指數函數講義經典整理(含答案)

1、指數函數講義經典整理含答案、同步知識梳理知識點1:指數函數函數y0且a 1)叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域是 R知識點2 :指數函數的圖像和性質-V i0M價域(0性 質1過總點他4)(2當 Jo tvl t r V。時1 (2)當 j?0 時 r 上SB誦K(3)x2 0,所以，所以 fx1 fx2，所以f x在0, +8上為單調增函數.點評：此題主要考查了函數單調性的判斷、函數奇偶性的判斷，與證明及指數方程的解法在判定函數奇偶 性時，一定注意函數的定義域關于原點對稱，屬于根底題.f 6)=飛7)例2:函數 _ 1討論函數的奇偶性；2證明：f x 0 考點: 指數函數的定義、解析

2、式、定義域和值域；函數奇偶性的判斷；函數奇偶性的性質. 專題：計算題.分析：-丄一-丄1由2x - 1工0解得義域為x|x工0關于原點對稱.f- x=2 一1-x=2 一 1x=f x，故該函數為偶函數.當x 0時，2x 20=1且 x 0 ,從而2任取 x x|x 豐 0x 0在定義域上恒成立.當XV 0時，-x0，故f- x 0,由函數為偶函數，能證明解答: 解：1該函數為偶函數.由2x - 1工0解得x0即義域為x|x豐0關于原點對稱2分x=才_hi _2尸_12x=x=fx 6 分故該函數為偶函數.7分2證明：任取x x|x豐0當 x 0 時，2x20=1 且 x 0, 2x- 1 0

3、,從而011分當 xv 0 時，x0,f- x 0,12 分 又因為函數為偶函數,f x=f- x 0,13 分f x 0在定義域上恒成立.14 分點評:此題考查函數的奇偶性的判斷和證明f x 0.解題時要認真審題， 注意指數函數性質的靈活運用.例3:函數 y=ax a 0且a1在1 , 2上的最大值與最小值之和為20,記1求a的值;2求 f x+f 1 - x的值;考點：指數函數的定義、解析式、定義域和值域.專題：綜合題；函數的性質及應用.分析：1由y=ax單調得a+a2=20，由此可求 a;2寫出f x，代入運算可得；3借助2問結論分n為奇數、偶數討論可求；解答：解：1函數y=ax a0且

4、a* 1在1 , 2上的最大值與最小值之和為20,且y=ax單調, a+a2=2Q 得 a=4，或 a=- 5舍去;2由1知廠=13由2知 fx+f 1 - x=1，得f (-) +f (2) + +f ()n為奇數時，i-1-14代d1 K斗=Fn為偶數時,1n- 2 1 n-1門= .=2綜上,點評：此題考查指數函數的單調性、最值等知識，屬中檔題.題型2 :指數函數的圖像變換.例1 :函數y=|2x - 2|1作出其圖象；2由圖象指出函數的單調區(qū)間；3由圖象指出當x取何值時，函數有最值，并求出最值.考點：指數函數的圖像變換.專題：綜合題；函數的性質及應用.分析：x軸上方得1函數y=|2x

5、- 2|圖象是由y=2x的圖象向下平移2個單位，再將x軸下方的局部翻著到到.2結合函數的圖象，可得函數的減區(qū)間和增區(qū)間.3數形結合可得，當x=1時，ymiin=0 .解答:x軸上解：1函數y=|2x - 2|圖象是由y=2x的圖象向下平移2個單位，再將x軸下方的局部翻著到 方得到，如下列圖：2結合函數的圖象，可得函數的減區(qū)間為- 汽1,增區(qū)間為1, +8.3數形結合可得，當 x=1時，ymiin=0 .點評:此題主要考查指數函數的圖象和性質綜合，表達了數形結合的數學思想，屬于中檔題.題型3 :指數函數單調性例1:函數fx=a?2x+b?3x,其中常數a, b滿足a?b01假設a?b 0，判斷函

6、數f x的單調性；2假設a= - 3b,求fx+1 fx時的x的取值范圍.考點：指數函數的單調性與特殊點；函數單調性的判斷與證明；函數單調性的性質.專題： 函數的性質及應用.分析:1分a0, b0和av 0, bv 0兩種情況討論，運用單調性的定義可作出判斷；2當 a=- 3b 時，fx= - 3b?2x+b?3x=b 3x - 3?2x，分 b 0, b v 0 兩種情況進行討論，整理可 得指數不等式解出即可；解答：解：1當 a0, b 0 時，任意 x1 , x2 R ,且 x1 v x2，貝V f x1 f x2=a鼻葢12 +b3 1廠 v，a 0, b0,v 0,f x1- f x2

7、v 0，即 f x1v f x2，故函數f x在R上是增函數；當av 0, bv 0時，同理，可判斷函數 fx在R上是減函數;2當 a=- 3b 時，fx= - 3b?2x+b?3x=b 3x - 3?2x，整理得，解得x 1;整理得，解得xv 1 ；那么 f x+1 f x即化為 b 3x+1 - 3?2x+1 b 3x - 3?2x,假設 b 0,那么有 3x+1 - 3?2x+1 3x- 3?2x,假設 b v 0,那么有 3x+1 - 3?2x+1v 3x- 3?2x,故b 0時，x的范圍是x 1;當b v 0時，x的范圍是xv 1.點評: 此題考查函數單調性的判斷、指數函數的單調性的

8、應用，考查分類討論思想，屬根底題.例2：定義在-1,1上的奇函數f x.在x- 1, 0時，fx=2x+2 - x.1試求f x的表達式;2用定義證明fX在-1, 0上是減函數;3假設對于x 0, 1上的每一個值，不等式 t?2x?fxv 4x - 1恒成立，求實數t的取值范圍.考點：指數函數綜合題；奇偶性與單調性的綜合.專題：計算題；函數的性質及應用.分析：1由 fx是定義在-1, 1上的奇函數可得 f 0=0, x 0, 1時，fx= - f- x= -2x+2 - x；從而寫出f x的表達式；2取值，作差，化簡，判號，下結論五步；3對于x0, 1上的每一個值，不等式 t?2x?fxV 4

9、x - 1恒成立轉化為對于 x0, 1上的f x1 - f x2 X2 2 +2每一個值，不等式t- 41恒成立，從而可得.解答：解：1f x是定義在-1, 1上的奇函數,f 0=0,設 0, 1，那么-x- 1, 0，那么2x+2 - x,故 f x=2s+2zE ( - 1, 0)05:K二0- 0,故fx在-1, 0上是減函數；3由題意，t?2x?f xv 4x - 1可化為 t?2x?- 2x+2 - xV 4x - 1,化簡可得, x 0, 1，2g xV - 1+乜-=0 ,故對于x 0, 1上的每一個值，不等式 t?2x?fxV 4x - 1恒成立可化為 t 0點評：此題考查了函

10、數的性質的綜合應用及恒成立問題的處理方法，屬于難題.例 3:函數 fx=|2x - 1 - 1|,xR.1證明：函數fx在區(qū)間1 , +8上為增函數，并指出函數fx在區(qū)間-汽1上的單調性；2假設函數f x的圖象與直線y=t有兩個不同的交點 A m, t，Bn, t，其中mv n,求m+n的取值范圍.考點: 指數函數綜合題.專題: 計算題；證明題.分析：1函數單調性的證明，通常依據定義，步驟為：取值，作差，變形，定號，下結論，由于與指數 函數有關，求解時要利用到指數函數的單調性；2由1可知，函數的值域為0, 1，要使函數fx的圖象與直線 y=t有兩個不同的交點， 故有t 0, 1又函數fx的圖象

11、與直線y=t有兩個不同的交點，所以Am, t，Bn, t分別位于直線x=1的兩側，由mv n,得mv 1v n,故可以求出 m+n，進而由t 0, 1，可求m+n的取 值范圍.解：1證明任取 x1 1 ,+8， x2 1 ,+8， x1v x2,解答: 且 x1 v x2 ,? - 2 八、, f x1v f x2 丨.所以f x在區(qū)間1, +8上為增函數.5分函數f x在區(qū)間-8, 1上為減函數.6分2因為函數f X在區(qū)間1 , +8上為增函數，相應的函數值為0 , +8，在區(qū)間-8, 1上為減函數，相應的函數值為0, 1，由題意函數fx的圖象與直線 y=t有兩個不同的交點，故有 t 0,

12、1，8 分易知Am, t，Bn, t分別位于直線x=1 的兩側，由 mv n,得 mv 1 v n,故 2m - 1 1 v 0, 2nt=|2x 1 1| ,故得 t=1 2m 1, t=2n 1 1,即 m=log2-1 1 0，又A , B兩點的坐標滿足方程2 2t, n=log2 2+2t， 12 分故 m+n=Iog2 2 - 2t+Iog2 2+2t=log24 - 4t2,當 Ov tv 1 時，0v 4 4t2v 4,- u Iog24 - 4t2v 2.因此，m+n的取值范圍為- g, 2. 17分點評: 此題的考點是指數函數綜合問題，主要考查函數單調性的證明，考查函數圖形的

13、性質，有較強的綜合 性依據定義，證明函數的單調性的步驟通常為：取值，作差，變形，定號，下結論三、課堂達標檢測檢測題1:函數f xf x其中e=2.71828是一個無理數1求函數f x的定義域;2判斷奇偶性并證明之；3判斷單調性并證明之.考點：指數函數的定義、解析式、定義域和值域；函數單調性的判斷與證明；函數奇偶性的判斷.專題：計算題；證明題.分析：1把分子整理變化成和分母相同的一局部，進行分子常數化，那么變量只在分母上出現(xiàn)，根據分母 是一個指數形式，恒大于零，得到函數的定義域是全體實數.2根據上一問值函數的定義域關于原點對稱，從f- X入手整理，把負指數變化為正指數，就得到結果，判斷函數是一個

14、奇函數.3根據判斷函數單調性的定義，設出兩個任意的自變量，把兩個自變量的函數值做差，化成分子 和分母都是因式乘積的形式，根據指數函數的性質，判斷差和零的關系.解答：解:=1 -1 e2x+1恒大于零, x R2函數是奇函數f x又由上一問知函數的定義域關于原點對稱,f X為奇函數3是一個單調遞增函數 設 x1 , x2 R 且 x1 x22jiH 、2I22 ( e 1 - e 2 )嚴幻嚴+i2覽2試=g叫+1匕叫+1f x1- f x2=1 x1 x2,f x1- f x2 0即 f x1 0時1求當XV 0時，f x的解析式2解不等式3.考點：指數函數的定義、解析式、定義域和值域；函數奇偶性的性質.專題： 常規(guī)題型.分析:1求當x V 0時，f X的解析式，在哪個區(qū)間上求解析式，就在哪個區(qū)間上取值 知區(qū)間上求解析式，由 f- X=- f x解出f x即可.2解不等式fXV- 3,分x0和XV 0兩種情況，