電子科技大學(xué)隨機(jī)信號(hào)分析 第6章 帶通隨機(jī)信號(hào)

1、整理ppt1第6章 帶通隨機(jī)信號(hào)整理ppt26.1 希爾伯特變換與解析信號(hào)n一、希爾伯特變換n設(shè)有一個(gè)實(shí)值函數(shù) ，它的希爾伯特變換記作 或( )x t( )x t( )Hx t1( )( )( )dxHx tx tt1( )x tt整理ppt3希爾伯特變換的單位沖激響應(yīng)及其傳遞函數(shù)證明：由傅立葉變換的性質(zhì) 若 則j01( )( )jsgn( )j0HHhtHt ( )( )f tF(j )2 ()Ftf2sgn( )jt22sgn()2sgn( )jt 1( )( )jsgn( ) HHhtHt 整理ppt4n希爾伯特逆變換n證明：1( )( )x tHx t( )d()xt 1( )x tt

2、11( )Hhtt為希爾伯特逆變換的單位沖激響應(yīng)( )( )( )x tx th t若輸入信號(hào)為1( )Hht通過(guò)一個(gè)濾波器1( )( )( )Hx tx tht輸出為1( )( )( )HHx ththt顯然有：1( )( )1HHHH整理ppt5n希爾伯特變換相當(dāng)于一個(gè)正交濾波器11( )( )HHHH1jsgn( )jsgn( )11( )Hhtt整理ppt6n二、希爾伯特變換的性質(zhì)n性質(zhì)1 實(shí)確定信號(hào)連續(xù)兩次希爾伯特變換。n證明：2( )( )( )H x tHx tx t ( )jsgn( )( )XX ( )jsgn( )( )Hx tX 2( )( jsgn( )X( )X 2(

3、 )( )H x tX 2( )( )H x tx t 整理ppt7性質(zhì)2 卷積后的希爾伯特變換證明：( )( )( )y tv tx t若( )( )( )( )( )y tv tx tv tx t則1( )( )y ty tt1( )( )v tx tt( )( )v tx t( )( )v tx t整理ppt8n性質(zhì)3 H變換前后信號(hào)能量、功率不變性。n性質(zhì)4 H變換不影響廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的相關(guān)函數(shù)與功率譜。 ( )( )XXRR( )( )XXSS2( )( )( )XHXSSH2jsgn( )( )XS ( )XS整理ppt9n性質(zhì)5 廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)與其H變換的互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系。n

4、證明： ( )( )XXXRR ( )( )XXXRR( )()( )XXRE X tX t1( )( )()dXXXRE X ttt令1()()( )dXXX tX tRE整理ppt10n性質(zhì)6 H變換前后廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的正交性。11( )()()dXXRE X tX t()1dXR令 ( )1( )dXXXRR( )XR ( )( )0E X t X t整理ppt11n證明：n性質(zhì)7 高頻窄帶信號(hào)的H變換。n性質(zhì)8 實(shí)偶函數(shù)的希爾伯特變換為實(shí)奇函數(shù)。(0)(0)(0)(0)0XXXXXXRRRR ( )( )0E X t X t00( )cos( )sinH a tta tt00( )s

5、in( )cosH a tta tt ( )()X tXt若( )()X tXt 則整理ppt12n證明：1( )( )X tX tt( )()XX( )jsgn( )( )XX ()jsgn()()XX jsgn( )()Xjsgn( )( )X( )()XX ( )()X tXt 整理ppt13n性質(zhì)9 實(shí)奇函數(shù)的希爾伯特變換為實(shí)偶函數(shù)。( )()X tXt 若( )()X tXt則整理ppt14解析信號(hào)n一、實(shí)隨機(jī)信號(hào)的解析信號(hào)n定義：給定任一實(shí)隨機(jī)信號(hào) ，定義一復(fù)隨機(jī)信號(hào) 是 的希爾伯特變換。 是 的復(fù)解析信號(hào)。( )X t( )Z t( )( )j ( )Z tX tX t1( )(

6、 )( )dXX tHX tt( )X t( )Z t( )X t整理ppt15n二、實(shí)隨機(jī)信號(hào)的解析信號(hào)特性n性質(zhì)1 確定實(shí)信號(hào)與其解析信號(hào)譜間的關(guān)系n證明：( )2( ) ( )ZXU( )( )j ( )Z tx tx t( )( )j ( )ZXX( )j ( )( jsgn( )XX( ) 1 sgn( )X2( ),00,0X2( ) ( )XU整理ppt16n性質(zhì)2 實(shí)隨機(jī)信號(hào)與其解析信號(hào)功率譜間關(guān)系n證明：( )4( ) ( )ZXSSU( )( )( )ZX tZ tH變?yōu)榻馕鲂盘?hào)，等效于信號(hào)通過(guò)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)( )2 ( )ZHU( )( )XX tS若輸入信號(hào)功率譜密度為

7、2( )( )( )ZZXSHS4( ) ( )XSU4( )000XS整理ppt17n性質(zhì)3 實(shí)隨機(jī)信號(hào)與其解析信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)間的關(guān)系。n證明：(, )2( )j( )( )ZXXZR ttRRR( )2( ).2 ( )ZXSSU2( )(1j( jsgn( )XS2( )2j( jsgn( )( )XXSS( )jsgn( )HH ( )2( )j( ).( )ZXHXSSHS( )2( )j( )ZXXRRR整理ppt18n性質(zhì)4 解析信號(hào)的均值函數(shù)。n性質(zhì)5 工程信號(hào)的FT譜的實(shí)部與虛部都是 域的希爾伯特變換對(duì)。( )jZXXmtmm( )( ) ( ),( )( )j ( )1(

8、 )( )1( )( )x tx t u tXRIRIIR若則整理ppt196.2 復(fù)隨機(jī)信號(hào)n定義：若X(t)和Y(t)是兩個(gè)實(shí)隨機(jī)信號(hào)，則Z(t)=X(t)+jY(t)是復(fù)隨機(jī)信號(hào)。n1、均值函數(shù)n2、自相關(guān)函數(shù)( )( )( )j ( )( )j( )ZXYm tE Z tE X tY tmtm t*12121 2121212( , )( )( )( ,; , )d dZR t tE Z t Z tz z f z z t tz z 整理ppt20n自相關(guān)函數(shù)性質(zhì) （1）同一時(shí)刻的自相關(guān)函數(shù)值 （2）共軛對(duì)稱性*12112212121212( )( )( )j ( )( )j ( )( )

9、( )( ) ( )j ( ) ( )j ( )( )Z t ZtX tY tX tY tX t X tY t Y tX t Y tY t X t1212121212( ,)( ,)( ,)j( ,)j( ,)ZXYXYYXRt tRt tRt tRt tRt t,( , )( , )ZXYRt tRt tR t t)()()(222tYEtXEtZE),(),(12*21ttRttRZZ( , )( , )( , )j( , )j( , )ZXYXYYXRt tRt tR t tRt tRt t( , )( ) ( )( )( )( , )XYYXRt tE X t Y tE Y t X t

10、Rt t整理ppt21n證明：n（3）自相關(guān)函數(shù)的幅值n3、協(xié)方差函數(shù)),()()()()(),(12*1*22*121ttRtZtZEtZtZEttRzZ),(),(),(221121ttRttRttRZZZ),(),(21),(221121ttRttRttRZZZ*121122( , )( )( )( )( )ZZZCt tEZ tmtZ tmt*1212( , )( )( )ZZZRt tmt mt整理ppt22n可以證明n且 ),(),(12*21ttCttCZZ*12( , )( ( )( )( ( )( )ZZZtttCt tEZ tmtZ tmt，2)()(ttZEZ)(tZVa

11、r)(2tZ)()()(222tttYXZ222( )( )( )( )j ( )( )j( )ZZXYtE Z tm tEX tY tmtm t22( )( )( ( )( )XYEX tmtY tm t22( )( )( ( )( )XYEX tmtEY tm t整理ppt23n4、相關(guān)系數(shù)n5、互相關(guān)系數(shù) 有兩個(gè)復(fù)隨機(jī)信號(hào)U(t)，Z(t)n可以證明)()(),(),(),(),(221221221121ttttCttCttCttCZZZZZZ)()(),(2*121tUtZEttRZU),(),(12*21ttRttRUZZU),(),(),(221121ttRttRttRUZZU),

12、(),(21),(221121ttRttRttRUZZU整理ppt24n6、互協(xié)方差函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)*121122( , )( ( )( )( ( )( )ZUZUCt tEZ tmtU tmt*1212( , )( )( )ZUZURt tmt mt)()(),(),(22122121ttttCttUZZUZUi)若 ，則Z(t)，U(t)互不相關(guān)。ii)若 ，則Z(t)，U(t)相互正交。0),(21ttCZU0),(21ttRZU整理ppt25平穩(wěn)性與功率譜n平穩(wěn)性n性質(zhì)1n性質(zhì)2 12( )( , )( )ZZZE Z tmRt tR*( )()ZZRR2( )( )ZZZCRm*(

13、)( )XYXYXYCRm m*( )()XYYXCC整理ppt26n功率譜仍滿足維納-辛欽定理n復(fù)隨機(jī)信號(hào)X(t)經(jīng)過(guò)線性系統(tǒng)輸出Y(t)( )( )ZZSR(0)YXmm H( )( )( )YXXRRh*( )( )()XYXRRh*( )( )* ( )*()YXRRhh( )( )( )YXXSSH*( )( )( )XYXSSH2( )( )( )YXSSH整理ppt27n例 假定復(fù)指數(shù)信號(hào) ，其中 和 為實(shí)隨機(jī)變量，且彼此獨(dú)立。假定 的均方值為 ， 在 上均勻分布。討論n（1）它的廣義平穩(wěn)性與功率譜；n（2）它通過(guò)沖激響應(yīng)為 的系統(tǒng)后，輸出Y(t)的自相關(guān)函數(shù)。n解：0j()tA

14、eAA2a,( )( )bth teu t00( )cos()jsin()X tAtt 00( )cos()jsin()E X tE A EtE A Et00 10 2j(+)-j(+)212( , ).ttXRt tE A ee012j()2ttE Ae0j2a e 整理ppt28nX(t)廣義平穩(wěn)20( )2()XSa 1( )jHb2( )( )( )YXSSH202202()ab 02j220( )YaReb 整理ppt296.3 帶通信號(hào)與調(diào)制n定義： 若隨機(jī)信號(hào)x(t)的功率譜密度滿足則x(t)稱帶通隨機(jī)信號(hào)。00( )( )0XccXSS其他0C且整理ppt30整理ppt31n帶

15、通隨機(jī)信號(hào)的時(shí)間表達(dá)式0( )( ).cos( )x tr ttt包絡(luò)中心頻率相位00( )( )coscos ( )( )sinsin ( )x tr tttr ttt( )( )cos ( )i tr tt( )( )sin ( )q tr tt00( )( )cos( )sinx ti ttq tt22( )( )( )r ti tq t( )( )arctan( )q tti t( )r t( ) t( )i t( )q t整理ppt32n而n稱為低頻帶限正交分量00( )( )cos( )sinx ti ttq tt00( )( )sin( )cosx ti ttq tt00( )(

16、 )cos( )sini tx ttx tt00( )( )sin( )cosq tx ttx tt 整理ppt33n 的性質(zhì)（X(t)是實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，均值為0）證明：( ), ( )i t q t1( ), ( )i t q t、也是實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)( )( )x tx t是的線性變換( )x t是實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)( )x t也是實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)( ), ( )( ), ( )i t q tx tx t是的線性組合( ), ( )i t q t也是實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)整理ppt34n證明：2( )( )0E i tE q t、( )0E x t1( )( )dxx tt( )1( )dE xE x t

17、t0( )( )0E i tE q t00( )( )cos( )sini tx ttx tt00( )( )sin( )cosq tx ttx tt 00( )( ) cos( ) sinE i tE x ttE x tt0整理ppt35n證明：3( ), ( )i t q t、都是平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，且是聯(lián)合廣義平穩(wěn)的。(, )() ( )iR ttE i ti t000000( ()cos()()sin().( ( )cos( )sin)x ttx ttEx ttx tt 000000000000( )cos()cos( )cos()sin( )sin()cos( )sin()sinxxxxx

18、xRttRttRttRtt ( )( ),( )( ),( )( )xxxxxxxxRRRRRR 000000000000( )cos()cos( )cos()sin( )sin()cos( )sin()sinxxxxRttRttRttRtt 整理ppt36n同理可證，00( )( )cos( )sinixxRRR ( )0E i t( )i t 廣義平穩(wěn)( )q t 也廣義平穩(wěn)2224( )( )( )E i tE q tE x t、00( )( )cos( )sinixxRRR 2( )(0)iE i tR 2(0)( )xRE x t2( )E q t( )sAR整理ppt37n證明：0

19、05( )( )sin( )cosiqzzRRR 、(, )() ( )iqRttE i tq t000000( ()cos()()sin().( )sin( )cos)x ttx ttEx ttx tt 000000000000( )cos()sin( )cos()cos( )sin()sin( )sin()cosxxxxxxRttRttRttRtt ( )( ),( )( ),( )( )xxxxxxxxRRRRRR 000000000000( )cos()sin( )cos()cos( )sin()sin( )sin()cosxxxxRttRttRttRtt 整理ppt38n同理可證00

20、( )( )sin( )cosiqxxRRR 00( )( )sin( )cosqixxRRR 5(0)(0)0iqqiRR、00006( )( )()(),0iqxxSSSS 、其它整理ppt3900( )( )cos( )sinixxSF RR 00001( ) ()()21( ).( jsgn( )j()()2xxSS 0000001()()21()sgn()()sgn()2xxxxSSSS( )( )iqSS整理ppt40( )xS00200200()xS00200200()xS0020020整理ppt4100sgn()()xS002002000sgn()()xS0020020( )(

21、 )iqSS0020020整理ppt42000j()()7( )0 xxiqSSS、其它00( )( )cos( )siniqxxSF RR 00001( ).( jsgn( ) ()()21( )j()()2xxSS 000000j()sgn()()sgn()2j()()2xxxxSSSS 整理ppt43000j()()( )0XXiqSSS其它( )xS00200200()xS0020020整理ppt440()xS002002000sgn()()xS002002000sgn()()xS0020020整理ppt45j( )iqS0020020整理ppt46基帶信號(hào)的復(fù)數(shù)表示n基帶信號(hào) n已調(diào)

22、信號(hào)j ( )( )( )j ( )( )ta ti tq tr t e( )( )j ( )z tx tx t00j(j( )Re( )Re( )( )ttta t er t ex t00j(j( )Im( )Im( )( )ttta t er t ex t0j( )( )tz ta t e0j( )( )zaRRe 0( )()zaSS整理ppt47調(diào)制與解調(diào)n解調(diào)*1( )( )( )2x tz tz t0000jjjj2*2 ( )( )( )( )( )ttttx t ez t ez t ea ta t e0j2*00( ).2 cosjsin( )j ( )( )tx ttti t

23、q ta t e整理ppt486.4 窄帶高斯信號(hào)n基本概率分布00( )( )cos( )sinx ti ttq tt0( )cos( )r ttt00( )( )sin( )cosx ti ttq tt0000cossin( )( )sincos( )( )tti tx tttq tx t整理ppt49n性質(zhì)1 若平穩(wěn)窄帶高斯信號(hào) 的均值為零，方差為 ，則它的同相分量 和正交分量 彼此獨(dú)立，并具有相同的高斯分布：( )x t2x( )i t( )q t2(0,)xN2221( ; )2xiixf i te2221( ; )2xqqxfq te222221( , ; , )( ; )( ; )2xiqiqiqxfi q t tf i t fq te0( )( )cos( )x tr t