集合知識點總結(jié)及典型例題

1、 集 合一【課標要求】1集合的含義與表示1通過實例，了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于關(guān)系；2能選擇自然語言、圖形語言、集合語言列舉法或描述法描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用；2集合間的根本關(guān)系1理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；2在具體情境中，了解全集與空集的含義；3集合的根本運算1理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集；2理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集；3能使用Venn圖表達集合的關(guān)系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用二【命題走向】有關(guān)集合的高考試題，考查重點是集合與集合之間的關(guān)系，近年試題加強了對集合

2、的計算化簡的考查，并向無限集開展，考查抽象思維能力，在解決這些問題時，要注意利用幾何的直觀性，注意運用Venn圖解題方法的訓練，注意利用特殊值法解題，加強集合表示方法的轉(zhuǎn)換和化簡的訓練。考試形式多以一道選擇題為主。預測高考將繼續(xù)表達本章知識的工具作用，多以小題形式出現(xiàn)，也會滲透在解答題的表達之中，相對獨立。具體三【要點精講】1集合：某些指定的對象集在一起成為集合1集合中的對象稱元素，假設a是集合A的元素，記作；假設b不是集合A的元素，記作；2集合中的元素必須滿足：確定性、互異性與無序性；確定性：設A是一個給定的集合，x是某一個具體對象，那么或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只

3、有一種成立；互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的個體對象，因此，同一集合中不應重復出現(xiàn)同一元素；無序性：集合中不同的元素之間沒有地位差異，集合不同于元素的排列順序無關(guān)；3表示一個集合可用列舉法、描述法或圖示法；列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)；描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)。具體方法：在大括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值或變化范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。注意：列舉法與描述法各有優(yōu)點，應該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法，要注意，一般集合中元素較多或有無限個元素時，不宜采用列舉法。4常用數(shù)集

4、及其記法：非負整數(shù)集或自然數(shù)集，記作N；正整數(shù)集，記作N*或N+；整數(shù)集，記作Z；有理數(shù)集，記作Q；實數(shù)集，記作R。2集合的包含關(guān)系：1集合A的任何一個元素都是集合B的元素，那么稱A是B的子集或B包含A，記作AB或；集合相等：構(gòu)成兩個集合的元素完全一樣。假設AB且BA，那么稱A等于B，記作A=B；假設AB且AB，那么稱A是B的真子集，記作A B；2簡單性質(zhì)：1AA；2A；3假設AB，BC，那么AC；4假設集合A是n個元素的集合，那么集合A有2n個子集其中2n1個真子集；3全集與補集：1包含了我們所要研究的各個集合的全部元素的集合稱為全集，記作U；2假設S是一個集合，AS，那么，=稱S中子集A的

5、補集；3簡單性質(zhì)：1()=A；2S=，=S4交集與并集：1一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集。交集。2一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集。注意：求集合的并、交、補是集合間的根本運算，運算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且與“或，在處理有關(guān)交集與并集的問題時，常常從這兩個字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進而用集合語言表達，增強數(shù)形結(jié)合的思想方法。5集合的簡單性質(zhì)：1234；5AB=AB，AB=AB。四【典例解析】題型1：集合的概念 (2021湖南卷理)某班共30人，其中15人喜愛籃球運動，

6、10人喜愛兵乓球運動，8人對這兩項運動都不喜愛，那么喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數(shù)為_12_答案 ：12解析 設兩者都喜歡的人數(shù)為人，那么只喜愛籃球的有人，只喜愛乒乓球的有人，由此可得，解得，所以，即 所求人數(shù)為12人。 例1全集，集合和的關(guān)系的韋恩Venn圖如圖1所示，那么陰影局部所示的集合的元素共有( )A. 3個 B. 2個C. 1個 D. 無窮多個答案 B 解析 由得，那么，有2個，選B.例2集合,假設,那么的值為 ( )A.0 B.1 C.2 D.4答案 D解析 ,應選D.【命題立意】:此題考查了集合的并集運算,并用觀察法得到相對應的元素,從而求得答案,此題屬于容易題.題型2：

7、集合的性質(zhì)例3集合,假設,那么的值為 ( )A.0 B.1 C.2 D.4答案 D解析 ,應選D.【命題立意】:此題考查了集合的并集運算,并用觀察法得到相對應的元素,從而求得答案,此題屬于容易題.隨堂練習1.設全集U=R，A=xN1x10，B= xRx 2+ x6=0，那么以下圖中陰影表示的集合為 A2 B3 C3，2 D2，3 2. 集合A=y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0,B=y|y2-6y+80，假設AB，那么實數(shù)a的取值范圍為 分析：解決數(shù)學問題的思維過程，一般總是從正面入手，即從條件出發(fā)，經(jīng)過一系列的推理和運算，最后得到所要求的結(jié)論，但有時會遇到從正面不易入手的

8、情況，這時可從反面去考慮從反面考慮問題在集合中的運用主要就是運用補集思想此題假設直接求解，情形較復雜，也不容易得到正確結(jié)果，假設我們先考慮其反面，再求其補集，就比擬容易得到正確的解答解：由題知可解得A=y|y>a2+1或y<a, B=y|2y4,我們不妨先考慮當AB時a的范圍如圖由，得或.即AB時a的范圍為或.而AB時a的范圍顯然是其補集,從而所求范圍為.評注：一般地，我們在解時，假設正面情形較為復雜，我們就可以先考慮其反面，再利用其補集，求得其解，這就是“補集思想例4全集，A=1,如果，那么這樣的實數(shù)是否存在？假設存在，求出，假設不存在，說明理由解：；，即0，解得當時，為A中元素

9、；當時，當時，這樣的實數(shù)x存在，是或。另法：，0且或。點評：該題考察了集合間的關(guān)系以及集合的性質(zhì)。分類討論的過程中“當時，不能滿足集合中元素的互異性。此題的關(guān)鍵是理解符號是兩層含義：。變式題：集合，,求的值。解：由可知，1，或2解1得，解2得，又因為當時，與題意不符，所以，。題型3：集合的運算例5函數(shù)的定義域集合是A,函數(shù)的定義域集合是B1求集合A、B2假設AB=B,求實數(shù)的取值范圍解 1AB2由ABB得AB，因此所以,所以實數(shù)的取值范圍是例6集合,那么( ) A. B. C. D.答案 A解析 易有，選A點評：該題考察了集合的交、補運算。題型4：圖解法解集合問題例72021年廣西北海九中訓練

10、集合M=，N=，那么 A B C D答案 C例81.設全集，函數(shù)的定義域為A，集合，假設恰好有2個元素，求a的取值集合。解：時， ，當時，在此區(qū)間上恰有2個偶數(shù)。2、，其中，由中的元素構(gòu)成兩個相應的集合：，其中是有序數(shù)對，集合和中的元素個數(shù)分別為和假設對于任意的，總有，那么稱集合具有性質(zhì)I對任何具有性質(zhì)的集合，證明：；II判斷和的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論解：I證明：首先，由中元素構(gòu)成的有序數(shù)對共有個因為，所以；又因為當時，時，所以當時，從而，集合中元素的個數(shù)最多為，即II解：，證明如下：1對于，根據(jù)定義，且，從而如果與是的不同元素，那么與中至少有一個不成立，從而與中也至少有一個不成立故與也是的

11、不同元素可見，中元素的個數(shù)不多于中元素的個數(shù)，即，2對于，根據(jù)定義，且，從而如果與是的不同元素，那么與中至少有一個不成立，從而與中也不至少有一個不成立，故與也是的不同元素可見，中元素的個數(shù)不多于中元素的個數(shù)，即，由12可知，例9向50名學生調(diào)查對A、B兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果 贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對A、B都不贊成的學生數(shù)比對A、B都贊成的學生數(shù)的三分之一多1人。問對A、B都贊成的學生和都不贊成的學生各有多少人？解：贊成A的人數(shù)為50×=30，贊成B的人數(shù)為30+3=33，如上圖，記50名學生組成的集合為U，贊成事件

12、A的學生全體為集合A；贊成事件B的學生全體為集合B。設對事件A、B都贊成的學生人數(shù)為x,那么對A、B都不贊成的學生人數(shù)為+1,贊成A而不贊成B的人數(shù)為30x，贊成B而不贊成A的人數(shù)為33x。依題意(30x)+(33x)+x+(+1)=50,解得x=21。所以對A、B都贊成的同學有21人，都不贊成的有8人。點評：在集合問題中，有一些常用的方法如數(shù)軸法取交并集，韋恩圖法等，需要考生切實掌握。此題主要強化學生的這種能力。解答此題的閃光點是考生能由題目中的條件，想到用韋恩圖直觀地表示出來。此題難點在于所給的數(shù)量關(guān)系比擬錯綜復雜，一時理不清頭緒，不好找線索。畫出韋恩圖，形象地表示出各數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系。例

13、10求1到200這200個數(shù)中既不是2的倍數(shù)，又不是3的倍數(shù)，也不是5的倍數(shù)的自然數(shù)共有多少個？解：如圖先畫出Venn圖，不難看出不符合條件 的數(shù)共有200÷2200÷3(200÷5)(200÷10)(200÷6)(200÷15)(200÷30)146所以，符合條件的數(shù)共有20014654個點評：分析200個數(shù)分為兩類，即滿足題設條件的和不滿足題設條件的兩大類，而不滿足條件的這一類標準明確而簡單，可考慮用扣除法。題型7：集合綜合題例111999上海，17設集合A=x|xa|<2，B=x|<1，假設AB，求實數(shù)a的

14、取值范圍。解：由|xa|<2，得a2<x<a+2，所以A=x|a2<x<a+2。由<1，得<0，即2<x<3，所以B=x|2<x<3。因為AB，所以，于是0a1。點評：這是一道研究集合的包含關(guān)系與解不等式相結(jié)合的綜合性題目。主要考查集合的概念及運算，解絕對值不等式、分式不等式和不等式組的根本方法。在解題過程中要注意利用不等式的解集在數(shù)軸上的表示方法.表達了數(shù)形結(jié)合的思想方法。例12an是等差數(shù)列，d為公差且不為0，a1和d均為實數(shù)，它的前n項和記作Sn,設集合A=(an,)|nN*,B=(x,y)|x2y2=1,x,yR。試問以

15、下結(jié)論是否正確，如果正確，請給予證明；如果不正確，請舉例說明：1假設以集合A中的元素作為點的坐標，那么這些點都在同一條直線上；2AB至多有一個元素；3當a10時，一定有AB。解：1正確；在等差數(shù)列an中，Sn=,那么(a1+an),這說明點(an,)的坐標適合方程y(x+a1),于是點(an, )均在直線y=x+a1上。2正確；設(x,y)AB,那么(x,y)中的坐標x,y應是方程組的解，由方程組消去y得：2a1x+a12=4(*)，當a1=0時，方程(*)無解，此時AB=；當a10時，方程(*)只有一個解x=,此時，方程組也只有一解,故上述方程組至多有一解。AB至多有一個元素。3不正確；取a

16、1=1，d=1，對一切的xN*，有an=a1+(n1)d=n>0, >0，這時集合A中的元素作為點的坐標，其橫、縱坐標均為正，另外，由于a1=10 如果AB，那么據(jù)(2)的結(jié)論，AB中至多有一個元素(x0,y0),而x0=0,y0=0，這樣的(x0,y0)A,產(chǎn)生矛盾，故a1=1,d=1時AB=，所以a10時，一定有AB是不正確的。點評：該題融合了集合、數(shù)列、直線方程的知識，屬于知識交匯題。變式題：解答下述問題：設集合，,求實數(shù)m的取值范圍.分析：關(guān)鍵是準確理解 的具體意義，首先要從數(shù)學意義上解釋 的意義，然后才能提出解決問題的具體方法。解：的取值范圍是UM=m|m<-2.解

17、法三設這是開口向上的拋物線，那么二次函數(shù)性質(zhì)知命題又等價于注意，在解法三中，f(x)的對稱軸的位置起了關(guān)鍵作用，否那么解答沒有這么簡單。兩個正整數(shù)集合A=a1,a2,a3,a4,、B.分析：命題中的集合是列舉法給出的，只需要根據(jù)“交、并的意義及元素的根本性質(zhì)解決，注意“正整數(shù)這個條件的運用，分析：正確理解要使,由當k=0時，方程有解,不合題意；當又由由，由、得b為自然數(shù)，b=2，代入、得k=1點評：這是一組關(guān)于集合的“交、并的常規(guī)問題，解決這些問題的關(guān)鍵是準確理解問題條件的具體的數(shù)學內(nèi)容，才能由此尋求解決的方法。題型6：課標創(chuàng)新題例13七名學生排成一排，甲不站在最左端和最右端的兩個位置之一，乙

18、、丙都不能站在正中間的位置，那么有多少不同的排法？解：設集合A=甲站在最左端的位置，B=甲站在最右端的位置，C=乙站在正中間的位置，D=丙站在正中間的位置，那么集合A、B、C、D的關(guān)系如下圖，不同的排法有種.點評：這是一道排列應用問題，如果直接分類、分步解答需要一定的根本功，容易錯，假設考慮運用集合思想解答，那么比擬容易理解。上面的例子說明了集合思想的一些應用，在今后的學習中應注意總結(jié)集合應用的經(jīng)驗。例14A是由定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合：對任意，都有 ； 存在常數(shù)，使得對任意的，都有1設，證明：2設,如果存在,使得,那么這樣的是唯一的;3設,任取,令證明:給定正整數(shù)k,對任意的正整數(shù)p,成立不等式H。解：對任意,所以對任意的，所以0<,令=，所以反證法：設存在兩個使得,。那么由，得，所以，矛盾，故結(jié)論成立。，所以+。點評：函數(shù)的概念是在集合理論上開展起來的，而此題又將函數(shù)的性質(zhì)融合在集合的關(guān)系當中，題目比擬新穎五【思維總結(jié)】集合知識可以使我們更好地理解數(shù)學中廣泛使用的