高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第章-立體幾何-第課時(shí)-二面角練習(xí)-理

1、朝花夕拾杯中酒第9課時(shí) 二面角1(2021·皖南八校聯(lián)考)四棱錐VABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，其他四個(gè)側(cè)面是腰長(zhǎng)為3的等腰三角形，那么二面角VABC的余弦值的大小為()A.B.C. D.答案B解析如下圖，取AB中點(diǎn)E，過(guò)V作底面的垂線，垂足為O，連接OE，VE，根據(jù)題意可知，VEO是二面角VABC的平面角因?yàn)镺E1，VE2，所以cosVEO，應(yīng)選B.2.如圖，三棱錐SABC中，棱SA，SB，SC兩兩垂直，且SASBSC，那么二面角ABCS的正切值為()A1 B.C. D2答案C解析三棱錐SABC中，棱SA，SB，SC兩兩垂直，且SASBSC，SA平面SBC，且ABAC

2、，如圖，取BC的中點(diǎn)D，連接SD，AD，那么SDBC，ADBC，那么ADS是二面角ABCS的平面角，設(shè)SASBSC1，那么SD，在RtADS中，tanADS，應(yīng)選C.另解：以S為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)SA1，那么S(0，0，0)，A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，(0，0，1)，(1，0，1)，(0，1，1)，易知(0，0，1)為平面SBC的一個(gè)法向量，設(shè)n(x，y，z)為平面ABC的法向量，那么即令z1，那么n(1，1，1)為平面ABC的一個(gè)法向量，所以cos，n，故二面角ABCS的正切值為.3(2021·福州質(zhì)量檢測(cè))

3、三棱錐ABCD中，ABC為等邊三角形，AB2，BDC90°，二面角ABCD的大小為150°，那么三棱錐ABCD的外接球的外表積為()A7 B12C16 D28答案D解析此題考查空間直線與平面的位置關(guān)系、球的外表積設(shè)球心為F，過(guò)點(diǎn)A作AO平面BCD，垂足為O，取BC的中點(diǎn)E，連接AE，OE，EF，那么AEO30°，AE3，AO，OE，EC，外接球球心F在過(guò)E且平行于AO的直線上，設(shè)FEx，外接球半徑為R，那么R23x2()2(x)2，解得x2，R27，那么外接球的外表積為4R228，應(yīng)選D.4.(2021·浙江溫州中學(xué)模擬)如圖，四邊形ABCD，ABBDD

4、A2，BCCD.現(xiàn)將ABD沿BD折起，當(dāng)二面角ABDC處于，的過(guò)程中，直線AB與CD所成角的余弦值的取值范圍是()A， B，C0， D0，答案D解析如下圖，取BD中點(diǎn)E，連接AE，CE，AEC即為二面角ABDC的平面角而AC2AE2CE22AE·CE·cosAEC42cosAEC，又AEC，AC1，·2cos，·()2AB·BC·1，設(shè)異面直線AB，CD所成的角為，0cos·，應(yīng)選D.5.如圖，平面與平面相交成銳角，平面內(nèi)的一個(gè)圓在平面上的射影是離心率為的橢圓，那么_答案解析如圖，經(jīng)過(guò)平面內(nèi)圓的圓心作平行于和垂直于二面角的棱

5、的兩條直徑，那么這兩條直徑在平面上的射影是橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，那么短軸的延長(zhǎng)線和垂直于棱的直徑所在直線的夾角為二面角的平面角，記為.因?yàn)閑，所以，故cos，解得.6.(2021·甘肅天水一模)在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，且AD2，PAAB1，PA平面ABCD，E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，記二面角PEDA的大小為，那么tan的取值范圍為_(kāi)答案，解析由A點(diǎn)作AOED于O，連接PO，那么POA為二面角的平面角tanPOA.又OA，2，tanPOA，7(2021·滄州七校聯(lián)考)三棱錐ABCD的三視圖如下圖：那么二面角BADC的正弦值為_(kāi)答案解析如圖，把三棱錐ABCD放到長(zhǎng)方體中

6、，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為5，3，4，BCD為直角三角形，直角邊分別為5和3，三棱錐ABCD的高為4，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，那么B(0，0，0)，A(3，0，4)，C(3，5，0)，D(0，5，0)，(3，5，4)，(0，5，0)，(3，0，0)設(shè)n1(x1，y1，z1)是平面ABD的一個(gè)法向量，n1，n1.可取n1(4，0，3)設(shè)n2(x2，y2，z2)是平面ADC的一個(gè)法向量，n2，n2，可取n2(0，4，5)cosn1，n2.sinn1，n2.即二面角BADC的正弦值為.8(2021·洛陽(yáng)第一次統(tǒng)考)如圖，四邊形ABEF和四邊形ABCD均是直角梯形，F(xiàn)ABDAB90°

7、;，二面角FABD是直二面角，BEAF，BCAD，AFABBC2，AD1.(1)證明：在平面BCE上，一定存在過(guò)點(diǎn)C的直線l與直線DF平行；(2)求二面角FCDA的余弦值答案(1)略(2)解析(1)由得，BEAF，AF平面AFD，BE平面AFD，BE平面AFD.同理可得，BC平面AFD.又BEBCB，平面BCE平面AFD.設(shè)平面DFC平面BCEl，那么l過(guò)點(diǎn)C.平面BCE平面ADF，平面DFC平面BCEl，平面DFC平面AFDDF，DFl，即在平面BCE上一定存在過(guò)點(diǎn)C的直線l，使得DFl.(2)平面ABEF平面ABCD，F(xiàn)A平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，又FAB90°

8、，AFAB，AF平面ABCD，AD平面ABCD，AFAD.DAB90°，ADAB.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，AF所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖由得，D(1，0，0)，C(2，2，0)，F(xiàn)(0，0，2)，(1，0，2)，(1，2，0)設(shè)平面DFC的法向量為n(x，y，z)，那么不妨取z1，那么n(2，1，1)，不妨取平面ACD的一個(gè)法向量為m(0，0，1)，cosm，n，由于二面角FCDA為銳角，因此二面角FCDA的余弦值為.9(2021·安徽合肥二檢，理)如圖，在矩形ABCD中，AB1，AD2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，沿BE將ABE折起至PBE，如圖所示

9、，點(diǎn)P在平面BCDE上的射影O落在BE上(1)求證：BPCE；(2)求二面角BPCD的余弦值答案(1)略(2)解析(1)點(diǎn)P在平面BCDE上的射影O落在BE上，PO平面BCDE，POCE，由題意，易知BECE，又POBEO，CE平面PBE，又BP平面PBE，BPCE.(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過(guò)點(diǎn)O且平行于CD的直線為x軸，過(guò)點(diǎn)O且平行于BC的直線為y軸，PO所在的直線為z軸，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系那么B(，0)，C(，0)，D(，0)，P(0，0，)，(1，0，0)，(，)，(，)，(0，2，0)設(shè)平面PCD的法向量為n1(x1，y1，z1)，那么即令z1，可得n1(0，)為平面PCD的一

10、個(gè)法向量設(shè)平面PBC的法向量為n2(x2，y2，z2)，那么即令z2，可得n2(2，0，)為平面PBC的一個(gè)法向量cosn1，n2，由圖可知二面角BPCD為鈍角，故二面角BPCD的余弦值為.10(2021·山東，理)如圖，幾何體是圓柱的一局部，它是由矩形ABCD(及其內(nèi)部)以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120°得到的，G是的中點(diǎn)(1)設(shè)P是上的一點(diǎn)，且APBE，求CBP的大小；(2)當(dāng)AB3，AD2時(shí)，求二面角EAGC的大小答案(1)30°(2)60°解析(1)因?yàn)锳PBE，ABBE，AB，AP平面ABP，ABAPA，所以BE平面ABP.又BP平面ABP，

11、所以BEBP.又EBC120°，因此CBP30°.(2)方法一：取的中點(diǎn)H，連接EH，GH，CH.因?yàn)镋BC120°，所以四邊形BEHC為菱形，所以AEGEACGC.取AG中點(diǎn)M，連接EM，CM，EC，那么EMAG，CMAG，所以EMC為所求二面角的平面角又AM1，所以EMCM2.在BEC中，由于EBC120°，由余弦定理得EC222222×2×2×cos120°12，所以EC2，因此EMC為等邊三角形，故所求的二面角為60°.方法二：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BE，BP，BA所在的直線為x，y，z軸，建立如

12、下圖的空間直角坐標(biāo)系由題意得A(0，0，3)，E(2，0，0)，G(1，3)，C(1，0)，故(2，0，3)，(1，0)，(2，0，3)，設(shè)m(x1，y1，z1)是平面AEG的法向量由可得取z12，可得平面AEG的一個(gè)法向量m(3，2)設(shè)n(x2，y2，z2)是平面ACG的法向量由可得取z22，可得平面ACG的一個(gè)法向量n(3，2)所以cosm，n.由圖形可知二面角EAGC為銳二面角，因此所求的角為60°.11(2021·廣州綜合測(cè)試一)如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，BDDC，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，將ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，連接AE，AC，

13、DE，得到如圖所示的幾何體(1)求證：AB平面ADC；(2)假設(shè)AD1，二面角CABD的平面角的正切值為，求二面角BADE的余弦值答案(1)略(2)解析(1)因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，又BDDC，所以DC平面ABD.因?yàn)锳B平面ABD，所以DCAB.又折疊前后均有ADAB，DCADD，所以AB平面ADC.(2)由(1)知AB平面ADC，所以ABAC，又ABAD，所以二面角CABD的平面角為CAD.又DC平面ABD，AD平面ABD，所以DCAD.依題意tanCAD.因?yàn)锳D1，所以CD.設(shè)ABx(x>0)，那么BD.依題意ABDDCB，所以，即.又x>0，解得x，故AB，BD，BC3.方法一：如圖a所示，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，那么D(0，0，0)，B(，0，0)，C(0，0)，E(，0)，A(，0，)，所以(，0)，(，0，)由(1)知平面BAD的一個(gè)法向量為n(0，1，0)設(shè)平面ADE的法向量為m(x，y，z)，由得令x，得y，z，所以m(，)所以cosn，