2-5第五節(jié) 函 數(shù) 的 微 分

1、高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系第五節(jié)第五節(jié) 函函 數(shù)數(shù) 的的 微微 分分一、微分的定義一、微分的定義 設(shè)邊長(zhǎng)為x0的一塊正方形金屬片， 均勻受熱后其邊長(zhǎng)增加了x， 問(wèn)此片的面積增加了多少？ 設(shè)受熱后金屬片的邊長(zhǎng)為x， 則面積為 x2=（x0+ x)2 受熱后面積的增量為xxxxxxxxS020202022)(xx0 xx0高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系定義定義 如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的增量能分成兩部分的和,其中一項(xiàng)為的線性函數(shù)A x(A與 x無(wú)關(guān)),另一項(xiàng)是較x高階的無(wú)窮小,) 1 ( )( xoxAy有則稱(chēng)

2、函數(shù)y=f(x)在x0點(diǎn)可微,并稱(chēng)A x為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的微分 記作 dy|x=x0 或 df(x)|x=x0 即00| )(|xxxxxdfxAdy當(dāng)A0時(shí),把A x 叫做y的線性主要部分當(dāng) x很小時(shí),我們可把函數(shù)的增量看為函數(shù)的微分.高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0可微,根據(jù)定義則有 下面我們研究可導(dǎo)和可微的關(guān)系 (1) 可微就可推出可導(dǎo)xxoAxyxoxAy)()(2) 可導(dǎo)也可推出可微 如果y=f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo),即有Axfxyx)(lim00由極限和無(wú)窮小的關(guān)系,得到xxxfyxfxyx)()0lim()(0

3、0所以,f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo),且A=f(x0).高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系上面表示可微 可導(dǎo) 由于f(x)和 x 無(wú)關(guān),且 所以上式相當(dāng)(1)式,)( xx 定理 函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可微的充分必要條件是f(x)在點(diǎn)x0 今后我們把可導(dǎo)和可微不嚴(yán)格區(qū)分而混合使用. dy/dx可看成除法的形式.Axf)(0f(x)在點(diǎn)x0可微.且xxfdyxx)(|00 可導(dǎo),且高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系例1 求函數(shù)y=x4在x=3處的微分解: dy|x=3=(x4)|x=3 x =4x3|x=3 x =108 x 例2 求

4、函數(shù)y=x3-x當(dāng)x=2, x =0.01時(shí)的微分解: dy|x=2=(x3-x)|x=2 x =(3x2-1)|x=2 x =11*0.01=0.11高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系二二. 微分的幾何意義微分的幾何意義 為了對(duì)微分有比較直觀的了解,我們來(lái)說(shuō)明微分的幾何 意義。在直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=f(x)的圖形是一條曲線。 對(duì)于某一固定的值x0，曲線上有一個(gè)確定點(diǎn)M (x0,y0)，當(dāng) 自變量x有微小增量x時(shí), 相應(yīng)函數(shù)有微小增量y， 從而得到曲線上另一點(diǎn)N(x0+x,y0+y)x0 x0+xY=f(x)dyxMNQPyT 從圖可見(jiàn) MQ=x, QN=

5、y 過(guò)M點(diǎn)作曲線的切線MT, 它的傾角為, 則QP=MQtg=xf(x0) 即dy=QP高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系 由此可見(jiàn),當(dāng)y是曲線y=f(x)上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量時(shí),dy就是曲線上相應(yīng)點(diǎn)的切線縱坐標(biāo)的增量,當(dāng)| x|很小時(shí),| y-dy| 比 |x| 小得多，因此在點(diǎn)M鄰近，可用切線段來(lái)近似代替曲線段.三三. 基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則 從函數(shù)微分表達(dá)式 dy=f(x)dx 可以看出要計(jì)算函數(shù)的微分值是把函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再乘以自變量的微分。由此可得如下微分公式和微分運(yùn)算法則. 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子

6、教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系221)18( 1)17(xdxdarcctgxxdxdarctgx 同學(xué)們,如果能將此表從左到右,或從右到左地記熟它們, 對(duì)今后的演算積分是大有好處的.shxdxdchxchxdxdshx)20( )19(221)22( )21(xdxdarshxxchdxdthx221)24( 1)23(xdxdarthxxdxdarchx為常數(shù)）CCduCuddvduvud( )()26( )()25(2)()28( )()27(vudvvduvududvvduuvd高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系三三. 微分形式的不變性微

7、分形式的不變性 與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則相對(duì)應(yīng)的微分運(yùn)算法則為下面的 微分形式不變性質(zhì). 設(shè) y 是由 y=f(u)，u=g(x) 復(fù)合而成的x的函數(shù)，則由xuxuyy 對(duì)照 dy=yxdx, 公式dy=yudu 說(shuō)明不論u是自變量還是中間變量,函數(shù)微分的形式是完全一樣的,此即稱(chēng)為微分形式不變性質(zhì).duydyduydxuydxydyuuxux高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系例4 利用函數(shù)微分的不變性,求函數(shù)y=e1-2x2的微分和導(dǎo)數(shù) 解: 將1-2x2看成中間變量udxxexdedyxx22212214)21 ( 利用微分不變性質(zhì)求函數(shù)的微分,比直接用公式 d

8、y=f(x)dx 求微分更有規(guī)律性,不容易出錯(cuò).)()( 22可導(dǎo)已知 fxxfy例5 求函數(shù)的微分2214xxxey)()( :22xxfy解)()()()( 2222xxdxxfdy)()(2)()()()( 2222xdxxdxxxfdxxxxxxxf)()(2)(2)()( 222高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系四四. 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用1. 近似計(jì)算 如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且f(x0)0，我們知道當(dāng)| x |很小時(shí)有近似公式: ydy 即),1 (,)()()(000 xxfxfxxf如果知道f(x0)，f

9、(x0)就可以利用(1)式計(jì)算增量 y,利用(2),(3)式計(jì)算函數(shù)值。特別是若 x0=0, x在原點(diǎn)附近, 有 x=x,）（4 )0()0()(xffxf)2(,)()()(000 xxfxfxxf00 xxxxxx)3( ),)()()(000 xxxfxfxf高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系 當(dāng)|x|很小時(shí),由(4)式可推出下列常用的近似公式:xffxf)0()0()(xxx01)01ln()1ln(xxx0cos0sinsinxxtgxfftgx0cos0)0()0( 2xxeexffex1)0()0( 00nxxnxnnn1)01 (1011 1

10、1高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系例1 計(jì)算sin60020的近似值解: 將60020化為弧度,得到)5406020180(540320600令x0=/3, x= /540,5403cos3sin)5403sin(2060sin0要求x0比x大很多,否則不精確例2 計(jì)算 的近似值305.105.0, 1 )(31xxxxf解：設(shè)8689.00058.02123xxfxfxxf)()()( 由31)1( )1()1()1( fxffxf且0167.105.0311)05.01 31（所以高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系例

11、3 計(jì)算 的近似值302. 80017. 2)4001311 (2400112)40011 (802. 8 333解：二二. 微分在誤差估計(jì)中的應(yīng)用微分在誤差估計(jì)中的應(yīng)用 設(shè)某個(gè)量的準(zhǔn)確值為A,它的近似值為a，則A與a之差的絕對(duì)值|A-a|叫做a的絕對(duì)誤差，而絕對(duì)誤差與 |a| 的比值叫做相對(duì)誤差.在實(shí)際中準(zhǔn)確值A(chǔ)往往無(wú)法知道，所以絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差沒(méi)有辦法得到。但根據(jù)某些條件或加工要求，有時(shí)能確定誤差在某一個(gè)容許范圍A之內(nèi)，有|A-a|A 則稱(chēng)A為A的絕對(duì)誤差限,把A/|a|稱(chēng)為A的相對(duì)誤差限。有時(shí)也把它們稱(chēng)為A的絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差.高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科

12、技學(xué)院數(shù)理系例4 測(cè)得某圓半徑r=22.5cm,測(cè)量r的絕對(duì)誤差限r(nóng)=0.1cm, 計(jì)算 這圓面積A的絕對(duì)誤差限為多少?rrrrrrdAA22)(| 2例5 計(jì)算球的體積時(shí),要精確度在2%之內(nèi),問(wèn)這時(shí)測(cè)量直徑 D的相對(duì)誤差不能超過(guò)多少? 解: 設(shè)球的體積為V, 則VD3/6 兩邊取對(duì)數(shù)DdDVdVDV3ln3)6/ln(ln即測(cè)量直徑D的相對(duì)誤差不能超過(guò)0.6% 解:)(5 .41 .05 .2221 .0,5 .222cmAcmcmrr300210023DDVVDdDVdVVV高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系 在這里我們把微分進(jìn)行小結(jié),微分和導(dǎo)數(shù)一樣是微積分的基本概念在理解微分的概念時(shí),要注意以下幾點(diǎn):(1) 函數(shù)的微分是函數(shù)改變量(函數(shù)增量)的線性主部. y=f (x) x+ x 其中是x的高階小量 f (x)是 x的一次函數(shù)，因?yàn)橐淮魏瘮?shù)的圖象是直線, 所以也叫線性函數(shù),當(dāng)x很小時(shí), x 可以忽略不計(jì), 所以f (x)成為 y的主要部分,稱(chēng)為線性主部.(2) 當(dāng)x很小時(shí),函數(shù)的增量y可以用它的微分來(lái)代替. 即 ydy= f (x) dx(3) 微分的幾何意義是y=f(x)圖象上一點(diǎn)(x,f(x)處切線的 縱坐標(biāo)的改變量.高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理