24正態(tài)分布（2014）

1、2.4 正態(tài)分布正態(tài)分布引入引入 正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)學(xué)中是很重要的分布。我們知正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)學(xué)中是很重要的分布。我們知道，離散型隨機(jī)變量最多取可列個(gè)不同值，它等于道，離散型隨機(jī)變量最多取可列個(gè)不同值，它等于某一特定實(shí)數(shù)的概率可能大于某一特定實(shí)數(shù)的概率可能大于0，人們感興趣的是，人們感興趣的是它取某些特定值的概率，即感興趣的是其分布列；它取某些特定值的概率，即感興趣的是其分布列；連續(xù)型隨機(jī)變量可能取某個(gè)區(qū)間上的任何值，它等連續(xù)型隨機(jī)變量可能取某個(gè)區(qū)間上的任何值，它等于任何一個(gè)實(shí)數(shù)的概率都為于任何一個(gè)實(shí)數(shù)的概率都為0，所以通常感興趣的，所以通常感興趣的是它落在某個(gè)區(qū)間的概率。是它落在某個(gè)區(qū)間的概率。離

2、散型隨機(jī)變量的概率離散型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律用分布列描述，而連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律用分布列描述，而連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律用密度函數(shù)（曲線）描述。分布規(guī)律用密度函數(shù)（曲線）描述。復(fù)習(xí)100個(gè)產(chǎn)品尺寸的個(gè)產(chǎn)品尺寸的頻率分布直方圖頻率分布直方圖25.23525.29525.35525.41525.47525.535 產(chǎn)品 尺寸（mm)頻率組距組距組距組距組距頻率頻率 =面積面積頻率頻率復(fù)習(xí)200個(gè)產(chǎn)品尺寸的頻率分布直方圖25.23525.29525.35525.41525.47525.535 產(chǎn)品 尺寸（mm)頻率組距復(fù)習(xí)樣本容量增大時(shí)頻率分布直方圖頻率組距產(chǎn)品 尺寸(mm)總體密度曲

3、線復(fù)習(xí)產(chǎn)品 尺寸(mm)總體密度曲線高爾頓板高爾頓板11總體密度曲線0YX導(dǎo)入導(dǎo)入產(chǎn)品尺寸的總體密度曲線產(chǎn)品尺寸的總體密度曲線就是或近似地是以下函數(shù)的圖象：就是或近似地是以下函數(shù)的圖象：22()21( )2xf xe),(x一一 、正態(tài)曲線的定義：、正態(tài)曲線的定義：函數(shù)函數(shù)式中的實(shí)數(shù)式中的實(shí)數(shù)、(0)是參數(shù)，分別表示是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，稱總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，稱f( x)的圖象稱為的圖象稱為正態(tài)曲線正態(tài)曲線cdab平均數(shù)XY 若用若用X表示落下的小球第表示落下的小球第1次與高爾頓板底部接觸時(shí)次與高爾頓板底部接觸時(shí)的坐標(biāo)的坐標(biāo),則則X是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量.X落在區(qū)間落在

4、區(qū)間(a,b的概率為的概率為:()a bP aXbS組距組距組距組距頻率頻率 =面積面積頻率頻率二二.正態(tài)分布的定義正態(tài)分布的定義:如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)如果對(duì)于任何實(shí)數(shù) ab,隨機(jī)變量隨機(jī)變量X滿足滿足: 則稱則稱X的分布為正態(tài)分布的分布為正態(tài)分布. 正態(tài)分布完全由參數(shù)、確定.正態(tài)分布記作N(,2).其圖象稱為其圖象稱為正態(tài)曲線正態(tài)曲線.如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布，則記作則記作 X N（ ，2）()a bP aXbS 在實(shí)際遇到的許多隨機(jī)現(xiàn)象都服從或近似服在實(shí)際遇到的許多隨機(jī)現(xiàn)象都服從或近似服從正態(tài)分布：從正態(tài)分布：在生產(chǎn)中在生產(chǎn)中，在正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)；在

5、正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)； 在測(cè)量中在測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果；測(cè)量結(jié)果； 在生物學(xué)中在生物學(xué)中，同一群體的某一特征；同一群體的某一特征； 在氣象中在氣象中，某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度 以及降雨量等，水文中的水位；以及降雨量等，水文中的水位； 總之，正態(tài)分布廣泛存在于自然界、生總之，正態(tài)分布廣泛存在于自然界、生產(chǎn)及科學(xué)技術(shù)的許多領(lǐng)域中。產(chǎn)及科學(xué)技術(shù)的許多領(lǐng)域中。正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計(jì)中占有重要地位。正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計(jì)中占有重要地位。21, 0(（，（，+）（1）當(dāng) = 時(shí),函數(shù)值為最大.(3) 的圖象關(guān)于 對(duì)稱.（2） 的值域?yàn)?（4）當(dāng) 時(shí) 為增函數(shù)

6、.當(dāng) 時(shí) 為減函數(shù).)(xf)(xfxxx)(xf)(xf012-1-2xy-33=0=1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線正態(tài)總體正態(tài)總體的函數(shù)表示式的函數(shù)表示式222)(21)(xexf),(x =x例例1、下列函數(shù)是正態(tài)密度函數(shù)的是（、下列函數(shù)是正態(tài)密度函數(shù)的是（ ） A. B. C. D.22()21( ), ,(0)2xf xe 都是實(shí)數(shù)222( )2xf xe2(1)41( )2 2xf xe221( )2xf xeB變式：變式：1、設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是、設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)函數(shù)f(x)和圖象，且和圖象，且 ，則這個(gè)，則這個(gè)正態(tài)總體的均值與標(biāo)準(zhǔn)差分別是（正態(tài)總

7、體的均值與標(biāo)準(zhǔn)差分別是（ ） A.10與與8 B.10與與2 C.8與與10 D.2與與10B8)10(281)(xexf2、若一個(gè)正態(tài)分布的概率函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)且該函、若一個(gè)正態(tài)分布的概率函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)且該函數(shù)的最大值等于數(shù)的最大值等于 ，求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式。的解析式。14 220 25 301510 xy535123、如圖，是一個(gè)正態(tài)曲線，、如圖，是一個(gè)正態(tài)曲線，試根據(jù)圖象寫出其正態(tài)分布試根據(jù)圖象寫出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，的概率密度函數(shù)的解析式，求出總體隨機(jī)變量的期望和求出總體隨機(jī)變量的期望和方差。方差。4 =202 =0 2XD2

8、0XE ，三、正態(tài)曲線的性質(zhì)三、正態(tài)曲線的性質(zhì)012-1-2xy-3= -1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=2具有具有兩頭低、中間高、左右對(duì)稱兩頭低、中間高、左右對(duì)稱的基本特征的基本特征22()21( ),(,)2xxex 012-1-2xy-3= -1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=2（1 1）曲線在）曲線在x軸的上方，與軸的上方，與x軸不相交軸不相交. .（2）曲線是單峰的）曲線是單峰的,它關(guān)于直線它關(guān)于直線x=對(duì)稱對(duì)稱. 3 3、正態(tài)曲線的性質(zhì)、正態(tài)曲線的性質(zhì)（4）曲線與）曲線與x軸之間的面積為軸之間的面積為

9、1（3）曲線在）曲線在x=處達(dá)到峰值處達(dá)到峰值(最高點(diǎn)最高點(diǎn))1 1 2222()21( ),(,)2xxex 的意義的意義產(chǎn)品 尺寸(mm)x1x2總體平均數(shù)總體平均數(shù)反映總體隨機(jī)變量的反映總體隨機(jī)變量的 平均水平平均水平x3x4平均數(shù)x x= 方差相等、均數(shù)不等的正態(tài)分布圖示方差相等、均數(shù)不等的正態(tài)分布圖示312=0.5=-1=0=1若若 固定固定, 隨隨 值值的變化而的變化而沿沿x軸平軸平移移, 故故 稱為位置稱為位置參數(shù)；參數(shù)；性質(zhì)（性質(zhì)（5）當(dāng)當(dāng) 一定時(shí)，曲線隨著一定時(shí)，曲線隨著 的變化而的變化而沿沿x軸軸平移。平移。產(chǎn)品 尺寸(mm)總體平均數(shù)總體平均數(shù)反映總體隨機(jī)變量的反映總體隨

10、機(jī)變量的 平均水平平均水平總體標(biāo)準(zhǔn)差總體標(biāo)準(zhǔn)差反映總體隨機(jī)變量的反映總體隨機(jī)變量的 集中與分散的程度集中與分散的程度平均數(shù)平均數(shù) 的意義的意義1 2 均數(shù)相等、方差不等的正態(tài)分布圖示均數(shù)相等、方差不等的正態(tài)分布圖示=0.5=1=2=0若若 固定固定, 大時(shí)大時(shí), 曲線矮而胖；曲線矮而胖； 小時(shí)小時(shí), 曲線瘦而曲線瘦而高高, 故稱故稱 為形狀參數(shù)。為形狀參數(shù)。性質(zhì)性質(zhì)(6)：當(dāng)當(dāng)一定時(shí)，一定時(shí)，曲線的形狀曲線的形狀由由確定確定 .越大，曲線越越大，曲線越“矮胖矮胖”，表示總體的分布越分散；，表示總體的分布越分散；越小，曲線越越小，曲線越“瘦高瘦高”，表示總體的分布越集中，表示總體的分布越集中.=

11、0.5012-1-2xy-33X=1=2性質(zhì)（性質(zhì)（7）當(dāng)當(dāng) x時(shí)時(shí),曲線下降曲線下降.并且當(dāng)并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無(wú)限延伸時(shí)曲線向左、右兩邊無(wú)限延伸時(shí),以以x軸為漸近線軸為漸近線,向它無(wú)限靠向它無(wú)限靠近近. 3 3、正態(tài)曲線的性質(zhì)、正態(tài)曲線的性質(zhì)22()21( )2xxe 例例3、把一個(gè)正態(tài)曲線、把一個(gè)正態(tài)曲線a沿著橫軸方向向右移動(dòng)沿著橫軸方向向右移動(dòng)2個(gè)單個(gè)單位，得到新的一條曲線位，得到新的一條曲線b。下列說(shuō)法中不正確的是。下列說(shuō)法中不正確的是（ ）A.曲線曲線b仍然是正態(tài)曲線；仍然是正態(tài)曲線；B.曲線曲線a和曲線和曲線b的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等;C.以曲線以曲線b為概率密

12、度曲線的總體的期望比以曲線為概率密度曲線的總體的期望比以曲線a為為概率密度曲線的總體的期望大概率密度曲線的總體的期望大2;D.以曲線以曲線b為概率密度曲線的總體的方差比以曲線為概率密度曲線的總體的方差比以曲線a為為概率密度曲線的總體的方差大概率密度曲線的總體的方差大2。D變式：變式：關(guān)于正態(tài)曲線，下列說(shuō)法正確的是關(guān)于正態(tài)曲線，下列說(shuō)法正確的是_ 曲線上任一點(diǎn)曲線上任一點(diǎn)M(x0,y0)的縱的縱坐標(biāo)坐標(biāo)y0表示表示X=x0的概率；的概率；正態(tài)曲線在正態(tài)曲線在x軸上方且與軸上方且與x軸一定不相交；軸一定不相交；正態(tài)曲線關(guān)于正態(tài)曲線關(guān)于x=對(duì)稱；對(duì)稱； 一定時(shí)，一定時(shí)，越小，總體分布越分散；越小，總

13、體分布越分散；越大，總體越大，總體分布越集中。分布越集中。22()21( )2xf xe),(x正態(tài)曲線下的面積規(guī)律正態(tài)曲線下的面積規(guī)律X軸與正態(tài)曲線所夾面積恒等于軸與正態(tài)曲線所夾面積恒等于1 。對(duì)稱區(qū)域面積相等。對(duì)稱區(qū)域面積相等。S(-,-X)S(X,+)S(-,-X)正態(tài)曲線下的面積規(guī)律正態(tài)曲線下的面積規(guī)律 對(duì)稱區(qū)域面積相等。對(duì)稱區(qū)域面積相等。S(-x1, -x2)-x1 -x2 x2 x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1)例例4、（、（2009安徽）若隨機(jī)變量安徽）若隨機(jī)變量X N（ ，2），則），則 _.)(XP變式：變式：（2008湖南）設(shè)隨機(jī)變量湖南）設(shè)隨機(jī)變量X N（ 2，9

14、），若），若P(Xc-1)=P(Xc-1)，則，則c=_.例例5、已知隨機(jī)變量、已知隨機(jī)變量X N（ 2，2），），P(X4)=0.84，則則P(X0)=_.變式：變式：在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果X N（ 1， 2 ），），若在若在(0,1)內(nèi)取值的概率為內(nèi)取值的概率為0.4，則，則X在在(0,2)內(nèi)取值的概內(nèi)取值的概率為率為_.變式：變式：若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X N（ 0， 1），已知），已知P(X0,概率概率 為如圖中的陰影部分的面積，對(duì)于固定的為如圖中的陰影部分的面積，對(duì)于固定的 和和 而言，該面而言，該面積隨著積隨著 的減少而變大。這說(shuō)明的減少而變大。這說(shuō)明 越小越小

15、, 落在區(qū)間落在區(qū)間 的概率越大，即的概率越大，即X集中在集中在 周圍概率越大。周圍概率越大。2( ,) ()PaaS xx(,aa()0.6826,(22 )0.9544,(33 )0.9974.PXPXPX特別地有特別地有 我們從上圖看到，正態(tài)總體在我們從上圖看到，正態(tài)總體在 以外取值以外取值的概率只有的概率只有4.6，在，在 以外以外取值的概率只有取值的概率只有0.3 。2,23,3 由于這些概率值很?。ㄒ话悴怀^(guò)由于這些概率值很?。ㄒ话悴怀^(guò)5 ），），通常稱這些情況發(fā)生為通常稱這些情況發(fā)生為小概率事件小概率事件。()0.6826,(22 )0.9544,(33 )0.9974.PXP

16、XPX例例4、在某次數(shù)學(xué)考試中，某班學(xué)生的成、在某次數(shù)學(xué)考試中，某班學(xué)生的成XN(110,400).且滿分且滿分150分，該班共有學(xué)生分，該班共有學(xué)生54人，求該班在這次考試人，求該班在這次考試中及格的人數(shù)和中及格的人數(shù)和130分以上的人數(shù)。分以上的人數(shù)。練習(xí)：練習(xí)：1、已知一次考試共有、已知一次考試共有60名同學(xué)參加，名同學(xué)參加，考生的考生的成績(jī)成績(jī)X ，據(jù)此估計(jì)，大約應(yīng)有，據(jù)此估計(jì)，大約應(yīng)有57人的分人的分?jǐn)?shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)？（數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)？（ ）A. (90,110 B. (95,125 C. (100,120 D.(105,1152(100,5 )A2、某廠生產(chǎn)的、某廠生產(chǎn)的“T”形零件的外直徑（單位：形零件的外直徑（單位：cm）X N（ 10，0.22），某天從該廠生產(chǎn)的），某天從該廠生產(chǎn)的“T”形零件中床形零件中床機(jī)取出兩個(gè)，測(cè)得它們的外直徑分別為機(jī)取出兩個(gè)，測(cè)得它們的外直徑分別為9.52cm和和9.98cm，試分析該廠這一天的生產(chǎn)是否正常。，試分析該廠這一天的生產(chǎn)是否正常。2、某廠生產(chǎn)的、某廠生產(chǎn)的“T”形零件的外直徑（單位：形零件的外直徑（單位：cm）X N（ 10，0.22），某天從該廠生