插值法 Hermite插值

1、整理ppt1第三章第三章 插值法插值法第五節(jié)第五節(jié) Hermite插值插值整理ppt2埃爾米特插值埃爾米特插值埃爾米特埃爾米特Hermite插值問題插值問題其中其中), 1 , 0(nixi 互異，互異，im為正整數(shù)，記為正整數(shù)，記，10 mmnii)(xfy 給定給定)1()1(1)1(0)1()1()1(1)1(0101010)()()( nimnmmmnnnfffxffffxffffxfxxxx函數(shù)值函數(shù)值表及各階表及各階導(dǎo)數(shù)值導(dǎo)數(shù)值表如下：表如下：),()()()(ikikxfxP ) 1, 1 , 0;, 1 , 0( imkni尋求尋求m次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式P( (x) )使?jié)M足插值條

2、件：使?jié)M足插值條件：Hermite插值問題插值問題共有共有m+1+1個條件個條件)()(),()(iiiixfxPxfxP我們只討論我們只討論 的情形。的情形。).(15整理ppt3一一 討論討論Hermite插值問題插值問題,)(1baCxfy 函數(shù)函數(shù)表表及導(dǎo)數(shù)表及導(dǎo)數(shù)表nnnyyyxfyyyxfxxxx 101010)()(已知已知 ), 1 , 0()()(1212niyxHyxHiiniin其中其中互異互異,尋求尋求), 1 , 0(nixi 12 n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式使?jié)M足使?jié)M足)(12xHn 插值條件插值條件:).(25,)(1baCxf 且已知且已知)(xf函數(shù)表及導(dǎo)數(shù)表，函數(shù)表

3、及導(dǎo)數(shù)表，如果如果12 n 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 滿足插值條件滿足插值條件(5.2).則存在唯一次數(shù)不超過則存在唯一次數(shù)不超過)(12xHn 證明：證明：先證唯一性。先證唯一性。下證下證存在性。存在性。（用（用構(gòu)造構(gòu)造法，同構(gòu)造法，同構(gòu)造L L- -插值多項(xiàng)式的方法）插值多項(xiàng)式的方法） ), 1 , 0( , 0)(, 0, 1)(nkxjkjkxkjkj 時時當(dāng)當(dāng)時時當(dāng)當(dāng)?shù)牡?2 n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式。),.1 , 0(),(njxj 第一，求第一，求Hermite Hermite 插值基函數(shù)插值基函數(shù)1.1.求滿足插值條件：求滿足插值條件：問題問題定理定理整理ppt4其中其中C C為待定常數(shù)為待

4、定常數(shù), , ,于是可令于是可令由由為為)(xj 的二重零點(diǎn)且的二重零點(diǎn)且njjxxxxx,1110 1)( jjx ).(35 )(xlj njiiijixxxx0 (5.3)(5.3)式求導(dǎo)，得式求導(dǎo)，得)()( 1)( 2)()(2xlxlxxcxclxjjjjj ，得由0)(jjx)()(2)()(02jjjjjjjjxlxlxclx )(2)()(2jjjjjjxlxlxlc 所以所以), 1 , 0()(1)(21)(20njxlxxxxxjnjiiijjj )(1 (jxxc ）（xlj2 njiiijxx012221212120)()()()()(njjxxxxxxxxxx 2

5、21212120221212120)()()()()()()()()()()(1 ()(njjjjjjjnjjjjxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxcx 221212120221212120)()()()()()()()()()(njjjjjjjnjjxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 整理ppt5 (2) 已知已知，001000)(0000)(10 xfxfxxxxxnj 由于由于njjxxxxx,1110 為為)(xj 的二重零點(diǎn)且的二重零點(diǎn)且,0)( jjx )()()()(12212120njjjjjjxxxxxxxxA 又由又由1)( jjx ，則，則有有221212

6、120)()()()()()(1njjjjjjjjjxxxxxxxxxxAx ).(45212120)()()()( jjjxxxxxxxxAx 221)()(njxxxx 則可令則可令), 1 , 0(),()()(2njxlxxxjjj 于是于是求求12 n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式), 2 , 1 , 0()(njxj , ,使?jié)M足插值條件：使?jié)M足插值條件： ), 1, 0( , 0)(nkxkj 時時當(dāng)當(dāng)時時當(dāng)當(dāng)jkjkxkj, 0, 1)( 整理ppt6第二，求第二，求多項(xiàng)式多項(xiàng)式)(12xHn njjjjjnyxyxxH012)()()( ).(55 injjijjijinyyxyxxH)(

7、)()(012 ), 1 , 0(ni （滿足插值條件（滿足插值條件(5.2)(5.2)的多項(xiàng)式）的多項(xiàng)式）)(12xHn njijijiijinyyxyxxH012)()()( 事實(shí)上事實(shí)上, ,有有即即(5.5)(5.5)式是滿足插值條件式是滿足插值條件(5.2)(5.2)的插值多項(xiàng)式的插值多項(xiàng)式 . .所以存在所以存在2 2n n+1+1次多項(xiàng)式滿足插值條件次多項(xiàng)式滿足插值條件(5.2).(5.2). #；)()()(2xlxxxjjj ), 1 , 0(),(),(njxxjj 為為HermiteHermite插值基函數(shù)插值基函數(shù), ,即即其中其中ijinjiijxxxxxl 0)(？

8、；)()1)( 21 ()(20 xlxxxxxjnjiiijjj 整理ppt7Hermite插值余項(xiàng)插值余項(xiàng))(12xHbn ）（為為Hermite插值多項(xiàng)式，插值多項(xiàng)式， 證明與拉格朗日余項(xiàng)公式證明類似證明與拉格朗日余項(xiàng)公式證明類似. .舉例時再證舉例時再證. .存存在在，于于設(shè)設(shè)),()(,)()()22(12baxfbaCxfann ,(baxi ), 1 , 0互互異異ixni 有有關(guān)關(guān)。且且與與 xba),( ),()!22()(21)22(xnfnn 22120)22()()()()!22()(nnxxxxxxnf )()()(1212xHxfxRnn 則則定理定理整理ppt8二

9、二 帶導(dǎo)數(shù)的兩點(diǎn)插值（特例帶導(dǎo)數(shù)的兩點(diǎn)插值（特例: : ）1 n,)(1baCxf 函數(shù)表及導(dǎo)數(shù)表函數(shù)表及導(dǎo)數(shù)表111)( )( kkkkkkmmxfyyxfxxx 已知已知).( 75求求3次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式)(3xH使?jié)M足插值條件使?jié)M足插值條件: : 11331133)(,)()(,)(kkkkkkkkmxHmxHyxHyxH).(85).(95)(3xH存在且唯一，表達(dá)式為存在且唯一，表達(dá)式為)()()()()(11113xmxmxyxyxHkkkkkkkk 21111)(21 ()(kkkkkkkxxxxxxxxx 211)()( kkkkkxxxxxxx ,)()(2111kkkkkx

10、xxxxxx ,1 kkxxx2111)(21()( kkkkkkkxxxxxxxxx 其中其中).(105；)()()(2xlxxxjjj ；)()1)( 21 ()(20 xlxxxxxjniijjjji ijinjiijxxxxxl 0)(問題問題結(jié)論結(jié)論整理ppt9余項(xiàng)公式為余項(xiàng)公式為:2124334)()(!)()()()()(kkxxxxfxHxfxR例例已知已知)(xfy 函數(shù)表及導(dǎo)數(shù)表函數(shù)表及導(dǎo)數(shù)表1210210)()(fxfyyyxfxxxx 1133)()2 , 1 , 0( ,)(fxpiyxPii)(3xP使?jié)M足插值條件：使?jié)M足插值條件：求次數(shù)不超過求次數(shù)不超過3 3的

11、多項(xiàng)式的多項(xiàng)式已知已知),(),(),(221100yxyxyx三點(diǎn)，由牛頓插值多項(xiàng)式，三點(diǎn)，由牛頓插值多項(xiàng)式，可確定可確定2 2次多項(xiàng)式，在此基礎(chǔ)上，增加了節(jié)點(diǎn)，則增加三次項(xiàng)即次多項(xiàng)式，在此基礎(chǔ)上，增加了節(jié)點(diǎn)，則增加三次項(xiàng)即可，并使前三個插值條件不受影響。可，并使前三個插值條件不受影響。分析分析整理ppt10解：解： )(,)(,)()(1021001002xxxxxxxfxxxxfxfxP 221100,yxyxyx的的2 2次牛頓插值多項(xiàng)式為次牛頓插值多項(xiàng)式為過過3 3點(diǎn)點(diǎn) 21210,xxxxxf 2110,xxxxf 1021001003)(,)()(xxxxxxxfxxxxfxfx

12、P )()(,)(210101210101xxxxxxxxxfxxfxfA 12101012101013)()(,)(fxxxxAxxxxxfxxfxP 由由- - 帶重節(jié)點(diǎn)的牛頓插值多項(xiàng)式帶重節(jié)點(diǎn)的牛頓插值多項(xiàng)式 1021001003)(,)()(xxxxxxxfxxxxfxfxP 設(shè)所求多項(xiàng)式為設(shè)所求多項(xiàng)式為113)(fxP 確定確定A . .再由條件再由條件,11xxf重節(jié)點(diǎn)定義重節(jié)點(diǎn)定義)(1xf 011011,xxxxfxxf 110,xxxf 21210110,xxxxxfxxxf 重節(jié)點(diǎn)定義重節(jié)點(diǎn)定義)()(210 xxxxxxA )()(,2102110 xxxxxxxxxxf

13、 )(01xx )(01xx 整理ppt11插值余項(xiàng)（誤差估計(jì)）插值余項(xiàng)（誤差估計(jì)）:存存在在。，）（)(,)(43xfbaCxf xxx且且依依賴賴于于20, 。)()(! 4)()()()(2210)4(3xxxxxxfxPxfxR ; 00)(,)2 , 1 , 0(1 右端右端時時）當(dāng)）當(dāng)（iixRixx,)2 , 1 , 0(2時時）當(dāng)當(dāng)（ ixxi)()()()()()(22103xtxtxtxktPtft 構(gòu)造構(gòu)造函數(shù)（作輔助函數(shù)函數(shù)（作輔助函數(shù)):):至至少少有有四四個個互互異異根根)(t 至少有一個根，至少有一個根，）（)(4t 0,420 ）（使使即即至至少少存存在在一一點(diǎn)

14、點(diǎn)）（ xx!4)(4 xkf）（）（ !4)(4）（）（ fxk )()(! 4)()(2210)4(xxxxxxfxR 設(shè)設(shè))()()()(2210 xxxxxxxkxR , 其中其中)(xk為待定函數(shù)。為待定函數(shù)。的的根根是是的的根根，且且為為)()(,1210txtxxxx 則則條件條件結(jié)論結(jié)論證明證明整理ppt12P.88 15作業(yè)作業(yè): : (1) (1)理解理解H-H-插值多項(xiàng)式的插值多項(xiàng)式的構(gòu)造構(gòu)造方法（方法（基函數(shù)法基函數(shù)法與與例的方法例的方法）；）； (2)(2)能能根據(jù)具體條件根據(jù)具體條件求出求出插值多項(xiàng)式及插值余項(xiàng)。插值多項(xiàng)式及插值余項(xiàng)。整理ppt13HermiteHermite插值插值（以（以 mi=2, i=0,1,n 為例）為例）；)()()(2xlxxxjjj ), 1 , 0(),(),(njxxjj 為為Hermite插值基函數(shù)插值基函數(shù),