二重積分的概念與性質(zhì)

1、上一頁(yè)上一頁(yè)目錄目錄下一頁(yè)下一頁(yè)退退 出出第第8章二章二 重重 積積 分分8.1二重積分的概念與性質(zhì)8.2直角坐標(biāo)系中二重積分的計(jì)算8.3極坐標(biāo)系中二重積分的計(jì)算 8.4無(wú)界區(qū)域上簡(jiǎn)單反常二重積分的計(jì)算 上一頁(yè)上一頁(yè)目錄目錄下一頁(yè)下一頁(yè)退退 出出8.1二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì) 一一.二重積分的概念二重積分的概念 1. 引例：求曲頂柱體的體積引例：求曲頂柱體的體積設(shè)有一立體，它的底是xOy平面上的有界閉區(qū)域D，它的側(cè)面是以D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面，它的頂是曲面z=f(x,y),這里假設(shè)f(x,y)，且f(x,y)在D上連續(xù)，如下圖所示.現(xiàn)在我們來(lái)討論:如何求這個(gè)曲

2、頂柱體的體積? 上一頁(yè)上一頁(yè)目錄目錄下一頁(yè)下一頁(yè)退退 出出我們知道平頂柱體的高是不變的，它的體積可用公式 體積=底面積高 上一頁(yè)上一頁(yè)目錄目錄下一頁(yè)下一頁(yè)退退 出出 先將區(qū)域D分割成n個(gè)小區(qū)域： 同時(shí)也用 (i=1,2,，n）表示第i個(gè)小區(qū)域的面積以每個(gè)小區(qū)域的邊界線為準(zhǔn)線，作母線平行于z軸的柱面，這樣就把給定的曲頂柱體分割成了n個(gè)小曲頂柱體用 表示第i個(gè)小區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)之間的距離的最大值(也稱為第i個(gè)小區(qū)域的直徑)(i=1,2,，n),并記12,niid12max ,nd dd當(dāng)分割很細(xì)密，即時(shí)，由于z=f(x,y)是連續(xù)變化的，在每個(gè)小區(qū)域 上，各點(diǎn)高度變化不大，可以近似看作平頂柱體并在

3、中任意取一點(diǎn) ，把這點(diǎn)的高度 作為這個(gè)小平頂柱體的高度，ii( ,)ii ( ,)iif 上一頁(yè)上一頁(yè)目錄目錄下一頁(yè)下一頁(yè)退退 出出則第i個(gè)小曲頂柱體的體積的近似值為.iiiiVf（ ， ）將n個(gè)小平頂柱體的體積相加，得曲頂柱體體積的近似值11( , )nnniiiiiiVV Vf 當(dāng)分割越來(lái)越細(xì)，小區(qū)域 的直徑越來(lái)越小，并逐漸收縮成接近一點(diǎn)時(shí)，Vn就越來(lái)越接近V若令，對(duì)Vn取極限，該極限值就是曲頂柱體的體積V，即 i001l i ml i m( , )nniiiiVVf 上一頁(yè)上一頁(yè)目錄目錄下一頁(yè)下一頁(yè)退退 出出2. 二重積分的定義二重積分的定義 定義定義設(shè)二元函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D

4、上有界，將D任意劃分成n個(gè)小區(qū)域 并以 和 分別表示第i個(gè)小區(qū)域的面積和直徑，記在每個(gè)小區(qū)域 上任取一點(diǎn) （i=1,2,，n），作乘積 (i=1,2,，n)，并作和如果極限 12,niid12max ,nd ddi( ,)iix y( ,)iiif x y01l i m( , )niiiif x y 存在，則稱此極限為函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上的二重積分，記作 ,即( , )diDf x y上一頁(yè)上一頁(yè)目錄目錄下一頁(yè)下一頁(yè)退退 出出01( , )dl i m( , )niiiiDf x yf x y 其中f(x,y)叫做被積函數(shù)被積函數(shù)，x,y稱為積分變量積分變量，f(x,y)d稱為被積表達(dá)

5、式被積表達(dá)式，d稱為面積元素面積元素，D稱為積分區(qū)積分區(qū)域域而 稱為積分和積分和1( , )niiiif x y 注注：(1) 這里積分和的極限存在與區(qū)域D分成小區(qū)域 的分法和點(diǎn) 的取法無(wú)關(guān)當(dāng)f(x,y)在區(qū)域D上可積時(shí)，常采用特殊的分割方式和取特殊的點(diǎn)來(lái)計(jì)算二重積分在直角坐標(biāo)系中，常用分別平行于x軸和y軸的兩組直線來(lái)分割積分區(qū)域D，這樣小區(qū)域 都是小矩形這時(shí)小區(qū)域的面積 i( ,)iix yiiiixy，上一頁(yè)上一頁(yè)目錄目錄下一頁(yè)下一頁(yè)退退 出出因此面積元素為d=dxdy，在直角坐標(biāo)系下( , ) d( , ) d dDDf x yf x yx y(2) 可以證明，若f(x,y)在有界閉區(qū)域

6、D上連續(xù)，則二重積分 一定存在 ( , ) dDf x y(3) 當(dāng)f(x,y)0且連續(xù)時(shí)，二重積分 在數(shù)值上等于以區(qū)域D為底、以曲面z=f(x,y)為頂?shù)那斨w的體積；當(dāng)f(x,y)0時(shí)，二重積分 表示該柱體體積的相反數(shù)；當(dāng)f(x,y)有正有負(fù)時(shí)，二重積分( , ) dDf x y( , )dDf x y( , )dDf x y上一頁(yè)上一頁(yè)目錄目錄下一頁(yè)下一頁(yè)退退 出出 表示以曲面z=f(x,y)為頂、以D為底的被xOy面分成的上方和下方的曲頂柱體體積的代數(shù)和這就是二重積分的幾何意義 上一頁(yè)上一頁(yè)目錄目錄下一頁(yè)下一頁(yè)退退 出出二二. 二重積分的性質(zhì)二重積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1若，為常數(shù)，則( , )( , ) d( , ) d( , ) dDDD f x y g x y f x y g x y性質(zhì)性質(zhì)2若積分區(qū)域D由D1，D2組成(其中D1與D2除邊界外無(wú)公共點(diǎn))，則12( , ) d( , ) d( , ) dDDDf x yf x yf x y性質(zhì)性質(zhì)3若區(qū)域D的面積為,則 d d.Dx y性質(zhì)性質(zhì)4如果在區(qū)域D上總有f(x,y)g(x,y)，則 ( , ) d( , ) dDDf x yg x y上一頁(yè)上一頁(yè)目錄目錄下一頁(yè)下一頁(yè)退退 出出特別有 ( , ) d( , )dDDf x yf x y性質(zhì)性質(zhì)5設(shè)M,m是函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上