哈工大振動與波動習題

1、機械振動機械振動oxtAT振動曲線振動曲線cosxAt簡諧振動簡諧振動2220dxxdt 動力學方程動力學方程運動學方程運動學方程旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量?描寫簡諧運動的基本物理量及其關(guān)系描寫簡諧運動的基本物理量及其關(guān)系A(chǔ).振幅：振幅： AB.角頻率、頻率和周期：角頻率、頻率和周期：T, 1 T 2 C.初相位：初相位： 由系統(tǒng)決定角頻率：由系統(tǒng)決定角頻率：mk 由初始條件確定由初始條件確定 A和和 ：02020 xvxA00tanxvv0的正負號的正負號(sin ) 值值簡諧振動的解析描述簡諧振動的解析描述tAxcostAtxsindd2costAxtAta22cosddcos2tAa簡諧振動的能量

2、簡諧振動的能量222111A =222kxmk常數(shù)v22211cos ()22pEkxkAt22211sin ()22kEmkAtv速度速度超前位移超前位移/2 相位相位加速度加速度超前位移超前位移相位相位常見的簡諧運動常見的簡諧運動220dgdtl2lTg220dmghdtJ2JTmgl220d xkxdtmcosxAt=2mTk彈簧振子彈簧振子（水平、垂直）（水平、垂直）單擺單擺復(fù)擺復(fù)擺0cos()t0cos()t簡諧運動的判據(jù)簡諧運動的判據(jù)1. .動力學判據(jù)動力學判據(jù)受正比、反向的恢復(fù)力作用受正比、反向的恢復(fù)力作用xkf動力學方程動力學方程022xmkdtxd2. 能量判據(jù)能量判據(jù)振動系

3、統(tǒng)機械能守恒振動系統(tǒng)機械能守恒恒量222121xkmv3. 運動學判據(jù)運動學判據(jù))cos(tAx相對平衡位置的位移隨相對平衡位置的位移隨時間按正余弦規(guī)律變化時間按正余弦規(guī)律變化受正比、反向的恢復(fù)力作用受正比、反向的恢復(fù)力作用022xmkdtxdoxtAT求解簡諧運動的方法求解簡諧運動的方法A、解析法、解析法B、振動曲線求法、振動曲線求法C、旋轉(zhuǎn)矢量求法、旋轉(zhuǎn)矢量求法D、能量求法、能量求法tAxcosxy0At)cos(tAx振動的合成振動的合成221212212cos()AAAA A11221122sinsintgcoscosAAAA 1A 2A A Ox一一. . 兩個同方向同頻率簡諧運動的

4、合成兩個同方向同頻率簡諧運動的合成12()2k 12()(21)k 2121AAAAA21AAA21AAA12() 其其它它值值( 同相同相 )( 反相反相 )二二. 多個同方向多個同方向同頻率的簡諧運動的合成同頻率的簡諧運動的合成taxcos1)cos(2tax)2cos(3tax) 1(cosntaxn)cos(tAxaRACOxPM四四. 兩個同方向不同頻率的簡諧運動的合成兩個同方向不同頻率的簡諧運動的合成拍現(xiàn)象拍現(xiàn)象xt)cos(101tAx)cos(202tAy221222212sincos2AAxyAyAx1020令三三. 相互垂直的簡諧運動的合成相互垂直的簡諧運動的合成 拍頻為：

5、拍頻為：12五、相互垂直的不同頻率簡諧振動的合成五、相互垂直的不同頻率簡諧振動的合成合成軌跡為穩(wěn)定的閉合曲合成軌跡為穩(wěn)定的閉合曲線線李薩如圖形李薩如圖形若兩頻率成若兩頻率成簡單整數(shù)比簡單整數(shù)比nm21若兩分振動頻率相差很小若兩分振動頻率相差很小近似為兩同頻率的振動合成，近似為兩同頻率的振動合成，合運動合運動軌跡按前面給出的形狀依次緩慢變化。軌跡按前面給出的形狀依次緩慢變化。本章基本題型：本章基本題型：1、已知振動方程，求特征參量、已知振動方程，求特征參量2、已知條件（或者振動曲線），建立振動方程、已知條件（或者振動曲線），建立振動方程3、證明、判斷一個物體的振動是否是簡諧振動、證明、判斷一個物

6、體的振動是否是簡諧振動4、簡諧振動的合成、簡諧振動的合成:動力學判據(jù)動力學判據(jù)；能量判據(jù)；能量判據(jù)；運動學判據(jù)運動學判據(jù) 解析法、解析法、旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法（振幅、周期、頻率、初相位）（振幅、周期、頻率、初相位）機械波機械波簡諧波0( , )cosxy x tAtu0( , )cos 2 () xy x tAt波函數(shù)的物理意義222221yyxut波動微分方程反映了時間和空間的周期反映了時間和空間的周期 性。性。0( , )cos 2 ()txy x tAT周期：周期：T 由波源決定由波源決定 波速：波速：u 由介質(zhì)決定由介質(zhì)決定波長：波長： uT 能量密度：能量密度：2220sin()Ex

7、wAtVu平均能量密度：平均能量密度：2212wA能流密度：能流密度：uAuwI2221 22201sin()2PkxEEVAtu惠更斯原理惠更斯原理(子波假設(shè)子波假設(shè))介質(zhì)中任一波陣面上的介質(zhì)中任一波陣面上的各點各點,都可以看作是都可以看作是發(fā)射子波發(fā)射子波的波源的波源，其后任一時刻，這些，其后任一時刻，這些子波的包跡子波的包跡就是新的就是新的波陣面。波陣面。220222cosrtAy110112cosrtAytAyyycos21波的干涉波的干涉相干條件：相干條件：同方向振動，同頻率，相位差恒定。同方向振動，同頻率，相位差恒定。n212 n21AAA21AAA加強加強減弱減弱 ( n = 0

8、 1 2) 2010212()rr 兩列兩列相干波相干波，振動，振動方向相同，振幅相同，頻率相同方向相同，振幅相同，頻率相同，傳播，傳播方向方向相反相反, 疊加而成駐波疊加而成駐波駐駐 波波振幅振幅駐波方程駐波方程xtAy2cos1xtAy2cos221yyytxAycos2cos2xAA2cos2二、駐波方程二、駐波方程半波損失：半波損失：波疏波疏波密波密入射波在界面處反射時位相發(fā)生入射波在界面處反射時位相發(fā)生的的突變突變1. 水平彈簧振子，彈簧倔強系數(shù) k = 24N/m，重物質(zhì)量m = 6kg，重物靜止在平衡位置。設(shè)以一水平恒力 F = 10N 向左作用于物體 (不計摩擦), 使之由平衡

9、位置向左運動了 0.05m，此時撤去力 F。當重物運動到左方最遠位置時開始計時，求物體的運動方程。解：設(shè)物體的運動方程為 x = Acos(t + ) 恒外力所做的功等于彈簧獲得的機械能，當物體運動到最左端時，這些能量全部轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢能22211122 10 0.05,0.204m22224FsFsksmvkAAkmkFxA s O角頻率242rad/s6km物體運動到 A 位置時計時，初相為 = 所以物體的運動方程為 x = 0.204cos(2 t + ) (m) 解：向里為正方向。解：向里為正方向。023kLLMgf032kfMgkx1coscos23kLLM gfJ2221cos

10、33LdkxMLdt2. 質(zhì)量為質(zhì)量為M,長為長為L的均勻細桿可繞通過其一端的固定端的均勻細桿可繞通過其一端的固定端O1自由自由 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動,在離軸在離軸 L/ 處有一倔強系數(shù)為處有一倔強系數(shù)為k的輕彈簧與其相連的輕彈簧與其相連,彈簧另一彈簧另一端固定在端固定在O2,如圖所示如圖所示.開始時系統(tǒng)靜止開始時系統(tǒng)靜止, 桿剛好處于水平位置桿剛好處于水平位置.現(xiàn)將現(xiàn)將桿沿順時針方向繞桿沿順時針方向繞O1轉(zhuǎn)過一小轉(zhuǎn)過一小 角度角度 ,然后放手然后放手,證明桿作簡諧振動證明桿作簡諧振動,并求其周期并求其周期.3220211cos()cos233LdLMgk xxMLdtMgO1 fkO2/ 3/ 3xtg

11、xLtgL220dkdtM 22kMTMk 2221cos333LLdktgMLdt22221sin33LdkMLdt2222133LdkMLdt MgO1 fkO23. 兩個諧振子作同頻率同振幅的簡諧振動。第一個振子的振動表達式為 x1= Acos(t + )，當?shù)谝粋€振子從振動的正方向回到平衡位置時，第二個振子恰在正方向位移的端點。(1) 求第二個振子的振動表達式和二者的相差；(2) 若 t =0 時，x1= A/2，并向 x 負方向運動，畫出二者的 x-t 曲線及相量圖。解：(1) 由已知條件畫出相量圖，可見第二個振子比第一個振子相位落后 /2，故 = 2 1 = /2，第二個振子的振動

12、函數(shù)為 x2= Acos(t + + ) = Acos(t + /2) A1A2xOA1A2xO32(2) 由 t = 0 時，x1= - A/2 且 v 0，可知 = 2/3，所以 x1= Acos(t + 2/3)， x2= Acos(t + /6) xA-AO65611617tx1x24. 一質(zhì)點同時參與兩個同方向同頻率的諧振動，其振動規(guī)律為 x1= 0.4cos(3t + /3)，x2= 0.3cos(3t - /6) (SI)。求：(1) 合振動的振動函數(shù)；(2) 另有一同方向同頻率的諧振動 x3 = 0.5cos(3t + 3) (SI) 當 3 等于多少時，x1, x2, x3

13、的合振幅最大？最小？解：(1) 解析法221212212cos()AAAAA220.40.32 0.4 0.3cos()63 0.5 (m)111221122sinsintg ()coscosAAAA10.4sin0.3sin()36tg 0.4cos0.3cos()360.120.5cos(30.12 ) (m)xt振動函數(shù)另法：相量圖法12AA22120.5mAAA213tg4AA0.210.210.1230.5cos(30.12 ) (m)xt(2) 當 3 = = 0.12 時， max31.0mAAA2Ax/6/3O1AA當 3 = = -0.88 時， min30AAA5. 一質(zhì)點

14、在一質(zhì)點在x軸上作簡諧振動，選取該質(zhì)點向右運動通過點時軸上作簡諧振動，選取該質(zhì)點向右運動通過點時作為計時起點（作為計時起點（t=0），經(jīng)過秒后質(zhì)點第一次經(jīng)過點，再經(jīng)），經(jīng)過秒后質(zhì)點第一次經(jīng)過點，再經(jīng)過秒后質(zhì)點第二次經(jīng)過點，若已知該質(zhì)點在，兩點具過秒后質(zhì)點第二次經(jīng)過點，若已知該質(zhì)點在，兩點具有相同的速率，且有相同的速率，且cm 求：（求：（1）質(zhì)點的振動方程；（）質(zhì)點的振動方程；（2）質(zhì)點在點處的速率。）質(zhì)點在點處的速率。xAB0VAVB2ts4ts0t 解：以解：以AB的中點為坐標原點。的中點為坐標原點。05costxA 時，424ABTVVs25cos(2)tsxA時，351044AtgV

15、或 210/2 10cos(/43 /4)xtm 0/3.93/tvdx dtcm s時，6. 已知 t = 2s 時一列簡諧波的波形如圖，求波函數(shù)及 O 點的振動函數(shù)。x(m)0.5y(m)Ou = 0.5m/s123解：波函數(shù)標準方程xTtAy2cos已知 A = 0.5m， = 2m，T = / u = 2 / 0.5 = 4s由25 . 0422cos5 . 0)5 . 0, 2(5 . 0 xty得223即2所以波函數(shù)為)m(22cos5 . 0 xtyO 點的振動函數(shù)為)m(22cos5 . 0Oty7. 一平面一平面 簡諧波在介質(zhì)中以速度簡諧波在介質(zhì)中以速度u=20m/s自左向右

16、傳播，已知在傳自左向右傳播，已知在傳播路徑上的某點的振動方程為播路徑上的某點的振動方程為y=3cos(4 t- ),另一點在右方另一點在右方9m處，處，(1)若取若取x軸方向向左，并以點為坐標原點，試寫出波動方軸方向向左，并以點為坐標原點，試寫出波動方程，并求出點的振動方程程，并求出點的振動方程(2)若取若取x軸方向向右，以點左方軸方向向右，以點左方5米米處的點為處的點為x坐標原點，重新寫出波動方程及點的振動方程。坐標原點，重新寫出波動方程及點的振動方程。xyAD9muyoAD5m9mu(1)波動方程為：波動方程為：3cos(4)5xyt 振動方程為：振動方程為：143cos(4)5Dyt (

17、2)5OAm 143cos(4)5Dyt x3cos 45xyt 53cos4 ()3cos(4)20oytt 8. 一平面簡諧波沿一平面簡諧波沿x軸正向傳播，振幅為軸正向傳播，振幅為A=10cm，圓頻率，圓頻率 =7 rad/s，當，當t=1.0s時，時，x=10cm處的處的a質(zhì)點的振動狀態(tài)質(zhì)點的振動狀態(tài)ya=0，（dy/dt)a0；設(shè)該波波長；設(shè)該波波長 10cm，求波的表達式。，求波的表達式。20.7 sin(7)dyxtdt t=1.0s時時:20.10.1cos(7)0ay 20.1()0.7 sin(7)0adydt 20.20.1cos(7)0.05by 20.2()0.7 si

18、n(7)0bdydt 0.1cos(7)0.123xyt 22cos()0.1cos(7)xxyAtt解：9. 振幅為振幅為A，頻率為，頻率為 ，波長為，波長為 的一簡諧波沿弦線傳播，在自由的一簡諧波沿弦線傳播，在自由端端A點反射（如圖），假設(shè)反射后的波不衰減。已知：點反射（如圖），假設(shè)反射后的波不衰減。已知：OA =7 /8，OB = /2，在，在t = 0時，時，x = 0處媒質(zhì)質(zhì)元的合振動經(jīng)平衡位置處媒質(zhì)質(zhì)元的合振動經(jīng)平衡位置向負方向運動。求向負方向運動。求B點處入射波和反射波的合成振動方程。點處入射波和反射波的合成振動方程。OyxBA則反射波的表達式為則反射波的表達式為解：解：設(shè)入射波

19、的表達式為設(shè)入射波的表達式為)2cos(1xtAy227272cos 2)88yAtx駐波的表達式為駐波的表達式為 21yyy332 cos 2)cos()44xAt()tcos(Ayxt4200處，時，在B B點點( (x x= = /2)/2)的振動方程為的振動方程為: :tsinA)tcos()/cos(Ay244343222400得和由條件tyy 10. 一平面簡諧波沿x正方向傳播如圖所示，振幅為 A，頻率為v, 速率為u. 求 (1) t=0時，入射波在原點o處引起質(zhì)元由平衡位 置向位移為正的方向運動，寫出波表達式 (2) 經(jīng)分界面反射的波的振幅和入射波振幅相等 寫出反射波的表達式，

20、并求在x軸上因入射 波和反射波疊加而靜止的各點位置。O Pux波疏波疏波密波密43解解: (1) 由已知條件可寫出入射波在由已知條件可寫出入射波在O點的振動表達式點的振動表達式cos(2)2OyAt入入射波的表達式為入射波的表達式為2cos2 ()cos(2)22xyAtAtxu入(2) 設(shè)反射波的表達式為設(shè)反射波的表達式為2cos2 ()cos(2)xyAtAtxu反在在P點，入射波的相位為點，入射波的相位為23242t入反射波的相位為反射波的相位為2324t反Oux波疏波疏波密波密43P由由入反得得2 所以反射波的表達式為所以反射波的表達式為2cos(2)2yAtx反22coscos(2-

21、)2yyyAxt入反波節(jié)位置波節(jié)位置2cos0 x2(21),0, 1, 2.2xkk (21)4xk因此合成波的表達式因此合成波的表達式34x(21),14xkk 的整數(shù) 兩個相互垂直的不同頻率的簡諧運動的合成兩個相互垂直的不同頻率的簡諧運動的合成合成軌跡為合成軌跡為穩(wěn)定的閉合曲線穩(wěn)定的閉合曲線李薩如圖李薩如圖 yxA1A20-A2- A1 例如左圖：例如左圖：23 yx 應(yīng)用：應(yīng)用：測定未知頻率測定未知頻率達到最大的次數(shù)達到最大的次數(shù)達到最大的次數(shù)達到最大的次數(shù)yxyx已知：已知：x =A cos t,求求 y=？)22cos(1tAy 例如左圖：例如左圖：21yx達到最大的次數(shù)達到最大的

22、次數(shù)達到最大的次數(shù)達到最大的次數(shù)yxyxA-AA-AxyO作業(yè)作業(yè) 5.10 11. 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m = 10 g的物體作簡諧振動，振幅為的物體作簡諧振動，振幅為A = 10 cm ,周期周期T = 2.0 s。若。若t = 0時，位移時，位移x0= - 5.0 cm，且，且物體向負物體向負x方向運動，方向運動，試求：試求：（1）t = 0.5 s時物體的位移；時物體的位移；（2）t = 0.5 s時物體的受力情況；時物體的受力情況；（3）從計時開始，第一次到達）從計時開始，第一次到達x = 5.0 cm所需時間；所需時間；（4）連續(xù)兩次到達）連續(xù)兩次到達x = 5.0 cm處的時間間隔。

23、處的時間間隔?！窘饨狻?.10mA2rad/s)T （1 1）由已知可得簡諧振動的振幅）由已知可得簡諧振動的振幅角頻率角頻率振動表達式為振動表達式為 0.10cosoxt (SI)0t 時0.10cos0.05mox 0.05 sin0o vx0.1O-0.050t 23o 由旋轉(zhuǎn)矢量法可得由旋轉(zhuǎn)矢量法可得 振動方程振動方程 0.1cos23xt t=0.5s時物體的位移時物體的位移? 0.1cos230.1cos 0.5230.0866mxt （2） t = 0.5 s時物體受到的恢復(fù)力時物體受到的恢復(fù)力? 由（由（1）得）得 0.0086NFkx 220.010.099km N/m(SI)

24、（3）從計時開始，第一次到達）從計時開始，第一次到達x = 5.0 cm所需時間；所需時間；（4）連續(xù)兩次到達）連續(xù)兩次到達x = 5.0 cm處的時間間隔。處的時間間隔。x0.1O-0.050t 0.05153231st 第一次到達第一次到達x=5.0cm=5.0cm時的相位為時的相位為 53故故 第一次達到此處所需時間為第一次達到此處所需時間為 2230.67st連續(xù)兩次到達連續(xù)兩次到達x = 5.0 cm處的相位差為處的相位差為 2312、如圖所示的振動曲線。求：、如圖所示的振動曲線。求：（1）簡諧振動的運動方程）簡諧振動的運動方程（2）由狀態(tài)）由狀態(tài)a運動到狀態(tài)運動到狀態(tài)b，再由，再由

25、b運動到運動到c的時間的時間 分別是多少分別是多少（3）狀態(tài)）狀態(tài)d的速度和加速度的速度和加速度【解解】方法方法1 解析法解析法00012cos223Ax 0000sin0sin0vA 0cos()xAt0cos(52/3)0cx00sin(52/3)0v0t 原點：原點：5tsc點：點：2316方法方法2 旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法（1）0t 0/ 2xA 00v 確定旋轉(zhuǎn)矢量確定旋轉(zhuǎn)矢量2356t16振動方程為振動方程為12cos()63xAtt-A-A/2AA/2xO(SI)（2）由狀態(tài)）由狀態(tài)a運動到狀態(tài)運動到狀態(tài)b，再由，再由b運運動到動到c的時間分別是多少的時間分別是多少（3）狀態(tài)）狀態(tài)

26、d的速度和加速度的速度和加速度-A-A/2AA/2x/6a/3/32/6babats/61/6cbcbtssin0.4513dvAA 2222cos63m/s72daxAA 13.13.勁度系數(shù)為勁度系數(shù)為k的輕彈簧掛在質(zhì)量為的輕彈簧掛在質(zhì)量為m，半徑為半徑為R的勻質(zhì)圓的勻質(zhì)圓柱體的對稱軸上，使圓柱體作無滑動的滾動，證明：圓柱體的對稱軸上，使圓柱體作無滑動的滾動，證明：圓柱體的質(zhì)心作諧振動。柱體的質(zhì)心作諧振動。水平面水平面kc證明：證明：xcxo建坐標如圖，建坐標如圖，彈簧原長處為坐標原點，設(shè)原點處為勢能零點，質(zhì)心在彈簧原長處為坐標原點，設(shè)原點處為勢能零點，質(zhì)心在xc時系統(tǒng)的機械能為時系統(tǒng)的機械能為222111const.222c