常用統(tǒng)計分布三個常用分布

1、第第3 3節(jié)節(jié) 抽樣分布抽樣分布一、常見分布一、常見分布二、概率分布的分位數(shù)二、概率分布的分位數(shù)三、小結三、小結一、常見分布一、常見分布11111()()nniiiiE XEXE Xnnnn從而212122(,),(1,2)nniiXXXXXXXXEXDXin 設總體 的均值為 ，方差為，分布形式可以是未知的，為一樣本，則獨立且與總體 同分布，因而有 1.X的分布222211111()()nniiiiD XDXD Xnnnnn而而是是來來自自總總體體設設樣樣本本,),(21XXXXn),(2 NX則樣本均值),/,(121nNXnXnii 12222212222,(0, 1),( ).nnnn

2、XXXNXXXnn定義、設相互獨立，同服從分布 則稱統(tǒng)計量服從自由度為的分布 記為.:222212變變量量的的個個數(shù)數(shù)中中右右端端包包含含獨獨立立指指自自由由度度nnXXX 22.分布（卡方分布）2( )n定理分布的概率密度為122210( )2( )20nxnxexnf x其它.)(2圖圖分布的概率密度曲線如分布的概率密度曲線如n 分分布布的的性性質質2 性質性質1).(,),(),(2122221222122221221nnnn 則則立立獨獨并并且且設設)(2分布的可加性分布的可加性 (此性質可以推廣到多個隨機變量的情形此性質可以推廣到多個隨機變量的情形).(,), 2, 1(),(212

3、12222mmiiiiinnnmin 則則獨立獨立相互相互并且并且設設性質性質2.2)(,)(),(2222nDnEn 則則若若性質性質3而而是是來來自自總總體體設設樣樣本本,),(21XXXXn),(2 NX22(1)(1)nS則) 1(2 n .2是樣本方差其中S212)(1XXnii 2(2).XS與獨立注注),1(2 n 自由度減少一個自由度減少一個!222111()()nniiiiXXXX減少一個自由度的原因：減少一個自由度的原因：.),2 , 1(不相互獨立不相互獨立niXXi 事實上，它們受到一個條件的約束：事實上，它們受到一個條件的約束： niiXX1 niiXnX1)(1 n

4、iiXnX1. 001 .)()(,)1 , 0(,12265432221121621分分布布服服從從使使得得求求樣樣本本的的一一組組為為來來自自正正態(tài)態(tài)總總體體設設例例 XXXXCXXCYCCNXXX )1 , 0(2),2 , 0(2121NXXNXX 則則解解),(),(1044065436543NXXXXNXXXX則則同理同理221XX 且且46543XXXX與與相互獨立相互獨立2212)(XX 所以所以)2()4(226543 XXXX .41,2121 CC則則2(0,1),( ),/, ( ).XNYnX YXTnY ntTt n定義設且獨立 則稱隨機變量服從自由度為的 分布 記

5、為t 分布又稱分布又稱學生氏學生氏(Student)分布分布. tntnnnthn,1221)(212 分布的概率密度函數(shù)為分布的概率密度函數(shù)為)(nt分布分布t3.圖圖分布的概率密度曲線如分布的概率密度曲線如t.0對稱的對稱的顯然圖形是關于顯然圖形是關于 t當當n充分大時充分大時, 其圖其圖形類似于標準正態(tài)形類似于標準正態(tài)變量概率密度的圖變量概率密度的圖形形.,21)(lim22tneth 因因為為,)1 , 0(分分布布分分布布近近似似于于足足夠夠大大時時所所以以當當Ntn.)1 , 0(,分分布布相相差差很很大大分分布布與與但但對對于于較較小小的的Ntn2222( ,),( ),.YXN

6、nX YXTY n 例設且相互獨立試求的概率分布222( ),YXYnX Y又且獨立 則與獨立由定理得)(/ )/(/ )(2ntnYXnYXT2( ,),(0,1)XXNN 解因為所以定理定理而而是是來來自自總總體體設設樣樣本本,),(21XXXXn),(2 NX則 (1)/Xt nSn定理定理.相相互互獨獨立立與與YX),(121nXXX樣樣本本總體總體X和和Y，則則分分別別來來自自與與),(221nYYY),(, ),(222211 NYNX設設總總體體),2(11)()(212121 nntnnSYXTw 2222112212(1)(1),.2wwwnSnSSSSnn其中2212.SS

7、和分別是來自兩個總體樣本的樣本方差),(221221nnNYX 212111)()( nnYXU ),1 , 0( N221112(1) (1),nSn由222222(1)(1),nSn分布的可加性知分布的可加性知故由故由且它們相互獨立且它們相互獨立2, 證證 由定理知由定理知2112(1)nSV2222(1)nS),2(212 nn 分分布布的的定定義義按按相相互互獨獨立立與與由由于于tVU,)2/(21 nnVUT212111)()(nnSYXw ).2(21 nnt例例3則則統(tǒng)統(tǒng)計計量量來來自自總總體體設設), 0(,24321 NXXXX?242321的分布為的分布為XXXXT )1

8、, 0(2),2 , 0(221221NXXNXX 于是于是于于是是獨獨立立同同分分布布于于與與),1 , 0(2423NXX 解解)2(2224223 XX )2(2222423221tXXXXt 分分布布的的定定義義由由)(2242321tXXXX即即2212112212( ),(),/( ,)/,( ,).XnYnX YX nFn nFY nFF n n定義設且獨立則稱隨機變量服從自由度為的分布 記為分布分布F4.其中其中 分別表示分別表示F分布的自由度分布的自由度21,nn分分布布的的概概率率密密度度為為),(21nnF 其它其它, 00,1222)(2212112221212111y

9、nynnnynnnnynnnn 圖圖分布的概率密度曲線如分布的概率密度曲線如F分布有以下性質分布有以下性質F).,(1),(1221nnFFnnFF則則若若(1)21( ,1)FF nT由 分布的性質知2222 ( ),(0,1),( ),(1),Tt nXTY nXNYnX YXXY證明 因為由定義有其中且獨立 那么且與 獨立24 ( ),(1, ).Tt nTFn例已知試證22XTY n由定義有22(0,1),(1)XNX其中則(1, )Fn二、概率分布的分位數(shù)二、概率分布的分位數(shù)(01),.XxP XxxXx定義對于總體 和給定的若存 在 使上側 分位數(shù)則稱 為 的分布的通常記作x記記x

10、為為x /2/2/21/21/21/2/21/2/2/2(01),2.,2.XxP XxxXxP XxxXxx定義對于總體 和給定的 若存在使則稱為 的分布的 若存在使則上側分位數(shù)上側1稱為 的分布的和統(tǒng)-分位雙側數(shù)稱分位數(shù)05. 0u附表附表2-12-1025. 0u根據(jù)正態(tài)分布的對稱性知根據(jù)正態(tài)分布的對稱性知. uu1,645. 1 ,96. 1 附表附表2-22-2()1u 即.,的值可查得由附表給定 u2 u正正態(tài)態(tài)分分布布的的上上側側分分位位數(shù)數(shù). 1,)(1) 1 , 0(),1 , 0(uuXPuNNX滿足分位點的上服從標準正態(tài)分布設).()()()(, 10,或分位點或分位點分

11、位數(shù)分位數(shù)分布的上分布的上為為的點的點稱滿足條件稱滿足條件對于給定的對于給定的 ntntnttP.分分位位數(shù)數(shù)的的值值得得上上可可以以通通過過查查表表求求 由分布的對稱性知由分布的對稱性知).()(1ntnt )(. 2ntt 分分布布的的上上側側分分位位數(shù)數(shù))10(05. 0t附表附表3-13-1,8125. 1 )15(025. 0t.1315. 2 附表附表3-23-2.)(, untn時當45.)()()(, 10,2222分分位位數(shù)數(shù)（分分位位點點）分分布布的的上上為為的的點點稱稱滿滿足足條條件件對對于于給給定定的的正正數(shù)數(shù) nnnP.,分位點的值分位點的值得上得上可以通過查表求可以

12、通過查表求對于不同的對于不同的 n)(. 322n 分分布布的的上上側側分分位位數(shù)數(shù))8(2025. 0 )10(2975. 0 )25(21 . 0 附表附表4-14-1附表附表4只詳列到只詳列到 n=45 為止為止.,535.17 ,247. 3 附表附表4-24-2.382.34 附表附表4-34-3221,( )(21) .2.nnunu當充分大時其中是標準正態(tài)分布的上分位數(shù)例如例如220.051(50)(1.64599)267.221利用上公式利用上公式,而查詳表可得而查詳表可得.505.67)50(205. 0 .,45 分分位位點點的的近近似似值值上上時時可可以以求求得得 n費歇

13、費歇(R.A.Fisher)證明證明:.,),(21可可通通過過查查表表完完成成的的值值求求nnF )7 , 8(025. 0F)14,30(05. 0F附表附表5-15-1,90. 4 .31. 2 附表附表5-25-2.),(),(),(, 10,212121分位數(shù)分位數(shù)分布的上分布的上為為的點的點稱滿足條件稱滿足條件對于給定的對于給定的 nnFnnFnnFFP),(214nnFF 分布的上側分位數(shù):分位點具有如下性質分位點具有如下性質分布的上分布的上 F.),(1),(12211nnFnnF 證明證明),(1 211nnFFP 所所以以 ),(11211nnFFP ),(111211nn

14、FFP ,),(111211 nnFFP ),(21nnFF因因為為,),(11 211 nnFFP故故),(1 12nnFF因因為為,),(1 12 nnFFP所所以以, ),(),(11221-1nnFnnF 比較后得比較后得.),(1),(12211nnFnnF 即即)9 , 21(59 . 0F例例)12, 9(105. 0F 8 . 21 .357. 0 . 分分位位點點的的一一些些上上用用來來求求分分布布表表中中未未列列出出 三、小結三、小結1.三大統(tǒng)計分布三大統(tǒng)計分布 . , , 2分分布布分分布布分分布布Ft 的定義的定義,性質性質.2.概率分布的分位數(shù)練練 習習2122211

15、( ,),1().nniiXNXXXX 、設總體 服從分布，是來自總體的一個樣本，求統(tǒng)計量的分布121222112212122211112222212(,)(,),().()nnniiniiXNYNXXXY YYXYXnYn 、設總體 服從分布，總體 服從分布，和分別是來自總體 和的兩個樣本，求統(tǒng)計量的分布223( )(1)(2)Xt nXX、設 服從分布，求下列隨機變量的分布：； 12522212122223454,(1,25)(0,1).(1)()(2)iXXXX iNcc XXXXddtXXX、設是獨立且同分布的隨機變量，且每一個都服從分布試給出常數(shù) ，使得服從分布，并指出它的自由度；試

16、給出常數(shù) ，使得服從 分布，并指出它的自由度.5(20,3)10,150.3.N、求總體的容量分布為的兩個獨立樣本均值差的絕對值大于的概率2121010216,(0,0.3 )1.44iiXXXNPX、設為的一個樣本，求.7(10)()0.95TtcP Tc、設，求常數(shù) ，使得附表附表2-12-1 標準正態(tài)分布表標準正態(tài)分布表z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.01.00.50000.53980.57930.61790.65540.69150.72570.

17、75800.78810.81590.84130.86430.88490.90320.91920.93320.94520.50400.54380.58320.62170.65910.69500.72910.76110.79100.81860.84380.86650.88690.90490.92070.93450.94630.50800.54780.58710.62550.66280.69850.73240.76420.79390.82120.84610.86860.88880.90660.92220.93570.94740.51200.55170.59100.62930.66640.70190.

18、73570.76730.79670.82380.84850.87080.89070.90820.92360.93700.94840.51600.55570.59480.63310.67000.70540.73890.77030.79950.82640.85080.87290.89250.90990.92510.93820.94950.51990.55960.59870.63680.67360.70880.74220.77340.80230.82890.85310.87490.89440.91150.92650.93940.95050.52390.56360.60260.64060.67720.

19、71230.74540.77640.80510.83150.85540.87700.89620.91310.92780.94060.95150.52790.56750.60640.64430.68080.71570.74860.77940.80780.83400.85770.87900.89800.91470.92920.94180.95250.53190.57140.61030.64800.68440.71900.75170.78230.81060.83650.85990.88100.89970.91620.93060.94300.95350.53590.57530.61410.65170.

20、68790.72240.75490.78520.81330.83890.86210.88300.90150.91770.93190.94410.95451.645,d21)(22 zttez 附表附表2-22-2標準正態(tài)分布表標準正態(tài)分布表z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.01.92.03.00.94520.95540.96410.97130.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.99740.99810.99870.94

21、630.95640.96480.97190.97780.98260.98640.98960.99200.99400.99550.99660.99750.99820.99900.94740.95730.96560.97260.97830.98300.98680.98980.99220.99410.99560.99670.99760.99820.99930.94840.95820.96640.97320.97880.98340.98710.99010.99250.99430.99570.99680.99770.99830.99950.94950.95910.96710.97380.97930.98

22、380.98710.99040.99270.99450.99590.99690.99770.99840.99970.95050.95990.96780.97440.97980.98420.98780.99060.99290.99460.99600.99700.99780.99840.96980.95150.96080.96860.97500.98030.98460.98810.99090.99310.99480.99610.99710.99790.99850.99980.95250.96160.96930.97560.98080.98500.98840.99110.99320.99490.99

23、620.99720.99790.99850.99990.95350.96250.97000.97620.98120.98540.98870.99130.99340.99510.99630.99730.99800.99860.99990.95450.96330.97060.97670.98170.98530.98900.99160.99360.99520.99640.99740.99810.99861.00001.96,d21)(22 zttez 附表附表4-14-1= 50.0250.010.005123456789101112131415161.3232.7734.10

24、85.3856.6267.8419.03710.21911.38912.54913.70114.84515.98417.11718.24519.3692.7064.6056.2517.7799.23610.64512.01713.36214.68415.98717.27518.54919.81220.06422.30723.5423.8415.9917.8159.48811.07112.59214.06715.50716.91918.30719.67521.02622.36223.68524.99626.2965.0247.3789.34811.14312.83314.44916.01317.

25、53519.02320.48321.92023.33724.73626.11927.48828.8456.6359.21011.34513.27715.08616.81218.47520.09021.66623.20924.72526.21727.68829.14130.57832.0007.87910.59712.83814.86016.75018.54820.27821.95523.58925.18826.75728.29929.89131.31932.80134.267n2 分布表分布表17.535=0.9950.990.9750.950.900.75123456789101112131

26、415160.0100.0720.2070.4120.6760.9891.3441.7352.1562.6033.0743.5654.0754.6015.1420.0200.1150.2970.5540.8721.2391.6462.0882.5583.0533.5714.1074.6605.2295.8120.0010.0510.2160.4840.8311.2371.6902.1802.7003.2473.8164.4045.0095.6296.2626.9080.0040.1030.3520.7111.1451.6352.1672.7333.3253.9404.5755.2265.892

27、6.5717.2617.9620.0160.2110.5841.0641.6102.2042.8333.4904.1684.8655.5786.3047.0427.7908.5479.3120.1020.5751.2131.9232.6753.4554.2555.0715.8996.7377.5848.4389.29910.16511.03711.912n3.247附表附表4-4-2 22 分布表分布表=50.0250.010.0051718192021222324252627282930313220.48921.60522.71823.82824.93526.03927

28、.14128.24129.33930.43531.52832.62033.71134.80035.88736.97324.76925.98927.20428.41229.61530.81332.00733.19634.38235.56336.74137.91639.08740.25641.42242.58527.58728.86930.14431.41032.67133.92435.17236.41537.65238.88540.11341.33742.55743.77344.98546.19430.19131.52632.85234.17035.47936.78138.07639.36440

29、.64641.92343.19444.46145.71246.97948.23249.48033.40934.80536.19137.56638.93240.28941.63842.98044.31445.64246.96348.27849.58850.89252.19153.48635.71837.15638.58239.99741.40142.79644.18145.55946.92848.29049.64550.99352.33653.67255.00356.328n34.382附表附表4-4-3 32 分布表分布表附表附表3-13-1 =50.0250.010.0

30、05123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.761

31、31.75311.745912.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.119931.8207 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.583563.6574 9.9248 5.8409 4.6041 4.0322 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498

32、 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208nt分布表分布表1.8125附表附表3-23-2 =50.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.

33、34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.119931.8207 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.718

34、1 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.583563.6574 9.9248 5.8409 4.6041 4.0322 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208n2.1315t分布表分布表附表附表5-15-1F分布表分布表025. 0 1234567891012152024304012012345678910111213141516171819647.838.5117.4412.2210.01 8.81 8.07 7.57 7.21 6.94 6.72 6.5

35、5 6.41 6.30 6.20 6.12 6.04 5.95 5.92799.539.0016.0410.65 8.43 7.26 6.54 6.06 5.71 5.46 5.26 5.10 4.97 4.86 4.77 4.69 4.62 4.56 4.51864.239.1715.44 9.98 7.76 6.60 5.89 5.42 5.08 4.83 4.63 4.47 4.35 4.24 4.15 4.08 4.01 3.95 3.90899.639.2515.10 9.60 7.39 6.23 5.52 5.50 4.72 4.47 4.28 4.12 4.00 3.89 3.8

36、0 3.73 3.66 3.61 3.56921.839.3014.88 9.36 7.15 5.99 5.29 4.82 4.48 4.24 4.04 3.89 3.77 3.66 3.58 3.50 3.44 3.38 3.33937.139.3314.73 9.20 6.98 5.82 5.12 4.65 4.23 4.07 3.88 3.73 3.60 3.50 3.41 3.34 3.28 3.22 3.17948.239.3614.62 9.07 6.85 5.70 4.99 4.53 4.20 3.95 3.76 3.61 3.48 3.38 3.29 3.22 3.16 3.1

37、0 3.05956.739.3714.54 8.98 6.76 5.60 4.90 4.43 4.10 3.85 3.66 3.51 3.39 3.29 3.20 3.12 3.06 3.01 2.96963.339.3914.47 8.90 6.68 5.52 4.82 4.36 4.03 3.78 3.59 3.44 3.31 3.21 3.12 3.05 2.98 2.93 2.88968.639.4014.42 8.84 6.62 5.46 4.76 4.30 3.96 3.72 3.53 3.37 3.25 3.15 3.06 2.99 2.92 2.87 2.82976.739.4

38、114.34 8.75 6.52 5.37 4.67 4.20 3.87 3.62 3.43 3.28 3.15 3.05 2.96 2.89 2.82 2.77 2.72984.939.4314.25 8.66 6.43 5.27 4.57 4.10 3.77 3.52 3.33 3.18 3.05 2.95 2.86 2.79 2.72 2.67 2.62993.139.4514.17 8.56 6.33 5.17 4.47 4.00 3.67 3.42 3.23 3.07 2.95 2.84 2.76 2.68 2.62 2.56 2.51997.239.4614.12 8.51 6.2

39、8 5.12 4.42 3.59 3.61 3.37 3.17 3.02 2.89 2.79 2.70 2.63 2.56 2.50 2.45100139.4614.08 8.46 6.23 5.07 4.36 3.89 3.56 3.31 3.12 2.96 2.84 2.73 2.64 2.57 2.50 2.44 2.39100639.4714.04 8.41 6.18 5.01 4.31 3.84 3.51 3.26 3.06 2.91 2.78 2.67 2.59 2.51 2.44 2.38 2.33101439.4913.95 8.31 6.07 4.90 4.20 3.73 3

40、.39 3.14 2.94 2.79 2.66 2.55 2.46 2.38 2.32 2.26 2.20101839.5013.90 8.26 6.02 4.85 4.14 3.67 3.33 3.08 2.88 2.72 2.60 2.49 2.40 2.32 2.25 2.19 2.132n1n4.90 1234567891015202430406012012345678910111213141516171819161.418.5110.13 7.71 6.61 5.99 5.59 5.32 3.12 4.96 4.84 4.75 4.67 4.60 4.54 4.49 4.45 4.4

41、1 4.38199.519.00 9.55 6.94 5.79 5.14 4.74 4.46 4.26 4.10 3.98 3.89 3.81 3.74 3.68 3.63 3.59 5.55 3.52215.719.16 9.28 6.59 5.41 4.76 4.35 4.07 3.81 3.71 3.59 3.49 3.41 3.34 3.29 3.24 3.20 3.16 3.13224.619.25 9.12 6.39 5.19 4.53 4.12 3.84 3.63 3.48 3.36 3.26 3.18 3.11 3.06 3.01 2.96 2.93 2.90230.219.30 9.01 6.26 5.05 4