傅立葉頻譜圖講義

1、圖像變換圖像變換n主要內(nèi)容主要內(nèi)容1、圖像變換的目的2、傅立葉變換（公式）3、頻率域圖像頻率域圖像 （傅立葉譜）（傅立葉譜）重點(diǎn)圖像變換n變換（transform）一詞并不陌生，從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)，已經(jīng)學(xué)過不少的變換“技巧”，目的是是問題的求解變得簡單。n在圖像處理中，所謂圖像變換可以理解為 為達(dá)到圖像處理的某種目的而使用的數(shù)學(xué)方法，通過這種數(shù)學(xué)變換，圖像處理起來較變換前更加方便和簡單。由于這種變換方法是針對圖像函數(shù)而言，所以稱之為圖像變換圖像變換。圖像變換可以在圖像校正前進(jìn)行，也可以在圖像校正后進(jìn)行。圖像變換圖像變換n圖像變換的目的：簡化圖像處理；便于圖像特征提??；圖像壓縮；從概念上增強(qiáng)對

2、圖像信息的理解。 在遙感數(shù)字圖像處理中，圖像變換是一在遙感數(shù)字圖像處理中，圖像變換是一種常用的、有效的分析手段。種常用的、有效的分析手段。n圖像變換包括兩個過程：正變換和逆變換正變換和逆變換。通過正變換將圖像變?yōu)樾聢D像，然后進(jìn)行處理。通過逆變換將處理后的圖像還原為原始形式的圖像，以便對原始圖像進(jìn)行對比。圖像變換圖像變換圖像變換主要有：傅立葉變換傅立葉變換、主成份變換、纓帽變換、代數(shù)運(yùn)算、彩色變換其中傅立葉（其中傅立葉（Fourier）變換）變換的應(yīng)用非常是廣泛的，非常有名的變換之一。 傅立葉（傅立葉（FourierFourier），法國數(shù)學(xué)及物理學(xué)家，傅立葉級數(shù)（三角級），法國數(shù)學(xué)及物理學(xué)家，

3、傅立葉級數(shù)（三角級數(shù)）創(chuàng)始人。數(shù)）創(chuàng)始人。 18011801年任伊澤爾省地方長官，年任伊澤爾省地方長官，18171817年當(dāng)選科學(xué)院院士，年當(dāng)選科學(xué)院院士，18221822年任年任該院終身秘書，后又任法蘭西學(xué)院終身秘書和理工科大學(xué)校務(wù)委員會該院終身秘書，后又任法蘭西學(xué)院終身秘書和理工科大學(xué)校務(wù)委員會主席。主席。 主要貢獻(xiàn)：在研究熱的傳播時創(chuàng)立了一套數(shù)學(xué)理論，主要貢獻(xiàn)：在研究熱的傳播時創(chuàng)立了一套數(shù)學(xué)理論，18071807年向巴年向巴黎科學(xué)院呈交了黎科學(xué)院呈交了熱的傳播論文熱的傳播論文，推導(dǎo)著名的熱傳導(dǎo)方程，并在求，推導(dǎo)著名的熱傳導(dǎo)方程，并在求解該方程時發(fā)現(xiàn)函數(shù)可由三角函數(shù)構(gòu)成的級數(shù)形式表示，從而

4、提出任解該方程時發(fā)現(xiàn)函數(shù)可由三角函數(shù)構(gòu)成的級數(shù)形式表示，從而提出任意函數(shù)可以展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。意函數(shù)可以展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。 數(shù)學(xué)與圖像處理數(shù)學(xué)與圖像處理 空域與頻域的橋梁空域與頻域的橋梁2、傅立葉變換傅立葉變換n傅立葉變換分為連續(xù)傅立葉變換和離散傅立葉變換，在數(shù)字圖像處理中經(jīng)常用到的是二維離散傅立葉變換n傅立葉變換是換域分析(空間域到頻率域)是一種廣泛使用的工具，在圖像處理中是一種有效而重要的方法。在圖像處理中，傅立葉變換的應(yīng)用十分廣泛，如：圖像特征提取、頻率域?yàn)V波、周期性噪聲的去除、圖像恢復(fù)、紋理分析等。把傅立葉變換的理論與遙感圖像的物理解釋相結(jié)合，有利于解決大多數(shù)遙感圖像處理問

5、題。n 一維二維連續(xù)傅里葉變換一維二維連續(xù)傅里葉變換1） 定義定義dxexfuFuxj2)()(dydxeyxfvuFvyuxj)(2),(),(2） 逆傅立葉變換逆傅立葉變換dueuFxfuxj2)()(dvduevuFyxfvyuxj)(2),(),(3） 傅立葉變換特征參數(shù)傅立葉變換特征參數(shù)),(),(),(vujIvuRvuF頻譜頻譜/模模),(),(),(22vuIvuRvuF能量譜能量譜/ /功率譜功率譜),(),(),(),(222vuIvuRvuFvuP相位角相位角),(),(arctan),(vuRvuIvu/f（x，y） 變換到 F（u，v）/n 二維離散傅里葉變換二維離散

6、傅里葉變換1） 定義定義1010)/(2),(1),(MxNyNvyMuxjeyxfMNvuF2） 逆傅立葉變換逆傅立葉變換1010)/(2),(),(MxNyNvyMuxjevuFyxf1, 1 , 0,Nvu1, 1 , 0,NyxF(u,v)為f（x，y）的頻譜題西林壁題西林壁 橫看成嶺側(cè)成峰 遠(yuǎn)近高低各不同遠(yuǎn)近高低各不同 不識廬山真面目 只緣身在此山中 -蘇軾 3、頻率域圖像（頻譜）、頻率域圖像（頻譜）或稱為 傅立葉譜原圖頻域圖傅立葉變換原圖傅立葉變換后的頻域圖 對圖像信號而言，空間頻率是指單位長度內(nèi)亮度對圖像信號而言，空間頻率是指單位長度內(nèi)亮度（也就是是灰度（也就是是灰度) )作周期

7、性變化的次數(shù)。作周期性變化的次數(shù)。是是圖像中灰度圖像中灰度變化劇烈程度的指標(biāo)，變化劇烈程度的指標(biāo)，也可以理解為也可以理解為灰度在平面空間上灰度在平面空間上的梯度的梯度?？臻g頻率的理解：空間頻率的理解： 頻率域圖像頻率域圖像 傅立葉變換以前，圖像是由對在連續(xù)空間（現(xiàn)實(shí)空間）傅立葉變換以前，圖像是由對在連續(xù)空間（現(xiàn)實(shí)空間）上的采樣得到一系列點(diǎn)的集合，我們習(xí)慣用一個二維上的采樣得到一系列點(diǎn)的集合，我們習(xí)慣用一個二維矩陣表示空間上各點(diǎn)，則圖像可由矩陣表示空間上各點(diǎn)，則圖像可由z=f(x,y)來表示。實(shí)來表示。實(shí)際上對圖像進(jìn)行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是圖際上對圖像進(jìn)行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是圖

8、像梯度的分布圖，像梯度的分布圖，當(dāng)然頻譜圖上的各點(diǎn)與當(dāng)然頻譜圖上的各點(diǎn)與原原圖像上各圖像上各點(diǎn)并不存在一一對應(yīng)的關(guān)系，點(diǎn)并不存在一一對應(yīng)的關(guān)系，即使在不移頻的情況下即使在不移頻的情況下也是沒有。傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮也是沒有。傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點(diǎn)，點(diǎn)，實(shí)際上圖像上某一點(diǎn)實(shí)際上圖像上某一點(diǎn)（像素灰度值）（像素灰度值）與與它的它的鄰域鄰域點(diǎn)差異的強(qiáng)弱，即梯度的大小，也即該點(diǎn)的頻率的大點(diǎn)差異的強(qiáng)弱，即梯度的大小，也即該點(diǎn)的頻率的大小小（可以這么理解，圖像中的低頻部分指低梯度的點(diǎn)（可以這么理解，圖像中的低頻部分指低梯度的點(diǎn)，高頻部分高頻部分梯度大的點(diǎn)梯度大的點(diǎn)） 頻率域

9、圖像頻率域圖像頻率域的理解： 頻率域圖像頻率域圖像n在空間域圖像中，線性的地物為高頻成分，大塊面狀的地物為低頻成分。圖像經(jīng)過傅立葉變換后產(chǎn)生頻率域圖像，這些空間頻率信息被突出出來n圖像灰度變化緩慢的部分,對應(yīng)變換后的低頻分量部分,圖像的細(xì)節(jié)和輪廓邊緣都是灰度突變區(qū)域,它們是變換后的高頻分量.n頻域圖像的每一點(diǎn)都來自于整個原圖像傅立葉逆變換 1、考慮到傅立葉變換具有對稱性，為了便于顯示，頻率圖像往往以圖像的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)以圖像的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左上-右下、右上-左下對稱。 2、圖像中心為原始圖像的平均亮度，頻率為0.從圖像中心向外，頻率增高。高亮度表明頻率特征明顯高亮度表明頻率特征明顯。 3、此外，頻率域圖像中心明顯的頻率變化方向與原圖像中地物方向垂直。也就是說如果原始圖像中有多種水平分布的地物，那么頻率域圖像中在垂直方向的頻率變化比較明顯。如果原始圖像中地物左下-右上分布，那么頻率域圖像中在左上-右下方向頻率變化比較明顯，反之亦然。如何看頻域圖像 在數(shù)字圖像處理中，常常需要將在數(shù)字圖像處理中，常常需要將F(u,vF(u,v) )的原的原點(diǎn)移到點(diǎn)移到N NN N頻域的中心（平移前空間域、頻域頻域的中心（平移前空間域、頻域原點(diǎn)均在左