同濟(jì)能量守恒定律

1、2-4-1 功和功率功和功率 功是度量能量轉(zhuǎn)換的基本物理量，它描寫了力功是度量能量轉(zhuǎn)換的基本物理量，它描寫了力對空間積累作用。對空間積累作用。功的定義： 在力在力 的作用下，的作用下，物體發(fā)生了位移物體發(fā)生了位移 ，則，則把力在位移方向的分力與把力在位移方向的分力與位移位移 大小的乘積稱為大小的乘積稱為功。功。FrrxyzO1rrFF 2. . 變力的功變力的功a元功：元功：a a元位移：元位移：rd1. 恒力的功恒力的功rdFWrdr rFWacosrF rdF rdFdWacosFFF功：力對空間的積累國際單位：焦耳（J ）Nm（1 1）平面直角坐標(biāo)系）平面直角坐標(biāo)系)0, 1(,jijj

2、iijdyidxrdjFiFFyx其中.dyFdxFdwyxxyO xr0r1 yF rs0s1F sa.a.在不同坐標(biāo)系中元功表示：在不同坐標(biāo)系中元功表示：（2 2）平面）平面“自然自然”坐標(biāo)系坐標(biāo)系)0, 1(ntnntt其中dsFtdsnFtFdwtnt) (對元功積分即得到變力作的總功。對元功積分即得到變力作的總功。acosFdsrFFFrFWbanbadd21banbabarFrFrFddd21n21WWWW結(jié)論：合力對質(zhì)點(diǎn)所作的功等于每個分力對質(zhì)點(diǎn)合力對質(zhì)點(diǎn)所作的功等于每個分力對質(zhì)點(diǎn)作功之代數(shù)和作功之代數(shù)和 。b.b.合力的功等于各個分力功的代數(shù)和合力的功等于各個分力功的代數(shù)和在直

3、角坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系Oxyz中中 kFjFiFFzyxk zj yi xr zFyFxFkzj yi xkFjFiFrFWzybaxbazyxbaxxddddddd表明合力對質(zhì)點(diǎn)所作的功等于每個分力對質(zhì)點(diǎn)作之代數(shù)和。表明合力對質(zhì)點(diǎn)所作的功等于每個分力對質(zhì)點(diǎn)作之代數(shù)和。 c. 功的幾何意義：功的幾何意義：功在數(shù)值上等于示功圖功在數(shù)值上等于示功圖曲線下的面積。曲線下的面積。 3. 功率功率平均功率平均功率: :瞬時功率瞬時功率: :Fx0示功圖dxF2x1xFdxdW 21xxFdxWtWNtWNtlim0tddWtdrdF vF 力的功率等于力與受力點(diǎn)速度的標(biāo)積力的功率等于力與受力點(diǎn)速度的標(biāo)積力

4、的功率等于力與受力點(diǎn)速度的標(biāo)積瓦特（瓦特（W）= =（J/sJ/s）(1)(1)功是過程量，一般與路徑有關(guān)。功是過程量，一般與路徑有關(guān)。(2)(2)功是標(biāo)量，但有正負(fù)。功是標(biāo)量，但有正負(fù)。(3)合力的功為各分力的功的代數(shù)和。合力的功為各分力的功的代數(shù)和。4.4.功的性質(zhì)：功的性質(zhì)：dyFdxFrdFdAyx例例1. 設(shè)作用在質(zhì)量為設(shè)作用在質(zhì)量為2kg的質(zhì)點(diǎn)上的力是的質(zhì)點(diǎn)上的力是 N。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)移動到位矢為。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)移動到位矢為 m處時，此處時，此力所作的功有多大？它與路徑有無關(guān)系？力所作的功有多大？它與路徑有無關(guān)系？jiF53 jir32 1010yyyxxxdyFdxFA)()(010

5、1yyFxxFyx)03(5)02(3J9解：解：TFsin=0Fmg tg=T cosmg=0cos=mg tgLdFcosds.drF=dW. .=dsLd. .dmL 例例2. 有一單擺，用一水平力作用于有一單擺，用一水平力作用于m使其使其緩慢緩慢上升。上升。求求: 此力的功。此力的功。0當(dāng)當(dāng)由由增大到增大到0時，時，cos=()1mg L0sinmg=00WLd 解解TrdFgm2-4-2 2-4-2 動能和動能定理動能和動能定理 質(zhì)點(diǎn)因有速度而具有的作功本領(lǐng)。質(zhì)點(diǎn)因有速度而具有的作功本領(lǐng)。221vmEk單位：（J）設(shè)質(zhì)點(diǎn)設(shè)質(zhì)點(diǎn)m在力的作用下沿在力的作用下沿曲線從曲線從a點(diǎn)移動到點(diǎn)移動

6、到b點(diǎn)點(diǎn)sFrFWdcosddardaFab1質(zhì)點(diǎn)動能定理質(zhì)點(diǎn)動能定理)(21dd212221vvvvvvmmWW質(zhì)點(diǎn)的動能定理：合外力對質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動能的增量。合外力對質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動能的增量。1221222121kkEEmmWvvvvvdddddcosdmstmsFWatmmaFddcosva2質(zhì)點(diǎn)系的動能定理質(zhì)點(diǎn)系的動能定理iFif一個由一個由n個質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，考察第個質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，考察第i個質(zhì)點(diǎn)。個質(zhì)點(diǎn)。 質(zhì)點(diǎn)的動能定理：質(zhì)點(diǎn)的動能定理： iiEE1k2k內(nèi)外iiWW對系統(tǒng)內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)求和對系統(tǒng)內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)求和 niiniiEE11k12kniniiiWW11外內(nèi)12

7、kkEE外內(nèi)WW 質(zhì)點(diǎn)系動能的增量等于作用于系統(tǒng)的所有外力和質(zhì)點(diǎn)系動能的增量等于作用于系統(tǒng)的所有外力和內(nèi)力內(nèi)力作功之代數(shù)和。作功之代數(shù)和。例例3.有一面為有一面為1/4凹圓柱面（半徑凹圓柱面（半徑R）的物體（質(zhì)量）的物體（質(zhì)量M）放置在光滑水平面，一小柱面（質(zhì)量放置在光滑水平面，一小柱面（質(zhì)量m），從靜止開），從靜止開始沿圓面從始沿圓面從頂端無摩擦下落（如圖），小柱面從水平頂端無摩擦下落（如圖），小柱面從水平方向飛離大物體方向飛離大物體時速度為時速度為v.求（求（1）重力所做的功；）重力所做的功；（2）內(nèi)力所做的功。）內(nèi)力所做的功。解：重力只對小球做功解：重力只對小球做功0 MVmv水平方向無

8、外力，水平方向無外力，m,M組成的組成的系統(tǒng)保持水平方向動量守恒。系統(tǒng)保持水平方向動量守恒。mgdhrdmgdWcos重力mgRmgdhW重力RMm rddhmg對對m，合力所做的功，合力所做的功mgRmvMVWWWNN222121內(nèi)力221mvWWGN對對M，合力（合力（內(nèi)力）所做的功內(nèi)力）所做的功222221MvmMVWN*本例中實(shí)際內(nèi)力對兩個物體分別所做功互相抵消。本例中實(shí)際內(nèi)力對兩個物體分別所做功互相抵消。mgRmvMV 222121為什么？為什么？ 見下面一對力的功的討論。見下面一對力的功的討論。（說明，利用上式和前面動量守恒定律式可以求得（說明，利用上式和前面動量守恒定律式可以求得

9、小球脫離時的速度）小球脫離時的速度）由動能定理：由動能定理：對系統(tǒng)，對系統(tǒng)，內(nèi)力所做的功內(nèi)力所做的功對對m，內(nèi)力所做的功，內(nèi)力所做的功mgRmvWmvWGN2221212-4-3 一對力的功一對力的功 系統(tǒng)內(nèi)力總是成對出現(xiàn)系統(tǒng)內(nèi)力總是成對出現(xiàn)212122)(rdfrrdf 一對力所做功之和，等一對力所做功之和，等于其中一個物體所受的于其中一個物體所受的力力沿著兩個物體相對移沿著兩個物體相對移動的路徑所做的功，而動的路徑所做的功，而和確定兩質(zhì)點(diǎn)的位置時和確定兩質(zhì)點(diǎn)的位置時所選的參考系無關(guān)。所選的參考系無關(guān)。OA1A21r2r21r1f2f1rd2rd上一例，內(nèi)力與相對位移上一例，內(nèi)力與相對位移總

10、垂直，故內(nèi)力所做的功總垂直，故內(nèi)力所做的功總和為零?？偤蜑榱?。2211rdfrdfdWRMmN計(jì)算一對力的功的方法：計(jì)算一對力的功的方法： 以一個質(zhì)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)定坐標(biāo)系，計(jì)算以一個質(zhì)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)定坐標(biāo)系，計(jì)算出另一質(zhì)點(diǎn)相對于該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時所受的力做的出另一質(zhì)點(diǎn)相對于該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時所受的力做的功。功。例例1：物體下落：物體下落h高度，它受的重力和地球受它的引高度，它受的重力和地球受它的引力力 這一對力做的功之和等于這一對力做的功之和等于mgh.例例2：物體沿斜面下滑，它和斜面間相互作用的一對：物體沿斜面下滑，它和斜面間相互作用的一對 壓力所做功之和總等于零。壓力所做功之和總等于零。例例3：一個物

11、體在另一個物體表面滑動時，它們之間：一個物體在另一個物體表面滑動時，它們之間 相互作用的一對相互作用的一對摩擦力摩擦力所做功之和就等于其中所做功之和就等于其中 一個力和兩物體相對位移的乘積而總為負(fù)值。一個力和兩物體相對位移的乘積而總為負(fù)值。例題例題1、如圖，在光滑的水平面上，有一質(zhì)量為、如圖，在光滑的水平面上，有一質(zhì)量為mB的靜止物體的靜止物體B，在，在B上又有一質(zhì)量為上又有一質(zhì)量為mA的物體的物體A。今有一小球從左邊射到。今有一小球從左邊射到A上并被彈上并被彈回，于是回，于是A以初速度以初速度VA（相對水平面）開始向右運(yùn)動。（相對水平面）開始向右運(yùn)動。A、B間的摩擦系數(shù)為間的摩擦系數(shù)為 ,A

12、慢慢帶動慢慢帶動B運(yùn)動，最后運(yùn)動，最后A和和B以相同的速度一起運(yùn)動，問以相同的速度一起運(yùn)動，問A從開始運(yùn)動從開始運(yùn)動到相對于到相對于B靜止，在靜止，在B上移動了多少距離？上移動了多少距離？AVABAVABBf解：選解：選mA和和mB為系統(tǒng)，利用系統(tǒng)的動能定理為系統(tǒng)，利用系統(tǒng)的動能定理AfAfWBfW 2)(2共共VmmBA 22AAVm AfWxfWAfBAABAVmVmm 共共)()(22BAABmmgVmx 例題例題2.如圖，在光滑的水平地面上放著一輛小車，小如圖，在光滑的水平地面上放著一輛小車，小車左車左端放著一只箱子，今用同樣的水平恒力端放著一只箱子，今用同樣的水平恒力F拉箱子，拉箱子

13、，使它由小車的左端達(dá)到右端，一次小車固定，另一次使它由小車的左端達(dá)到右端，一次小車固定，另一次小車沒有固定，試以水平地面為參照系，則下面的說小車沒有固定，試以水平地面為參照系，則下面的說法中正確的是：法中正確的是：（1）兩次）兩次F做的功相同；做的功相同；（2）兩次摩擦力對木箱做的功相同；）兩次摩擦力對木箱做的功相同；（3）兩次箱子獲得的動能相同；）兩次箱子獲得的動能相同；（4）兩次由于摩擦而產(chǎn)生的熱量相同。）兩次由于摩擦而產(chǎn)生的熱量相同。LF444LFfLAFLAf ,11)(),(22xLfAxLFAf f2213mvfLFL 221)()(vmxLfxLF 221)(vmxfLfxLF

14、222121vmMvM 熱熱量量FfxLM例例3.在在光滑的光滑的水平桌面上，水平桌面上，平放有如圖所示的平放有如圖所示的固定固定半圓半圓屏障，質(zhì)量為屏障，質(zhì)量為m的滑塊以初速度的滑塊以初速度V0沿切線方向進(jìn)入屏沿切線方向進(jìn)入屏障，滑塊與屏之間的摩擦系數(shù)為障，滑塊與屏之間的摩擦系數(shù)為 ，試，試證明當(dāng)滑塊從證明當(dāng)滑塊從另一端滑出時，摩擦力作的功為另一端滑出時，摩擦力作的功為) 1(21220 emvW解解)1(2RvmN dtdvmNfdtdsdsdvm 由式（由式（1）代入上式得：）代入上式得：vdsdvmRvm 20Nf0vvS俯視圖俯視圖vdsdvm Nf0vvSvdsdvmRvm 2ds

15、Rvdv evv0 2022121mvmvW俯視圖俯視圖 RVVdsRvdv 00) 1(21220 emv（1）重力的功）重力的功bzazxyzOabrgm),(aaazyxa初始位置初始位置),(bbbzyxb末了位置末了位置baabrFWdkzj yi xkmgbadddbabazzmgzmgd 重力做功僅取決于質(zhì)點(diǎn)的始、末位置重力做功僅取決于質(zhì)點(diǎn)的始、末位置z za a和和z zb b，與質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的具體路徑無關(guān)。與質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的具體路徑無關(guān)。 （2） 萬有引力作功萬有引力作功兩個質(zhì)點(diǎn)之間在萬有引力兩個質(zhì)點(diǎn)之間在萬有引力作用下相對運(yùn)動時作用下相對運(yùn)動時 ，以，以M所在處為原點(diǎn)所在處為原點(diǎn),

16、, m在在M的萬有引力的作用下從的萬有引力的作用下從a 點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)運(yùn)動到b b點(diǎn)。點(diǎn)。rerMmGF20barrrrerMmGWd20rrrerdcosddarrdrrda acrdMabarbrbarrrrMmGrrMmGWba11d020 萬有引力作功只與質(zhì)點(diǎn)的始、末位置有關(guān)，而萬有引力作功只與質(zhì)點(diǎn)的始、末位置有關(guān)，而與具體路徑無關(guān)。與具體路徑無關(guān)。 （3）彈性力的功）彈性力的功x2box1mxamFx由胡克定律：由胡克定律：ikxF2121dddxxxxxkxi xikxxFW22212121kxkxW 彈性力作功只與彈簧的起始和終了位置有關(guān)，彈性力作功只與彈簧的起始和終了位置有關(guān)，而與

17、彈性變形的過程無關(guān)。而與彈性變形的過程無關(guān)。作功與路徑無關(guān)，只與始末位置有關(guān)的力。作功與路徑無關(guān)，只與始末位置有關(guān)的力。保守力沿任何閉合路徑作功等于零。保守力沿任何閉合路徑作功等于零。0drF設(shè)保守力沿閉合路徑設(shè)保守力沿閉合路徑acbda作功作功abcd按保守力的特點(diǎn)：按保守力的特點(diǎn)：因?yàn)椋阂驗(yàn)椋核裕核裕篴dbacbWWbdaacbWW0acbacbbdaacbWWWWWabbapbpaWrFEEdppapbabEEEW)(質(zhì)點(diǎn)在保守力場中運(yùn)動時，保守力對質(zhì)點(diǎn)所作的功既質(zhì)點(diǎn)在保守力場中運(yùn)動時，保守力對質(zhì)點(diǎn)所作的功既然與中間途徑無關(guān)，一般地說，必可表為質(zhì)點(diǎn)狀態(tài)的然與中間途徑無關(guān)，一般地說，必

18、可表為質(zhì)點(diǎn)狀態(tài)的某個函數(shù)某個函數(shù)EP所減少的值，該狀態(tài)函數(shù)所減少的值，該狀態(tài)函數(shù)EP就稱為質(zhì)點(diǎn)在就稱為質(zhì)點(diǎn)在該勢力場中的勢能或該系統(tǒng)的勢能。簡言之，該勢力場中的勢能或該系統(tǒng)的勢能。簡言之，勢能勢能就就是由物體的相對位置所確定的系統(tǒng)能量。是由物體的相對位置所確定的系統(tǒng)能量。物體在保守力場中由物體在保守力場中由a點(diǎn)移動到點(diǎn)移動到b點(diǎn)過程中：點(diǎn)過程中：以勢能的減少來表達(dá)以勢能的減少來表達(dá)保守保守力作的功，簡化力作的功，簡化保守保守力功的計(jì)算。力功的計(jì)算。勢能的確切定義僅指勢能的勢能的確切定義僅指勢能的差差，沒有絕對勢能。，沒有絕對勢能。（在保守場中勢能普遍加或減同一（在保守場中勢能普遍加或減同一任意

19、常數(shù)任意常數(shù)，勢，勢能的差保持不變）能的差保持不變）4為使勢能取確定值為使勢能取確定值, ,只需將質(zhì)點(diǎn)在某個指定位只需將質(zhì)點(diǎn)在某個指定位置置r r0 0處的勢能規(guī)定為處的勢能規(guī)定為0 0. .則空間任意一點(diǎn)則空間任意一點(diǎn)r的勢能為：的勢能為：orrprFrEd)(空間某點(diǎn)的勢能空間某點(diǎn)的勢能Ep在數(shù)值上等于質(zhì)點(diǎn)從該點(diǎn)移在數(shù)值上等于質(zhì)點(diǎn)從該點(diǎn)移動到勢能零點(diǎn)時保守力做的功。動到勢能零點(diǎn)時保守力做的功。mghEp（地面為勢能零點(diǎn)）（地面為勢能零點(diǎn)）221kxEp（彈簧自由端為勢能零點(diǎn)）（彈簧自由端為勢能零點(diǎn)）rMmGEp0（無限遠(yuǎn)處為勢能零點(diǎn)）（無限遠(yuǎn)處為勢能零點(diǎn)）(1) (1) 質(zhì)點(diǎn)高度變化不大：

20、質(zhì)點(diǎn)高度變化不大：(2) (2) 質(zhì)點(diǎn)高度變化很大：質(zhì)點(diǎn)高度變化很大： （無限遠(yuǎn)處為勢能零點(diǎn)）（無限遠(yuǎn)處為勢能零點(diǎn)）rmgRrGMmEp/2保守力與勢能的積分關(guān)系：pEW保守力與勢能的微分關(guān)系：pEWddzFyFxFrFWzyxdddddzzEyyExxEEzyppdddd所以：所以：xEFpxyEFpyzEFpzkzEjyEixEFppp保守力的矢量式： 保守力沿各坐標(biāo)方向的分量，在數(shù)值上等于系保守力沿各坐標(biāo)方向的分量，在數(shù)值上等于系統(tǒng)的勢能沿相應(yīng)方向的空間變化率的負(fù)值，其方向統(tǒng)的勢能沿相應(yīng)方向的空間變化率的負(fù)值，其方向指向勢能降低的方向。指向勢能降低的方向。 結(jié)論：12ppEEW保內(nèi)12k

21、kEE外內(nèi)WW質(zhì)點(diǎn)系的動能定理：質(zhì)點(diǎn)系的動能定理：非保內(nèi)保內(nèi)內(nèi)WWW其中其中12kkEEWWW非保內(nèi)保內(nèi)外 1p1k2p2kEEEEWW非保內(nèi)外pkEEE機(jī)械能12EEWW非保內(nèi)外 質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能的增量等于所有外力和所有非保質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能的增量等于所有外力和所有非保守內(nèi)力所作功的代數(shù)和。守內(nèi)力所作功的代數(shù)和。 質(zhì)點(diǎn)系的功能原理0外W如果如果0非保內(nèi)W，pkEEE恒量 當(dāng)系統(tǒng)只受保守內(nèi)力作功時，質(zhì)點(diǎn)系的總機(jī)當(dāng)系統(tǒng)只受保守內(nèi)力作功時，質(zhì)點(diǎn)系的總機(jī)械能保持不變。械能保持不變。機(jī)械能守恒定律 注意：（1 1）機(jī)械能守恒定律只適用于慣性系，不適合于）機(jī)械能守恒定律只適用于慣性系，不適合于非慣性系。這是因?yàn)閼T

22、性力可能作功。非慣性系。這是因?yàn)閼T性力可能作功。（2 2）在某一慣性系中機(jī)械能守恒，但在另一慣性）在某一慣性系中機(jī)械能守恒，但在另一慣性系中機(jī)械能不一定守恒。這是因?yàn)橥饬Φ墓εc參系中機(jī)械能不一定守恒。這是因?yàn)橥饬Φ墓εc參考系的選擇有關(guān)。對一個參考系外力功為零，但考系的選擇有關(guān)。對一個參考系外力功為零，但在另一參考系中外力功也許不為零。在另一參考系中外力功也許不為零。 例例1 設(shè)地球半徑為設(shè)地球半徑為R 。一質(zhì)量為。一質(zhì)量為m的物體，從靜的物體，從靜止開始在距地面止開始在距地面 R 處自由下落。處自由下落。 求：它到達(dá)地球表面時的速度。求：它到達(dá)地球表面時的速度。解：解： =EpBEpA=GMm

23、R2GMmR由機(jī)械能守恒定律：由機(jī)械能守恒定律：GMm2=+R0GM=vRGMmR221+mvMRRmAB地球地球例例3：鏈條總長為：鏈條總長為L，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，初始時刻如圖懸掛，鏈條，初始時刻如圖懸掛，鏈條與桌面間的摩擦系數(shù)為與桌面間的摩擦系數(shù)為 ，鏈條由靜止開始運(yùn)動，求：，鏈條由靜止開始運(yùn)動，求：（1）鏈條離開桌邊時，摩擦力作的功？）鏈條離開桌邊時，摩擦力作的功？（2）這時候鏈條的速度？）這時候鏈條的速度？解：解：把鏈條分把鏈條分割成無限多的質(zhì)元，割成無限多的質(zhì)元，則當(dāng)則當(dāng)dm在桌面上移動的長度在桌面上移動的長度為為x時，摩擦力作的功為時，摩擦力作的功為xdmgdAf （1）dxLxm

24、gdAf 20)(2aLLmgdxLxmgAaLf （2）由功能原理由功能原理)2()21(212aaLmgmgLmvAf)()(222aLaLLgv xdxLaaX取桌面為零勢能面取桌面為零勢能面例例4：質(zhì)量為：質(zhì)量為mkg,長長l=40cm的鏈條，放在光滑的的鏈條，放在光滑的水平桌面上，其一端系一細(xì)繩，通過滑輪，掛著質(zhì)量為水平桌面上，其一端系一細(xì)繩，通過滑輪，掛著質(zhì)量為m1=10kg的物體，如圖，開始時的物體，如圖，開始時l1=l2=20cml，速度，速度為零。設(shè)繩子不伸長，輪、繩的質(zhì)量和輪軸桌面的摩擦為零。設(shè)繩子不伸長，輪、繩的質(zhì)量和輪軸桌面的摩擦不計(jì)。求當(dāng)鏈條全部滑到桌面上時，系統(tǒng)的速

25、度和加速不計(jì)。求當(dāng)鏈條全部滑到桌面上時，系統(tǒng)的速度和加速度。度。m1g1l3l2lXoTTaax解：（一）先求加速度：選如圖坐標(biāo)系，設(shè)解：（一）先求加速度：選如圖坐標(biāo)系，設(shè)鏈條在桌邊掛的部分為鏈條在桌邊掛的部分為x,則：則：)1(11amTgm)2(malmgxT 解（）、（）得解（）、（）得)1(21lxga m1g1l3l2loTTaaxx（二）求速度（法（二）求速度（法1）：當(dāng)鏈條全部）：當(dāng)鏈條全部滑到桌面時滑到桌面時x=02/9.421smga又又dxdvvdtdxdxdvdtdvadxlxgadxvdv)1(21)1(2002vllxgvdv2243glvsmglv/21. 1432

26、m1g1l3l2loTTaaxx221212212121)()2(mvvmlhgmlmgllghm22121222121)2(mvvmglmlmgllmm 122ll smglv/21.1432（二）（法（二）（法2）選桌面為零勢能面，由于）選桌面為零勢能面，由于T作功為零，作功為零，m1,m,地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒。地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒。m1g1l3l2loTTaaxxh例例5：如圖當(dāng)?shù)模喝鐖D當(dāng)?shù)闹禐槎啻髸r，值為多大時，m2才能跳起？才能跳起？m2m1解：選解：選m1、m2地球、彈簧為系統(tǒng)，地球、彈簧為系統(tǒng)，則系統(tǒng)的機(jī)械能在態(tài)到態(tài)過程中則系統(tǒng)的機(jī)械能在態(tài)到態(tài)過程中守恒，選如圖水平線守恒

27、，選如圖水平線o1o2為零勢能面為零勢能面。mx0 x1x201o2（）m2（）m2m2210101)(21)(xxkxxgmEA 222121kxgxmEB 又2201,kxgmkxgmEEAB )(211mmkgx gmmkxF)(211 mx0 x1x201o2（）m2（）m2m2例例6：如圖，：如圖，m1和和m2之間只有萬有引力的作用，假設(shè)之間只有萬有引力的作用，假設(shè)現(xiàn)有一力作用在上，使以現(xiàn)有一力作用在上，使以向右勻速運(yùn)動，向右勻速運(yùn)動，試求；（）、試求；（）、m1、m2之間的最大距離之間的最大距離lmax;(2)、從地面觀察，當(dāng)從地面觀察，當(dāng)l=lmax時，外力做的功是多少？時，外力

28、做的功是多少？At=0m1ml0BFV0(靜止靜止）解解:(1)選選B為參照系，則為一慣性系，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒為參照系，則為一慣性系，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒max21021201)(21lmmGlmmGvm 02022max22lvlGmGml （）選地面為參照系，則當(dāng)（）選地面為參照系，則當(dāng)m1、m2以共同速度以共同速度運(yùn)動運(yùn)動時兩者之間距離最大，運(yùn)用功能原理，外力時兩者之間距離最大，運(yùn)用功能原理，外力做的功為：做的功為：)21()(2121021202max21202201lmmGvmlmmGvmvmAF201021max2120121vmlmmGlmmGvmAFm1ml0BFV0V0例例7.已

29、知半圓柱形光滑木凹槽，放在光滑桌面上，如圖，已知半圓柱形光滑木凹槽，放在光滑桌面上，如圖，求質(zhì)點(diǎn)由靜止下滑至最低點(diǎn)時給木塊的壓力求質(zhì)點(diǎn)由靜止下滑至最低點(diǎn)時給木塊的壓力.解：解： 設(shè)質(zhì)點(diǎn)下滑至最低點(diǎn)時的速度為設(shè)質(zhì)點(diǎn)下滑至最低點(diǎn)時的速度為Vm,凹槽的速度為凹槽的速度為VM0MmMVmV機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒222121MmMVmVmgR m相對相對M作圓周運(yùn)動，作圓周運(yùn)動，m在最低點(diǎn)時，木槽加速度為在最低點(diǎn)時，木槽加速度為0此時此時M為為慣性系慣性系，以，以M為參照系，利用牛頓定律為參照系，利用牛頓定律RVmmgNmM2 而而MmmMVVV mgMmN)32( 聯(lián)立求解各式可得聯(lián)立求解各式可得xmM

30、RNmg水平方向動量守恒水平方向動量守恒mvMv例例8.航天器繞地球表面運(yùn)動所需的速度稱為第一宇宙速航天器繞地球表面運(yùn)動所需的速度稱為第一宇宙速度度，脫離地球所需的最小速度稱為第二宇宙速度，脫離地球所需的最小速度稱為第二宇宙速度，脫離太陽系所需的速度稱為第三宇宙速度脫離太陽系所需的速度稱為第三宇宙速度，設(shè)地球，設(shè)地球的半徑為的半徑為，地球繞太陽公轉(zhuǎn)的速度，地球繞太陽公轉(zhuǎn)的速度為為，試求，試求、。m61037. 6skm/8 .29skm/8 .29vmr9010SES解：解：EEERvmRmMG212 （）（）02122 EERmMGmvskm /8 .29vmr9010SES(1)smgRv

31、E/109 . 731 smvgRvE/102 .1122312 （）、設(shè)脫離地球引力圈時，航天器的速度為（相（）、設(shè)脫離地球引力圈時，航天器的速度為（相對地面），此時不考慮太陽的引力，則：對地面），此時不考慮太陽的引力，則：2232121mvRmMGmvE )021(22 EERmMGmv22223vvv skm /8 .29vmr9010SES以太陽為參照系，設(shè)它相對太陽以速度以太陽為參照系，設(shè)它相對太陽以速度運(yùn)動時可脫離太陽系，運(yùn)動時可脫離太陽系，則則2v021022 rmMGvmS式中式中r0是地球到太陽的距離，為了充分利用地球公轉(zhuǎn)速度，使航天是地球到太陽的距離，為了充分利用地球公轉(zhuǎn)速

32、度，使航天器在脫離地球引力圈時，速度方向沿地球公轉(zhuǎn)方向，這樣航天器相器在脫離地球引力圈時，速度方向沿地球公轉(zhuǎn)方向，這樣航天器相對地球的速度應(yīng)為對地球的速度應(yīng)為42.1-29.8=12.3Km/sskmvvv/7 .162223smrGMvS/1 .428 .292202 skm /8 .29vmr9010SES例例9.一顆星體在引力作用下不斷坍縮，當(dāng)它的半徑一顆星體在引力作用下不斷坍縮，當(dāng)它的半徑R小于小于某一某一值值R0時，我們就再也看不到該時，我們就再也看不到該星體了，即星體上的星體了，即星體上的任何粒子（包括光子），均不逃離該星體，這樣一個以任何粒子（包括光子），均不逃離該星體，這樣一個

33、以R0為半徑的引力極大的球形區(qū)域就稱為黑洞。若用牛為半徑的引力極大的球形區(qū)域就稱為黑洞。若用牛頓引力頓引力理論估算理論估算R0值與該星體質(zhì)量值與該星體質(zhì)量M的關(guān)系，則的關(guān)系，則R0是多少？是多少？解：光子的動能解：光子的動能22002mccmmcEK 光子與星體構(gòu)成系統(tǒng)的能量：光子與星體構(gòu)成系統(tǒng)的能量：RMmGmcEEEPK2光子處于束縛態(tài)的條件為：光子處于束縛態(tài)的條件為：0E02RMmGmc20cGMR的作用，的作用，：一個質(zhì)量為：一個質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，僅受到的質(zhì)點(diǎn)，僅受到3rrkFr式中式中k為常數(shù)為常數(shù),為從一定點(diǎn)到質(zhì)點(diǎn)的矢徑，該質(zhì)點(diǎn)在為從一定點(diǎn)到質(zhì)點(diǎn)的矢徑，該質(zhì)點(diǎn)在r=r0處被釋放，由靜

34、止開始運(yùn)動，則當(dāng)它到達(dá)無窮遠(yuǎn)處時的速處被釋放，由靜止開始運(yùn)動，則當(dāng)它到達(dá)無窮遠(yuǎn)處時的速度為多少？度為多少？（答案答案：）02mrk、一彈簧原長為、一彈簧原長為l 0=0.1m，倔強(qiáng)系數(shù)為，倔強(qiáng)系數(shù)為Nm,其一端固定，其一端固定，另一端與在半徑為另一端與在半徑為.1m的圓環(huán)上的小環(huán)相連，在小環(huán)由中點(diǎn)的圓環(huán)上的小環(huán)相連，在小環(huán)由中點(diǎn)移到另一端的過程中，彈簧的拉力對小環(huán)作的功為多少？移到另一端的過程中，彈簧的拉力對小環(huán)作的功為多少？BAC（答案（答案:.）練習(xí)練習(xí)3、一固定質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為、一固定質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為，與質(zhì)量為，與質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)之間存在萬的質(zhì)點(diǎn)之間存在萬有引力，現(xiàn)有質(zhì)量為有引力，現(xiàn)有質(zhì)量為m的質(zhì)

35、點(diǎn)由的質(zhì)點(diǎn)由a點(diǎn)沿任意曲線移到點(diǎn)沿任意曲線移到b點(diǎn)。點(diǎn)。試證明，萬有引力對該質(zhì)點(diǎn)所做的功與路徑無關(guān)。試證明，萬有引力對該質(zhì)點(diǎn)所做的功與路徑無關(guān)。abmbrar4、試根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動量定理推導(dǎo)由兩個質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系的動量、試根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動量定理推導(dǎo)由兩個質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系的動量定理，并定理，并導(dǎo)出動量導(dǎo)出動量守恒的條件。守恒的條件。5在光滑水平面上，有一彈簧，其一端固定于光滑的軸承上，在光滑水平面上，有一彈簧，其一端固定于光滑的軸承上，另一端拴一質(zhì)量為另一端拴一質(zhì)量為m=2kg的質(zhì)點(diǎn)，彈簧的質(zhì)量很小，原長很的質(zhì)點(diǎn)，彈簧的質(zhì)量很小，原長很短，因此可以短，因此可以忽略不計(jì)。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)沿半徑為忽略不計(jì)。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)沿半徑為

36、r的圓周作勻速運(yùn)的圓周作勻速運(yùn)動時，彈簧作用于質(zhì)點(diǎn)上的彈性力的大小為動時，彈簧作用于質(zhì)點(diǎn)上的彈性力的大小為3r（N），此時系），此時系統(tǒng)的總能量為統(tǒng)的總能量為12J.求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動速率及圓軌道半徑。求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動速率及圓軌道半徑。r水平面水平面答案：答案：r=2m,v=2.45m/skrrvm 2rkr3 12212122 krmv62 v2 r6、質(zhì)量為、質(zhì)量為m=0.5kg的質(zhì)點(diǎn)，在的質(zhì)點(diǎn)，在xoy坐標(biāo)平面內(nèi)運(yùn)動，運(yùn)動方程為坐標(biāo)平面內(nèi)運(yùn)動，運(yùn)動方程為,42,5 . 0,52sttytx 這段時間內(nèi)，外力對質(zhì)點(diǎn)做的功為多少？這段時間內(nèi)，外力對質(zhì)點(diǎn)做的功為多少？（答案：（答案：3J）7、如圖，在光

37、滑的水平面上，放有一傾角為、如圖，在光滑的水平面上，放有一傾角為 的木塊，在楔的木塊，在楔塊上放有一質(zhì)量為塊上放有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，開始時，的質(zhì)點(diǎn)，開始時，m、M均靜止，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)均靜止，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)沿斜面運(yùn)動時，在豎沿斜面運(yùn)動時，在豎直方向下降直方向下降h時，試證明該木塊對地的速時，試證明該木塊對地的速度為：度為：)sin)(cos2222 mMMmghmVM 提示提示:VmM為為相對斜面的速相對斜面的速度度。利用系統(tǒng)水平方向動量利用系統(tǒng)水平方向動量守恒和系統(tǒng)的機(jī)械能守恒求守恒和系統(tǒng)的機(jī)械能守恒求解解mMMmVVV mMxMmxVVV hM mVmMVM x0MmxMVmV 2222221212121mymxMmMVVMMVmVMVmgh 8.一輛一輛質(zhì)量為質(zhì)量為m4kg的雪橇的雪橇,，沿與水平面成，沿與水平面成36.9度的斜坡向下滑動，度的斜坡向下滑動，所受空氣阻力與速度所受空氣阻力與速度大小成正比，比例系數(shù)大小成正比，比例系數(shù)K末知，現(xiàn)測得雪橇運(yùn)末知，現(xiàn)測得雪橇運(yùn)動的動的Vt關(guān)系曲線如關(guān)系曲線如示，示，t=0時，時，V0=5m/s,且曲線在該點(diǎn)切線通過的且曲線在該點(diǎn)切線通過的坐標(biāo)為（坐標(biāo)為（4s,14.8m/s)的的B點(diǎn)，隨著點(diǎn)，隨著t的增加，的增加，V趨于趨于10m/s,求阻力系數(shù)求阻力系數(shù)K和雪橇與斜坡之間的摩擦系數(shù)和雪橇與斜坡之間的摩擦系數(shù) .tV(m/s)