2019-2020學(xué)年必修四2.1任意角的三角函數(shù)學(xué)案

1、11.2 任意角的三角函數(shù)1.2.1任意角的三角函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)（教師獨(dú)具）1.理解三角函數(shù)的定義，會(huì)使用定義求三角函數(shù)值.（重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)）通過學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)谷提升2.會(huì)判斷給定角的三角函數(shù)值的符號.（重點(diǎn)）學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)3.會(huì)利用三角函數(shù)線比較兩個(gè)同名三角函數(shù)值的大抽象核心素養(yǎng).小及表示角的范圍.（難點(diǎn)）自圭頂習(xí)送揺新- -旳* .-:,新知初SU一、任意角三角函數(shù)的定義在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)a的終邊上任意一點(diǎn) P 的坐標(biāo)是（x, y），它與原點(diǎn)的距離是 r（r= .x2+ y20），那么名稱定義定義域正弦sina=y rR余弦xcosa=rR正切ytana=xnaa 2+knkZsi

2、nacosa,tana分別稱為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)，統(tǒng)稱為三角函數(shù).思考 1:對于確定的角a,sinacosatana的值是否隨 P 點(diǎn)在終邊上的位置的改變而改變？提示不會(huì).因?yàn)槿呛瘮?shù)值是比值，其大小與點(diǎn) P（x，y）在終邊上的位置2無關(guān)，只與角a的終邊位置有關(guān)，即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān)思考 2：若 P 為角a與單位圓的交點(diǎn)，sina,cosa,tana的值怎樣表示?提示 sina=y, cos a x, tana=X.X二、三角函數(shù)在各象的限符號T*+OiOi二二 二半+=Mraw怡 0L1n a、三角函數(shù)線1 有向線段：規(guī)定了方向（即規(guī)定了起點(diǎn)和終點(diǎn)）的線段.2 三角函數(shù)線F

3、供迥a柏也 ”“ 0.二 3 是第二象限角，4 是第三象限角. cos 30.二 cos 3tan 40 合件採究林棉盍薦三角函數(shù)的定義及應(yīng)用【例 11在平面直角坐標(biāo)系中，角a的終邊在直線 y= 2x 上，求 sina,cosa,tana的值.思路點(diǎn)撥：以a的終邊分別在第二、四象限為依據(jù)，分別取特殊點(diǎn)求 sina,COSa_sina=2 匸1 =2n小(2)T230),則 sin ay, COSa=x.當(dāng)已知a的終邊上一點(diǎn)求a的三角函數(shù)值時(shí)，用該方法更方便.rr2.當(dāng)角a的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí)，要根據(jù)問題的實(shí)際情況對 參數(shù)進(jìn)行分類討論.囪探羸ill嫦.1 .已知角B終邊上一點(diǎn) P(x

4、, 3)(XM0),且 cos0=斗 0 x,求 sin0,tan0.解由題意知 r=|OP|=：x2+ 9,由三角函數(shù)定義得 cos0=x=x.rVx2+ 9所以 sin22,5戸=5=5COS a.2tana= = 2.-1所以 sinCOSa=2tan戸=2.Xvcos 歸,67ntan 0；3n3n50i 拌 b i& 3 tanA1= 3.當(dāng) x= 1 時(shí)，P( - 1,3),此時(shí) sin =3,1010，3tan0= = 3.1三角函數(shù)值的符號空側(cè) 2 /_【例 2】(1)若a是第四象限角，則點(diǎn) P(cosatana在第_(2)判斷下列各式的符號：7nsin 183 ；ta

5、n: cos 5.4思路點(diǎn)撥：先確定各角所在的象限，再判定各三角函數(shù)值的符號(1)四T a是第四象限角，二 cosa0，tana0，點(diǎn) P(cosa，tana在第四象限.(2)解T180183270象限.當(dāng) x= 1 時(shí)，P(1,3),37對于已知角a判斷a的相應(yīng)三角函數(shù)值的符號問題，常依據(jù)三角函數(shù)的定 義，或利用口訣“一全正、二正弦、三正切、四余弦”來處理 2.確定下列式子的符號：(3) tan 120 sin 269 .解(1)T108是第二象限角，二 tan 108 0.從而 tan 108 os305 0.11n2n第二象限角，-歹是第四象限角，空是第二象限角5 冗小11 冗小.2nc

6、os60，tany0.5n11ncos6 tan 6- 從而 0.2nsinJ(3)T120是第二象限角，二 tan 120 0，T269是第三象限角，二 sin 269 0.應(yīng)用三角函數(shù)線解三角不等式探究問題11.在單位圓中，滿足 sin a2 的正弦線有幾條？試在圖中明確.1提示：兩條，如圖所示，MP1 與 NP2 都等于 1.(1)tan 108 cos 305；5n11nCOS2nsin -3812滿足 sin a 1 的角的范圍是多少？試在上述單位圓中給予明確.提示：如圖中陰影部分所示，所求角a的取值范圍為n5na2kn+6wa2kn+ J，kz.【例 3】 求函數(shù) f(x) = :

7、 1 2cosx+ In sin x右2的定義域.1 2cosx 0思路點(diǎn)撥：借助單位圓解不等式組2 便可.sin x 01 2cos x 0,sin x 2 0,1cos x則不等式組的解的集合如圖(陰影部分)所示,n3二 x 2kn+3Wxv2kn+4n,kZ .理拌矗i盍1.利用三角函數(shù)線解三角不等式的方法(1)正弦、余弦型不等式的解法.對于 sin xb, cos xa(sin xb, cos x c,取點(diǎn)(1, c)連結(jié)該點(diǎn)和原點(diǎn)并反向延長，即得角的終邊所在 的位置，結(jié)合圖象可確定相應(yīng)的范圍.2利用三角函數(shù)線求函數(shù)的定義域解答此類題目的關(guān)鍵在于借助于單位圓，作出等號成立時(shí)角a的三角函

8、數(shù)線，然后運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，找出符合條件的角的范圍.在這個(gè)解題過程中實(shí)現(xiàn)了 一個(gè)轉(zhuǎn)化，即把代數(shù)問題幾何化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.3在單位圓中畫出適合下列條件的角a的終邊的范圍，并由此寫出角集合:V3i(1)sina_2；(2)cosa 2 J3解(1)作直線尸玄交單位圓于 A，B 兩點(diǎn)，連結(jié) OA, 0B,則 OA 與 OB圍成的區(qū)域(圖陰影部分)即為角a的終邊的范圍，故滿足條件的角a的集合為n2na2kn+30,則a終邊所在象限是()A.第一象限D(zhuǎn) .第四象限C 由 sinaV0 可知a的終邊落在第三、四象限及 y 軸的負(fù)半軸上.由 tana0 可知a的終邊落在第一、三象限內(nèi).故同時(shí)滿足 si

9、naV0, tana0 的角a為第三象限角.32.角a的終邊經(jīng)過點(diǎn) P(-b, 4)且 COSa= 5,則 b 的值為_.b 0,b2_ _9b2+ 16_25,3._若a是第一象限角，則 sina+cosa的值與 1 的大小關(guān)系是_sina+cosa1 作出a的正弦線和余弦線(圖略),由三角形“任意兩邊之和大于第三邊”的性質(zhì)可知 sina+cos o1.4 .已知角a的終邊在直線 3x+ 4y_ 0 上，求 sina,cosatana的值.解角a的終邊在直線 3x+ 4y_ 0 上，在角a的終邊上任取一點(diǎn) P(4t,B.第二象限C.第三象限解得 b_3.由三角函數(shù)的定義可知123t)(t豐0),則 x_4t, y_ 3t, r_ x2+ y2_V4t2+ 3t2_ 5|t|,13當(dāng) t0 時(shí),r = 5t, sin ay 3t=r =3x 4t 45,C