簡(jiǎn)明電路分析基礎(chǔ)_08二階電路

1、電電 路路 分分 析析 基基 礎(chǔ)礎(chǔ) 電路分析基礎(chǔ)第八章第一節(jié)二階電路第二部分 動(dòng)態(tài)電路分析 六、電容元件與電感元件 七、一階電路 八、二階電路 九、沖擊函數(shù)在動(dòng)態(tài)電路分析中的應(yīng)用 十、交流動(dòng)態(tài)電路 電路分析基礎(chǔ)課程內(nèi)容介紹電路分析基礎(chǔ)第二部分：第八章 目錄第八章 二 階 電 路1 LC電路中的正弦震蕩 4 RLC電路的零輸入響應(yīng) 欠阻尼情況2 RLC電路的零輸入響應(yīng) 5 直流RLC串聯(lián)電路的完全響應(yīng) 過(guò)阻尼情況3 RLC電路的零輸入響應(yīng) 6 GCL并聯(lián)電路的分析 臨界阻尼情況 7 一般二階電路電路分析基礎(chǔ)第二部分：第八章內(nèi)容回顧 所有電路都是由動(dòng)態(tài)電路和電阻電路兩類電路組成的；內(nèi)容回顧： 雖然

2、電阻電路和動(dòng)態(tài)電路是兩類性質(zhì)完全不同的電路，但 第一部分中的分析方法，幾乎所有都能得到應(yīng)用，當(dāng)然， 動(dòng)態(tài)電路還有其自己的方法； 電容和電感是基本的動(dòng)態(tài)元件，它們都是儲(chǔ)能元件。電容 通過(guò)存儲(chǔ)電荷來(lái)存儲(chǔ)電能，電感通過(guò)存儲(chǔ)磁鏈來(lái)存儲(chǔ)磁能。 電容的電壓和電感的電流是它們最本質(zhì)的變量，一般情況 下，它們都不能突變。 所有電路受到兩類約束。即： 電路中的各支路電流、電壓受到KVL、KCL的約束， 元件上的電流、電壓受到元件VAR的約束；電路分析基礎(chǔ)第二部分：第八章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容： 本章研究的是包含兩個(gè)動(dòng)態(tài)元件的二階電路，它們用二 階線性常系數(shù)常微分方程描述。本章著重分析有電感和 電容組成的二階電路。

3、 和一階電路不同，二階LC電路會(huì)出現(xiàn)震蕩形式。 學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意：電路微分方程的建立，特征根的重要意義， 微分方程解的物理含義等方面的內(nèi)容。 然后通過(guò)分析說(shuō)明RLC電路的一般分析方法，以及固有頻 率與固有形式的關(guān)系。 本章首先從物理概念上闡述LC電路的零輸入響應(yīng)具有正弦 震蕩的形式；電路分析基礎(chǔ)第二部分：8-1 1/58-1 LC電路中的正弦震蕩問(wèn)題的提出：上一章一階電路的分析中只涉及到一種儲(chǔ)能電場(chǎng)能量或磁場(chǎng)能量，如果一個(gè)電路既能儲(chǔ)存電能，又能儲(chǔ)存磁能，這樣的電路會(huì)有什么特點(diǎn)呢？特例：我們研究一個(gè)只有電容和電感組成的電路的零輸入響應(yīng)。設(shè)電容的初始電壓為U0，電感的初始電流為 0。C+U0LCIL開(kāi)

4、始：雖然t=0時(shí)刻電流等于 0，但 di/dt 由于 U0 的存在而0。電流增長(zhǎng)：由于 di/dt 0，使電流開(kāi)始增長(zhǎng)，而電壓開(kāi)始下降。當(dāng)電流達(dá)到最大且穩(wěn)定時(shí)，電感短路，電壓降為零。電壓增長(zhǎng)：雖然此刻電壓 = 0，但 du/dt 由于 I 的存在而0。從而電壓又開(kāi)始反向增加，隨著電壓的增加，電流開(kāi)始減小，當(dāng)電壓達(dá)到最大值并穩(wěn)定時(shí)，電容開(kāi)路，電流等于零。C+U0L電路分析基礎(chǔ)第二部分：8-1 2/5電壓再增長(zhǎng)：雖然此刻電壓 = 0，但 du/dt 由于 I 的存在而0。從而電壓又開(kāi)始反向增加，隨著電壓的增加，電流開(kāi)始減小，當(dāng)電壓達(dá)到最大值并穩(wěn)定時(shí)，電容開(kāi)路，電流等于零。電流再增長(zhǎng)：di/dt 由

5、于 U0 的存在而0，因此電流又開(kāi)始反向增長(zhǎng)，達(dá)到最大時(shí)，電感短路，電壓又等于零。注意：此刻電壓已經(jīng)過(guò)兩次反向，已經(jīng)與一開(kāi)始的電壓極性相同，意味著“電能磁能”交換已完成了一次循環(huán)周期。C+U0LCILC+U0LCILC+U0LC+U0LCIL電路分析基礎(chǔ)第二部分：8-1 3/5還請(qǐng)注意：可以想象若電路中有電阻存在，則由于電阻消耗能量，而使電路經(jīng)過(guò)一個(gè)周期后的電壓幅度比開(kāi)始有所減少， 實(shí)際LC電路由于非理想而存在內(nèi)阻損耗，即使不外加電阻，也會(huì)使震蕩存在阻尼。阻尼：這種由于電阻存在而使震蕩衰減的現(xiàn)象稱為“阻尼”。震蕩：這種由于LC元件之間“電能磁能”的交替變換而產(chǎn)生的電壓或電流的周期性變化過(guò)程稱為

6、“震蕩”(oscillation)。阻尼震蕩：由于阻尼存在而使震蕩幅度不斷變小的震蕩稱為“阻尼震蕩”(damped oscillation)。 下面對(duì)LC回路的震蕩作進(jìn)一步的分析。設(shè) L=1H，C=1F， uC(0) = 1V， iL(0) = 0。由LC元件的VAR可得iL(t)圖8-2 LC震蕩回路+uC(t)LC電路分析基礎(chǔ)第二部分：8-1 4/5（8-1） = iLduCdt（8-2） = uCdiLdt這兩個(gè)式子表明：電流需要電壓的變化，電壓需要電流的變化，結(jié)果是兩個(gè)都必須不停地變化。結(jié)合初始條件uC(0) = 1 （8-3）iL(0) = 0 （8-4） 由于電路的總儲(chǔ)能有限，因此

7、，電流電壓的幅度都有限；同時(shí)，根據(jù)本節(jié)一開(kāi)始的分析，電流電壓的極性方向是正負(fù)交替不斷的變化的，因此，可以猜測(cè)uC(t) = cos t V，t0 （8-5）i L(t) = sin t A，t0 （8-6）電路分析基礎(chǔ)第二部分：8-1 5/5 = sin t = iLduCdt = cos t = uCdiLdt=dcos tdt = dsin tdt代入微分方程得顯然滿足由元件VAR構(gòu)成的微分方程，也就是說(shuō)，LC回路的等幅震蕩是按正弦方式隨時(shí)間變化的。LC回路的儲(chǔ)能為w(t) =12Cu2(t) +12Li2(t)（8-7）將L=1H，C=1F，u(t)=cos t, i(t) = sin

8、t代入上式，可得w(t) =12(cos2t + sin2t) =12J = 常量t=0的初始儲(chǔ)能為w(0) =12Cu2(0) +12Li2(0) =12J即 w(t) = w(0) （8-8）這表明：儲(chǔ)能不斷地在電場(chǎng)和磁場(chǎng)之間往返，永不消失。電路分析基礎(chǔ)第二部分：第八章 目錄第八章 二 階 電 路1 LC電路中的正弦震蕩 4 RLC電路的零輸入響應(yīng) 欠阻尼情況2 RLC電路的零輸入響應(yīng) 5 直流RLC串聯(lián)電路的完全響應(yīng) 過(guò)阻尼情況3 RLC電路的零輸入響應(yīng) 6 GCL并聯(lián)電路的分析 臨界阻尼情況 7 一般二階電路電路分析基礎(chǔ)第二部分：8-2 1/108-2 RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)過(guò)阻尼

9、情況 設(shè)含電感和電容的二階電路如圖8-3(a)所示，運(yùn)用戴維南定理可得圖(b)所示RLC串聯(lián)電路。i(t)LC含源電阻網(wǎng)絡(luò)(a)圖8-3 RLC串聯(lián)電路i(t)+uCLC+ uL +uR+ uoc(b)對(duì)每個(gè)元件，寫(xiě)出VAR為（8-9）i = CduCdtuR = Ri = RCduCdtuL = Ldidt= LCd2uCdt2根據(jù)KVL，可得uL + uR + uC = uocd2uCdt2LC+ uC = uocduCdt+ RC（8-10），t0電路分析基礎(chǔ)第二部分：8-2 2/10 方程式（8-10）是線性二階常微分方程，未知量為uC(t)。要求解必須知道兩個(gè)初始條件，即uC(0)和

10、uC(0)。 uC(0)為電容電壓的初值，而第二個(gè)條件為uC(t)在t=0處的導(dǎo)數(shù)，該如何確定？ 其實(shí)很簡(jiǎn)單，因?yàn)殡娙蓦娏鳛殡妷旱膶?dǎo)數(shù)，因此uC(0) =duC(t)dt（8-11）0=i(t)C0=i(0)C而電容與電感串聯(lián)于一個(gè)回路，因此電流也是電感電流，即 i(0) = iL(0)，所以u(píng)C(0)等價(jià)為電感電流的初始狀態(tài)。也就是說(shuō)：知道了電容初始電壓 uC(0) 和電感初始電流 iL(0)，就可以確定 t0 的電容電壓 uC(t)。本節(jié)重點(diǎn)是零輸入響應(yīng)。也就是戴維南開(kāi)路電壓 uoc(t) = 0 時(shí)方程式（8-10）的解，即d2uCdt2LC+ uC = 0 ，t0duCdt+ RC電路

11、分析基礎(chǔ)第二部分：8-2 3/10d2uCdt2LCuC = 0 ，t0duCdt1（8-12）或+RL+根據(jù)微分方程理論，此類方程的解取決于特征方程根的性質(zhì)。（8-12）式的特征方程為 = 0（8-13）s2 +RLs +LC1該方程有兩個(gè)根，即LC1s1, 2 = R2L( )2R2L（8-14）特征根也即電路的固有頻率，它將確定零輸入響應(yīng)的形式。由于R、L、C的數(shù)值不同，固有頻率 s1 和 s2 可以有三種情況：(1) 當(dāng)LC1R2L( )2時(shí)，s1, s2 為不相等的負(fù)實(shí)數(shù)；LC1R2L( )2=(2) 當(dāng)時(shí)，s1, s2 為相等的負(fù)實(shí)數(shù)；LC1R2L( )2時(shí)，亦即R2 4CL時(shí)，固

12、有頻率為不相等的負(fù)實(shí)數(shù)，齊次方程的解答可表示為其中常數(shù)K1 和 K2 由初始條件確定。其確定方法為uC(t) = K1e s1t + K2e s2t V，t0 iL(t) = K1e s1t + K2e s2t A，t0（8-15）由（8-15）得 uC(0) = K1 + K2 （8-16）由（8-15）求導(dǎo)得 uC(0) = K1 s1 + K2 s2 =（8-17）iL(0)C解上兩式聯(lián)立方程可得K1 =1s2 s1s2 uC(0) iL(0)C（8-18）K2 =1s1 s2s1 uC(0) iL(0)C（8-19）電路分析基礎(chǔ)第二部分：8-2 5/10由于 s1 和 s2 是不相等的

13、負(fù)實(shí)數(shù)，故它們可以表示為s1 = 1 ， s2 = 2LC1即1, 2 =R2L( )2R2L（8-22）以上結(jié)果表明：無(wú)論是 uC(t) 還是 iL(t)，都是由隨時(shí)間指數(shù)衰減的函數(shù)線性組合而成，因而都是非震蕩性的。將以上眾結(jié)果代入（8-15）， uC(t) 可以表示為uC(t) =（8-23）(2e 1t 1e 2t)2 1uC(0)+(e 1t e 2t)(2 1)CiL(0)V，t0iL(t) 可以表示為 iL(t) = CduCdt=(e 2t e 1t)2 1uC(0)21C+2 1iL(0)(2e 2t 1e 1t) A，t0（8-24）電路分析基礎(chǔ)第二部分：8-2 6/10uC

14、(0)= U0，iL(0)=0時(shí)的具體情況：時(shí)的具體情況：由(8-22)知： 1 2 ，故e 1t衰減得慢，e 2t衰減得快，如圖8-4(a)所示。由(8-23)和(8-24)知： 由于e 1t衰減得慢，e 2t衰減得快，使 e 2t e 1t，使uC(t) 單調(diào)衰減，iL(t)永遠(yuǎn)為負(fù)。注意： uC(t) 的變化率決定著 iL(t)。uC(t)單調(diào)衰減，則其變化率永遠(yuǎn)為負(fù)，所以 iL(t) 永遠(yuǎn)為負(fù)。隨著時(shí)間的增加，最后兩者都衰減為零。（為什么？為什么？） iL(t) 在變化過(guò)程中，存在一點(diǎn)t=tm，使其幅度達(dá)到最大值。此時(shí)，diL /dt=d(e 2t e 1t)/dt=0，即圖8-4(b

15、) 非震蕩性響應(yīng)OtU0uC iLuCiLtm圖8-4(a) 指數(shù)衰減曲線 1 4L/C)，所以能量消耗比能量轉(zhuǎn)換儲(chǔ)存更迅速；到 t=tm 時(shí)，電流達(dá)到最大值，以后磁能不再增加，而是隨著電流的衰減而逐漸釋放，連同電能一起被電阻消耗掉。因此電容電壓?jiǎn)握{(diào)衰減，形成非震蕩放電過(guò)程。從物理意義上講： 從初始時(shí)刻開(kāi)始，電容通過(guò)電感和電阻放電，其中一部分過(guò)阻尼情況：這種由于串聯(lián)回路中電阻更大(R2 4L/C)而產(chǎn)生非震蕩阻尼衰減的過(guò)程稱為RLC過(guò)阻尼情況。電路分析基礎(chǔ)第二部分：8-2 8/10例8-1 圖8-3所示電路，C=1F，L=1H，R=3；uC(0)=0，iL(0)= 1A；。t0時(shí)uoc(t)=

16、0，試求uC(t)、iL(t)，t0。解：電路的微分方程為d2uCdt2LCuC = 0duCdt1+RL+特征方程和特征根為 = 0s2 +RLs +LC1LC1s1, 2 = R2L( )2R2Ls1 = 0.382， s2 = 2.618 電路的微分方程的解為uC(t) = K1e s1t + K2e s2tV，t0將 uC(0)=0和uC(0)=iL(0)/C=1代入得K1 + K2 = 0， K1 s1 + K2 s2 = 1，0.382 K1 +2.618 K2 = 1K2 = 1/(2.6180.382) = 0.447, K1 = K2 = 0.447i(t)+uCLC+ uL

17、 +uR+ uoc電路分析基礎(chǔ)第二部分：8-2 9/10即 uC(t) = 0.447e 0.382 t 0.447e 2.618 t V ，t0 iL(t) = CduCdt= 0.171e 0.382 t + 1.17e 2.618 t A ，t0圖8-6(a) 指數(shù)衰減曲線 1 2Of(t)t1e 1t2e 2t21tm圖8-6(b)零輸入響應(yīng)iL(t)OtI0iL(A)tm圖8-5 零輸入響應(yīng)uC(t)OtUmuC(V)tm電路分析基礎(chǔ)第二部分：8-2 10/10例8-2 圖8-3所示電路，C=1/4F，L=1/2H，R=3；uC(0)=2V，iL(0)= 1A；。t0時(shí)uoc(t)=

18、0，試求uC(t)、iL(t)，t0。解：LC1s1, 2 = R2L( )2R2L= 3 1 ，s1 = 2， s2 = 4同理可得K1 = 6, K2 = 4即 uC(t) = 6e 2 t 4e 4 t V ，t0iL(t) = CduCdt= 4e 4 t 3e 2 t A ，t0Ot6e 2 t4e 4 t圖8-7 零輸入響應(yīng) uC(t) 和 iL(t)Ot1iL(A)uC(V)24e 4 t3e 2 t電路分析基礎(chǔ)第二部分：第八章 目錄第八章 二 階 電 路1 LC電路中的正弦震蕩 4 RLC電路的零輸入響應(yīng) 欠阻尼情況2 RLC電路的零輸入響應(yīng) 5 直流RLC串聯(lián)電路的完全響應(yīng)

19、過(guò)阻尼情況3 RLC電路的零輸入響應(yīng) 6 GCL并聯(lián)電路的分析 臨界阻尼情況 7 一般二階電路電路分析基礎(chǔ)第二部分：8-3 1/38-3 RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)臨界阻尼情況( )LC1R2L2=圖8-3電路中，若，亦即R2 = 4CL時(shí)，固有頻率為相等的負(fù)實(shí)數(shù)，齊次方程的解可表示為uC(t) = K1e t + K2te t V，s1 = s2 = iL(t) = K1e t + K2te t A，s1 = s2 = （8-26）其中常數(shù)K1 和 K2 由初始條件確定。其確定方法為uC(0) = K1 （8-27）uC(0) = K1 s1 + K2 = K1 + K2 =（8-28）iL

20、(0)CiL(0)CK2 =+ K1 =iL(0)C+ uC(0) （8-29）即 uC(t) = uC(0)(1+t)e t +（8-30）te tiL(0)CV，t0iL(t)=CduCdt= uC(0)2Cte t + iL(0)(1t)e t A （8-31）t0電路分析基礎(chǔ)第二部分：8-3 2/3從(8-30)和(8-31)兩式可知：電路電路響應(yīng)仍然是非震蕩性的，但如果電阻稍稍減小一點(diǎn)點(diǎn)，以致R2 4L/C，則響應(yīng)將為震蕩性。因此，符合條件R2 = 4L/C時(shí)的響應(yīng)處于臨近震蕩狀態(tài)，稱為臨界阻尼(critically damped)情況。例8-3 圖8-3所示電路，C=1F，L=1/

21、4H，R=1；uC(0)= 1V，iL(0)= 0；t0時(shí)uoc(t)=0。試求iL(t)，t0。解：電路固有頻率為 LC1s1, 2 = R2L( )2R2L= 2電路屬于臨界阻尼狀態(tài)。iL(t) = K1e 2 t + K2te 2 t A，t0iL(0) = K1 = 0 （a）iL(0) = s1K1 + K2 = 2K1 + K2又根據(jù)KVL，可得uL(0)+uC(0)+uR(0)=Ldidt0+uC(0)+Ri(0)=0iL(0) = uC(0)/L = 4電路分析基礎(chǔ)第二部分：8-3 3/3因此s1K1 + K2 = 2K1 + K2 = 4 （b）由(a)、(b)兩式可得 K1

22、 = 0， K2 = 4 因此 iL(t) = 4te 2 t A , t0頂點(diǎn)計(jì)算：令diL/dt = 0，可得 4te 2 t(1-2t)=0，即t=0.5S，代入原式可得 iL(0.5) = 40.5e 2 0.5 = 2/e = 0.7376 圖8-8 臨界阻尼時(shí)的零輸入響應(yīng)iL(t)Ot0.74iL(A)0.5電路分析基礎(chǔ)第二部分：第八章 目錄第八章 二 階 電 路1 LC電路中的正弦震蕩 4 RLC電路的零輸入響應(yīng) 欠阻尼情況2 RLC電路的零輸入響應(yīng) 5 直流RLC串聯(lián)電路的完全響應(yīng) 過(guò)阻尼情況3 RLC電路的零輸入響應(yīng) 6 GCL并聯(lián)電路的分析 臨界阻尼情況 7 一般二階電路電

23、路分析基礎(chǔ)第二部分：8-4 1/118-4 RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)欠阻尼情況當(dāng)LC1R2L( )2時(shí)，亦即R2 4CL時(shí)，固有頻率為共軛復(fù)數(shù)，可表示為L(zhǎng)C1s1, 2 = R2L( )2R2LLC1= R2L j( )2R2L= j d （8-32）其中 = R2L（8-33）d =LC1R2L( )2LC1= 02 2 （8-34）0 =電路分析基礎(chǔ)第二部分：8-4 2/11uC(t) = e t (K1 cos dt + K2 sin dt) V，t0 iL(t) = e t (K1 cos dt + K2 sin dt) A，t0 （8-35）在此種情況下，齊次方程的解可表示為其中常

24、數(shù)K1 和 K2 由初始條件確定。其確定方法為為了便于反映響應(yīng)的特點(diǎn)，將式（8-35）進(jìn)一步改寫(xiě)為uC(t) = e tsin dtK12 +K22K1K12 +K22cos dt +K2K12 +K22= Ke t cos ( dt + ) V，t0 （8-39）其中 K = K12 +K22 ， = arctgK2K1uC(0) = K1 （8-36）uC(0) = K1 + dK2 =（8-37）iL(0)CiL(0)CK2 =+ K1 =iL(0)C（8-38）+ uC(0)1d1d電路分析基礎(chǔ)第二部分：8-4 3/11OtuC(t)Ke t 包絡(luò)線 Ke t 包絡(luò)線周期 =d2圖8-

25、9 震蕩性零輸入響應(yīng)，uC(0) = U0U0uC(t) = Ke t cos ( dt + )(8-39)式表明： uC(t) 是衰減震蕩性的，如圖8-9所示。振幅Ke t 隨時(shí)間作指數(shù)衰減。因此R2 4L/C、能引起衰減震蕩的情況稱為欠阻尼(underdamped)情況。電路分析基礎(chǔ)第二部分：8-4 4/11衰減因子或衰減系數(shù)： = L/2R 稱為衰減因子， 越大，衰減震蕩的振幅衰減得就越快，反之則越慢。 震蕩角頻率： d 稱為震蕩角頻率， d 越大，衰減震蕩的震蕩速度就越快，震蕩周期越小，反之則速度越慢、周期越大。 包絡(luò)線(envelope)： 按 Ke t 變化的曲線， 將震蕩信號(hào)包裹

26、在中間，其衰減速度取決于 。 等幅震蕩： 當(dāng)電路中電阻為零時(shí)， = 0，包絡(luò)線Ke t 變成 K 兩條與 t 軸平行的直線， 因此震蕩信號(hào)就變成幅度恒定的等幅震蕩。能量在L、C之間無(wú)損失地交替轉(zhuǎn)換儲(chǔ)存。 將K1 和 K2代入式（8-39）可得e t cos (dt) +uC(t) = uC(0)d0e t sin dt V （8-40）iL(0)dCd2 + 2 ， = arctg0 =d= arcsin0，t0電路分析基礎(chǔ)第二部分：8-4 5/11此時(shí)，以上所推導(dǎo)的參數(shù)變成：LC1 = 0，d = 0 =；uC(0) = K1，K2 =iL(0)0CuC(t) 和 iL(t) 變成：cos

27、0t +uC(t) = uC(0)sin 0t V，t0 （8-42）iL(0)0CiL(t) = iL(0) cos 0t uC(0 ) 0C sin 0t A，t0 （8-43）此時(shí)，對(duì)任意的L、C值，總能量為：w(t) =12Cu2(t) +12Li2(t) =12Cu2(0)12Li2(0) = w(0) （8-44）+e t cos (dt+) uC(0)iL(t) = iL(0)d0e t sin dt Ad02C（8-41），t0電路分析基礎(chǔ)第二部分：8-4 6/11cos 0t +uC(t) = uC(0)sin 0tiL(0)0CiL(t) = iL(0) cos 0t uC

28、(0 ) 0C sin 0tOtuC(t)Ke t 包絡(luò)線 Ke t 包絡(luò)線周期=02零輸入響應(yīng)為等幅震蕩，uC(0) = U0U0周期 =d2K K電路分析基礎(chǔ)第二部分：8-4 7/11諧振角頻率： 當(dāng)電路等幅震蕩時(shí)的角頻率0 = 1/ LC，稱為諧振(resonant)角頻率，是電路的固有頻率（s = j 0）。階段總結(jié)階段總結(jié)（1）綜上所述，電路的零輸入響應(yīng)取決于電路的固有頻率 s 。固有頻率可以是實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)或虛數(shù)，決定了零輸入響應(yīng)是非震蕩過(guò)程（過(guò)阻尼、臨界阻尼）、衰減震蕩過(guò)程或等幅震蕩過(guò)程。（2）我們可以認(rèn)為固有頻率 s 是復(fù)頻率（固有頻率只有實(shí)部或虛部是其特殊情況）。（3）一階網(wǎng)絡(luò)的

29、固有頻率 s= 1/，=RC或L/R，是負(fù)實(shí)數(shù)，表示一階網(wǎng)絡(luò)的零輸入響應(yīng)是按指數(shù)規(guī)律衰減的非震蕩過(guò)程。電路分析基礎(chǔ)第二部分：8-4 8/11例8-4 圖8-3所示電路，C=1F，L=1H，R=1；uC(0)= 1V，iL(0) = 1A。求零輸入響應(yīng) uC(t) 及 iL(t)，t0。解：LC1s1, 2 = R2L( )2R2L= 21 j23= j d固有頻率是復(fù)數(shù)，電路響應(yīng)是欠阻尼狀態(tài)下的衰減震蕩。衰減系數(shù) = ，衰減震蕩角頻率 d = 3/2。uC(0) = K1 = 1， uC(0) = K1 + dK2 =iL(0)CuC(t) = e t (K1 cos dt + K2 sin

30、dt)V ，t0= 1K1 = 1， K2 = 3因此uC(t) = e t ( cos23t +323sint ) V， t0電路分析基礎(chǔ)第二部分：8-4 9/11或uC(t) = 2e t cos233V， t0t iL(t) = 2e t cos233A， t0t +Ot周期=41 13sindt電路分析基礎(chǔ)第二部分：8-4 10/11Ot22e tOt11cos(dt+60)Ot22uC(t)12e t2e t電路分析基礎(chǔ)第二部分：8-4 11/11 這是周期等于180或 的余弦信號(hào)，只要將初始相位和幅度正確掌握，可以很輕松的畫(huà)出波形曲線來(lái)。例8-5 圖8-12所示電路，C=4F，L=

31、 1/16 H；uC(0)= 1V，iL(0) = 1A。求零輸入響應(yīng) uC(t) 及 iL(t)。iL(t)圖8-12 LC震蕩回路+uC(t)LC解：d2uCdt2LCuC = 01+LC1s2 += 0s1, 2 = j 0 = j LC1= j 2uC(t) = K1 cos 0t + K2 sin 0tuC(0) = K1 = 1， uC(0) = 0K2 =iL(0)C= 1/4 K1 = 1， K2 = 1/8即 uC(t) = cos 2t + 1/8 sin 2t = 1.008 cos(2t 7) V ，t0iL(t) = CduCdt= 8 sin 2t + cos 2t

32、 = 8.06 cos(2 t + 82.875) A，t0電路分析基礎(chǔ)第二部分：第八章 目錄第八章 二 階 電 路1 LC電路中的正弦震蕩 4 RLC電路的零輸入響應(yīng) 欠阻尼情況2 RLC電路的零輸入響應(yīng) 5 直流RLC串聯(lián)電路的完全響應(yīng) 過(guò)阻尼情況3 RLC電路的零輸入響應(yīng) 6 GCL并聯(lián)電路的分析 臨界阻尼情況 7 一般二階電路電路分析基礎(chǔ)第二部分：8-5 內(nèi)容回顧內(nèi)容回顧： 本章研究的是包含兩個(gè)動(dòng)態(tài)元件的二階電路，它們用二 階線性常系數(shù)常微分方程描述。本章著重分析有電感和 電容組成的二階電路。 和一階電路不同，二階LC電路會(huì)出現(xiàn)震蕩形式。 學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意：電路微分方程的建立，特征根的重要

33、意義， 微分方程解的物理含義等方面的內(nèi)容。 然后通過(guò)分析說(shuō)明RLC電路的一般分析方法，以及固有頻 率與固有形式的關(guān)系。 本章首先從物理概念上闡述LC電路的零輸入響應(yīng)具有正弦 震蕩的形式；電路分析基礎(chǔ)第二部分：8-5 1/88-5 直流RLC串聯(lián)電路的完全響應(yīng)問(wèn)題的提出：如果圖8-3電路中， uoc(t) = Us(t0)，則，這樣的電路的響應(yīng)會(huì)有什么特點(diǎn)呢？由（8-10）式可得電路的微分方程為特征方程：其特征方程仍如（8-13）式所示：LCs2 + RCs + 1 = 0。 滿足（8-44）式的特解是uCp = Us (t0)。因此，對(duì)第一種情況特征方程有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根的解可表示為d2u

34、Cdt2LC+ uC = Us t0 （8-44）duCdt+ RC三種情況：根據(jù)固有頻率的三種不同情況，本方程的解也分為三種情況，其三種情況的齊次解分別如(8-15)、(8-26)、(8-30)式所示。常數(shù)K1 和 K2 必須要求得（8-44）的特解，并再加上齊次解形成通解后，再根據(jù)初始條件來(lái)確定。電路分析基礎(chǔ)第二部分：8-5 2/8uC(t) = K1e s1t + K2e s2t + Us t0 （8-45）根據(jù)初始條件可求得 K1 =1s2 s1s2 uC(0) Us iL(0)C（8-46）K2 =1s1 s2s1 uC(0) Us iL(0)C（8-47）因此，這個(gè)響應(yīng)與零輸入響應(yīng)

35、相比，差別僅僅在于將(8-46)、(8-47)兩式中的 uC(0) Us 代替了(8-18)、(8-19)兩式中的 uC(0) 。例8-6 電路如圖8-3(b)所示，已知R2 4L/C，直流電壓uoc(t) = Us(t0)，試求uC(t)，并繪出波形圖。設(shè)電路為零初始狀態(tài)。解：R2 (1) 當(dāng) G=10S 時(shí)，屬于過(guò)阻尼iL(t) = K1e s1t + K2e s2t + 125 1s1, 2 = 5 = 5 24s1 = 5 + 2s2 = 5 266其中特解 iLp=1。已知uC(0)=iL(0)=0，故得iL(0) = K1 + K2 = 0 iL(0) = K1 s1 + K2 s

36、2 =uC(0)L= 0 解上兩式聯(lián)立方程可得K1 =s2s1 s2K2 =s1 s2s1= 65 + 264=65 26464iL(t) = 1 +故得(52 6 ) e1 (5+2 6 ) t (5+2 6 ) e (52 6 ) t(t)電路分析基礎(chǔ)第二部分：8-6 6/8LC1G2C( )2=(2) 當(dāng) G=2S 時(shí)，屬于臨界阻尼iL(t) = K1e s1t + K2te s2t + 1s1 = s2 =G2C= 1iL(0) = K1 + 1 = 0 iL(0) = K1 s1 + K2 =uC(0)L= 0 K1 = 1，K2 = 1iL(t) = 1 (1+ t)e t (t)

37、LC1G2C( )2(3) 當(dāng) G=0.1S 時(shí)，屬于欠阻尼s1, 2 = j d= 0.05 jiL(0) = K1 + 1 = 0iL(0) = K1 + dK2 = 0iL(t) = e t (K1 cos dt + K2 sin dt) + 1 故 iL(t) = 1 e 0.05 t (cos t + 0.05 sin t) (t) 1 e 0.05 t cos t (t) K2 =dK1 = 1 = 0.05由此可得電路分析基礎(chǔ)第二部分：8-6 7/8OtuC(t)圖8-18 例8-9Us2040電路分析基礎(chǔ)第二部分：8-6 8/8再一次強(qiáng)調(diào)： 要了解電路固有響應(yīng)，只要掌握特征根（

38、固有頻率）的性質(zhì)即可。固有頻率一般為復(fù)數(shù)，可以用復(fù)頻率面（縱軸為虛數(shù)，橫軸為實(shí)數(shù)）上的點(diǎn)表示： 若固有頻率分布在復(fù)頻率面的左半面，則固有響應(yīng)幅度是衰減的（穩(wěn)定），屬于欠阻尼狀態(tài)；若在右半面，則固有響應(yīng)的幅度是發(fā)散的（不穩(wěn)定）。 若固有頻率分布在復(fù)頻率面的實(shí)軸上，則固有響應(yīng)幅度是非震蕩的。根據(jù)固有頻率是不重合或重合，可確定 RLC 或 GCL 是過(guò)阻尼狀態(tài)，或是臨界阻尼狀態(tài)。 若固有頻率分布在復(fù)頻率面的虛軸上，則固有響應(yīng)幅度是等幅震蕩的，完全沒(méi)有衰減。 雖然本章只是討論二階動(dòng)態(tài)電路，但以上結(jié)論可以推廣到高階電路，因?yàn)楦鶕?jù)第四章電路分解理論，高階電路可以分解為低階（一階、二階）電路的組合。電路分析

39、基礎(chǔ)第二部分：第八章 目錄第八章 二 階 電 路1 LC電路中的正弦震蕩 4 RLC電路的零輸入響應(yīng) 欠阻尼情況2 RLC電路的零輸入響應(yīng) 5 直流RLC串聯(lián)電路的完全響應(yīng) 過(guò)阻尼情況3 RLC電路的零輸入響應(yīng) 6 GCL并聯(lián)電路的分析 臨界阻尼情況 7 一般二階電路電路分析基礎(chǔ)第二部分：8-7 1/78-7* 一般二階電路 除了前面介紹的一階電路和LC二階電路以外，其他二階電路，以及高階電路也可以用狀態(tài)方程來(lái)描述。狀態(tài)變量：動(dòng)態(tài)電路中，動(dòng)態(tài)元件的連續(xù)電壓或連續(xù)電流稱為動(dòng)態(tài)變量，典型為電容電壓或電感電流。狀態(tài)方程：動(dòng)態(tài)電路中，根據(jù)KCL或KVL列寫(xiě)的、由狀態(tài)變量及其一截微分以及輸入電壓或電流構(gòu)

40、成的方程稱為狀態(tài)方程。 狀態(tài)方程具有一定的標(biāo)準(zhǔn)形式，可以遵循系統(tǒng)化的列寫(xiě)步驟。本節(jié)重點(diǎn)介紹狀態(tài)方程的列寫(xiě)方法和解法。二階電路：動(dòng)態(tài)電路中，由兩個(gè)動(dòng)態(tài)元件構(gòu)成的動(dòng)態(tài)電路稱為二階電路，典型為電容電感型、電容電容型或電感電感型。電路分析基礎(chǔ)第二部分：8-7 2/7狀態(tài)方程的物理意義：狀態(tài)方程體現(xiàn)了電路狀態(tài)演變的情況，具體地說(shuō)，就是反映了狀態(tài)變量的變化率變化率是狀態(tài)狀態(tài)變量當(dāng)前值變量當(dāng)前值和當(dāng)前輸入變量當(dāng)前輸入變量的函數(shù)。i C2N(b)+u C2i C1+u C1C 1C 2Li LN(a)+u Li C+u CC 圖8-22 二階電路的三種 基本結(jié)構(gòu)形式L2i L1N(c)+u L2i L1+u L1L1狀態(tài)方程的具體形式：對(duì)任何二階電路（圖8-22），其輸入為一個(gè)獨(dú)立電壓源u s，則狀態(tài)方程可描述為duCdt= f1(u C, i L, u s )（8-51）di Ldt= f2(u C, i L, u s )（8-52）若圖8-22(a)中的網(wǎng)絡(luò) N 為一個(gè)有源電阻網(wǎng)絡(luò)，則用電壓源 u C 置換電容、電流源置換電感 i L 以后，用疊加定