中考難點(diǎn)探究專題：相似與特殊幾何圖形的綜合問題(選做)(含答案)

1、難點(diǎn)探究專題：相似與特殊幾何圖形的綜合問題（選做）突破相似中的綜合問題及含動點(diǎn)的解題思路類型一相似與特殊三角形1. 一塊直角三角板 ABC按如圖放置，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,1）,直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（一3, 0）, / B=30°,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為.第1題圖第2題圖82. （2016黃岡中考）如圖，已知 ABC、 DCE、 FEG、 HGI是4個全等的等腰三 角形，底邊 BC、CE、EG、GI在同一直線上，且 AB=2, BC = 1 ,連接AI,交FG于點(diǎn)Q, 則 QI=. 513. （2016福州中考）如圖，在 ABC中，AB=AC=1, BC= 2 ,在AC邊上截取AD = BC,連

2、接 BD.（1）通過計(jì)算，判斷 AD2與AC CD的大小關(guān)系；（2）求/ ABD的度數(shù).類型二相似與特殊四邊形4. （2016東營中考）如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點(diǎn)，BEX AC,垂足為點(diǎn)F, 連接 DF,分析下列四個結(jié)論：AEFscab；CF = 2AF;DF = DC.其中正確的結(jié) 論有（）A. 3個 B. 2個 C. 1個 D. 0個5.如圖， ABC和 DBC是兩個具有公共邊的全等三角形， AB = AC = 3cm, BC=2cm. 將 DBC沿射線BC平移一定的距離得到 D1B1C1,連接AC1, BD1.如果四邊形ABD1C1是 矩形，那么平移的距離為 cm.6. （

3、2016濱州中考）如圖，矩形 ABCD中，AB = V3, BC = /6,點(diǎn)E在對角線 BD上,且BE=1.8,連接AE并延長交DC于點(diǎn)F,則左CD7. 如圖，在？ABCD中，對角線 AC、BD相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E、F是AD上的點(diǎn)，且 AE = EF = FD.連接BE、BF,使它們分別與 AO相交于點(diǎn) G、H.求EG : BG的值；(2)求證：AG = OG;(3)設(shè) AG = a, GH= b, HO = c,求 a ： b ： c 的值.類型三運(yùn)用相似解決幾何圖形中的動點(diǎn)問題18. 如圖，在正萬形 ABCD中，M是BC邊上的動點(diǎn)，N在CD上，且 CN="CD,若AB = 4,設(shè)

4、BM = x, 的三角形相似.當(dāng)x=時，以A、N、C、M為頂點(diǎn)B、M為頂點(diǎn)的三角形和以9. (2016宜春模擬)如圖， ABC0DEF(點(diǎn)A、B分別與點(diǎn) D、E對應(yīng))，AB = AC=5,BC = 6, 4ABC固定不動， DEF運(yùn)動，并滿足點(diǎn) E在BC邊從B向C移動(點(diǎn)E不與B、 C重合),DE始終經(jīng)過點(diǎn)A,EF與AC邊交于點(diǎn)M ,當(dāng) AEM是等腰三角形時，BE=.10. (2016 梅州中考)如圖，在 RtABC 中，/ ACB=90°, AC = 5cm, Z BAC=60°,動 點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒2cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，同時動點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā), 在C

5、B邊上以每秒43cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為 t秒(0wtW5),連接MN.(1)若BM = BN,求t的值；(2)若4 MBN與 ABC相似，求t的值；(3)當(dāng)t為何值時，四邊形 ACNM的面積最?。坎⑶蟪鲎钚≈?11. (2016赤峰中考)如圖，正方形ABCD的邊長為3cm, P, Q分別從B, A出發(fā)沿BC, AD方向運(yùn)動，P點(diǎn)的運(yùn)動速度是1cm/秒，Q點(diǎn)的運(yùn)動速度是 2cm/秒，連接AP并過Q作 QELAP垂足為E.(1)求證： ABPA QEA;(2)當(dāng)運(yùn)動時間t為何值時， ABPAQEA?(3)設(shè)4QEA的面積為y,用運(yùn)動時間t表示 QEA的面積y(不要求考慮t的取值范圍

6、).提 示：解答(2)(3)時可不分先后類型四 相似中的探究型問題12. (2016寧波中考)從三角形(不是等腰三角形)一個頂點(diǎn)引出一條射線與對邊相交，頂 點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形， 如果分得的兩個小三角形中一個為 等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線.(1)如圖，在 ABC中，CD為角平分線，/ A=40°, /B=60°,求證：CD為4ABC 的完美分割線；(2)在4ABC中，/ A=48°, CD是4ABC的完美分割線，且4 ACD為等腰三角形，求 /ACB的度數(shù)；(3)如圖， ABC中，AC=2

7、, BC = V2, CD是4ABC的完美分割線，且 ACD是以 CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長.cczK /A BB AD H函酎參考答案與解析1. (-3-3, 3/3) 解析：如圖，過點(diǎn)B作BEx軸于點(diǎn) E.易證 EBCs OCA,EBOCBC ECCA OA-點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(0, 1),點(diǎn) C 的坐標(biāo)為(一3, 0), OA= 1, OC=3, AC =AC 3>/3). FEG是三個全等的等腰三角形，HI =AB=2, GI=BC = 1 , BI = 4BC = 4 ,=BI敢 .AB_ BCAB 2 ' BI AB.又. / ABI = / ABC

8、, . ABIsXBA, .隼= Ab.-. AB = AC, AI BIQI.-.AI = BI=4.,.Z ACB = Z FGE, .AC / FG , .,.77AIGI 1 =一CI 3'QI =：AI = 4.33、OA2+ OC2 =甲0.在 RtAACB 中，/ B= 30°, . . AB= 2AC = 20O,BC=/AB2-AC2 =©, =/3.-. BE=3/3, EC = a/3, . EO = EC+CO =淄+3, .點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(一3 42-解析： ABC、ADCE>33.解：(1) . AB=AC=1, BC= 1,AD

9、 = 5" 1, DC = 1-52- 1 =3-5.AD2J+1；2 區(qū)守5 AC CD = 1 X 32=5=35.AD2= AC CD ;(2) AD = BC , AD2 = AC CD , BC2 = AC CD ,即 AC = CC .又C = / C ,BCDAABC. . AB=BD= 1, / DBC=/ A.，DB = CB = AD.，/A=/ ABD, / C = AC CB/ BDC.設(shè)/ A=x，則/ ABD = x, Z DBC = x, Z C=2x. /Z A+Z ABC + Z C= 180°, x + 2x+ 2x= 180 °

10、;,解得 x=36 °,ABD =36 °.4. A 解析：過D作DM /BE交AC于N；,四邊形 ABCD是矩形，.AD / BC, /ABC = 90°, AD = BC. ,. BEXAC 于點(diǎn) F , . / EAC = / ACB , / ABC = / AFE = 90° , . AEFsCAB,故正確；AD / BC, .-.AAEFA CBF ,，AE = AF.AE =1AD =BC, BC CF 221 AF.-.CF=2AF,故正確； DE/BM, BE / DM ,二.四邊形 BMDE 是平行四邊形，2 Cf1_ _.BM = D

11、E = 2BC,，BM = CM, .CN=NF.BE，AC 于點(diǎn) F, DM /BE, /.DNICF, . DF= DC,故正確.5. 7 解析：作 AEBC 于 E, ./ AEB = Z AECi= 90°, . . / BAE + / ABC = 90 .AB1 = AC, BC= 2, . BE = CE = BC= 1.四邊形 ABDiCi 是矩形，. . / BACi= 90 , . . / ABC+ Z ACiB=90。，BAE=Z ACiB, ABEs CiBA, . BE=整.AB = 3cm, BE=1cm, ，AB BCii 3BCi = 9cm,CCi=

12、BCi - BC= 9-2= 7(cm),即平移的距離為 7cm.3 BCii6- 解析：二.四邊形 ABCD 是矩形，/ BAD = 90 .,- AB = 73, BC = J6,，BD = 3AB2 + AD2 =3. / BE= i.8, DE=3-i.8=i.2. . AB/ CD, .,DF DEAB BE,3DF=2,則 CF =CD DF普,.黑=磊=；33 CD 3 37. (i)解：二.四邊形 ABCD 是平行四邊形， AD =BC, AD/BC, AEGA CBG ,.EG=AG GB-GCAE-1.AE = EF = FD,BC = AD = 3AE,，GC = 3AG

13、, GB=3EG,. EG ： BGBC=i ： 3;(2)證明:_ _i_. GC = 3AG(已證)，AC = 4AG, .AO = aAC=2AG,，GO = AO AG=AG;(3)解：AE = EF = FD , . BC = AD = 3AE, AF=2AE. .AD / BC, /.A AFHA CBH ,AH AF 2AE 2. HC = BC=3AE=3',AH 22八L八. AC=5,即 AH=5AC：AC = 4AG，-.a = AG=4AC，b=AHAG2 i 3i 2 ii 3 i= gAC-4AC = 20AC, c=AO-AH = 2AC-5AC = -A

14、C, . a ： b ： c= -20 -= 5-3-2.8 2 或但 解析：.在正方形 ABCD 中，AB = 4, . AB= BC = CD =4.BM=x, .CM 5= 4-x/. CN = iCD, . CN = i.當(dāng) ABMs MCN 時， 黑=盟，即74- =解得 x=2;4CM CN4 X i當(dāng) ABMSRCM時，器需即4=已解得x = £.綜上所述,當(dāng)x=2靖時，以A、B、M為頂點(diǎn)的三角形和以 N、C、M為頂點(diǎn)的三角形相似.9 1 或11 解析：. / AEF = Z B=/ C,且/ AME>Z C,/ AME >Z AEF, . AEwAM ;

15、6當(dāng) AE= EM 時，則 ABEA ECM ,，CE=AB=5, . BE = BC EC= 6 5= 1.當(dāng) AM = EM時，則/=/ C,MAE = /MEA, ./ MAE + Z BAE = Z MEA + Z CEM,即 / CAB= / CEA.又/ C .CAEsCBA,.就=器，住二誓普，. - 6林=£,或?.i0.解：(i)在 RtAABC 中，Z ACB=90°, AC=5, /BAC=60°,/ B= 30°,= 2AC=i0, BC=573.由題意知：BM = 2t, CN = 3t, . BN = 5#一陋七BM = BN

16、, =5mV3t,解得 t= 25y3= i0>/315；AB 2t(2)分兩種情況：當(dāng) MBNA ABC時，則MB = BN，即=5"3t，解得tAB BC 105，： 3當(dāng) NBMAABC時，則瞿=瞿，即AB BC5my3t2t105.3155,斛得t=>.綜上所述，當(dāng)t=2或, MBN 與 ABC 相似;過 M 作 MDBC 于點(diǎn) D,則 MD / AC, . BMDA BAC,MD BM'AC ABMD 2t,即=,'510'解得 MD=t.設(shè)四邊形 ACNM 的面積為 y, . y= 2X 5 X 5/32(573-V3t) t=字2萼t

17、 +253-=孚t5 +75/3.，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)t=|時，y的值最小.此時，y最小2228211 . (1)證明：.四邊形 ABCD 為正方形，BAP + Z QAE = Z B = 90 . v QE ± AP, ./ QAE + /EQA=/AEQ=90°,/ BAP = / EQA , /B=/AEQ, /.A ABPA QEA;(2)解：/A ABPA QEA,，AP=AQ.在 RtABP 與 Rt QEA 中，根據(jù)勾股定理得 AP2 = 32+t2, AQ2=(2t)2,即32 + t2=(2t)2,解得詢=蟲，t2= ，3(不符合題意，合去).即當(dāng)

18、t =短時 ABPA QEA;一 ._ y AQ(3)解：由(1)知abpsqea,，sb;= 7p2t一：32+t26t39+ t2.，/ACB=80°,ABC 不是等腰三12 .解：(1)如圖中，.一/ A=40°, /B = 60°,1_。_。 一角形.CD 平分/ ACB, ./ ACD = Z BCD =:/ACB= 40 , . . / ACD = / A=40 , . .ACD為等腰三角形.Z DCB = Z A=40°, /CBD = /ABC, /.A BCDA BAC, . CD 是 ABC 的完美分割線；13(1(2)當(dāng) AD = CD時，如圖，/ ACD = /A=48°, /A BDCA BCA,= 48°, .ACB = /ACD + / BCD=96°BDCA BCA,當(dāng) AD = AC 時，如圖，/ ACD=/ ADC = 180