商務統(tǒng)計學Ch08置信區(qū)間

1、Chap 8-1第8章置信區(qū)間估計Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.商務統(tǒng)計學(第5版)Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-2學習目標在本章中你將學到：在本章中你將學到：n 構建和理解均值和比例的置信區(qū)間估計n 如何根據(jù)所要得到的均值和比例的置信區(qū)間確定樣本容量Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-3章節(jié)提綱本章內(nèi)容本章內(nèi)容n總體均值, 的置信區(qū)間

2、n當總體標準差已知n當總體標準差未知n總體比例, 的置信區(qū)間n確定所需的樣本容量Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-4點估計和區(qū)間估計n點估計是單個數(shù)值n置信區(qū)間提供了估計變動的額外信息點估計點估計置信區(qū)間下界置信區(qū)間下界置信區(qū)間上界置信區(qū)間上界置信區(qū)間寬度置信區(qū)間寬度Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-5能夠估計總體參數(shù) 點估計樣本統(tǒng)計量(點估計)均值比例pXBasic Business Statistics, 11e

3、 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-6置信區(qū)間n有多少不確定性是與總體參數(shù)的點估計相關?n區(qū)間估計比點估計提供了總體特征的更多信息n這樣的區(qū)間估計稱為置信區(qū)間Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-7置信區(qū)間估計n區(qū)間給出了觀測值的一個范圍:n考慮樣本統(tǒng)計量隨著樣本的不同而變化n基于一個樣本的觀測值n給出接近未知總體參數(shù)的信息n以置信度表示n例如95%的置信度， 99%的置信度n不能為100%的置信度Basic Business Statistics, 11e 2009 Prenti

4、ce-Hall, Inc.Chap 8-8置信區(qū)間例子麥片包裝例子n 總體的 = 368且 = 15n 如果取容量n = 25的樣本，你知道n368 1.96 * 15 / = (362.12, 373.88) 包括95% 的樣本均值n當不知道時, 使用X 來估計 n如果X = 362.3 ，區(qū)間為362.3 1.96 * 15 / = (356.42, 368.18)n既然356.42 368.18， 基于此樣本的區(qū)間正確的表述了但，其他可能容量為25的樣本的區(qū)間如何?2525Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Cha

5、p 8-9置信區(qū)間例子(續(xù))樣本號X下界上界包含?1362.30356.42368.18是2369.50363.62375.38是3360.00354.12365.88否4362.12356.24368.00是5373.88368.00379.76是Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-10置信區(qū)間例子n實踐中只選擇一個容量為n 的樣本n實踐中不知道，因此也不知道 區(qū)間是否真正包含n但是知道以這種方式構造的區(qū)間95%的包含n因此，基于這個樣本，可以有95%的把握相信區(qū)間包含 (這就是置信度是95%的置信區(qū)間)

6、(續(xù))注意: 95% 置信區(qū)間是基于我們使用Z = 1.96的事實Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-11估計過程(均值均值, , 未知未知)總體隨機樣本均值均值 X = 50樣本樣本95%的置信度的置信度 介于介于40 和和60之間之間Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-12一般公式n所有置信區(qū)間的一般公式為 :點估計點估計 (臨界值臨界值)(標準差標準差)其中:點估計是樣本統(tǒng)計量估計總體參數(shù)臨界值是點估計和所要求的置

7、信度的抽樣分布產(chǎn)生的值標準差是點估計的標準誤差Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-13置信度n置信度n置信區(qū)間包含未知總體參數(shù)n百分數(shù)(低于100%)Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-14置信度， (1-)n假設置信度=95% n也可寫成(1 - ) = 0.95，(故 = 0.05)n一般的相關解釋：n構造的所有置信區(qū)間95%包含未知的真實參數(shù)n特別的，區(qū)間可以包含也可以不包含真實參數(shù)n沒有可能包含在一個特殊區(qū)間里(

8、續(xù))Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-15置信區(qū)間總體均值總體均值 未知未知置信區(qū)間置信區(qū)間總體比例總體比例 已知已知Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-16的置信區(qū)間 (已知) n假設n總體標準差已知n總體是正態(tài)分布n如果總體非正態(tài)，則使用大樣本n置信區(qū)間估計: 其中 是點估計 Z/2 是正態(tài)分布的臨界值以上的比例為/2對應的數(shù)值 是標準差 n/2ZXXn/Basic Business Statistics, 11e

9、 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-17尋找臨界值，Z/2n考慮置信度是95%的置信區(qū)間:Z/2 = -1.96Z/2 = 1.9610.95 0.05， 所以0.02520.0252點估計點估計置信下限置信下限臨界值臨界值置信上限置信上限臨界值臨界值Z :X :點估計點估計01.96/2ZBasic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-18常用置信度n通常使用的置信度是 90%，95%，和99%置信度置信度置信系數(shù)置信系數(shù), Z/2 值值1.281.6451.962.332.583.083

10、.270.800.900.950.980.990.9980.99980%90%95%98%99%99.8%99.9%1Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-19x置信區(qū)間和置信度置信區(qū)間區(qū)間從 擴展到 (1-)x100%區(qū)間包含；()x100% 不包含均值的樣本分布n2/ZX n2/ZX xx1x2/2/21Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-20例子n正態(tài)總體中的11個電路樣本均值電阻為2.20歐姆。從以往的測試中知道總

11、體標準差是0.35歐姆。n確定總體電阻真實均值的置信度是95%的置信區(qū)間。Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-212.4068 1.99320.2068 2.20)11(0.35/ 1.96 2.20n/2 ZX例子n正態(tài)總體中的11個電路樣本均值電阻為2.20歐姆。從以往的測試中知道總體標準差是0.35歐姆。n解答:(續(xù))Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-22解釋n我們95%的確定真實均值電阻在1.9932和2.40

12、68歐姆之間 n盡管真實均值可能在也可能不在這個區(qū)間，但是此種方法形成的區(qū)間95%的包含真實均值Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-23置信區(qū)間總體均值總體均值 未知未知置信區(qū)間置信區(qū)間總體比例總體比例 已知已知Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-24你知道實際上的嗎?n可能不知道！n幾乎在所有的實際商業(yè)應用中，是未知的 n如果有一種情形，是知道的，那么也將是知道的(因為計算需要用到)n如果你真實的知道，則不需要收集樣本

13、去估計它。Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-25n如果總體標準差 是未知的，我們可以用樣本標準差S來替代。 n這種做法是非常不確定的，因為S隨著樣本的變化而變化。 n所以我們用t分布來代替正態(tài)分布。的置信區(qū)間 (未知)Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-26n假設n總體標準差是未知的n總體服從正態(tài)分布n如果總體比服從正態(tài)，則使用大樣本n用學生t分布n置信區(qū)間估計：(其中 t/2 是具有n -1自由度和/2的累積面積的t

14、分布的臨界值) 的置信區(qū)間 (未知)nStX2/(續(xù))Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-27學生t分布nt 是一個分布集nt/2 的值依賴于自由度 (d.f.)n觀察值在樣本均值計算后是自由變化的 d.f. = n - 1Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-28如果這三個數(shù)的均值是8.0， 那么X3一定是9 (即, X3 不是自由變化的)自由度 (df)這里，n = 3，所以自由度= n 1 = 3 1 = 2(對于一

15、個給定的均值，2個值可以是任意的數(shù)字，但是第三個數(shù)是不能自由變化的)思想：觀察值在樣本均值計算后是自由變化的例子：例子：假設3個數(shù)字的均值是8.0 令X1 = 7令X2 = 8X3是多少？Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-29學生t分布t0t (df = 5) t (df = 13)t-分布是鐘形的對稱的，但其尾部比正態(tài)的“胖”標準正態(tài)(t 有df = )注意： t Z 是n增加Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-30

16、學生t分布表上部的尾部面積上部的尾部面積df.25.10.0511.000 3.078 6.31420.817 1.886 2.92030.765 1.638 2.353t02.920表的主體包含t值，但沒有概率令: n = 3 df = n - 1 = 2 = 0.10 /2 = 0.05/2 = 0.05Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-31選擇t分布值與Z值進行比較 置信置信 t t t Z 度度 (10 d.f.) (20 d.f.) (30 d.f.) ( d.f.) 0.80 1.372 1.

17、325 1.310 1.28 0.90 1.812 1.725 1.697 1.645 0.95 2.228 2.086 2.042 1.96 0.99 3.169 2.845 2.750 2.58注意: t Z 是n增加Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-32t分布的置信區(qū)間例子2.06390.025t/2t258(2.0639)50nS/2tX46.698 53.302 一個隨機樣本n = 25，有X = 50和S = 8。形成的置信度是95%的置信區(qū)間nd.f. = n 1 = 24, 所以置信區(qū)間是

18、 Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-33t分布的置信區(qū)間例子n解釋這個區(qū)間需要假定總體接近于一個正態(tài)分布（尤其是因為n僅僅是25）。n這個條件可以通過生成如下形式來進行核查：n正態(tài)概率圖n盒形圖(續(xù))Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-34置信區(qū)間總體均值總體均值 未知未知置信區(qū)間置信區(qū)間總體比例總體比例 已知已知Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, In

19、c.Chap 8-35總體比例置信區(qū)間，n總體比例( )的區(qū)間估計可以通過對樣本比例( p )的不確定性增加一個限制來計算。Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-36總體比例置信區(qū)間，n回憶一下樣本比例，如果樣本容量足夠大，其分布將接近正態(tài)分布，有標準差n我們將通過樣本數(shù)據(jù)估計如下形式：(續(xù))np)p(1n)(1pBasic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-37置信區(qū)間端點n置信區(qū)間上下界通過以下公式來計算n其中 nZ/2 是所要

20、求的置信度的標準正態(tài)值np 是樣本比例nn 是樣本容量n注意：一定要 np 5 和n(1-p) 5np)p(1/2ZpBasic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-38例子n一個100人的隨機樣本有25個人是左撇子n生成一個左撇子的真實比例，具有置信度是95%的置信區(qū)間Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-39例子n一個100人的隨機樣本有25個人是左撇子。生成一個左撇子的真實比例，具有置信度是95%的置信區(qū)間。 /1000.25(

21、0.75)1.9625/100p)/np(1/2Zp0.3349 0.1651 (0.0433) 1.96 0.25 (續(xù))Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-40解釋n我們有95%的把握確信在總體中左撇子的比例在16.51% 和 33.49%之間 n盡管區(qū)間0.16510.3349有可能包含也有可能不包含真實的比例，但是對于這100個樣本用此種方法生成的區(qū)間95%包含真實比例。Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-41樣

22、本容量的確定均值均值樣本容量樣本容量的確定的確定比例比例Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-42抽樣誤差n樣本容量需要達到置信度(1 - )要求下的誤差界限（e）n此誤差界限也稱為抽樣誤差n總體參數(shù)估計時的不精確量n點估計生成置信區(qū)間時增加減少的量Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-43樣本容量的確定均值均值樣本容量樣本容量的確定的確定n2/ZX n2/Ze 抽樣誤差 (誤差界限)Basic Business Stati

23、stics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-44樣本容量的確定均值均值樣本容量的確定n2/Ze (續(xù))2222/eZn求解n得到Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-45樣本容量的確定n為了確定均值所需的樣本容量，必須知道：n目標置信度 (1 - )，其決定了關鍵值 Z/2n可接受的抽樣誤差 en標準差 (續(xù))Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-46求樣本容量的例子如果 = 45，在90%的置信度下均值5的估計所需的樣本容量要多大？ (取整)219.195(45)(1.645)eZn222222所以目標樣本容量 n = 220Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-47如果未知n如果是未知的，其可以通過目標樣本容量的公式來進行估計n使用的值應期望至少與真實的值一樣大n選擇一個試驗樣本并通過樣本標準差S來估計Basic Business Statistics, 11e 2009 Prentice-Hall, Inc.Chap 8-48樣本容量的確定樣