帶電粒子在磁場中運動——極值多解問題

1、帶電粒子在磁場中運動帶電粒子在磁場中運動 的極值和多解問題的極值和多解問題1 1、解決此類問題的關(guān)鍵是：找準臨界點、解決此類問題的關(guān)鍵是：找準臨界點 2、找臨界點的方法是：、找臨界點的方法是：以題目中的以題目中的“恰好恰好”“”“最大最大”“”“最高最高”“”“至少至少”等等詞語為突破口，借助半徑詞語為突破口，借助半徑R和速度和速度v v(或磁場或磁場B)之間之間的約束關(guān)系進行動態(tài)運動軌跡分析，確定軌跡圓和的約束關(guān)系進行動態(tài)運動軌跡分析，確定軌跡圓和邊界的關(guān)系，找出臨界點，然后利用數(shù)學方法求解邊界的關(guān)系，找出臨界點，然后利用數(shù)學方法求解極值極值 3、常用結(jié)論如下：、常用結(jié)論如下：(1)剛好穿出

2、磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運剛好穿出磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運動的軌跡與邊界相切動的軌跡與邊界相切(2)當速度當速度v v一定時，弧長一定時，弧長(或弦長或弦長)越長，圓周角越大，越長，圓周角越大，則帶電粒子在有界磁場中運動的時間越長則帶電粒子在有界磁場中運動的時間越長(3)當速率當速率v v變化時，圓周角越大，運動時間越長變化時，圓周角越大，運動時間越長考點一考點一 帶電粒子在勻強磁場中的運動的極值問題帶電粒子在勻強磁場中的運動的極值問題如圖所示，無重力空間中有一恒定的勻強磁場，磁感如圖所示，無重力空間中有一恒定的勻強磁場，磁感應強度的方向垂直于應強度的方向垂直于xOyxOy平

3、面向外，大小為平面向外，大小為B B，沿，沿x x軸放軸放置一個垂直于置一個垂直于xOyxOy平面的較大的熒光屏，平面的較大的熒光屏，P P點位于熒光點位于熒光屏上，在屏上，在y y軸上的軸上的A A點放置一放射源，可以不斷地沿平點放置一放射源，可以不斷地沿平面內(nèi)的不同方向以大小不等的速度放射出質(zhì)量為面內(nèi)的不同方向以大小不等的速度放射出質(zhì)量為m m、電、電荷量荷量+ +q q的同種粒子，這些粒子打到熒光屏上能在屏上的同種粒子，這些粒子打到熒光屏上能在屏上形成一條亮線，形成一條亮線，P P點處在亮線上，已知點處在亮線上，已知OAOAOPOPl l，求：，求：（1 1）若能打到）若能打到P P點，

4、則粒子速度的最小值為多少？點，則粒子速度的最小值為多少？（2 2）若能打到）若能打到P P點，則粒子在磁場中運動的最長時間點，則粒子在磁場中運動的最長時間為多少？為多少？例例1.1.如圖所示，一帶電質(zhì)點，質(zhì)量為如圖所示，一帶電質(zhì)點，質(zhì)量為m m，電量為，電量為q q，以，以平行于平行于OxOx軸的速度軸的速度v v從從y y軸上的軸上的a a點射入圖中第一象限所點射入圖中第一象限所示的區(qū)域示的區(qū)域. .為了使該質(zhì)點能從為了使該質(zhì)點能從x x軸上的軸上的b b點以垂直于點以垂直于OxOx軸軸的速度的速度v v射出，可在適當?shù)牡胤郊右粋€垂直于射出，可在適當?shù)牡胤郊右粋€垂直于xyxy平面、平面、磁感

5、應強度為磁感應強度為B B的勻強磁場的勻強磁場. .若此磁場僅分布在一個圓若此磁場僅分布在一個圓形區(qū)域內(nèi)，試求這圓形磁場區(qū)域的最小半徑形區(qū)域內(nèi)，試求這圓形磁場區(qū)域的最小半徑. .重力忽略重力忽略不計不計. . （若磁場為矩形，或正三角形又如何？）（若磁場為矩形，或正三角形又如何？）求圓形磁場最小半徑求圓形磁場最小半徑 : :關(guān)鍵在于關(guān)鍵在于: :找到找到射入點射入點和射出點和射出點, ,并畫出運動并畫出運動軌跡。軌跡?？键c二帶電粒子在磁場中運動的多解問題考點二帶電粒子在磁場中運動的多解問題 帶電粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，帶電粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，由于多種因素的影響，使問

6、題形成多解，多解形成原由于多種因素的影響，使問題形成多解，多解形成原因一般包含下述幾個方面因一般包含下述幾個方面1 1帶電粒子電性不確定帶電粒子電性不確定受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電，也可能受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電，也可能帶負電，當粒子具有相同速度時，正、負粒子在磁帶負電，當粒子具有相同速度時，正、負粒子在磁場中運動軌跡不同，導致多解如圖場中運動軌跡不同，導致多解如圖5 5所示，帶電粒所示，帶電粒子以速率子以速率v v垂直進入勻強磁場，若帶正電，其軌跡為垂直進入勻強磁場，若帶正電，其軌跡為a a，若帶負電，其軌跡為，若帶負電，其軌跡為b b. .AC 圖8例例 如圖所示，在

7、如圖所示，在NOQNOQ范圍內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強范圍內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強磁場磁場，在，在MOQMOQ范圍內(nèi)有垂直于紙面向外的勻強磁場范圍內(nèi)有垂直于紙面向外的勻強磁場，M M、O O、N N在一條直線上，在一條直線上，MOQMOQ6060，這兩個區(qū)域磁場，這兩個區(qū)域磁場的磁感應強度大小均為的磁感應強度大小均為B B. .離子源中的離子帶電荷量為離子源中的離子帶電荷量為q q，質(zhì)量為，質(zhì)量為m m，通過小孔，通過小孔O O1 1進入兩板間電壓為進入兩板間電壓為U U的加速電的加速電場區(qū)域場區(qū)域( (可認為初速度為零可認為初速度為零) )，離子經(jīng)電場加速后由小孔，離子經(jīng)電場加速后由小孔O O

8、2 2射出，再從射出，再從O O點進入磁場區(qū)域點進入磁場區(qū)域，此時速度方向沿紙，此時速度方向沿紙面垂直于磁場邊界面垂直于磁場邊界MNMN，不計離子的重力，不計離子的重力(1)(1)若加速電場兩板間電壓若加速電場兩板間電壓U UU U0 0，求離子進入磁場后做圓周運動的半求離子進入磁場后做圓周運動的半徑徑R R0 0；(2)(2)在在OQOQ上有一點上有一點P P，P P點到點到O O點距離點距離為為L L，若離子能通過，若離子能通過P P點，求加速電點，求加速電壓壓U U和從和從O O點到點到P P點的運動時間點的運動時間【方法技巧方法技巧】求解帶電粒子在磁場中運動多解問求解帶電粒子在磁場中運

9、動多解問題的技巧：題的技巧：(1)分析題目特點，確定題目多解性形成原因分析題目特點，確定題目多解性形成原因(2)作出粒子運動軌跡示意圖作出粒子運動軌跡示意圖(全面考慮多種可能性全面考慮多種可能性)(3)若為周期性重復的多解問題，尋找通項式，若是若為周期性重復的多解問題，尋找通項式，若是出現(xiàn)幾種解的可能性，注意每種解出現(xiàn)的條件出現(xiàn)幾種解的可能性，注意每種解出現(xiàn)的條件如圖甲所示，如圖甲所示，M、N為豎直放置彼此平行的兩塊平板為豎直放置彼此平行的兩塊平板,板板間距離為間距離為d，兩板中央各有一個小孔，兩板中央各有一個小孔O、O正對正對,在兩板在兩板間有垂直于紙面方向的磁場，磁感應強度隨時間的變化間有

10、垂直于紙面方向的磁場，磁感應強度隨時間的變化如圖乙所示，設垂直紙面向里的磁場方向為正方向有如圖乙所示，設垂直紙面向里的磁場方向為正方向有一群正離子在一群正離子在t0時垂直于時垂直于M板從小孔板從小孔O射入磁場已知射入磁場已知正離子質(zhì)量為正離子質(zhì)量為m、帶電荷量為、帶電荷量為q，正離子在磁場中做勻速，正離子在磁場中做勻速圓周運動的周期與磁感應強度變化的周期都為圓周運動的周期與磁感應強度變化的周期都為T0，不考，不考慮由于磁場變化而產(chǎn)生的電場的影響，不計離子所受重慮由于磁場變化而產(chǎn)生的電場的影響，不計離子所受重力求：力求： (1)磁感應強度磁感應強度B0的大??；的大??；(2)要使正離子從要使正離子

11、從O孔垂直孔垂直于于N板射出磁場，正離子射板射出磁場，正離子射入磁場時的速度入磁場時的速度v0的可能值的可能值跟蹤訓練跟蹤訓練 4 如圖如圖 18 所示，以所示，以 ab 為為 邊界的兩勻強磁場的磁感應強度為邊界的兩勻強磁場的磁感應強度為 B12B2B，現(xiàn)有一質(zhì)量為，現(xiàn)有一質(zhì)量為 m、帶、帶 電荷量電荷量q 的粒子從的粒子從 O 點以初速度點以初速度 v 沿垂直于沿垂直于 ab 方向發(fā)射在圖中作方向發(fā)射在圖中作 出粒子的運動軌跡，并求出粒子發(fā)射后第出粒子的運動軌跡，并求出粒子發(fā)射后第 7 次穿過直次穿過直線線 ab 時所經(jīng)歷的時間、路程及離開點時所經(jīng)歷的時間、路程及離開點 O 的距離的距離(粒

12、粒子重力不計子重力不計) 圖圖18圖圖17例例3可控熱核聚變反應堆產(chǎn)生能的方式和可控熱核聚變反應堆產(chǎn)生能的方式和太陽類似，因此，它被俗稱為太陽類似，因此，它被俗稱為“人造太陽人造太陽”熱核反應的發(fā)生，需要幾千萬度以上的高溫，熱核反應的發(fā)生，需要幾千萬度以上的高溫，然而反應中的大量帶電粒子沒有通常意義上然而反應中的大量帶電粒子沒有通常意義上的容器可裝人類正在積極探索各種約束裝置，的容器可裝人類正在積極探索各種約束裝置，磁約束托卡馬克裝置就是其中一種如圖磁約束托卡馬克裝置就是其中一種如圖15所示為該裝置的簡化模所示為該裝置的簡化模型有一個圓環(huán)形區(qū)域，區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強磁場，已知型有一個圓環(huán)

13、形區(qū)域，區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強磁場，已知其截面內(nèi)半徑為其截面內(nèi)半徑為R11.0 m，磁感應強度為，磁感應強度為B1.0 T，被約束粒子的被約束粒子的比荷為比荷為q/m4.0107 C/kg ，該帶電粒子從中空區(qū)域與磁場交界面的該帶電粒子從中空區(qū)域與磁場交界面的P P點以速度點以速度v v0 04.04.010107 7 m/s m/s沿環(huán)的半徑方向射入磁場沿環(huán)的半徑方向射入磁場( (不計帶電粒不計帶電粒子在運動過程中的相互作用，不計帶電粒子的重力子在運動過程中的相互作用，不計帶電粒子的重力) )(1)(1)為約束該粒子不穿越磁場外邊界，求磁場區(qū)域的最小外半徑為約束該粒子不穿越磁場外邊界，求

14、磁場區(qū)域的最小外半徑R R2 2(2)(2)若改變該粒子的入射速度若改變該粒子的入射速度v v，使，使v v v v0 0，求該粒子從求該粒子從P P點進入磁點進入磁場開始到第一次回到場開始到第一次回到P P點所需要的時間點所需要的時間t t. .33甲甲乙乙 例例. .如圖所示，一個帶電量為如圖所示，一個帶電量為正正的粒子，從的粒子，從A A點正對著點正對著圓心圓心O O以速度以速度v v射入射入半徑為半徑為R R的的絕緣圓筒絕緣圓筒中。圓筒內(nèi)存在垂中。圓筒內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度的大小為直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度的大小為B B。要使帶。要使帶電粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞多次電

15、粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞多次并繞筒一圈并繞筒一圈后仍從后仍從A A點射出，點射出，求正離子在磁場中運動的時間求正離子在磁場中運動的時間t.t.設粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞設粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞時時無能量和電量損失無能量和電量損失，不計粒子的重力不計粒子的重力。變式考題： OABv分析與解 ：設粒子與圓筒碰（設粒子與圓筒碰（n-1）次有：）次有： n（）2 2/n由幾何關(guān)系由幾何關(guān)系得得:tan(/2)=R/r:tan(/2)=R/r正離子在磁場中運動的時間正離子在磁場中運動的時間t=n(r/v)t=n(r/v)t=(n-2)R tan(/n) /vt=(n-2)R tan(/n) /v（）O1rROABv再變

16、：若將上題中的“并繞筒一圈”五字去掉呢？n（）2k 2k/n（ 0 ）tan (/2)=R/rt=n(r/v)t=(n-2k)Rtan(k/n) /v(2k k=1，2，3 ）還能變嗎？還能變嗎？1、筒變成正三角形、矩形？、筒變成正三角形、矩形？2、原題中的、原題中的v方向可以變嗎？方向可以變嗎？如：不沿半徑方向呢？如：不沿半徑方向呢？ 試一試：試一試： 出道題考考你的同桌出道題考考你的同桌OABv ABCPaObBCDE) 1(2nOBRS0vqBmnqBmnnTnt) 1(22) 1(2) 1(2) 1(2n1tannRrOrrOBRS0v) 1(2nvnRnvrt1tan) 1(總) 1()12)(1nnn（總2nOrrOBRS0v060RRr330cot003613vRqBmTtrvmqvB2qRmvqrmvB300OBRS0vOrr090tvRqBmTt022414Rr rvmqvB2qRmvqrmvB00RRr330cot0rvmBqv2000322vRqBmT0033221613vRvRTtRqmvrqmvB300OrrOBRS0v圖11課堂探究課堂探究突破考點突破考點課堂探究課堂探究突破考點突破考點返回例例2.2. 一質(zhì)量為一質(zhì)量