離散數(shù)學離散第12章代數(shù)系統(tǒng)

1、12022-3-232022-3-23第五篇第五篇 代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng)由于數(shù)學和其他科學的發(fā)展，人們需要對若干不由于數(shù)學和其他科學的發(fā)展，人們需要對若干不是數(shù)的事物，用類似普通計算的方法進行相似的是數(shù)的事物，用類似普通計算的方法進行相似的計算。如矩陣、向量等。計算。如矩陣、向量等。研究代數(shù)系統(tǒng)的學科稱為研究代數(shù)系統(tǒng)的學科稱為“近世代數(shù)近世代數(shù)”或或“抽象抽象代數(shù)代數(shù)”。 22022-3-232022-3-23代數(shù)運算代數(shù)運算定義定義12.2.112.2.1 設(shè)設(shè)A, B, CA, B, C是非空集合，從是非空集合，從A AB B到到C C的的一個映射（或函數(shù)）一個映射（或函數(shù)） ：A ABCBC

2、稱為一個稱為一個A AB B到到C C的二元代數(shù)運算，簡稱的二元代數(shù)運算，簡稱二元運算二元運算。稱自然數(shù)集合稱自然數(shù)集合N N上的加法上的加法“+ +”為運算，這是因為給為運算，這是因為給定兩個自然數(shù)定兩個自然數(shù)a, b, a, b, 由加法由加法“+ +”，可以得到唯一的，可以得到唯一的自然數(shù)自然數(shù)c = a + bc = a + b。 加法加法“+ +” 是映射嗎？是映射嗎？ N N上的加法運算上的加法運算“+ +”本質(zhì)上是一個本質(zhì)上是一個N NNNNN的映射的映射 32022-3-232022-3-23代數(shù)運算代數(shù)運算 一個二元運算就是一個特殊的映射一個二元運算就是一個特殊的映射 ，該映

3、射，該映射能夠?qū)δ軌驅(qū) a A A和和b b B B進行運算進行運算 ，得到，得到C C中的一中的一個元個元c , c , 即即 (a, b)(a, b)c c 。中綴方法中綴方法表示為表示為 a a b bc c 42022-3-232022-3-23例例12.2.112.2.1判別下面的映射或表是否是二元運算：判別下面的映射或表是否是二元運算：（1 1）設(shè)）設(shè)A = 0, 1, B = 1, 2, C = A = 0, 1, B = 1, 2, C = 奇奇, , 偶偶 ，定義映射定義映射 : A: ABCBC，其中，其中 (0, 1) = (0, 1) = 奇，奇， (0, 2) =

4、(0, 2) = 偶，偶， (1, 1) = (1, 1) = 偶，偶， (1, 2) = (1, 2) = 奇。奇。分析分析 “ ”是一個是一個A AB B到到C C的映射，因此，按定義的映射，因此，按定義12.2.112.2.1，則，則“ ”是一個是一個A AB B到到C C的運算。的運算。52022-3-232022-3-23例例12.2.112.2.1（續(xù)）（續(xù)）（2 2）一架自動售貨機，能）一架自動售貨機，能接受五角和一元硬幣，接受五角和一元硬幣，而所對應(yīng)的商品是純凈而所對應(yīng)的商品是純凈水、礦泉水、橘子水，水、礦泉水、橘子水，當人們投入上述硬幣中當人們投入上述硬幣中的任何兩枚時，自動

5、售的任何兩枚時，自動售貨機供應(yīng)出相應(yīng)的商品貨機供應(yīng)出相應(yīng)的商品( (右表右表) )。表表 五角五角一元一元五角五角純凈水純凈水礦泉水礦泉水一元一元礦泉水礦泉水橘子水橘子水62022-3-232022-3-23例例12.2.112.2.1（續(xù)）（續(xù)）分析分析 設(shè)集合設(shè)集合A = A = 五角，一元五角，一元 ，集合，集合C = C = 純凈純凈水，礦泉水，橘子水水，礦泉水，橘子水 ，則表，則表12.2.112.2.1實質(zhì)上是實質(zhì)上是A AACAC的映射，也就是的映射，也就是A AA A到到C C的一個運算的一個運算“ ”。解解 (1)(1)、(2)(2)中定義的映射是二元運算。中定義的映射是二元

6、運算。72022-3-232022-3-23運算表運算表運算表運算表b1b2bma1a1 b1a1 b2a1 bma2a2 b1a2 b2a2 bmanan b1an b2an bm當集合當集合A A和和B B有限時，一個有限時，一個A AB B到到C C的代數(shù)運算，可的代數(shù)運算，可以借用一個表，稱為以借用一個表，稱為運算表（乘法表運算表（乘法表 ）來說明。來說明。設(shè)設(shè)“ ”是是A AACAC的運算，的運算，A = aA = a1 1, a, a2 2, , , a , an n, , B = bB = b1 1, b, b2 2, , , b , bm m,則運算則運算“ ”可用下表說明。可

7、用下表說明。82022-3-232022-3-23定義定義12.2.212.2.2設(shè)設(shè) A A1 1, A, A2 2, , , A, An n， A A 是 非 空 集 合 ，是 非 空 集 合 ，A A1 1A A2 2A An n到到A A的一個映射的一個映射( (或函數(shù)或函數(shù)) ) ：A A1 1A A2 2A An nAA稱為一個稱為一個A A1 1A A2 2A An n到到A A的的n n元代數(shù)運算元代數(shù)運算，簡稱，簡稱n n元運算元運算。當。當n = 1n = 1時，稱為時，稱為一元運算一元運算。92022-3-232022-3-231 1元代數(shù)運算表元代數(shù)運算表當元素有限時，

8、一元運算也可當元素有限時，一元運算也可以用運算表來說明。以用運算表來說明。設(shè)設(shè)“ ”是是A A到到A A的一元運算，的一元運算，其中其中A = aA = a1 1, a, a2 2, , , a, an n ，則一元運算則一元運算“ ”可以用右表可以用右表說明。說明。1元運算表元運算表a (a)a1 (a1)a2 (a2)an (an)102022-3-232022-3-23代數(shù)運算：封閉性代數(shù)運算：封閉性定義定義12.2.312.2.3 如果如果“ ”是是A AA A到到A A的二元運算，則的二元運算，則稱運算稱運算“ ”對集合對集合A A是是封閉封閉的，或者稱的，或者稱“ ”是是A A上上

9、的二元運算的二元運算。定義定義12.2.4 12.2.4 設(shè)設(shè)“ ”是一個是一個A A1 1A A2 2A An n到到A A的的n n元代數(shù)運算，如果元代數(shù)運算，如果A A1 1A A2 2A An nA A，則稱代數(shù)運，則稱代數(shù)運算算“ ”對集合對集合A A是是封閉的封閉的，或者稱是，或者稱是A A上的上的n n元代數(shù)元代數(shù)運算運算。 112022-3-232022-3-23定義定義12.2.5 12.2.5 設(shè)設(shè)A A是非空集合，是非空集合， 1 1, , 2 2, , , , m m分別是定義在分別是定義在A A上上k k1 1, , k k2 2, , k, km m元封閉運算，元封

10、閉運算，k ki i是正整數(shù)，是正整數(shù)，i = 1, 2, i = 1, 2, , , m m。稱集合。稱集合A A和和 1 1, , 2 2, , , , m m所組成的系統(tǒng)稱為所組成的系統(tǒng)稱為代數(shù)代數(shù)系統(tǒng)系統(tǒng)，簡稱，簡稱代數(shù)代數(shù)，記為，記為A, 。當當A A是有限集合時，該代數(shù)系統(tǒng)稱為是有限集合時，該代數(shù)系統(tǒng)稱為有限代數(shù)系統(tǒng)有限代數(shù)系統(tǒng)，否則稱為否則稱為無限代數(shù)系統(tǒng)無限代數(shù)系統(tǒng)注意：注意：判斷集合判斷集合A A和其上的代數(shù)運算是否是代數(shù)和其上的代數(shù)運算是否是代數(shù)系統(tǒng)，關(guān)鍵是判斷兩點：一是集合系統(tǒng)，關(guān)鍵是判斷兩點：一是集合A A非空非空，二是，二是這些運算關(guān)于這些運算關(guān)于A A是否滿足是否滿

11、足封閉性封閉性。 122022-3-232022-3-23例子例子(1) (1) R R上的上的“+ +”、“”運算；運算； 解解 構(gòu)成一個代數(shù)系統(tǒng)構(gòu)成一個代數(shù)系統(tǒng)R R，+ +，；(2) p(2) p（S S）上的）上的“”、“”、“” ”運算；運算； 解解 構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng),稱稱集合代數(shù)集合代數(shù)；(3) (3) 含有含有n n個命題變元的命題集合個命題變元的命題集合A A與與A A上的上的“”、“”、“”運算；運算； 解解 構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)A A，稱之為，稱之為命命題代數(shù)題代數(shù)。132022-3-232022-3-23同類型代數(shù)系統(tǒng)同類型代數(shù)系統(tǒng)定義定義12.2.612.2

12、.6 設(shè)設(shè)A, 和和B, 是兩個代數(shù)系統(tǒng)，若是兩個代數(shù)系統(tǒng)，若“o oi i”和和“ i i”都都是是k ki i元運算，元運算，i = 1, 2, i = 1, 2, , m, m，則稱這，則稱這兩個代數(shù)兩個代數(shù)同類型同類型。如如：代數(shù)系統(tǒng)：代數(shù)系統(tǒng)Z Z，+ +, ,Z Z，, ,R R，+ +, ,p p（S S），），, ,p p（S S），），都是同類型的代數(shù)都是同類型的代數(shù)系統(tǒng)。系統(tǒng)。代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng)I I，+ +，、R R，+ +，、 p p（S S），），都是同類型的代數(shù)系統(tǒng)。都是同類型的代數(shù)系統(tǒng)。142022-3-232022-3-23子代數(shù)子代數(shù)定義定義12.2.712.2

13、.7 設(shè)設(shè)A, 是代數(shù)系是代數(shù)系統(tǒng)，如果：統(tǒng)，如果： （1 1）B B A A并且并且B B ； （2 2） 1 1, , 2 2, , , , m m都是都是B B上的封閉運算。上的封閉運算。則則B, 也是一個代數(shù)系統(tǒng)，稱也是一個代數(shù)系統(tǒng)，稱之為之為A, 的的子代數(shù)系統(tǒng)子代數(shù)系統(tǒng)，簡稱，簡稱子代數(shù)子代數(shù)。又若。又若B B A A，則稱，則稱B, 是是A, 的的真子代數(shù)真子代數(shù)。152022-3-232022-3-23子代數(shù)子代數(shù)子代數(shù)是抽象代數(shù)學中一個非常重要的概念，通過子代數(shù)是抽象代數(shù)學中一個非常重要的概念，通過研究子代數(shù)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，可以得到原代數(shù)系統(tǒng)的研究子代數(shù)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，可以得到原

14、代數(shù)系統(tǒng)的某些重要性質(zhì)。某些重要性質(zhì)。如在群論中，通過研究子群可得群的某些性質(zhì)。如在群論中，通過研究子群可得群的某些性質(zhì)。注意：注意：在后面章節(jié)中，將會學習半群、群、格、在后面章節(jié)中，將會學習半群、群、格、布爾代數(shù)等典型的代數(shù)系統(tǒng)。將子代數(shù)的概念應(yīng)布爾代數(shù)等典型的代數(shù)系統(tǒng)。將子代數(shù)的概念應(yīng)用到這些典型的代數(shù)系統(tǒng)，就會得到子半群、子用到這些典型的代數(shù)系統(tǒng)，就會得到子半群、子群、子格、子布爾代數(shù)。因此，若沒有比要，后群、子格、子布爾代數(shù)。因此，若沒有比要，后面不再贅述某些典型代數(shù)系統(tǒng)中子代數(shù)的定義。面不再贅述某些典型代數(shù)系統(tǒng)中子代數(shù)的定義。162022-3-232022-3-23例例12.2.41

15、2.2.4 在代數(shù)系統(tǒng)在代數(shù)系統(tǒng)中，令中，令Q = 5z | z Q = 5z | z Z Z，證明證明是是的子代數(shù)。的子代數(shù)。分析分析 根據(jù)定義，只需證明兩點：根據(jù)定義，只需證明兩點：（1 1）Q Q是非空子集；（是非空子集；（2 2） “+ +”對集合對集合Q Q封閉。封閉。顯然，集合顯然，集合Q Q非空。對任意的非空。對任意的5z5z1 1，5z5z2 2QQ，有，有5z5z1 1 + 5z + 5z2 2 = 5(z = 5(z1 1 + z + z2 2)Q)Q，因此因此“+ +”對集合對集合Q Q封閉。封閉。 證明證明 略。略。172022-3-232022-3-2312.3.1

16、12.3.1 二元運算律二元運算律例例12.3.112.3.1 設(shè)設(shè)“+ +”是定義在自然數(shù)集合是定義在自然數(shù)集合N N上的普通上的普通加法運算，試回憶加法運算，試回憶N N上的加法運算上的加法運算“+ +”滿足哪些運滿足哪些運算性質(zhì)？算性質(zhì)？分析分析 對對 a, b, cNa, b, cN，有，有(a + b) + c = a + (b + c)(a + b) + c = a + (b + c)，即，即結(jié)合律結(jié)合律成立；成立；a + b = b + aa + b = b + a，即，即交換律交換律成立；成立； x, yNx, yN，如果，如果a + x = b + ya + x = b +

17、y，則，則x = yx = y， 即即消去律消去律成立；成立； 0N 0N，0 + 0 = 00 + 0 = 0，即，即0 0是冪等元，但其他自然數(shù)是冪等元，但其他自然數(shù)不是冪等元，即不滿足不是冪等元，即不滿足冪等律冪等律。182022-3-232022-3-23結(jié)合律與交換律結(jié)合律與交換律定義定義12.3.112.3.1 設(shè)設(shè)A, 是二元代數(shù)系統(tǒng)，如果對是二元代數(shù)系統(tǒng)，如果對任意的任意的a, b, cAa, b, cA，都有，都有 (a(a*b) b) *c ca a* (b (b*c)c)則稱則稱“*”在在A A上是上是可結(jié)合的可結(jié)合的，或稱滿足，或稱滿足結(jié)合律結(jié)合律。定義定義12.3.2

18、12.3.2 設(shè)設(shè)A, 是二元代數(shù)系統(tǒng)，如果對是二元代數(shù)系統(tǒng)，如果對任意的任意的a, bAa, bA，都有，都有a a * b bb b * a a則稱則稱“ ”在在A A上是上是可交換可交換的，或稱滿足的，或稱滿足交換律。交換律。192022-3-232022-3-23消去律消去律定義定義12.3.312.3.3 設(shè)設(shè)A, 是二元代數(shù)系統(tǒng)，元素是二元代數(shù)系統(tǒng)，元素aAaA， （1 1）對任意）對任意x, yAx, yA，都有，都有 如果如果a a x = a x = a y y，那么，那么x = yx = y，則稱則稱a a在在A A中關(guān)于中關(guān)于“ ”是是左可消去元左可消去元； （2 2）對

19、任意）對任意x, yAx, yA，都有，都有 如果如果x x a = y a = y a a，那么，那么x = yx = y，則稱則稱a a在在A A中關(guān)于中關(guān)于“ ”是是右可消去元右可消去元；202022-3-232022-3-23消去律（續(xù)）消去律（續(xù)）（3 3）如果）如果a a既是既是A A左可消去元又是右可消去元，則左可消去元又是右可消去元，則稱稱a a是是A A的的可消去元可消去元；（4 4）若）若A A中所有元素都是可消去元，則稱中所有元素都是可消去元，則稱“ ”在在A A上可消去，或稱上可消去，或稱“ ”滿足滿足消去律消去律。212022-3-232022-3-23冪等律冪等律定

20、義定義12.3.412.3.4 設(shè)設(shè)A, 是二元代數(shù)系統(tǒng)，若元素是二元代數(shù)系統(tǒng)，若元素aAaA，滿足，滿足 a a a = aa = a，則稱則稱a a是是A A中關(guān)于中關(guān)于“ ”的一個的一個冪等元冪等元，簡稱，簡稱a a為為冪等冪等元元。若。若A A中的每一個元素都是冪等元，則稱中的每一個元素都是冪等元，則稱“ ”在在A A中是中是冪等的冪等的，或稱，或稱“ ”滿足滿足冪等律冪等律。222022-3-232022-3-23冪等律冪等律設(shè)設(shè)“ ”是集合是集合A A上的二元運算，上的二元運算，aAaA，則，則a a aAaA，a a a a aAaA，, ,由此，可以歸納定義由此，可以歸納定義a

21、 a的正整數(shù)的正整數(shù)冪方冪方：a a1 1 = a = a，a a2 2 = a = a a a，a a3 3 = a = a2 2 a a，a an n = = a an n 1 1 a a，對任意的正整數(shù)對任意的正整數(shù)n n，m m，有以下等式：，有以下等式： a an n a am m = a = an+mn+m， （a an n）m m = a = anmnm。232022-3-232022-3-23分配律分配律定義定義12.3.512.3.5 ：設(shè)：設(shè)“ ”、“”是集合是集合A A上的二元運算，上的二元運算，A, , 是一個代數(shù)系統(tǒng)，是一個代數(shù)系統(tǒng)， 對對 a,b,ca,b,c S

22、S，有，有（1 1）a(ba(b* *c)=(ab)c)=(ab)* *(ac)(ac)，則稱運算則稱運算“” ”對對“* *”在在S S上滿足上滿足左分配律左分配律( (或第一分配或第一分配律律) )；（2) (b2) (b* *c) a=(ba)c) a=(ba)* *(ca)(ca)，則稱運算則稱運算“” ”對對“* *”在在S S 上滿足上滿足右分配律右分配律( (或第二分或第二分配律配律) ) ；（3) 3) 如果如果“” ”對對“* *”既滿足左分配律又滿足右分配既滿足左分配律又滿足右分配律，則稱律，則稱” ”對對“* *”在在S S上滿足上滿足分配律分配律。242022-3-23

23、2022-3-23吸收律吸收律定義定義12.3.612.3.6 設(shè)設(shè)“ ”、“”是集合是集合A A上的二元上的二元運算，運算，A, 是一個代數(shù)系統(tǒng)，如果對任意的是一個代數(shù)系統(tǒng)，如果對任意的x, yAx, yA，都有，都有 x x (x (x y) = x y) = x， x x (x (x y) = xy) = x，則稱則稱“ ”和和“”滿足滿足吸收律吸收律252022-3-232022-3-23特殊元特殊元在代數(shù)系統(tǒng)中，有些元素有特殊性質(zhì)，叫在代數(shù)系統(tǒng)中，有些元素有特殊性質(zhì)，叫特殊元特殊元 。例如在代數(shù)系統(tǒng)例如在代數(shù)系統(tǒng)N ，其中，其中N N是自然數(shù)，是自然數(shù)，“”是是普通加法，普通加法，0

24、 N 0 N ，并且對任意的自然數(shù)，并且對任意的自然數(shù)x N x N ，有，有 x x0 0 x x0 0 x x 262022-3-232022-3-23幺元（單位元）幺元（單位元）定義定義12.3.712.3.7 設(shè)設(shè)A, 是二元代數(shù)系統(tǒng)，是二元代數(shù)系統(tǒng)，（1 1）若存在）若存在eAeA，對任意，對任意aAaA，都有，都有 a a e = e e = e a = a a = a，則稱則稱e e是是A A中關(guān)于運算中關(guān)于運算“ ”的一個的一個幺元（單位元）幺元（單位元）（2 2）若存在）若存在e el lAA，使得對任意，使得對任意aAaA，都有，都有 e el l a = a a = a，

25、則稱則稱e el l是是A A中關(guān)于運算中關(guān)于運算“ ”的一個的一個左幺元（左單位元）左幺元（左單位元）（3 3）若存在）若存在e er rAA，使得對任意，使得對任意aAaA，都有，都有 a a e er r = a = a，稱稱e er r是是A A中關(guān)于運算中關(guān)于運算“ ”的一個的一個右幺元（右單位元）右幺元（右單位元）272022-3-232022-3-23例例12.3.5 12.3.5 下列代數(shù)系統(tǒng)是否存在幺元下列代數(shù)系統(tǒng)是否存在幺元( (左幺元或右幺元左幺元或右幺元) )，如，如果存在計算之。果存在計算之。（1 1），R R是實數(shù)集，是實數(shù)集，“+ +”是加法運算；是加法運算；（2

26、 2）R, +，R R+ +是正實數(shù)集，是正實數(shù)集，“+ +”是加法運算；是加法運算；（3 3）P(A ，其中，其中P (AP (AA)A)表示集合表示集合A A上的上的所有二元關(guān)系集合，運算所有二元關(guān)系集合，運算“ ”表示關(guān)系的復合；表示關(guān)系的復合；（4 4） A, ，其中，其中A = A = a, b, ca, b, c，二元，二元運算運算“ ”, ,“ ”, ,“ ”如表如表12.3.212.3.2、表、表12.3.312.3.3和表和表12.3.412.3.4分別所示。分別所示。282022-3-232022-3-23例例12.3.512.3.5（續(xù)）（續(xù)）292022-3-23202

27、2-3-23例例12.3.512.3.5（續(xù)）（續(xù)）（1 1）設(shè)）設(shè)x x是是的幺元，則由定義，對任意的的幺元，則由定義，對任意的aRaR，有，有 x + a = a x + a = a，讓讓a = 1a = 1，有，有x + 1 = 1x + 1 = 1，則，則x = 0 x = 0，xRxR。這說明，如果這說明，如果的幺元存在，那么幺元必是的幺元存在，那么幺元必是0 0。對任意的對任意的aRaR，0 + a = a + 0 = a0 + a = a + 0 = a，即驗證可得，即驗證可得，0 0是是的幺元。的幺元。302022-3-232022-3-23例例12.3.512.3.5（續(xù)）（

28、續(xù)）（2 2）設(shè)）設(shè)x x是是R, +的幺元，對任意的的幺元，對任意的aRaR+ +，有，有 x + a = a x + a = a，讓讓a = 1a = 1，有，有x + 1 = 1x + 1 = 1，則，則x = 0 x = 0，但，但0 0 R R+ +。這說明這說明R, + 不存在幺元。同理，左、右幺元也不存在幺元。同理，左、右幺元也不存在。不存在。312022-3-232022-3-23例例12.3.512.3.5（續(xù)）（續(xù)）（3 3）設(shè)）設(shè)X X是是 P 的幺元，對任意的的幺元，對任意的YPYP(A(AA)A)，有，有X X Y = YY = Y，讓讓Y = IY = IA A，則

29、，則X X I IA A = I = IA A，又，又X X I IA A = = X X，因此，因此X X = I = IA A。這說明，如果這說明，如果P 的幺元存在，則幺元的幺元存在，則幺元必是必是I IA A。對任意的對任意的YPYP(A(AA)A)，I IA A Y Y = Y = Y I IA A = Y = Y，即驗證可得即驗證可得I IA A是是 P 的幺元。的幺元。322022-3-232022-3-23例例12.3.512.3.5（續(xù)）（續(xù)）（4 4）由于給出了運算表，因此可以根據(jù)運算表直）由于給出了運算表，因此可以根據(jù)運算表直接觀察可得。接觀察可得。A, 中關(guān)于運算中關(guān)于

30、運算“ ”有左有左幺元幺元a a和和b b，但無右幺元，因此無幺元，關(guān)于運算，但無右幺元，因此無幺元，關(guān)于運算“ ”無左幺元，但有右幺元無左幺元，但有右幺元b b和和c c，因此無幺元；，因此無幺元；關(guān)于運算關(guān)于運算“ ”有幺元有幺元a a。332022-3-232022-3-23結(jié)論結(jié)論（1 1）計算幺元可根據(jù)定義直接進行，即）計算幺元可根據(jù)定義直接進行，即首先首先假設(shè)假設(shè)幺元存在，并根據(jù)定義計算，幺元存在，并根據(jù)定義計算，然后然后進行驗證。進行驗證。（2 2）可以直接從運算表中看出運算是否有左幺元）可以直接從運算表中看出運算是否有左幺元或右幺元。具體方法是：或右幺元。具體方法是： 如果元素

31、如果元素x x所在的行上的元素與行表頭完全相所在的行上的元素與行表頭完全相同，則同，則x x是一個左幺元；是一個左幺元； 如果元素如果元素x x所在的列上的元素與列表頭完全相所在的列上的元素與列表頭完全相同，則同，則x x是一個右幺元；是一個右幺元； 同時滿足和。同時滿足和。342022-3-232022-3-23零元零元定義定義12.3.812.3.8 設(shè)設(shè)A, 是一個二元代數(shù)系統(tǒng)，是一個二元代數(shù)系統(tǒng)，（1 1）若存在）若存在 A A，使得對任意，使得對任意aAaA，都有，都有a a = = a = a = ，則稱則稱是是A A中關(guān)于運算中關(guān)于運算“ ”的一個的一個零元零元；（2 2）若存在

32、）若存在 l lAA，使得對任意，使得對任意aAaA，都有，都有 l l a = a = l l，則稱則稱 l l是是A A中關(guān)于運算中關(guān)于運算“ ”的一個的一個左零元左零元；（3 3）若存在）若存在 r rAA，使得對任意，使得對任意aAaA，都有，都有a a r r = = r r，則稱則稱 r r是是A A中關(guān)于運算中關(guān)于運算“ ”的一個的一個右零元右零元。352022-3-232022-3-23逆元逆元定義定義12.3.912.3.9 設(shè)設(shè)A, 是二元代數(shù)系統(tǒng)，是二元代數(shù)系統(tǒng)，e e是幺元，是幺元，aAaA，若存在一個元素，若存在一個元素bAbA，（1 1）使得：）使得： a a b

33、= b b = b a = e a = e，則稱則稱a a可逆，并稱可逆，并稱b b是是a a的一個的一個逆元逆元，記為，記為a a 1 1；（2 2）使得：）使得： b b a = ea = e，則稱則稱a a左可逆，并稱左可逆，并稱b b是是a a的一個的一個左逆元左逆元，記為，記為a al l 1 1；（3 3）使得：）使得： a a b = e b = e，則稱則稱a a右可逆，并稱右可逆，并稱b b是是a a的一個的一個右逆元右逆元，記為，記為a ar r 1 1。362022-3-232022-3-23定理定理12.3.112.3.1設(shè)設(shè)A, 是一個代數(shù)系統(tǒng)，是一個代數(shù)系統(tǒng)，“ ”

34、 滿足結(jié)合律，滿足結(jié)合律，aAaA，a a可逆，則可逆，則a a是可消去元。是可消去元。證明證明 記幺元為記幺元為e e，a a的逆元為的逆元為a a 1 1，設(shè)，設(shè)x x、y y是是A A中的任中的任意元素，假設(shè)意元素，假設(shè)a a x = a x = a y y。由由a a x = a x = a y y，有，有a a 1 1 (a (a x) = ax) = a 1 1 (a (a y)y)，又結(jié)合律成立，所以有又結(jié)合律成立，所以有(a(a 1 1 a) a) x = (ax = (a 1 1 a) a) y y，即即e e x = e x = e y y，可得可得x = yx = y37

35、2022-3-232022-3-23定理定理12.3.212.3.2設(shè)設(shè)A, 是二元代數(shù)系統(tǒng)，是二元代數(shù)系統(tǒng)，（1 1）如果）如果A, 存在幺元，則幺元唯一；存在幺元，則幺元唯一；（2 2）如果）如果A, 存在幺元，則該幺元一定是左、存在幺元，則該幺元一定是左、右幺元；右幺元；（3 3）如果）如果A, 存在左、右幺元，則該左、右幺存在左、右幺元，則該左、右幺元相等，且是幺元。元相等，且是幺元。382022-3-232022-3-23定理定理12.3.212.3.2（續(xù)）（續(xù)）證明證明（1 1）（）（反證法反證法）設(shè)）設(shè)S,S,* *存在兩個以上的幺存在兩個以上的幺元，不妨假設(shè)元，不妨假設(shè)e e

36、1 1，e e2 2是是S,S,* *的兩個幺元，的兩個幺元，則對則對 x x S S， x x* *e e1 1=e=e1 1* *x=xx=x，此時，取，此時，取x=ex=e2 2，有有e e2 2* *e e1 1=e=e1 1* *e e2 2=e=e2 2 則對則對 x x S S，有，有x x* *e e2 2=e=e2 2* *x=xx=x，此時，取，此時，取x=ex=e1 1，有有e e1 1* *e e2 2=e=e2 2* *e e1 1=e=e1 1 由、可知由、可知e e1 1=e=e2 2，即即S,S,* *的幺元是唯一的。的幺元是唯一的。392022-3-23202

37、2-3-23定理定理12.3.212.3.2（續(xù)）（續(xù)）（2 2）顯然成立）顯然成立（3 3）若）若e el l、e er r是是S,S,* *的左、右幺元，的左、右幺元，則對則對 x x S,S,有有e el l* *x=xx=x，此時，取，此時，取x=ex=er r，有，有e el l* *e er r=e=er r則對則對 x x S,S,有有x x* *e er r=x=x，此時，取，此時，取x=ex=el l，有，有e el l* *e er r=e=el l由、可知由、可知e el l=e=er r，即左、右幺元相等；顯然可得即左、右幺元相等；顯然可得 e=ee=el l。4020

38、22-3-232022-3-23定理定理12.3.3 12.3.3 設(shè)設(shè) 是二元代數(shù)系統(tǒng)，是二元代數(shù)系統(tǒng)，（1 1）如果）如果A, 存在零元，則零元唯一；存在零元，則零元唯一；（2 2）如果）如果A, 存在零元，則該零元一定是左、存在零元，則該零元一定是左、右零元；右零元；（3 3）如果）如果A, 存在左、右零元，則該左、右零存在左、右零元，則該左、右零元相等，且是零元。元相等，且是零元。分析分析 該定理的證明方法與定理該定理的證明方法與定理12.3.212.3.2證明相似。證明相似。證明證明 略。略。412022-3-232022-3-23定理定理12.3.4 12.3.4 設(shè)設(shè)A, 是二元

39、代數(shù)系統(tǒng)，是二元代數(shù)系統(tǒng)，“ ”滿足滿足結(jié)合律結(jié)合律且設(shè)且設(shè)e e是幺元，則對任意的是幺元，則對任意的aAaA，（1 1）如果）如果a a存在逆元，則逆元唯一；存在逆元，則逆元唯一；（2 2）如果）如果a a存在逆元，則該逆元一定是左、右逆元；存在逆元，則該逆元一定是左、右逆元；（3 3）如果）如果a a存在左、右逆元，則該左、右逆元相等，存在左、右逆元，則該左、右逆元相等，且是逆元。且是逆元。分析分析 該定理的證明方法與定理該定理的證明方法與定理12.3.212.3.2證明相似證明相似 422022-3-232022-3-23定理定理12.3.412.3.4（續(xù)）（續(xù)）證明證明 （1 1）（

40、反證法）設(shè)）（反證法）設(shè)aAaA存在逆元，且不唯一，存在逆元，且不唯一，不妨設(shè)不妨設(shè)a a1 1，a a2 2都是都是a a的逆元，則有的逆元，則有a a a a1 1 = a = a1 1 a = e a = e，a a a a2 2 = a = a2 2 a = e a = e，由于由于“ ”滿足結(jié)合律，所以有滿足結(jié)合律，所以有a a1 1 = a = a1 1 e = a e = a1 1 (a (a a a2 2) = (a) = (a1 1 a) a) a a2 2 = = e e a a2 2 = a = a2 2，即即a a1 1 = a = a2 2即即a a的逆元唯一；的逆元

41、唯一；432022-3-232022-3-23定理定理12.3.412.3.4（續(xù)）（續(xù)）（2 2）由逆元、左逆元和右逆元的定義直接可得；）由逆元、左逆元和右逆元的定義直接可得；（3 3）設(shè)）設(shè)aAaA的左、右逆元分別是的左、右逆元分別是a al l 1 1和和a ar r 1 1，則有，則有a al l 1 1 a = e a = e，a a a ar r 1 1 = e = e，“ ”滿足結(jié)合律，所以有滿足結(jié)合律，所以有 a ar r 1 1 = e = e a ar r 1 1 = (a = (al l 1 1 a) a) a ar r 1 1 = a = al l 1 1 (a (a

42、a ar r 1 1) ) = a = al l 1 1 e = a e = al l 1 1，所以，所以a a 1 1 = a = ar r 1 1 = a = al l 1 1442022-3-232022-3-23推論推論12.3.1 12.3.1 設(shè)設(shè)A, 是二元代數(shù)系統(tǒng)，是二元代數(shù)系統(tǒng)，“ ”滿足結(jié)合律滿足結(jié)合律，a, a, b bAA，（1 1）如果如果a, ba, b分別有逆元分別有逆元a a 1 1, b, b 1 1，則則 (a(a b)b) 1 1 = = b b 1 1 a a 1 1；（2 2）如果如果a a是左是左（右右）可逆的元素可逆的元素，則則a a是左是左（右右

43、）可消去的元素可消去的元素；（3 3）如果）如果a a是可逆的元素，則是可逆的元素，則a a是可消去的元素。是可消去的元素。452022-3-232022-3-23推論推論12.3.112.3.1（續(xù)）（續(xù)）分析分析 (1) (1) 根據(jù)逆元的定義，只需證明根據(jù)逆元的定義，只需證明(a (a b) b) (b (b 1 1 a a 1 1) = (b) = (b 1 1 a a 1 1) ) (a (a b) = b) = e e；同理，同理，(2)(2)和和(3)(3)可以直接根據(jù)消去元的定義證明。可以直接根據(jù)消去元的定義證明。462022-3-232022-3-23推論推論12.3.112

44、.3.1（續(xù)）（續(xù)）證明證明 (1) (1) 由于由于“ ”滿足結(jié)合律，所以有滿足結(jié)合律，所以有 (a (a b) b) (b (b 1 1 a a 1 1) ) = a = a (b (b b b 1 1) ) a a 1 1 = a = a e e a a 1 1 = a = a a a 1 1 = e = e， (b(b 1 1 a a 1 1) ) (a (a b) b) = b = b 1 1 (a (a 1 1 a) a) b b = b = b 1 1 e e b = b b = b 1 1 b = e b = e，即即 (a(a b)b) 1 1 = b = b 1 1 a a

45、 1 1。472022-3-232022-3-23推論推論12.3.112.3.1（續(xù)）（續(xù)）（2 2）若若a a是左可逆的元素是左可逆的元素，設(shè)左逆元為設(shè)左逆元為a al l 1 1 ，則對則對任意的任意的x, yx, yA,A,如有如有a a x = ax = a y y，則則a al l 1 1 (a (a x) = a x) = al l 1 1 (a (a y) y)，即即 (a(al l 1 1 a) a) x = (a x = (al l 1 1 a) a) y y，e e x = e x = e y y，所以所以x = yx = y則則a a是左可消去元。是左可消去元。同樣可證

46、，如果同樣可證，如果a a是右可逆的，則是右可逆的，則a a是右可消去元。是右可消去元。（3 3）由）由(2)(2)和定理和定理12.3.412.3.4直接可證。直接可證。482022-3-232022-3-23例例12.3.712.3.7設(shè)設(shè)G = fG = fa, ba, b(x) = ax+b | a0, a, bR(x) = ax+b | a0, a, bR，其中，其中R R是實數(shù)，是實數(shù)， “ ”是是G G上關(guān)于函數(shù)的復合運算上關(guān)于函數(shù)的復合運算 。（1 1）驗證）驗證G, 是代數(shù)系統(tǒng)；是代數(shù)系統(tǒng)；（2 2）如有幺元計算之；）如有幺元計算之；（3 3）如有零元計算之；）如有零元計算之

47、；（4 4）如有冪等元，計算出這些冪等元；）如有冪等元，計算出這些冪等元；（5 5）說明）說明G G中的那些元有逆元，并計算這些元的逆中的那些元有逆元，并計算這些元的逆元。元。492022-3-232022-3-23例例12.3.712.3.7（續(xù)）：封閉性（續(xù)）：封閉性分析分析 （1 1）要說明）要說明G, 是代數(shù)系統(tǒng)，只需要說是代數(shù)系統(tǒng)，只需要說明明“ ”對對G G封閉，即說明對任意封閉，即說明對任意f fa, ba, b，f fc, dc, dGG，f fa, ba, b f fc, dc, dGG，又又 (f(fa, ba, b f fc, dc, d)(x) = f)(x) = fc

48、, dc, d( f( fa, ba, b(x) (x) = f = fc, dc, d(ax+b) = c(ax+b)+d (ax+b) = c(ax+b)+d = cax+bc+d = f = cax+bc+d = fca, bc+dca, bc+d(x)(x)，即，即 f fa, ba, b f fc, dc, d = f = fca, bc+dca, bc+d，顯然顯然ca 0ca 0，故，故f fca, bc+dca, bc+dGG，所以所以“ ”對對G G是封閉的，即是封閉的，即G, G, 是代數(shù)系統(tǒng)是代數(shù)系統(tǒng)。502022-3-232022-3-23例例12.3.712.3.7（

49、續(xù)）：幺元（續(xù)）：幺元（2 2）不妨假設(shè)幺元是）不妨假設(shè)幺元是f fc, dc, dGG，則對，則對 f fa, ba, bGG，有，有 f fa, ba, b f fc, dc, d = f = fa, ba, b，f fa, ba, b f fc, dc, d = f = fca, bc+dca, bc+d， 則則 f fa, ba, b = f = fca, bc+dca, bc+d，因此，因此， xRxR，有，有f fa, ba, b (x) = ax+b = f (x) = ax+b = fca, bc+dca, bc+d (x) = cax+bc+d (x) = cax+bc+d，

50、特別取特別取x = 0, x = 1x = 0, x = 1，可得，可得 bc+d = b, ca = a bc+d = b, ca = a。由于由于f fa, ba, b是是G G中的任意元，取中的任意元，取a = 1a = 1，b = 2,b = 2,可得可得 c = 1, d = 0c = 1, d = 0。512022-3-232022-3-23例例12.3.712.3.7（續(xù)）：幺元（續(xù)）：幺元上面的分析說明，如果上面的分析說明，如果G, 有幺元，則此幺元有幺元，則此幺元必是必是f f1, 01, 0，所以需進一步驗證，所以需進一步驗證f f1, 01, 0就是幺元。就是幺元。即對任

51、意的即對任意的f fa, ba, bGG，驗證等式，驗證等式f fa, ba, b f f1, 01, 0 = f = f1, 01, 0 f fa, ba, b = f = fa, ba, b顯然此等式成立，所以顯然此等式成立，所以f f1, 01, 0是幺元。是幺元。522022-3-232022-3-23例例12.3.712.3.7（續(xù)）：零元（續(xù)）：零元（3 3）按同樣的思路，不妨假設(shè)零元是）按同樣的思路，不妨假設(shè)零元是f fc, dc, dGG，由，由零元的定義，零元的定義， f fa, ba, bGG，有，有f fa, ba, b f fc, dc, d = f = fc, dc,

52、 d，f fa, ba, b f fc, dc, d (x) = cax+bc+d = f (x) = cax+bc+d = fc, dc, d (x) = cx+d (x) = cx+d，取取x = 0 x = 0，有，有 bc = 0bc = 0, ,又又f fa, ba, b是任意的，取是任意的，取b = 1b = 1，可得，可得c = 0c = 0，又又f fc, dc, dGG，則，則c 0, c 0, 矛盾，故矛盾，故f fc, dc, d是零元不成是零元不成立，故代數(shù)系統(tǒng)立，故代數(shù)系統(tǒng)G, 沒有零元沒有零元。532022-3-232022-3-23例例12.3.712.3.7（續(xù)

53、）：冪等元（續(xù)）：冪等元（4 4）不妨假設(shè)冪等元是）不妨假設(shè)冪等元是f fc, dc, dGG，有，有f fc, dc, d f fc, dc, d = f = fc, dc, d，f fc, dc, d f fc, dc, d(x) = c(x) = c2 2x+cd+d = fx+cd+d = fc, dc, d(x) = cx+d(x) = cx+d，取取x = 0 x = 0，有，有cd = 0cd = 0，又，又c c 0 0，則，則d = 0d = 0，取取x = 1x = 1，有，有c c2 2+cd+d = c+d+cd+d = c+d，又，又d = 0, c d = 0, c

54、 0 0，則，則c = 1c = 1。因此，。因此，f fc, dc, d = f = f1, 01, 0，又，又f f1, 01, 0 f f1, 01, 0 = f = f1, 01, 0，所以，所以f f1, 01, 0是唯一冪等元。是唯一冪等元。542022-3-232022-3-23例例12.3.712.3.7（續(xù)）：逆元（續(xù)）：逆元（5 5）對）對 f fa, ba, bGG，不妨假設(shè)它的逆元為，不妨假設(shè)它的逆元為f fc, dc, d，當，當然然f fc, dc, dGG，有，有f fa, ba, b f fc, dc, d = f = f1, 01, 0，f fa,ba,b f

55、 fc,dc,d (x) = cax+bc+d = f (x) = cax+bc+d = f1, 01, 0(x) = x(x) = x，特別取特別取x = 0, x = 1x = 0, x = 1，可得，可得bc+d = 0, ca = 1bc+d = 0, ca = 1，因為因為a0a0，顯然，顯然c = 1/a, d = c = 1/a, d = b /ab /a，故，故f fc, dc, d = f = f1/a, 1/a, b/ab/a，552022-3-232022-3-23例例12.3.712.3.7（續(xù)）：逆元（續(xù)）：逆元同理，上面分析說明，如果同理，上面分析說明，如果f fa

56、, ba, b有逆元，則此逆元有逆元，則此逆元是是f f1/a, 1/a, b/ab/a, ,因此還需驗證因此還需驗證f f1/a, 1/a, b/ab/a是是f fa, ba, b逆元，即逆元，即驗證等式驗證等式f fa, ba, b f f1/a, 1/a, b/ab/a = f = f1/a, 1/a, b/ab/a f fa, ba, b = f = f1,01,0，顯然此等式成立，所以顯然此等式成立，所以f f1/a, 1/a, b/ab/a是是f fa, ba, b的逆元。的逆元。由由f fa, ba, b的任意性，可得的任意性，可得G G中的任何一個元都有逆元。中的任何一個元都有

57、逆元。562022-3-232022-3-23結(jié)論結(jié)論（1 1）是代數(shù)系統(tǒng)；是代數(shù)系統(tǒng)；（2 2）幺元是）幺元是f f1, 01, 0；（3 3）中沒有零元；中沒有零元；（4 4）中唯一冪等元是中唯一冪等元是f f1, 01, 0；（5 5）中任意元中任意元f fa, ba, b的逆元是的逆元是f f1/a, 1/a, b/ab/a 。 計算幺元、零元、冪等元、逆元等特殊元時，計算幺元、零元、冪等元、逆元等特殊元時，首首先先可以假設(shè)這些元存在，可以假設(shè)這些元存在，然后然后根據(jù)定義直接得到根據(jù)定義直接得到方程，解這個方程就可以計算出這些元，如果方方程，解這個方程就可以計算出這些元，如果方程無解，

58、則特殊元不存在，如果方程存在解，則程無解，則特殊元不存在，如果方程存在解，則根據(jù)特殊元的定義還需要根據(jù)特殊元的定義還需要進一步進一步驗證所求解是否驗證所求解是否是對應(yīng)的特殊元。是對應(yīng)的特殊元。 572022-3-232022-3-2312.4 12.4 同態(tài)與同構(gòu)同態(tài)與同構(gòu)在現(xiàn)實社會中，存在著很多代數(shù)系統(tǒng)，但仔細分析在現(xiàn)實社會中，存在著很多代數(shù)系統(tǒng)，但仔細分析這些眾多的代數(shù)系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)，有些代數(shù)系統(tǒng)，他們之這些眾多的代數(shù)系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)，有些代數(shù)系統(tǒng)，他們之間表面上似乎不相同，但他們實際上間表面上似乎不相同，但他們實際上 “相同相同” 。如有兩個代數(shù)系統(tǒng)如有兩個代數(shù)系統(tǒng) 和和 ，其運算其運算“* *”和和

59、“”“”分別定義如下表分別定義如下表 582022-3-232022-3-23定義定義12.4.112.4.1設(shè)設(shè)A, 和和B, 為兩個二元代數(shù)系統(tǒng)，為兩個二元代數(shù)系統(tǒng)，是是A A到到B B的映射。對任意的映射。對任意x, yAx, yA，都有，都有(x(x y) = (x) y) = (x) (y) (y)， (1)(1)則稱則稱是從是從A, 到到B, 的的同態(tài)映射同態(tài)映射，稱，稱(A)(A)為為同態(tài)象同態(tài)象，其中，其中(A) = (x) | xA(A) = (x) | xA。如果存在一個從如果存在一個從A, 到到B, 的同態(tài)映射，則的同態(tài)映射，則稱稱A, 與與B, 同態(tài)同態(tài)，記為，記為A,

60、 。當當A = BA = B時，稱其同態(tài)為時，稱其同態(tài)為自同態(tài)自同態(tài)。592022-3-232022-3-23定義定義12.4.112.4.1（續(xù)）（續(xù)）當同態(tài)映射當同態(tài)映射分別是單射、滿射、雙射時，分別稱分別是單射、滿射、雙射時，分別稱是是單一同態(tài)映射單一同態(tài)映射、滿同態(tài)映射滿同態(tài)映射、同構(gòu)映射同構(gòu)映射。如果存在一個從如果存在一個從A, 到到B, 的同構(gòu)映射（單的同構(gòu)映射（單一同態(tài)映射、滿同態(tài)映射），則稱代數(shù)系統(tǒng)一同態(tài)映射、滿同態(tài)映射），則稱代數(shù)系統(tǒng)A, 與與B, 同構(gòu)同構(gòu)（單一同態(tài)、滿同態(tài)單一同態(tài)、滿同態(tài)）。）。用用A, 表示表示A, 與與B, 同構(gòu)同構(gòu)。602022-3-232022-3