一維雙原子鏈聲學(xué)波和光學(xué)波

1、03_03_一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)03_03 一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波聲學(xué)波和光學(xué)波 物理模型：雙原子鏈物理模型：雙原子鏈 牛頓方程及解牛頓方程及解 格波的波矢取值格波的波矢取值 色散關(guān)系：聲學(xué)波和光學(xué)波色散關(guān)系：聲學(xué)波和光學(xué)波 長(zhǎng)波極限和短波極限長(zhǎng)波極限和短波極限 格波的振幅關(guān)系格波的振幅關(guān)系03_03_一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)03_03 一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波聲學(xué)波和光學(xué)波 1.一維復(fù)式格子的情形一維復(fù)式格子的情形 一維無(wú)限長(zhǎng)鏈牛頓方程及解一維無(wú)限長(zhǎng)鏈牛頓方程及解 兩種原子兩種原子m和和M (

2、M m) _ 構(gòu)成一維構(gòu)成一維復(fù)式格子復(fù)式格子 M原子位于原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 m原子位于原子位于2n， 2n+2， 2n+4 同種原子間的距離同種原子間的距離2a_晶格常數(shù)晶格常數(shù)01/28 系統(tǒng)有系統(tǒng)有N個(gè)原胞個(gè)原胞03_03_一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)2122221(2) nnnnM(2) (21)221itna qitnaqnnAeandBe N個(gè)原胞，有個(gè)原胞，有2N個(gè)獨(dú)立的方程個(gè)獨(dú)立的方程 （總自由度數(shù)）（總自由度數(shù)） 兩種原子振動(dòng)兩種原子振動(dòng)振幅振幅A和和B一般不同一般不同 第第2n+1個(gè)個(gè)M原子的方程原子的方程221212(2)

3、nnnnm 第第2n個(gè)個(gè)m原子的方程原子的方程方程解的形式方程解的形式03_03_一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì))12(12)2(2aqntinqnatinBeAe22(2)(2cos)0(2cos)(2)0mAaq Baq AMB A、B有非零的解，系數(shù)行列式為零有非零的解，系數(shù)行列式為零2122221221212(2)(2) nnnnnnnnMm 第第2n+1個(gè)個(gè)M原子原子 第第2n個(gè)個(gè)m原子原子方程的解方程的解03_03_一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)02cos2cos2222Maqaqm221/22()411sin()mMmMaqmMmM

4、 一維復(fù)式晶格中存在一維復(fù)式晶格中存在兩種獨(dú)立的格波兩種獨(dú)立的格波221/22()411sin()mMmMaqmMmM221/22()411sin()mMmMaqmMmM03_03_一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)221/22()411sin()mMmMaqmMmM221/22()411sin()mMmMaqmMmM 與與q之間存在著兩之間存在著兩 種不同的色散關(guān)系種不同的色散關(guān)系 一維復(fù)式格子存在一維復(fù)式格子存在 兩支獨(dú)立的格波兩支獨(dú)立的格波 光學(xué)波光學(xué)波 聲學(xué)波聲學(xué)波05/28與一維單原子鏈比一比？與一維單原子鏈比一比？03_03_一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振

5、動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)相鄰相鄰原胞原胞相位差相位差 aq2)12(12)2(2aqntinqnatinBeAeM和和m原子方程原子方程2. 波矢波矢q的取值的取值2aqhaqN2)2(h為整數(shù)為整數(shù)q的值范圍的值范圍aqa22aa2a2aOq第一布里淵第一布里淵區(qū)寬度區(qū)寬度/a周期性邊界條件：周期性邊界條件：nnN22aNhq q的取值的取值qNa 每個(gè)波矢占的線度每個(gè)波矢占的線度NNaa/FBZ允允許的許的q值值的數(shù)目的數(shù)目晶體中的晶體中的原胞數(shù)目原胞數(shù)目03_03_一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)一個(gè)一個(gè)q對(duì)應(yīng)兩個(gè)格波頻率，即對(duì)應(yīng)兩個(gè)格波頻率，即 總的格波數(shù)目為總的格波數(shù)

6、目為2N ： 原子的數(shù)目原子的數(shù)目: 2N221/22()411sin()mMmMaqmMmM221/22()411sin()mMmMaqmMmM 光學(xué)波光學(xué)波 聲學(xué)波聲學(xué)波q的取值數(shù)目的取值數(shù)目=晶體中的原胞數(shù)目晶體中的原胞數(shù)目N03_03_一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3. 色散關(guān)系色散關(guān)系的特點(diǎn)的特點(diǎn) 3.1 短波極限短波極限2qa 1/21/2() ()()mMMmmM因?yàn)橐驗(yàn)?Mmmaxmin)()(221/22()411sin()mMmMaqmMmM2/ 2sin1 qaaq1/2max1/2min2()2()MMmaxmin03_03_一維雙原子鏈 聲學(xué)波

7、和光學(xué)波 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)maxmin)()(maxmin)()( 不存在格波不存在格波 頻率間隙頻率間隙 一維雙原子晶格一維雙原子晶格 叫做叫做帶通濾波器帶通濾波器10/28maxmin03_03_一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3.2 長(zhǎng)波極限長(zhǎng)波極限0q 聲學(xué)波聲學(xué)波221/22()411sin()mMmMaqmMmM1)(sin)(422aqMmmM 聲學(xué)波的色散關(guān)系與一維布喇菲格子形式相同聲學(xué)波的色散關(guān)系與一維布喇菲格子形式相同 2()aqmM03_03_一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 光學(xué)波光學(xué)波221/22()411sin()

8、mMmMaqmMmM1)(sin)(422aqMmmM3.2 長(zhǎng)波極限長(zhǎng)波極限0q 2mMmM折合質(zhì)量折合質(zhì)量03_03_一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)0)2()cos2(0)cos2()2(22BMAaqBaqAmaqmABcos22)(2aqmABcos22)(2221/22()411sin()mMmMaqmMmM 光學(xué)波光學(xué)波 聲學(xué)波聲學(xué)波4 兩種格波中兩種格波中m和和M原子振動(dòng)振幅之比原子振動(dòng)振幅之比03_03_一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì) m原子靜止不動(dòng)，相鄰原子振動(dòng)的相位相反原子靜止不動(dòng)，相鄰原子振動(dòng)的相位相反22()2cosBmA

9、aq ()BA BA2qa 4.1 時(shí)時(shí)m和和M原子振動(dòng)的振幅原子振動(dòng)的振幅 聲學(xué)波聲學(xué)波1/22()M03_03_一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 光學(xué)波光學(xué)波22()2cosBmAaq ()0BA M原子靜止不動(dòng)，相鄰原子振動(dòng)的相位相反原子靜止不動(dòng)，相鄰原子振動(dòng)的相位相反 BA2qa 4.1 時(shí)時(shí)m和和M原子振動(dòng)的振幅原子振動(dòng)的振幅1/22()m03_03_一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 長(zhǎng)聲學(xué)波中相鄰原子的振動(dòng)長(zhǎng)聲學(xué)波中相鄰原子的振動(dòng)0,0qaqmABcos22)(21 原胞中的兩個(gè)原子振動(dòng)的振幅相同，振動(dòng)方向一致原胞中的兩個(gè)原子振動(dòng)的振幅相

10、同，振動(dòng)方向一致 代表代表原胞質(zhì)心的振動(dòng)原胞質(zhì)心的振動(dòng)2()aqmM15/280q 4.2 時(shí)時(shí)m和和M原子振動(dòng)的振幅原子振動(dòng)的振幅03_03_一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)2,mMmMaqmABcos22)(2MmAB)( 長(zhǎng)光學(xué)波長(zhǎng)光學(xué)波同種原子同種原子振動(dòng)相位一致，振動(dòng)相位一致，相鄰原子相鄰原子振動(dòng)相反振動(dòng)相反 原胞質(zhì)心保持不變的振動(dòng)，原胞中原胞質(zhì)心保持不變的振動(dòng)，原胞中原子之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)原子之間相對(duì)運(yùn)動(dòng) 長(zhǎng)光學(xué)波中相鄰原子的振動(dòng)長(zhǎng)光學(xué)波中相鄰原子的振動(dòng)0,2 /q 03_03_一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 兩種格波中兩種格波中m和和M原子

11、振動(dòng)振幅之比原子振動(dòng)振幅之比聲學(xué)支格波仍描述元胞內(nèi)原子的同相整體運(yùn)動(dòng)聲學(xué)支格波仍描述元胞內(nèi)原子的同相整體運(yùn)動(dòng)光學(xué)支格波仍描述元胞內(nèi)原子的反相運(yùn)動(dòng)。光學(xué)支格波仍描述元胞內(nèi)原子的反相運(yùn)動(dòng)。03_03_一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)131402()1010 /s5. 長(zhǎng)光學(xué)波與電磁波的作用長(zhǎng)光學(xué)波與電磁波的作用 在長(zhǎng)波極限下，對(duì)于典型的在長(zhǎng)波極限下，對(duì)于典型的 和和 值值 對(duì)應(yīng)于遠(yuǎn)紅外的光波對(duì)應(yīng)于遠(yuǎn)紅外的光波 遠(yuǎn)紅外光波激發(fā)離子晶體遠(yuǎn)紅外光波激發(fā)離子晶體 可引起晶體中長(zhǎng)光學(xué)波的可引起晶體中長(zhǎng)光學(xué)波的共振吸收共振吸收光波的頻率光波的頻率0c q0/qc 波矢遠(yuǎn)小于一般格波的波矢

12、，只有波矢遠(yuǎn)小于一般格波的波矢，只有 的長(zhǎng)光學(xué)波的長(zhǎng)光學(xué)波 可以與遠(yuǎn)紅外的光波發(fā)生共振吸收可以與遠(yuǎn)紅外的光波發(fā)生共振吸收0q 能與光波作用的能與光波作用的長(zhǎng)光學(xué)波聲子稱長(zhǎng)光學(xué)波聲子稱為為電磁聲子電磁聲子03_03_一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 例題例題 一維復(fù)式格子中，如果一維復(fù)式格子中，如果計(jì)算計(jì)算光學(xué)波頻率的最大值光學(xué)波頻率的最大值 和最小值和最小值 ，聲學(xué)波頻率，聲學(xué)波頻率 的最大值的最大值 ；2) 相應(yīng)聲子的能量相應(yīng)聲子的能量 , 和和 ；3) 在在 下，三種聲子數(shù)目（下，三種聲子數(shù)目（平均數(shù)平均數(shù)）各為多少？）各為多少？如果用電磁波激發(fā)光學(xué)波如果用電磁波激發(fā)

13、光學(xué)波1) 要激發(fā)的聲子所用的電磁波波長(zhǎng)在什么波段？要激發(fā)的聲子所用的電磁波波長(zhǎng)在什么波段？ 275 1.67 10g,4,15/MmkN mmOminAmaxOmaxKT300OEmaxOEminAEmax03_03_一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 1) 聲學(xué)波的最大頻率聲學(xué)波的最大頻率max2/AMsradA/10314max光學(xué)波的最大頻率光學(xué)波的最大頻率max2/O 0.8mMMmM14max6.7 10/Orad s光學(xué)波的最小頻率光學(xué)波的最小頻率min2/Om146 10/rad s4mMmN /1503_03_一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動(dòng)與晶體的

14、熱學(xué)性質(zhì)OOEmaxmaxeVEO442. 0maxOOEminmineVEO396. 0minAAEmaxmaxeVEA198. 0max2）相應(yīng)聲子的能量）相應(yīng)聲子的能量MA2max2maxOmO2min03_03_一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3) 某一特定諧振子具有激發(fā)能某一特定諧振子具有激發(fā)能的幾率的幾率)21( nnTknBnCeP/1/nTknnBnCePnTkTknBnBneeP/nTkBneC/1nTknTknnBBeeP/ 歸一化條件歸一化條件歸一化常數(shù)歸一化常數(shù)03_03_一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)(1)BBnk Tk

15、TnPeennnP1()2nnnP(1)2BBnk Tk Tnene1)1 (xxnnnTknTknnBBeeP/頻率為頻率為 諧振子的平均能量諧振子的平均能量2)1 (xxnxnn)2111(/TkBe/Bk Txe/Bk Txe03_03_一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì))2111(/TkBe)(21)(qqnii頻率為頻率為 i諧振子的能量諧振子的能量11)(/TkiBieqn頻率為頻率為 i態(tài)的平均數(shù)聲子態(tài)的平均數(shù)聲子頻率為頻率為 諧振子的平均能量諧振子的平均能量可見(jiàn)，聲子數(shù)隨溫度變化?？梢?jiàn)，聲子數(shù)隨溫度變化。03_03_一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動(dòng)與晶

16、體的熱學(xué)性質(zhì)300,0.026BTKk TeV 聲子數(shù)目聲子數(shù)目maxmax1()1OBOk Tnemax0.442OEeV8max()4.14 10Onminmin1()1OBOk Tne7min()2.43 10OneVEO396. 0minmaxmax1()1ABAk Tne4max()4.93 10AneVEA198. 0max03_03_一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)eVEO442. 0maxm8 . 24）如果用電磁波激發(fā)光學(xué)波）如果用電磁波激發(fā)光學(xué)波 要激發(fā)要激發(fā) 的聲子所用的電磁波波長(zhǎng)在什么波段？的聲子所用的電磁波波長(zhǎng)在什么波段？OmaxOmax對(duì)應(yīng)電磁波的能量和波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)電磁波的能量和波長(zhǎng) 要激發(fā)的聲子所用的電磁波波長(zhǎng)在近紅外線波段要激發(fā)的聲子所用的電磁波波長(zhǎng)在近紅外線波段 （Near Infrared）(NIR)max2Oc03_03_一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)作業(yè)作業(yè)1. 長(zhǎng)光學(xué)支格波與長(zhǎng)聲學(xué)支格波本質(zhì)上有何差別長(zhǎng)光學(xué)支格波與長(zhǎng)聲學(xué)支格波本質(zhì)上有何差別?2. 溫度一定，一個(gè)光學(xué)波的聲子數(shù)目多呢溫度一定，一個(gè)光學(xué)波的聲子數(shù)目多呢, 還是聲學(xué)波的還是聲學(xué)波的聲子數(shù)目多聲子數(shù)目多?3. 對(duì)同一個(gè)振動(dòng)模式對(duì)同一個(gè)振動(dòng)模式, 溫度高時(shí)的聲子數(shù)目多呢溫度高時(shí)的