知識點裂項相消法

1、知識點裂項相消法數(shù)數(shù) 列列 求求 和和裂項相消法裂項相消法注重實用理性，缺乏終極思考注重實用理性，缺乏終極思考. 高中數(shù)學(xué)是由若干個分支構(gòu)成，每個分支都自成體系，具有鮮明的特點. 每個分支又由許多個知識點組成. 高考命題經(jīng)常在這些知識點處進(jìn)行，為此我們必須對重要的知識點進(jìn)行強化處理，提高學(xué)生解決相關(guān)問題的能力.裂項相消法裂項相消法 把數(shù)列的每一項拆分成兩項之差，利用正負(fù)抵消，達(dá)到簡化和式的目的，通俗地講就是化簡的一種技巧.11231112 .1nnnnnnaannnnbbnna a引例：在數(shù)列中，又，求數(shù)列的前 項和1(1),228118()(1)1nnnnnaba an nnn分析： 研究通

2、項公式：為什么會有這個式子？怎樣得到的？123(2)11111118(1)()()()223341188(1).11nnSbbbbnnnnn求和：(1)點評： 不解決問題的講解，只能讓學(xué)生了解裂項相消法的解題步驟，死記硬背解題模式，成為題型教學(xué)，達(dá)不到一輪復(fù)習(xí)的目的. 一輪復(fù)習(xí)的效果就是看是否觸摸到事物 的本質(zhì).8(2)(1)88(1)nbn nnn事實上，在研究時，視分母為兩個因式的積，尋找它們的差與分子的倍數(shù)關(guān)系，即，逆用分?jǐn)?shù)減法運算得到，即88(1)18(1)(1)(1)(1)118().1nnnnnbn nn nn nn nnn抵消后，被減數(shù)和減數(shù)抵消后，被減數(shù)和減數(shù)各剩一項，具有對稱

3、性各剩一項，具有對稱性.3(1)=11nnn（ ）由于，這個常數(shù) 與 無關(guān)，故分母的兩個因式可以是等差數(shù)列中的兩項.高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)，必須讓學(xué)生認(rèn)識問題的本質(zhì)，讓學(xué)生有觀察問題的視角、有解決問題的思維方法和運算 的路徑.對知識點的突破要分層處理，層層遞進(jìn)，逐步落實，根據(jù)學(xué)生的基礎(chǔ)和能力情況，靈活掌握，切忌一刀切， 一步到位 第一個層次：了解裂項相消法的思維過程 和解題步驟1.求數(shù)列的前 n項和.1 11 11 11 11 1, , , , , ,1 1 3 3 2 24 4 3 3 5 5 4 4 6 6n n( (n n+ + 2 2) )首先：讓學(xué)生把這個數(shù)列的規(guī)律體會一下，根首先：讓學(xué)生

4、把這個數(shù)列的規(guī)律體會一下，根 據(jù)規(guī)律寫出通項公式；據(jù)規(guī)律寫出通項公式；其次：根據(jù)引例研究通項公式的方法，處理這其次：根據(jù)引例研究通項公式的方法，處理這 個通項公式，即裂項；個通項公式，即裂項；再次：求和再次：求和.32342(1)(2)nnSnn第一個層次：了解裂項相消法的思維過程 和解題步驟 點評：讓學(xué)生比較和引例的通項公式、消項的點評：讓學(xué)生比較和引例的通項公式、消項的規(guī)律差別、相同點規(guī)律差別、相同點. 讓學(xué)生在比較中提高讓學(xué)生在比較中提高.222222224 14 24 342.,4 11 4 21 4 3141.nnn求數(shù)列的前 項和2 (1)21nn nSn 點評：能夠解答這兩題表明

5、，學(xué)習(xí)者已對裂項點評：能夠解答這兩題表明，學(xué)習(xí)者已對裂項相消法有初步的了解，并不能說明學(xué)習(xí)者掌握解相消法有初步的了解，并不能說明學(xué)習(xí)者掌握解法的本質(zhì)法的本質(zhì).第二個層次：探究相同點、尋求解法第二個層次：探究相同點、尋求解法2222357213.(1 2)(2 3)(3 4) (1)nnSn n求和解法解法1：222111() (21) (1)1nnann nnn通項1111()(1)()11nnnnnn111(11)()11nnnnnn22111111()()11(1)nnnnnn從熟悉的部分從熟悉的部分入手，對運算入手，對運算能力要求很高能力要求很高第二個層次：探究相同點、尋求解法第二個層次

6、：探究相同點、尋求解法解法解法2：根據(jù)裂項相消法的本質(zhì)進(jìn)行研究：根據(jù)裂項相消法的本質(zhì)進(jìn)行研究2222222222121(1) (1)(1)(1)11(1)nnnnnan nn nn nnn通項211(1)nSn “一秒鐘看清本質(zhì)的人和花一輩子也看不清一一秒鐘看清本質(zhì)的人和花一輩子也看不清一件事本質(zhì)的人，自然是不一樣的命運件事本質(zhì)的人，自然是不一樣的命運” 電影電影教父教父臺詞臺詞第二個層次：探究相同點、尋求解法第二個層次：探究相同點、尋求解法求和：k kn nn nk+1kk+1kk=1k=12 24.S =4.S =(2-1)(2 -1)(2-1)(2 -1)n nn n+ +1 11 1S

7、 S = = 1 1- -2 2- -1 1 體會前四道題的共同點是什么？差異是什么？體會前四道題的共同點是什么？差異是什么？用什么視角可以把這用什么視角可以把這4道題的解法統(tǒng)一起來？會道題的解法統(tǒng)一起來？會做做3、4兩題表明學(xué)習(xí)者對裂項相消法的本質(zhì)有兩題表明學(xué)習(xí)者對裂項相消法的本質(zhì)有初步的理解，能主動地尋找分母中兩個因式的初步的理解，能主動地尋找分母中兩個因式的差與分子的倍數(shù)關(guān)系差與分子的倍數(shù)關(guān)系. 這個倍數(shù)是一個與這個倍數(shù)是一個與n無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù)第三個層次：能根據(jù)裂項相消法的本質(zhì)特征有第三個層次：能根據(jù)裂項相消法的本質(zhì)特征有意識地、有目的的進(jìn)行探究，并解題成功意識地、有目的的進(jìn)行探究

8、，并解題成功.121321*5.(2016),2.( )(21) 3( )() .nnnnnnnnnnaa aa aaaaaanbnNbanT石家莊二中年高三畢業(yè)班模擬已知數(shù)列 滿足：是首 項、公差均為 的等差數(shù)列 求數(shù)列的通項公式 ； 令，求數(shù)列的前 項和1213212( )()()()12(1) 22nnnaaaaaaaann nnn第三個層次：能根據(jù)裂項相消法的本質(zhì)特征有第三個層次：能根據(jù)裂項相消法的本質(zhì)特征有意識地、有目的的進(jìn)行探究，并解題成功意識地、有目的的進(jìn)行探究，并解題成功.( )(21) 3(21) 3(1)nnnnnnban n遞進(jìn)思維展示：遞進(jìn)思維展示：3n ( (2 2n

9、 n- -1 1) )n n( (n n+ +1 1) )213(1)nnnbn n( (2 2n n- -1 1) )n n( (n n+ +1 1) )第三個層次：能根據(jù)裂項相消法的本質(zhì)特征有第三個層次：能根據(jù)裂項相消法的本質(zhì)特征有意識地、有目的的進(jìn)行探究，并解題成功意識地、有目的的進(jìn)行探究，并解題成功.1(21) 3(1)nnbnn n1n n( (n n+ +1 1) )11()(21) 31nnbnnn2121() 31nnnnbnn13(2)(2) 31nnbnn第三個層次：能根據(jù)裂項相消法的本質(zhì)特征有第三個層次：能根據(jù)裂項相消法的本質(zhì)特征有意識地、有目的的進(jìn)行探究，并解題成功意識

10、地、有目的的進(jìn)行探究，并解題成功.31() 31nnbnn1331nnnbnn點評：沒有基于核心、本質(zhì)的思考，就必然受到其制約. 繁難的運算，令人生畏，往往導(dǎo)致解 題失敗.213(1)nnnbn n第三個層次：能根據(jù)裂項相消法的本質(zhì)特征有第三個層次：能根據(jù)裂項相消法的本質(zhì)特征有意識地、有目的的進(jìn)行探究，并解題成功意識地、有目的的進(jìn)行探究，并解題成功.另解：從通項的分式結(jié)構(gòu)看：能否將分子表示另解：從通項的分式結(jié)構(gòu)看：能否將分子表示 為分母中兩個因式的差為分母中兩個因式的差.12133 (1)nnnbn n分式的基本性質(zhì)分式的基本性質(zhì)13(1)33 (1)nnnnbn n尋找分子與分母中兩尋找分子

11、與分母中兩個因式差的倍數(shù)關(guān)系個因式差的倍數(shù)關(guān)系第三個層次：能根據(jù)裂項相消法的本質(zhì)特征有第三個層次：能根據(jù)裂項相消法的本質(zhì)特征有意識地、有目的的進(jìn)行探究，并解題成功意識地、有目的的進(jìn)行探究，并解題成功.111() 313nnbnn裂項即逆用分式減法裂項即逆用分式減法1331nnnbnn1331nnTn 點評：裂項相消法能夠?qū)嵤┑臈l件是項與項點評：裂項相消法能夠?qū)嵤┑臈l件是項與項之間的之間的“輪轉(zhuǎn)輪轉(zhuǎn)”， 即前一項的減數(shù)與后一項被即前一項的減數(shù)與后一項被減數(shù)相同減數(shù)相同.第三個層次：能根據(jù)裂項相消法的本質(zhì)特征有第三個層次：能根據(jù)裂項相消法的本質(zhì)特征有意識地、有目的的進(jìn)行探究，并解題成功意識地、有目

12、的的進(jìn)行探究，并解題成功.*11.( )1( )() .nnnnnnnnnaaanSnbnNbS SnT變式：已知數(shù)列數(shù)列的首項、公差都是 求數(shù)列的通項公式及前 項和 ； 令，求數(shù)列的前 項和(1)(1),;2nnn nan S答案：2(2)T2.(1)(2)nnn第四個層次：構(gòu)造裂項相消法，嚴(yán)守程式與靈第四個層次：構(gòu)造裂項相消法，嚴(yán)守程式與靈活運用相結(jié)合，體會其本質(zhì)是兩項取值的輪轉(zhuǎn)活運用相結(jié)合，體會其本質(zhì)是兩項取值的輪轉(zhuǎn).222*111226.,(3)3()0().(1)(2)(3)1111(1)(1)(1)3nnnnnnnanSSnnSnnnNaana aa aa a例 設(shè)各項都為正數(shù)的數(shù)

13、列的前 項和為且求 的值； 求 ； 證明：對一切正整數(shù) ，有*1(1)2 (2)2 ().naan nN解：易求；第四個層次：構(gòu)造裂項相消法，嚴(yán)守程式與靈第四個層次：構(gòu)造裂項相消法，嚴(yán)守程式與靈活運用相結(jié)合，體會其本質(zhì)是兩項取值的輪轉(zhuǎn)活運用相結(jié)合，體會其本質(zhì)是兩項取值的輪轉(zhuǎn).11(3)(1)2 (21)11221nnnba annnn研究通項公式1122111(1)(1)(1)11111111()()()()234567221nna aa aa ann于是得于是得上式?jīng)]有出現(xiàn)正負(fù)相抵的情形，解上式?jīng)]有出現(xiàn)正負(fù)相抵的情形，解題失敗題失敗. 高三的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)不可能是高三的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)不可能是一帆風(fēng)順，我

14、們的學(xué)習(xí)也必將在解一帆風(fēng)順，我們的學(xué)習(xí)也必將在解決問題中前行，只是我們?nèi)绾螌Υ龥Q問題中前行，只是我們?nèi)绾螌Υ。故〕蔀槲覀兂晒Φ幕?，使失敗成為我們成功的基?第四個層次：構(gòu)造裂項相消法，嚴(yán)守程式與靈第四個層次：構(gòu)造裂項相消法，嚴(yán)守程式與靈活運用相結(jié)合，體會其本質(zhì)是兩項取值的輪轉(zhuǎn)活運用相結(jié)合，體會其本質(zhì)是兩項取值的輪轉(zhuǎn).為什么沒有出現(xiàn)正負(fù)相抵的情形呢？為什么沒有出現(xiàn)正負(fù)相抵的情形呢？2n是偶數(shù)，是偶數(shù)，2n+1是奇數(shù)，怎樣解決問題呢？是奇數(shù)，怎樣解決問題呢？看問題定方向：為什么題目不求和，而證明一看問題定方向：為什么題目不求和，而證明一 個不等式呢？個不等式呢？ 這個和式不可求和！可

15、將通項適當(dāng)放大，并這個和式不可求和！可將通項適當(dāng)放大，并使分母中兩個因式有相同的奇偶性，使分母中兩個因式有相同的奇偶性， 便于求和便于求和.11111()2 (21)(21)(21)2 2121nbnnnnnn第四個層次：構(gòu)造裂項相消法，嚴(yán)守程式與靈第四個層次：構(gòu)造裂項相消法，嚴(yán)守程式與靈活運用相結(jié)合，體會其本質(zhì)是兩項取值的輪轉(zhuǎn)活運用相結(jié)合，體會其本質(zhì)是兩項取值的輪轉(zhuǎn).12311111111(1)()()()2335572121111(1)2212nnTbbbbnnn 又失敗了！但是好在是能化簡和式了，又失敗了！但是好在是能化簡和式了，這就是成功的地方，問題在于如何提高計算的這就是成功的地方，

16、問題在于如何提高計算的精確度，變失敗為成功精確度，變失敗為成功.第四個層次：構(gòu)造裂項相消法，嚴(yán)守程式與靈第四個層次：構(gòu)造裂項相消法，嚴(yán)守程式與靈活運用相結(jié)合，體會其本質(zhì)是兩項取值的輪轉(zhuǎn)活運用相結(jié)合，體會其本質(zhì)是兩項取值的輪轉(zhuǎn). 向?qū)W生展示探索求解的過程，是培養(yǎng)學(xué)向?qū)W生展示探索求解的過程，是培養(yǎng)學(xué)生理性思維和創(chuàng)新能力的組成部分，也是培生理性思維和創(chuàng)新能力的組成部分，也是培養(yǎng)學(xué)生個性品質(zhì)的有效手段養(yǎng)學(xué)生個性品質(zhì)的有效手段.提高精確度的方法之一就是選擇部分項放大提高精確度的方法之一就是選擇部分項放大.當(dāng)當(dāng)n=1時，時， ；不等式成立；不等式成立.11163T 當(dāng)當(dāng)n2時，時，第四個層次：構(gòu)造裂項相消

17、法，嚴(yán)守程式與靈第四個層次：構(gòu)造裂項相消法，嚴(yán)守程式與靈活運用相結(jié)合，體會其本質(zhì)是兩項取值的輪轉(zhuǎn)活運用相結(jié)合，體會其本質(zhì)是兩項取值的輪轉(zhuǎn).12311111111()()()623557212111 111()62 3213nbbbbnnn綜上所述：對于任意的綜上所述：對于任意的 ，都有，都有*nN11221111(1)(1)(1)3nna aa aa a 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是要讓學(xué)生體會到思考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是要讓學(xué)生體會到思考的快樂，真正做到：盡享寧靜與思考之的快樂，真正做到：盡享寧靜與思考之樂，隨時傾聽來自內(nèi)心深處的呼喚！樂，隨時傾聽來自內(nèi)心深處的呼喚！第四個層次：構(gòu)造裂項相消法，嚴(yán)守程式與靈第四個層次

18、：構(gòu)造裂項相消法，嚴(yán)守程式與靈活運用相結(jié)合，體會其本質(zhì)是兩項取值的輪轉(zhuǎn)活運用相結(jié)合，體會其本質(zhì)是兩項取值的輪轉(zhuǎn). 點評：該解法應(yīng)用了三個思想點評：該解法應(yīng)用了三個思想: 放大；放大； 裂項裂項(使分母的兩個因式都變?yōu)槠鏀?shù)使分母的兩個因式都變?yōu)槠鏀?shù))；提高；提高算式的精確度（部分項放大，另一部分不變）算式的精確度（部分項放大，另一部分不變）.問題：能否只進(jìn)行一次放大就解決問題呢？問題：能否只進(jìn)行一次放大就解決問題呢？首先改造通項公式：首先改造通項公式：11112 (21)4()2nbnnn n第四個層次：構(gòu)造裂項相消法，嚴(yán)守程式與靈第四個層次：構(gòu)造裂項相消法，嚴(yán)守程式與靈活運用相結(jié)合，體會其本質(zhì)是兩項取值的輪轉(zhuǎn)活運用相結(jié)合，體會其本質(zhì)是兩項取值的輪轉(zhuǎn).1433目標(biāo)：由于結(jié)果是 ，因此首項中要出現(xiàn)， 還要滿足分母的兩個因式具有“后繼 性”，以保證裂項后取值的“輪轉(zhuǎn)”.121111112 (21)44 ()()()2nbnnnxnxn n令1212xx一方面：第四個