概率統(tǒng)計2013級軟工網(wǎng)絡(luò)內(nèi)招5習(xí)題課

1、第五章第五章 大數(shù)定律及中心極限定理大數(shù)定律及中心極限定理習(xí)習(xí) 題題 課課二、主要內(nèi)容二、主要內(nèi)容三、典型例題三、典型例題一、重點與難點一、重點與難點一、重點與難點一、重點與難點1.重點重點 中心極限定理及其運用中心極限定理及其運用. 2.難點難點 證明隨機變量服從大數(shù)定律證明隨機變量服從大數(shù)定律. 大數(shù)定律大數(shù)定律 二、主要內(nèi)容二、主要內(nèi)容中心極限定理中心極限定理 定定理理一一定定理理二二 定定理理三三 定理一的另一種表示定理一的另一種表示 定定理理一一定定理理二二 定定理理三三 切比雪夫定理的特殊情況切比雪夫定理的特殊情況有有數(shù)數(shù)則對于任意正則對于任意正的算術(shù)平均的算術(shù)平均個隨機變量個隨機

2、變量作前作前和方差：和方差：且具有相同的數(shù)學(xué)期望且具有相同的數(shù)學(xué)期望相互獨立相互獨立設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 ,1), 2, 1()(,)( ,1221 nkkkknXnXnkXDXEXXX. 11lim|lim1 nkknnXnPXP定理一的另一種表示定理一的另一種表示. , 1 ), 2, 1()(,)(, , , , 1221 PnkkkknXXnXkXDXEXXX即即依概率收斂于依概率收斂于則序列則序列和方差：和方差：且具有相同的數(shù)學(xué)期望且具有相同的數(shù)學(xué)期望相互獨立相互獨立設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量伯努利大數(shù)定理伯努利大數(shù)定理有有則對于任意正數(shù)則對于任意正數(shù)率率在每次試驗中發(fā)生的概在每次試驗中發(fā)

3、生的概是事件是事件的次數(shù)的次數(shù)發(fā)生發(fā)生次獨立重復(fù)試驗中事件次獨立重復(fù)試驗中事件是是設(shè)設(shè) , , , ApAnnA. 0lim1lim pnnPpnnPAnAn或或辛欽定理辛欽定理), 2 , 1( )( , , , , 21 kXEXXXkn 且具有數(shù)學(xué)期望且具有數(shù)學(xué)期望服從同一分布服從同一分布相互獨立相互獨立設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量有有則對于任意正數(shù)則對于任意正數(shù), . 11lim1 nkknXnP獨立同分布的中心極限定理獨立同分布的中心極限定理則隨機變量之和的則隨機變量之和的和方差：和方差：且具有數(shù)學(xué)期望且具有數(shù)學(xué)期望同一分布同一分布服從服從相互獨立相互獨立設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量), 2 , 1

4、(0)(,)(,221 kXDXEXXXkkn 的分布函數(shù)的分布函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化變量標(biāo)準(zhǔn)化變量 nkknkknkknXDXEXY111滿足滿足對于任意對于任意 xxFn)( xtxt).(de2122 xnnXPxFnkknnn 1lim)(lim李雅普諾夫定理李雅普諾夫定理, 0|1,), 2 , 1(0)(,)(,122122221 nkkknnkknkkkknXEBnBkXDXEXXX 時時使得當(dāng)使得當(dāng)若存在正數(shù)若存在正數(shù)記記和方差：和方差：們具有數(shù)學(xué)期望們具有數(shù)學(xué)期望它它相互獨立相互獨立設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量則隨機變量之和的標(biāo)準(zhǔn)化變量則隨機變量之和的標(biāo)準(zhǔn)化變量 nkknkknkknXDXEXZ

5、111nnkknkkBX 11 滿足滿足對于任意對于任意的分布函數(shù)的分布函數(shù)xxFn)( xBXPxFnnkknkknnn11lim)(lim xtxt).(de2122 棣莫弗拉普拉斯定理棣莫弗拉普拉斯定理恒有恒有對于任意對于任意則則的二項分布的二項分布服從參數(shù)為服從參數(shù)為設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量,)10(,), 2 , 1(xppnnn xtnntxpnpnpP.de21)1(lim22 三、典型例題三、典型例題 解解.指出其分布參數(shù)指出其分布參數(shù) , , 21獨立同分布獨立同分布因為因為nXXX , , 22221也獨立同分布也獨立同分布所以所以nXXX例例1的簡單隨機的簡單隨機是來自總體是

6、來自總體假設(shè)假設(shè)XXXXn , 21 ,樣本樣本 4). 3, 2,1,()( kXEkk 已知已知:證明證明充分充分當(dāng)當(dāng) n ,大時大時, 1 12近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布隨機變量隨機變量 niinXnZ并并,)( 22 iXE且且,)()()(2242242 iiiEXXEXD根據(jù)根據(jù)獨立同分布的中心極限定理獨立同分布的中心極限定理知知)(224122 nnXVniin)(11224122 nXnnii)(12242 nZn的極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. , 充分大時充分大時故當(dāng)故當(dāng)n,近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布nV , 充分大時充分大時從而當(dāng)從而

7、當(dāng)n )(12224近似服從近似服從 nnVnZ . , 22422的正態(tài)分布的正態(tài)分布參數(shù)為參數(shù)為n , )10, 0( 2NX假設(shè)測量的隨機誤差假設(shè)測量的隨機誤差解解的概的概值大于值大于為每次測量誤差的絕對為每次測量誤差的絕對設(shè)設(shè) 6 .19 p6 .19 XPp 106 .1910XP例例2. )975. 0 ,(效數(shù)字效數(shù)字要求小數(shù)點后取兩位有要求小數(shù)點后取兩位有的近似值的近似值 ,19.6 的概率的概率絕對值大于絕對值大于 ,100 次獨立重復(fù)測量中次獨立重復(fù)測量中在在試求試求 并利用泊松分布求出并利用泊松分布求出 3次測量誤差的次測量誤差的至少有至少有)96. 1(,率率 96. 110XP,05. 0)96. 1(22 6 .19100 出現(xiàn)出現(xiàn)次獨立測量中事件次獨立測量中事件為為設(shè)設(shè) Xk , 05. 0 ,100 的二項分布的二項分布服從參數(shù)為服從參數(shù)為則則 pnk3 kP 故故31 kP05. 095. 010095. 0199100 96. 1102XP,的次數(shù)的次數(shù)29