第五章_自相關(guān)

1、1第五章自相關(guān)2第一節(jié)自相關(guān)定義及D-W檢驗一，自相關(guān)的定義當(dāng)誤差項不再是相互獨立的，即cov(ij) 0，就產(chǎn)生了自相關(guān)（Auto-correlation),也叫序列相關(guān)（serial correlation)。即t、t-1 t-2是相關(guān)的。t 、t-k被稱為k階自相關(guān)t 、 t-1被稱為1階自相關(guān)t 、t-2被稱為2階自相關(guān) 以此類推。3二自相關(guān)的檢驗:DurbinWatson Test(DW檢驗）關(guān)于自相關(guān)的檢驗就是檢驗t和t-1之間的相關(guān)性，需要計算它們的相關(guān)系數(shù)。由于是總體的，無法得到，因此通過回歸初始模型，利用計算出的 的估計值代替 來進(jìn)行檢驗，t和t1 cov(t,t1) hat

2、=_ var(t) var(t1)4計算DurbinWatson 統(tǒng)計量，用d來表示： ( t - t1)2d=_ t2 t 2 2 (t t1) + t-1 2 =_ t25對于大樣本來說， t是可以得到的，且t2與t-1 2相差很小，可以認(rèn)為它們是近似相等的，因此上式可以化簡成d 2-2 hat因為 1 1，所以0d4 1時，d=4, 完全負(fù)相關(guān) = 1時, d=0 完全正相關(guān) = 0時, d=2 完全不相關(guān)所以，經(jīng)驗地看，d值在2左右時是不相關(guān)的，向0或4靠近則存在正相關(guān)或負(fù)相關(guān)。6 根據(jù)計算結(jié)果，建立DW檢驗的決策規(guī)則如下： 0ddL,存在一階正相關(guān) 4dLd4,存在一階負(fù)相關(guān) dud

3、4-du,不存在自相關(guān) dL d du, 4-du d 4-dL,無法下結(jié)論 Durbin Watson根據(jù)d的顯著水平規(guī)定了上限du和下限dL（查表可以得到）。 d統(tǒng)計量有一個假設(shè)前提： t= t-1 + t 即誤差項服從一階自相關(guān)7DW檢驗的局限性 只能檢驗一階自相關(guān)； 當(dāng)d值落再dL d du, 4-du d 4-dL,無法下結(jié)論； 無法檢驗含有滯后因變量的模型，例如： yt= +1 yt-1 +2xt+t8例題 logy= -3.938 +1.451log L+0.384logK (0.237) (0.083) (0.048) R2=0.9946 DW=0.88 hat=0.559 已

4、知 k=2, n=40, =0.05, 查表 dL=1.39, 0.880如果估計的ddu,則在水平 上拒絕H0 ；即存在統(tǒng)計上顯著的正相關(guān)。2，H0: =0, H1: 0如果估計的4-ddu,則在水平 上拒絕H0 ；即存在統(tǒng)計上顯著的負(fù)相關(guān)。3，H0: =0, H1: 0如果估計的ddu或4-ddu,則在水平2 上拒絕H0 ；即存在統(tǒng)計上顯著的自相關(guān)。10 例題， 已知n=50, k=4(沒有包括常數(shù)項），d1.43，查表 5 dL=1.38 , du=1.72, 1.43落在1.38和1.72之間，無法下結(jié)論，但是根據(jù)修訂的d檢驗，1.431.72,所以基本可以拒絕沒有一階自相關(guān)的假設(shè)，即

5、存在一階自相關(guān)。11 此外，計算機程序SHAZAM會自動計算出一種精確d檢驗（exact d test),它能算出d值的準(zhǔn)確概率。12第二節(jié)自相關(guān)的結(jié)果 自相關(guān)存在的前提下，使用最小二乘法，估計量是否依舊是最佳線性無偏估計呢？我們來推導(dǎo)一下，看發(fā)生何種變化。假設(shè)模型yt=xt +t， t= t-1 +t，根據(jù)最小二乘法， hat= xtyt/ xt2 = xt ( xt+ t)/ xt2 = ( xt2+ xtt )/ xt2 = + xtt/ xt2 E(hat)=E( + xtt/ xt2 )= , 無偏得證13先來求E(tt-S )t= t-1 +t，已知誤差項滿足古典回歸的假設(shè)E(tt

6、-1 )=E( t-1 +t) t-1 = E(t-1 )2 +E(t t-1 ) 2E(tt-2 )=E( t-1 +t) t-2 = E(t-1 t-2 ) +E(t t-2) 2 2 2以此類推，E(tt-s )=E( t-1 +t) t-s = E(t-1 t-s) +E(t t-s) s 214Var(hat)=E(xtt/ xt2 )2=1/( xt2 ) 2(xt2 ) E(t2) +2E(tt-1 ) xt xt-1 + 2E(tt-2 ) xt xt-2 + 2E(tt-3 ) xt xt-3 + = 2/( xt2 ) 2(xt2 ) +2 xt xt-1 +2 2 xt

7、xt-2 + 2 33 xt xt-3 + 15 = 2/xt2 1 +2 xt xt-1 / xt2 +2 2 xt xt-2 / xt2 + 2 33 xt xt-3 / xt2 + 如果干擾項之間不相關(guān)， 0估計值的方差和前面的估計是相同的。現(xiàn)在假設(shè)xt=rxt-1+vt對照前面的推導(dǎo)，可知 xt xt-1 / xt2 r, xt xt-1 / xt2 r2, .16= 2/xt2 1 +2 r +2 2 r2 + 2 3 r3+ = 2/xt2 (1 + r )/ (1 - r )如果不考慮自相關(guān)，估計值的方差為Var(hatLs) = 2/xt2 Var(hat) = 2/xt2 (

8、1 + r )/ (1 - r ) = Var(hatLs) (1 + r )/ (1 - r )Var(hatLs)= Var(hat) (1 - r )/ (1 + r )17 如果和 r 是同號，因為它們都在1和1之間，所以， (1 - r )/ (1 + r )就會小于1，也就是說直接使用最小二乘估計的方差小于真實的方差，即方差被低估，這樣會導(dǎo)致t檢驗顯著，誤導(dǎo)人們接受估計模型。 如果和 r 是符號相反，則(1 - r )/ (1 + r )大于1，估計的方差會小于真實的方差，使檢驗無法通過。18第三節(jié)自相關(guān)的處理方法一，相關(guān)系數(shù)已知的情況yt= +xt +t，（1） t= t-1 +

9、t， t滿足古典回歸的假設(shè)前提。上述模型可以寫成:yt-1= +xt-1 +t-1，（2）兩邊同乘以，變成： yt-1= + xt-1 + t-1，（3）19 （1）（3）yt yt-1 =（1 ） +（xt xt-1 ） +t t-1 ，（4）因為t t-1 t，所以新模型中的誤差項是不相關(guān)的，滿足古典回歸的假設(shè)。對其進(jìn)行回歸即可以得到最佳無偏估計量。 這種方法被稱為廣義最小二乘法（GLS, General Least Squares)20 方程（4）被稱為廣義的差分模型或者叫準(zhǔn)差分模型。 特別地，當(dāng)1時，上述模型變成： yt yt-1 =+（xt xt-1 ） +t t-1 ，就稱為標(biāo)準(zhǔn)的

10、一階差分模型。GLS方法損失了第一組觀測值，建議使用下列方法定義第一組觀測值：x1*= x1 1- 2y1*=y1 1- 221 我們把初始模型稱做水平方程，經(jīng)過處理的模型稱為一階差分方程（ 1） 差分方程和水平方程的R2不能直接進(jìn)行比較，因為，一階差分方程的解釋變量和被解釋變量均發(fā)生了改變。 為了能夠?qū)⑺椒匠痰腞2和一階差分方程的R2進(jìn)行比較，需要對水平方程的R2進(jìn)行調(diào)整。22調(diào)整的方法如下：1對水平方程做回歸，計算得到RSS,記做RSSlevel,自由度為n-k-1,2對一階差分方程回歸，計算得到RSS，記做RSS1，自由度為n-k（因為沒有常數(shù)項）將經(jīng)過調(diào)整的水平方程的R2記做RD2

11、，RD level 2=1-(1- R12 )(RSSlevel /RSS1) (n-k-1/n-k)dlevel23例題logyt= -3.938 +1.451log L+0.384logK (0.237) (0.083) (0.048)R2=0.9946 DW=0.858 RSS=0.0434logyt= 0.984 logL +0.502logkR12=0.8405 DW=1.177 RSS=0.0278RD level2=1-(1-0.8405)(0.0434/0.0278)(36/37)0.858 =0.7921RD level2 R1224此外，哈韋（Harvey)給出下面的定義：

12、RD level2 1RSS0/RSS1(1- R12)不考慮自由度和方差的調(diào)整。同樣是上面的例題RD level2 1-0.0434/0.0278(1-0.8405) =0.751025二， 未知時的處理方法。首先要尋找并確定。有兩類方法第一，循環(huán)查找法1，科克倫歐卡特方法（Cochran-Orucutt Procedure)第一步，估計模型 yt= +xt +t，得到t和RSS,定義RSSRSS舊26計算 (t t1) hat =_ t2第二步，估計模型 yt yt-1 =（1 ） +（xt xt-1 ） +t t-1 ，27得到和的估計值，利用新得到的和的估計值，代入步驟（1）中，即初始

13、模型，計算RSS，將其記做RSS新第三步，判斷|（RSS新-RSS舊）/RSS舊|0.05, hat就是所估計的值。否則：將RSS新等同于RSS舊，利用第二步得到的和的估計值計算t，在計算出 hat，重復(fù)步驟2以下程序，直到兩個殘差平方和滿足步驟3中的條件，小于0.05為止。一般迭代三到四步就可以滿足條件。此時 */（1 hat), hat= hat*、hat*是差分方程中的參數(shù)估計值。282，Durbin 方法第一步，估計模型：yt= (1- )+ yt-1 + xt- x t-1 + vt計算得到RSS,記做RSS舊， yt-1前面的估計值就是hat。第二步，已知了 hat，估計下列模型y

14、t hat yt-1 =（1 hat ） +（xt hat xt-1 ） + vt ，得到和的估計值，利用得到的和的估計值，代入步驟（1）中，計算RSS，將其記做RSS新第三步，如果|（RSS新-RSS舊）/RSS|N時，拒絕H0，即存在自相關(guān)h1.96(或2.576），所以，拒絕不存在自相關(guān)的假設(shè)，存在自相關(guān)。36例題 下面是19701994年25年間日本工薪家庭實際消費支出Y與實際可支配收入X變化的情況。 1，估計其消費函數(shù)模型，并計算DW值，進(jìn)行自相關(guān)的檢驗 2，如果存在自相關(guān)，用CO 法估計模型。37 年份 Y X 年份 Y X 1970 239 300 1982 302 381 19

15、71 248 311 1983 304 384 1972 258 329 1984 308 392 1973 272 351 1985 310 400 1874 268 354 1986 312 403 1975 280 364 1987 314 411 1976 279 360 1988 324 428 1977 282 366 1989 326 434 1978 285 370 1990 332 441 1979 293 378 1991 334 449 1980 291 374 1992 336 451 1981 294 371 1993 334 449 1994 330 44938 根

16、據(jù)日本19701994年間，工薪家庭的實際消費支出Y和實際可支配收入X的變化所估計的模型為 Yt=50.875+0.63744Xt (6.136) (30.008) R2=0.975139 根據(jù)估計模型編制殘差表，并計算殘差平方和和相鄰殘差之差的平方和。 需要計算殘差: t yt- hat - hat) 相鄰殘差的差的平方和:( t - t1)2 殘差平方和： t240 t t - t1 t2 ( t - t1)2 1970 3.105 9.6445 1971 1.1174 1.9882 1.2485 3.9529 1972 2.5912 1.4739 6.7145 2.1723 以此類推41

17、根據(jù)計算的結(jié)果就可以計算DW值 ( t - t1)2d=_=164.993/467.717 t2=0.352842 已知n=25, k=1, 0.35281.29(dL)，所以拒絕不相關(guān)的假設(shè)，存在一階正相關(guān)。 下面介紹使用科克倫歐卡特方法估計模型。 根據(jù)估計模型計算 t t 1 hat=_=355.3091/467.717 t2 =0.75966743 將相關(guān)系數(shù)的估計值代入計算： Yt*=Yt-0. 759667 Y t-1 Xt*=Xt-0.759667X t-1 得到一組新的數(shù)據(jù)，就Yt*對Xt*回歸得到：Yt*=13.973 +0.53513Xt* (2.918) (7.155) R2=0.6994 DW=2.37844 DW有所改善，誤差項已經(jīng)不存在自相關(guān)。利用差分方程可以求出初始模型的參數(shù)估計值了。 =13.973/(1-