同濟大學第六版高等數(shù)學上下冊課后習題答案(13)

1、.習題7-2 1. 設a=3i-j-2k, b=i+2j-k, 求(1)a×b及a´b; (2)(-2a)×3b及a´2b; (3)a、b夾角的余弦. 解 (1)a×b=3´1+(-1)´2+(-2)´(-1)=3, . (2)(-2a)×3b =-6a×b = -6´3=-18, a´2b=2(a´b)=2(5i+j+7k)=10i+2j+14k . (3). 2. 設a、b、c為單位向量, 且滿足a+b+c=0, 求a×b+b×c+c

2、5;a . 解 因為a+b+c=0, 所以(a+b+c)×(a+b+c)=0, 即 a×a+b×b+c×c+2a×b+2a×c+2c×a=0, 于是 . 3. 已知M1(1, -1, 2)、M2(3, 3, 1)和M3(3, 1, 3). 求與、同時垂直的單位向量. 解 , . , , 為所求向量. 4. 設質量為100kg的物體從點M1(3, 1, 8)沿直線稱動到點M2(1, 4, 2), 計算重力所作的功(長度單位為m, 重力方向為z軸負方向). 解F=(0, 0, -100´9. 8)=(0, 0, -98

3、0), . W=F×S=(0, 0, -980)×(-2, 3, -6)=5880(焦耳). 5. 在杠桿上支點O的一側與點O的距離為x1的點P1處, 有一與成角q1的力F1作用著; 在O的另一側與點O的距離為x2的點P2處, 有一與成角q1的力F1作用著. 問q1、q2、x1、x2、|F1|、|F2|符合怎樣的條件才能使杠桿保持平衡？ 解 因為有固定轉軸的物體的平衡條件是力矩的代數(shù)和為零, 再注意到對力矩正負的規(guī)定可得, 使杠桿保持平衡的條件為 x1|F1|×sinq1-x2|F2|×sinq2=0, 即 x1|F1|×sinq1=x2|F2

4、|×sinq2. 6. 求向量a=(4, -3, 4)在向量b=(2, 2, 1)上的投影. 解 . 7. 設a=(3, 5, -2), b=(2, 1, 4), 問l與m有怎樣的關系, 能使得la+mb與z軸垂直? 解 la+mb=(3l+2m, 5l+m, -2l+4m), la+mb與z軸垂Ûla+mb k Û(3l+2m, 5l+m, -2l+4m)×(0, 0, 1)=0, 即-2l+4m=0, 所以l=2m. 當l=2m 時, la+mb與z軸垂直. 8. 試用向量證明直徑所對的圓周角是直角. 證明 設AB是圓O的直徑, C點在圓周上, 則,

5、 . 因為, 所以, C=90°. 9. 設已知向量a=2i-3j+k, b=i-j+3k和c=i-2j, 計算: (1)(a×b)c-(a×c)b; (2)(a+b)´(b+c); (3)(a´b)×c . 解 (1)a×b=2´1+(-3)´(-1)+1´3=8, a×c=2´1+(-3)´(-2)=8, (a×b)c-(a×c)b=8c-8b=8(c-b)=8(i-2j)-(i-j+3k)=-8j-24k . (2)a+b=3i-4j+4k, b+c=2i-3j+3k, . (3), (a´b)×c=-8´1+(-5)´(-2)+1´0=2. 10. 已知, , 求DOAB的面積. 解 根據(jù)向量積的幾何意義, 表示以和為鄰邊的平行四邊形的面積, 于是DOAB的面積為 . 因為, , 所以三角形DOAB的面積為 . 12. 試用向量證明不等式: , 其中a1、a2、a3、b1、b2