二重積分的計算 (3)

1、 關(guān)于二重積分的計算 (3)現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第1頁，共32頁 一、在直角坐標(biāo)系下計算二重積分一、在直角坐標(biāo)系下計算二重積分bxaxyxD)()(:21則稱則稱D為為 X 型區(qū)域型區(qū)域. )(1xy)(2xyxboyDax1 1先對先對 , ,后對后對 的二次積分的二次積分yx若積分區(qū)域若積分區(qū)域 可以表示為可以表示為D 當(dāng)當(dāng) 時時, ,則則 的值是以的值是以 為底為底, , 以以 為曲頂?shù)那斨w體積為曲頂?shù)那斨w體積0),(yxfDdyxf),(D),( yxfz現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第2頁，共32頁 xbad 任取任取, ,0bax 平面平面0 xx 故曲頂柱體體積為故曲頂柱體體積為DyxfVd),(

2、yyxfxAxxd),()()()(000201截面積為截面積為yyxfxxd),()()(21baxxAd )(截柱體的截柱體的)(2xy)(1xyzxyoab0 xD由第五章中由第五章中“平行截面面積為已知平行截面面積為已知的立體體積的立體體積”的分析過程的分析過程:現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第3頁，共32頁 我們常將上式寫成我們常將上式寫成2.2.先對先對 , ,后對后對 的二次積分的二次積分 Ddyxf),()()(21),(xxbadyyxfdxxy若積分區(qū)域若積分區(qū)域 可以表示為可以表示為DdycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdoc則稱則稱 D 為為 Y 型區(qū)域型區(qū)域. 則其體積

3、可按如下兩次積分計算則其體積可按如下兩次積分計算 dcyyDdxdyyxfdyxf)()(21),(),()()(21),(yydcdxyxfdy現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第4頁，共32頁 oxy說明說明: : (1) (1) 若積分區(qū)域既是若積分區(qū)域既是X X 型區(qū)域又是型區(qū)域又是Y Y 型區(qū)域型區(qū)域 , , Dyxyxfdd),(為計算方便為計算方便,可可選擇積分序選擇積分序, 必要時還可以必要時還可以交換積分序交換積分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc則有則有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若積分域較復(fù)雜若積分域較復(fù)

4、雜,可將它分成若干可將它分成若干1D2D3DX-型域或型域或Y-型域型域 , 321DDDD則則 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第5頁，共32頁 例例1.1. 計算計算,ddsinDyxxx其中其中D 是直線是直線 ,0,yxy所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域.oxyDxxy 解解: 由被積函數(shù)可知由被積函數(shù)可知,因此取因此取D 為為X 型域型域 :xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先對先對 x 積分不行積分不行, 說明說明: 有些二次積分為了積分方便有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序還需交換積分順序.現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第6頁，共32頁 例例2.2. 計算計算

5、 其中其中 ( (如圖如圖) )是拋物線是拋物線 及直線及直線 所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域,DxydD2xyxyx11xy 2xy yoD解法解法1 1：若將：若將 看成是看成是 型區(qū)域型區(qū)域, , 可表示為可表示為 . .則則DXDxyxx2, 10Dxydxxxydyx210d10221d2xyxxx1053d)(21xxx01642164xx241現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第7頁，共32頁 解法解法2:2:若將若將 D D 看成是看成是 型區(qū)域型區(qū)域 D D , ,可表示為得可表示為得Yyxyy, 10Dxydyyxydxy10d10221dyxyyy102d)(21yyyy01432143yy24

6、1現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第8頁，共32頁 例例yyxxdsind1012 siny2 對對y的積分的積分而它對而它對x的積分的積分交換積分次序交換積分次序的方法是的方法是:改寫改寫D為為:oxy 分析分析所以將所以將二次積分二次積分先先將所給的積分域?qū)⑺o的積分域(1)(2)畫出積分域的草圖畫出積分域的草圖(3)計算二次積分計算二次積分不能用基本積分法算出不能用基本積分法算出,xy )1 , 1(可用基本積分法算出可用基本積分法算出.交換積分次序交換積分次序. .用聯(lián)立不等式表示用聯(lián)立不等式表示 D:, 10 x1 yx, 10 yyx 0二重積分的計算法二重積分的計算法現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第9頁，共32頁 y

7、yxxdsind1012 yxyyd)(sin0102 yyydsin102 2102dsin21yy )1cos1(21 xyydsin02 10dyoxyxy )1 , 1(, 10: yDyx 0二重積分的計算法二重積分的計算法現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第10頁，共32頁 例例3.3.化化 為二次積分為二次積分, ,其中其中 為為 、 軸和軸和Ddyxf),(D32xy x1) 1()2(22yx2xyDx32xy1) 1() 2(22yx2xo解：所圍區(qū)域解：所圍區(qū)域 為為 型區(qū)域型區(qū)域, , DY所以所以:D, 10y22322yyxyDdyxf),(10d y22322),(yyydxyxf所圍

8、圖形所圍圖形現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第11頁，共32頁 例例4 4 交換下列積分順序交換下列積分順序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解：如圖解：如圖, , 積分域由兩部分組成積分域由兩部分組成: :,020:2211xyxD2280222:xyxD822 yx2D2221D221xy 2將將 視為視為Y Y型區(qū)域型區(qū)域, ,則則:D21DDD, 20 y282yxyDyxyxfIdd),(20dy282d),(yyxyxf現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第12頁，共32頁 例例axy2 22xaxy 22yaax 解解原式原式= xyxfd),(交換積分次序：交換積分次序： axxaxay

9、yxfx22202d),(d)0( a yday22xyxfd),( 22yaa 0aa222yaa yd0a xyxfd),( yda2ay22a2a二重積分的計算法二重積分的計算法xyOaa2aa2ayx22 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第13頁，共32頁 交換積分次序的步驟交換積分次序的步驟 (1) 將已給的二次積分的積分限得出相應(yīng)的將已給的二次積分的積分限得出相應(yīng)的二重積分的積分區(qū)域二重積分的積分區(qū)域,(2) 按相反順序?qū)懗鱿鄳?yīng)的二次積分按相反順序?qū)懗鱿鄳?yīng)的二次積分.并畫出草圖并畫出草圖;二重積分的計算法二重積分的計算法現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第14頁，共32頁 1990 年研究生考題年研究生考題, 填空填空,

10、3分分)(dd2202 yexxy)1(214 exy xoy22解解yexxydd2202 xeyyydd0202 yyeyd202 )(d212202yey )1(214 e二重積分的計算法二重積分的計算法交換積分次序交換積分次序 200d2yxeyy現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第15頁，共32頁 例例5.5.求兩底半徑為求兩底半徑為R R的直交圓柱所圍成的立體體積的直交圓柱所圍成的立體體積解：設(shè)兩柱面方程分別為解：設(shè)兩柱面方程分別為 222222RzxRyx， 由對稱性由對稱性, , 所求立體體積為其在第所求立體體積為其在第 一卦限部分體積的一卦限部分體積的8 8倍第一倍第一卦卦限部限部 分分( (如圖

11、如圖) )的底面區(qū)域為：的底面區(qū)域為： 220 ,0:xRyRxD曲頂為：曲頂為： 22 xRzzaaaoyx所以所以dxdyxRVD228dyxRdxxRR22022083330222316)31( 8)(8RRRdxxRR現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第16頁，共32頁 二重積分的計算法二重積分的計算法2002 年研究生考題年研究生考題, 7分分計算二重積分計算二重積分,dd,max22 Dyxyxe其中其中.10 , 10),( yxyxDxyO 解解 112D1D設(shè)設(shè), 10),( 1 xyxDxy 0, 10),( 2 xyxD1 yx Dyxyxedd,max22 122dd,maxDyxyxe 2

12、22dd,maxDyxyxe 12ddDxyxe 22ddDyyxe xxyex010dd2 yyxey010dd2. 1 e xxyex010)dd2(2或或現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第17頁，共32頁 解解 121d)(xeexxee2183 xeyxeyIyyxyyxydddd121212141 計算積分計算積分xexyd 不能用初等函數(shù)表示不能用初等函數(shù)表示,先交換積分次序先交換積分次序.yexyd x2x xd I211二重積分的計算法二重積分的計算法112141xy 2xy 21Oxy現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第18頁，共32頁 簡便簡便為此只要我們找到極坐標(biāo)系下二重積分與直角為此只要我們找到極坐標(biāo)系下二重積

13、分與直角坐標(biāo)系下二重積分的關(guān)系坐標(biāo)系下二重積分的關(guān)系, , 就可以在極坐標(biāo)系下討論就可以在極坐標(biāo)系下討論二重積分二重積分 的計算。的計算。Ddyxf),( 若積分區(qū)域若積分區(qū)域 是與圓域有關(guān)的區(qū)域或者被積函數(shù)為是與圓域有關(guān)的區(qū)域或者被積函數(shù)為 D )(22、yxf )(、xyf)(xyf 等形式等形式, ,用極坐標(biāo)計算二重積分更用極坐標(biāo)計算二重積分更 首先找兩坐標(biāo)系下面積元素的關(guān)系。如圖首先找兩坐標(biāo)系下面積元素的關(guān)系。如圖, ,極坐標(biāo)極坐標(biāo)系下系下, , 設(shè)積分區(qū)域被網(wǎng)格（由一族同心圓設(shè)積分區(qū)域被網(wǎng)格（由一族同心圓( ( 常值常值) )與與一族過極點的射線一族過極點的射線( ( 常值常值) )

14、組成組成 ）分割成若干個小區(qū)）分割成若干個小區(qū)r二、在極坐標(biāo)系下計算二重積分二、在極坐標(biāo)系下計算二重積分現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第19頁，共32頁 iir域域, , 任取一個任取一個（其中（其中 介于介于 ， 之間，之間， 介于介于 riirri， 之間之間)，則，則iiiiiiiirrr2221)(21iiiirrr)2(21iiiiirrrr2)(iiirrAoiirr iirrriiiD其中其中 為為 與與 的平均值。由此當(dāng)?shù)钠骄?。由此?dāng) 充分小時充分小時，極坐標(biāo)系下的面積元素，極坐標(biāo)系下的面積元素 .iririirriir,rdrdd現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第20頁，共32頁 其次其次, , 直角坐標(biāo)系與極

15、坐標(biāo)系有如下變換關(guān)系直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系有如下變換關(guān)系sincosryrx最后最后, , 兩坐標(biāo)系下積分區(qū)域兩坐標(biāo)系下積分區(qū)域 形狀不變，因此有形狀不變，因此有D.)sin,cos(),(DDrdrdrrfdyxf以下我們討論極坐標(biāo)下的二重積分的計算以下我們討論極坐標(biāo)下的二重積分的計算DAo)(1r)(2rADo)(1r)(2rADo)(2r0)(1r現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第21頁，共32頁 Do)(1r)(2r)(1ro)(2r)()(21d)sin,cos(rrrrf設(shè)設(shè),)()(:21rD則則Drrrrfdd)sin,cos(d特別特別, 對對20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(

16、0d)sin,cos(rrrrf20d)(roD現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第22頁，共32頁 Ddxdyyxf),(,11 :2xyxD10 x例例6 6. .寫出寫出極坐標(biāo)系下的二次積分極坐標(biāo)系下的二次積分, ,其中其中 . .解：由極坐標(biāo)系下圓解：由極坐標(biāo)系下圓 的方程的方程122 yx1r1 yxcossin1r則則 可表示為：可表示為：D ,201cossin1r為為 ,直線直線 方程為方程為 .則則Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1rdrrrfd xoy1D1122yx1 yx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第23頁，共32頁 例例7.7.將將 化成二次積分，其中化成二次積分，其中 . .

17、 .D ),(dxdyyxfxyxD2 :22yxoD2解：解：D 與圓域有關(guān)與圓域有關(guān), , 考慮用極坐標(biāo)展開考慮用極坐標(biāo)展開 D,22cos20 r在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下 ：. 所以所以cos2022D.)sin,cos(),(rdrrrfddxdyyxfD特別地特別地, , 積分區(qū)域積分區(qū)域 , ,如圖如圖, ,則表為則表為)(0 ,20rDoA)(r于是于是Drdrdrrf)sin,cos()(020)sin,cos(rdrrrfd現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第24頁，共32頁 例例8.計算計算 ，其中，其中 是由圓心在原點，半徑是由圓心在原點，半徑dxdyeDyx22Da為為 的圓周所圍成的閉區(qū)域

18、的圓周所圍成的閉區(qū)域. .解：極坐標(biāo)系下解：極坐標(biāo)系下 ： ,故有故有 Dar 0 ,20dxdyeDyx22arrdred0202).1 (2aeoyx321D2D 此題若用直角坐標(biāo)來計算此題若用直角坐標(biāo)來計算, , 由于積分原函數(shù)不易由于積分原函數(shù)不易 表示而無法求出表示而無法求出, , 可見極坐標(biāo)在某些情況下確實能可見極坐標(biāo)在某些情況下確實能 化簡運算?；嗊\算。例例9. .計算計算 .D:D , 3dxdyxyI122yx 解：如圖解：如圖,直線直線 把圓分成把圓分成 ，03 xy1D2D, 10 323 :1rD，10 3532 :2rD，現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第25頁，共32頁 則則2133

19、DDdxdyxydxdyxyI1023532102323 cos3sincos3sindrrddrrd.38cossin3cossin3313235332現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第26頁，共32頁 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)(1) 二重積分化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情形直角坐標(biāo)系情形 : 若積分區(qū)域為)()(,),(21xyyxybxayxD則)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若積分區(qū)域為)()(,),(21yxxyxdycyxD則xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaD現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第27頁，共32頁 )()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(則)()(21d)sin,cos(drrrrf(2) 一般換元公式),(),(vuyyvuxxDyx),(,),(Dvu0),(),(vuyxJ且則DD