平均偏離均值的情況 方差q 描述兩 r.v.間的某種關系的數 協(xié)方差與相關系數本本章章內內容容隨機變量某一方面的概率特性 都可用數字數字來描寫Ch4-54.1隨機變量的數學期望隨機變量的數學期望加 權 平 均初賽復賽決賽總成績算術平均甲乙90 85 53 228 7688 80 57 225 75勝者 甲 甲 乙 甲 甲3:3:4 2:3:5 2:2:6 73.7 70.0 66.8 73.2 70.1 67.8 甲 乙 乙引例引例 學生甲乙參加數學競賽, 觀察其勝負Ch4-60 .70為這 3 個數字的加權

3、平均5 . 0533 . 0852 . 09031iiipx稱數學期望的概念源于此Ch4-7設 X 為離散 r.v. 其分布為, 2 , 1,)(kpxXPkk若無窮級數1kkkpx其和為 X 的數學期望 記作 E( X ), 即1)(kkkpxXE數學期望的定義數學期望的定義絕對收斂, 則稱Ch4-8設連續(xù) r.v. X 的 d.f. 為)(xf若廣義積分dxxxf)(絕對收斂, 則稱此積分為 X 的數學期望記作 E( X ), 即dxxxfXE)()( 數學期望的本質數學期望的本質 加權平均加權平均 它是一個數不再是它是一個數不再是 r.v.r.v.定義定義Ch4-9例例1 1 X B (

4、 n , p ), 求 E( X ) .解解nkknkknppkCXE0)1 ()(nkknkppknknnp1)1()1(1)1 ()!()!1()!1(10) 1(1)1 (nkknkknppCnpnp特例 若Y B ( 1 , p ), 則 E(Y) pCh4-10例例2 2 X N ( , 2 ), 求 E ( X ) .解解dxexXEx222)(21)(dueuuux2221）（令例例3 3 設 X 參數為 p 的幾何分布，求E ( X ).解解11)1 ()(kkpkpXEpxkkkxp111pxkkxp11pxppx1)1 (112Ch4-11常見常見 r.v. 的數學期望的數

5、學期望（P159）分布期望概率分布參數為p 的 0-1分布pXPpXP1)0() 1(pB(n,p)nkppCkXPknkkn, 2 , 1 , 0)1 ()(npP(), 2 , 1 , 0!)(kkekXPkCh4-12分布期望概率密度區(qū)間(a,b)上的均勻分布其它, 0,1)(bxaabxf2ba E()其它, 0, 0,)(xexfx1N(, 2)222)(21)(xexfCh4-13注意注意 不是所有的不是所有的 r.v.都有數學期望都有數學期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函數為xxxf,)1 (1)(2dxxxdxxfx)1 (|)(|2但發(fā)散它的數學期望不存在!Ch4-1

6、4q 設離散 r.v. X 的概率分布為, 2 , 1,)(ipxXPii 若無窮級數1)(iiipxg絕對收斂，則1)()(iiipxgYEq 設連續(xù) r.v. 的 d.f. 為f (x)dxxfxg)()(絕對收斂, 則dxxfxgYE)()()(若廣義積分 r.v.函數函數 Y = g(X ) 的數學期望的數學期望Ch4-15q 設離散 r.v. (X ,Y ) 的概率分布為, 2 , 1,),(jipyYxXPijjiZ = g(X ,Y ),1,),(jiijjipyxg絕對收斂 , 則1,),()(jiijjipyxgZE若級數Ch4-16q 設連續(xù) r.v. (X ,Y )的聯(lián)合

7、 d.f. 為f (x ,y) ，Z = g(X ,Y ), dxdyyxfyxg),(),(絕對收斂, 則 dxdyyxfyxgZE),(),()(若廣義積分Ch4-17例例3 3 設 (X ,Y ) N (0,1;0,1;0), 求22YXZ的數學期望.解解dxdyyxfyxZE),()(22 dxdyeyxyx2222221 2002221drdrerr2Ch4-18解解 (1) 設整機壽命為 N ,min5 ,2, 1kkXN,)(1 (1)(51kkNxFxF其它，, 0, 0,15xex 五個獨立元件,壽命分別為,521XXX都服從參數為 的指數分布，若將它們 (1) 串聯(lián)； (2

8、) 并聯(lián)成整機，求整機壽命的均值. （P.142 例6）例例4 4Ch4-19其它，, 0, 0,5)(5xexfxN即 N E( 5), 51)(NE(2) 設整機壽命為 max5,2, 1kkXM51)()(kkMxFxF其它，, 0, 0,)1 (5xex其它，, 0, 0,)1 (5)(4xeexfxxMCh4-20dxxxfMEM)()(04)1 (5dxexexx6013711)()(5160137NEME 可見, 并聯(lián)組成整機的平均壽命比串聯(lián)組成整機的平均壽命長11倍之多.Ch4-21例例5 5 設X N (0,1), Y N (0,1), X ,Y 相互獨立，求E (max(X

9、 ,Y ) . 解解22221)()(),(yxYXeyfxfyxf dxdyyxfyxYXE),(,max),(maxD1D221),(,max),(,maxDDdxdyyxfyxdxdyyxfyxCh4-22222122222121DyxDyxdxdyexdxdyeydyyedxexyx222211dyyedxexyx222221dxxedyeyxy222221dxex21其中 稱為 概率積分概率積分dxex22)(2dxexdydxeyx)(22dydxeyx0)(0224Ch4-23一般地，若),(),(22NYNXX ,Y 相互獨立，則),(maxYXE),(minYXEdydxey

10、x0)(022400224rdredr2124所以 dxex2Ch4-24q E (C ) = Cq E (aX ) = a E (X ) q E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) CXEaCXaEniiiniii11)(q 當X ,Y 獨立時，E (X Y ) = E (X )E (Y ) .q 若存在數 a 使 P(X a) = 1, 則 E (X ) a ； 若存在數 b 使 P(X b) = 1, 則 E (X ) b.數學期望的性質數學期望的性質常數Ch4-25性質 4 的逆命題不成立，即若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定獨立反例見

11、附錄反例見附錄 1 1注注Ch4-26 設 X 連續(xù)，d.f. 為 f (x), 分布函數為 F(x), 則)(1)(aXPaXP1)(1aF0)(aFaxxF , 0)(axxf , 0)(故adxxxfXE)()(adxxaf)(a證證 性質性質5Ch4-27例例6 6 將 4 個不同色的球隨機放入 4 個盒子 中, 每盒容納球數無限, 求空盒子數的 數學期望. 解一解一 設 X 為空盒子數, 則 X 的概率分布為X P0 1 2 344! 442413144PCC4341224244)(CCCC4144C6481)(XECh4-28解二解二 再引入 X i ,i = 1,2,3,4其它，

12、盒空，第, 0, 1iXi4321XXXXXXi P 1 04434431443)(iXE6481434)(4XECh4-29例例7 7 設二維 r.v. (X ,Y ) 的 d.f. 為其它, 0, 10 , 20),31 (41),(2yxyxyxf求E(X), E(Y), E( X + Y ), E(X Y), E(Y / X)解解 dxdyyxxfXE),()(20102)31 (41dyyxdxx34 dxdyyxyfYE),()(20102)31 (41dyyyxdx85Ch4-3024478534)()()(YEXEYXE)(XYE658534由數學期望性質X ,Y 獨立 dxd

13、yyxfxyXYE),(20102)31 (2121dyyydx)()(321585XEYE)()(YEXECh4-31Ch4-32據統(tǒng)計65歲的人在10年內正常死亡解解應用應用1 1的概率為0. 98, 因事故死亡概率為0.02.保險公司開辦老人事故死亡保險, 參加者需交納保險費100元.若10 年內因事故死亡公司賠償 a 元, 應如何定 a , 才能使公司可期望獲益;若有1000人投保, 公司期望總獲益多少?設Xi 表示公司從第 i 個投保者身上所得的收益, i =11000 . 則Xi 0.98 0.02100 100aCh4-33由題設 02. 0)100(98. 0100)(aXEi

14、002.0100a5000100 a公司每筆賠償小于5000元, 能使公司獲益.公司期望總收益為.20100000)()(1000110001aXEXEiiii若公司每筆賠償3000元, 能使公司期望總獲益40000元.Ch4-34 為普查某種疾病, n 個人需驗血. 驗血方案有如下兩種： 分別化驗每個人的血, 共需化驗 n 次； 分組化驗, k 個人的血混在一起化驗, 若 結果為陰性, 則只需化驗一次; 若為陽性, 則對 k 個人的血逐個化驗, 找出有病者, 此時 k 個人的血需化驗 k + 1 次. 設每人血液化驗呈陽性的概率為 p, 且每人化驗結果是相互獨立的.試說明選擇哪一方案較經濟.

15、驗血方案的選擇驗血方案的選擇應用應用2 2Ch4-35解解 只須計算方案(2)所需化驗次數的期望.為簡單計, 不妨設 n 是 k 的倍數，共分成 n / k 組. 設第 i 組需化驗的次數為X i, 則kp1kp 11Xi P 1 k + 111)1(1)(kkipkpXEkpkk1) 1(Ch4-36kniiXEXE1)()(kpkkkn1) 1(kpnk1)1 (1, 01)1 (kpk若則E (X ) n例如,.1000110101999. 011000)(10XE,10,001. 0,1000kpn當 時, 選擇方案(2) 較經濟.kpk/ 1)1 (Ch4-37 市場上對某種產品每年

16、需求量為 X 噸 ，X U 2000,4000 , 每出售一噸可賺3萬元 ,售不出去，則每噸需倉庫保管費1萬元，問應該生產這中商品多少噸, 才能使平均利潤最大？ 解解其它, 0,40002000,20001)(xxfX設每年生產 y 噸的利潤為 Y 顯然，2000 y 4000應用應用3 3Ch4-38xyyxxyyxg,4,3)(XyXyXXyyXgY, 1)(3,3)(dxxfxgYEX)()()(4000200020001320001)4(yydxydxyx)108140002(2000162yyCh4-39)140004(20001)(ydyYdE0令顯然，020004)(22dyYE

17、d故 y=3500 時, E(Y )最大, E (Y )= 8250萬元Ch4-40 設由自動線加工的某種零件的內徑 X (mm) N ( ,1).已知銷售每個零件的利潤T (元)與銷售零件的內徑 X 有如下的關系：12, 51210,2010, 1XXXT問平均直徑 為何值時, 銷售一個零件的平均利潤最大？ (P.171習題四15題)應用應用4 4Ch4-41解解)10()10() 1(XPTP)10()12()1210()20(XPTP)12(1)12() 5(XPTP)12(1)(5()10()12(20)10() 1()(TE5)10(21)12(25Ch4-42)12(25)10(2

18、1)(dTdE0令0212521212)12(2)10(22ee即2125222e2125ln2111可以驗證，,0)(22dTEd零件的平均利潤最大.故2125ln2111時, 銷售一個)(91.10mmCh4-43作業(yè) P.169 習題四 1 2 3 4 5 7Ch4-44 補 充 作 業(yè) 設 g(x) 是取正值的非減函數, X 為連續(xù) 型 r.v., 且 E( g(X) )存在， 證明: 對任意常數 a)()()(agXgEaXPCh4-45柯西 Augustin-Louis Cauchy 1789 - 1857法國數學家Ch4-46柯 西 簡介簡介法國數學家 27歲當選法國科學院院士

19、早在1811年就解決了拉格朗日向他提出的一個問題：凸多面體的角是否被它的面所決定？柯西作了肯定的回答.這一直是幾何學中一個精彩的結果. 在概率論中他給出了有名的柯西分布. 然而他一生中最重要的數學貢獻在 另外三個領域：微積分學、復變函數和微分方程.Ch4-47 柯西在代數學、幾何學、誤差理論以及天體力學、光學、彈性力學諸方面都有出色的工作，特別是他弄清了彈性理論的基本數學結構，為彈性力學奠定了嚴格的理論基礎. 在這三個領域中我們常常能見到以柯西名字命名的定理、公式和方程等:柯西積分定理;柯西積分公式;柯西-黎曼方程;柯西判別法則;柯西不等式;柯西初值問題Ch4-48微積分在幾何上的應用 1826 年 柯西的著作大多是急就章，但都樸實無華，有思想, 有創(chuàng)見. 他所發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)立的定理和公式, 往往是一些最簡單、最基本的事實.因而，他的數學成就影響廣泛，意義深遠. 柯西是一位多產的數學家，一生共發(fā)表論文 800 余篇，著書7本.柯西全集共有27卷，其中最重要的為：分析教程 1821 年 無窮小分析教程概論 1823 年Ch4-49若 X 服從柯西(Cauchy)分布,