電磁學(xué)中的偏微分方程

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上電磁學(xué)中的偏微分方程 牛再?gòu)?qiáng)2012/3/31摘 要：介紹了電磁學(xué)計(jì)算方法的研究進(jìn)展和狀態(tài)，對(duì)幾種富有代表性的算法做了介紹，并比較了各自的優(yōu)勢(shì)和不足，包括矩量法、有限元法、時(shí)域有限差分方法以及復(fù)射線(xiàn)方法等。 關(guān)鍵詞：矩量法；有限元法；時(shí)域有限差分方法；復(fù)射線(xiàn)方法 1 引 言 1864年Maxwell在前人的理論（高斯定律、安培定律、法拉第定律和自由磁極不存在）和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上建立了統(tǒng)一的電磁場(chǎng)理論，并用數(shù)學(xué)模型揭示了自然界一切宏觀電磁現(xiàn)象所遵循的普遍規(guī)律，這就是著名的Maxwell方程。在11種可分離變量坐標(biāo)系求解Maxwell方程組或者其退化形式，最后得到解析解。這種

2、方法可以得到問(wèn)題的準(zhǔn)確解，而且效率也比較高，但是適用范圍太窄，只能求解具有規(guī)則邊界的簡(jiǎn)單問(wèn)題。對(duì)于不規(guī)則形狀或者任意形狀邊界則需要比較高的數(shù)學(xué)技巧，甚至無(wú)法求得解析解。20世紀(jì)60年代以來(lái)，隨著電子計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，一些電磁場(chǎng)的數(shù)值計(jì)算方法發(fā)展起來(lái)，并得到廣泛地應(yīng)用，相對(duì)于經(jīng)典電磁理論而言，數(shù)值方法受邊界形狀的約束大為減少，可以解決各種類(lèi)型的復(fù)雜問(wèn)題。但各種數(shù)值計(jì)算方法都有優(yōu)缺點(diǎn)，一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題往往難以依靠一種單一方法解決，常需要將多種方法結(jié)合起來(lái)，互相取長(zhǎng)補(bǔ)短，因此混和方法日益受到人們的重視。 本文綜述了國(guó)內(nèi)外計(jì)算電磁學(xué)的發(fā)展?fàn)顩r，對(duì)常用的電磁計(jì)算方法做了分類(lèi)。 2 電磁場(chǎng)數(shù)值方法的分類(lèi) 電

3、磁學(xué)問(wèn)題的數(shù)值求解方法可分為時(shí)域和頻域2大類(lèi)。頻域技術(shù)主要有矩量法、有限差分方法等，頻域技術(shù)發(fā)展得比較早，也比較成熟。時(shí)域法主要有時(shí)域差分技術(shù)。時(shí)域法的引入是基于計(jì)算效率的考慮，某些問(wèn)題在時(shí)域中討論起來(lái)計(jì)算量要小。例如求解目標(biāo)對(duì)沖激脈沖的早期響應(yīng)時(shí)，頻域法必須在很大的帶寬內(nèi)進(jìn)行多次采樣計(jì)算，然后做傅里葉反變換才能求得解答，計(jì)算精度受到采樣點(diǎn)的影響。若有非線(xiàn)性部分隨時(shí)間變化，采用時(shí)域法更加直接。另外還有一些高頻方法，如GTD，UTD和射線(xiàn)理論。 從求解方程的形式看，可以分為積分方程法（IE）和微分方程法（DE）。IE和DE相比，有如下特點(diǎn)：IE法的求解區(qū)域維數(shù)比DE法少一維，誤差限于求解區(qū)域的邊

4、界，故精度高；IE法適合求無(wú)限域問(wèn)題，DE法此時(shí)會(huì)遇到網(wǎng)格截?cái)鄦?wèn)題；IE法產(chǎn)生的矩陣是滿(mǎn)的，階數(shù)小，DE法所產(chǎn)生的是稀疏矩陣，但階數(shù)大；IE法難以處理非均勻、非線(xiàn)性和時(shí)變媒質(zhì)問(wèn)題，DE法可直接用于這類(lèi)問(wèn)題1。 3 幾種典型方法的介紹 有限元方法是在20世紀(jì)40年代被提出，在50年代用于飛機(jī)設(shè)計(jì)。后來(lái)這種方法得到發(fā)展并被非常廣泛地應(yīng)用于結(jié)構(gòu)分析問(wèn)題中。目前，作為廣泛應(yīng)用于工程和數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種通用方法，有限元法已非常著名。 有限元法是以變分原理為基礎(chǔ)的一種數(shù)值計(jì)算方法。其定解問(wèn)題為： 應(yīng)用變分原理，把所要求解的邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的變分問(wèn)題，利用對(duì)區(qū)域D的剖分、插值，離散化變分問(wèn)題為普通多元函數(shù)的極

5、值問(wèn)題，進(jìn)而得到一組多元的代數(shù)方程組，求解代數(shù)方程組就可以得到所求邊值問(wèn)題的數(shù)值解。一般要經(jīng)過(guò)如下步驟： 給出與待求邊值問(wèn)題相應(yīng)的泛函及其變分問(wèn)題。 剖分場(chǎng)域D，并選出相應(yīng)的插值函數(shù)。 將變分問(wèn)題離散化為一種多元函數(shù)的極值問(wèn)題，得到如下一組代數(shù)方程組： 其中：Kij為系數(shù)（剛度）矩陣；Xi為離散點(diǎn)的插值。 選擇合適的代數(shù)解法解式（2），即可得到待求邊值問(wèn)題的數(shù)值解Xi（i1，2，N） （2）矩量法 很多電磁場(chǎng)問(wèn)題的分析都?xì)w結(jié)為這樣一個(gè)算子方程2： L（f）g（3）其中：L是線(xiàn)性算子，f是未知的場(chǎng)或其他響應(yīng)，g是已知的源或激勵(lì)。 在通常的情況下，這個(gè)方程是矢量方程（二維或三維的）。如果f能有方程

6、解出，則是一個(gè)精確的解析解，大多數(shù)情況下，不能得到f的解析形式，只能通過(guò)數(shù)值方法進(jìn)行預(yù)估。令f在L的定義域內(nèi)被展開(kāi)為某基函數(shù)系f1，f2，f3，fn的線(xiàn)性組合： 其中：an是展開(kāi)系數(shù)，fn為展開(kāi)函數(shù)或基函數(shù)。 對(duì)于精確解式（2）通暢是無(wú)限項(xiàng)之和，且形成一個(gè)基函數(shù)的完備集，對(duì)近似解，將式 （2）帶入式（1），再應(yīng)用算子L的線(xiàn)性，便可以得到： m1，2，3， 此方程組可寫(xiě)成矩陣形式f，以解出f。矩量法就是這樣一種將算子方程轉(zhuǎn)化為矩陣方程的一種離散方法。 在電磁散射問(wèn)題中，散射體的特征尺度與波長(zhǎng)之比是一個(gè)很重要的參數(shù)。他決定了具體應(yīng)用矩量法的途徑。如果目標(biāo)特征尺度可以與波長(zhǎng)比較，則可以采用一般的矩量

7、法；如果目標(biāo)很大而特征尺度又包括了一個(gè)很大的范圍，那么就需要選擇一個(gè)合適的離散方式和離散基函數(shù)。受計(jì)算機(jī)內(nèi)存和計(jì)算速度影響，有些二維和三維問(wèn)題用矩量法求解是非常困難的，因?yàn)橛?jì)算的存儲(chǔ)量通常與N2或者N3成正比（N為離散點(diǎn)數(shù)），而且離散后出現(xiàn)病態(tài)矩陣也是一個(gè)難以解決的問(wèn)題。這時(shí)需要較高的數(shù)學(xué)技巧，如采用小波展開(kāi)，選取合適的小波基函數(shù)來(lái)降維等3。 （3）時(shí)域有限差分方法 時(shí)域有限差分（FDTD）是電磁場(chǎng)的一種時(shí)域計(jì)算方法。傳統(tǒng)上電磁場(chǎng)的計(jì)算主要是在頻域上進(jìn)行的，這些年以來(lái)，時(shí)域計(jì)算方法也越來(lái)越受到重視。他已在很多方面顯示出獨(dú)特的優(yōu)越性，尤其是在解決有關(guān)非均勻介質(zhì)、任意形狀和復(fù)雜結(jié)構(gòu)的散射體以及輻射

8、系統(tǒng)的電磁問(wèn)題中更加突出。FDTD法直接求解依賴(lài)時(shí)間變量的麥克斯韋旋度方程，利用二階精度的中心差分近似把旋度方程中的微分算符直接轉(zhuǎn)換為差分形式，這樣達(dá)到在一定體積內(nèi)和一段時(shí)間上對(duì)連續(xù)電磁場(chǎng)的數(shù)據(jù)取樣壓縮。電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量在空間被交叉放置，這樣保證在介質(zhì)邊界處切向場(chǎng)分量的連續(xù)條件自然得到滿(mǎn)足。在笛卡兒坐標(biāo)系電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量在網(wǎng)格單元中的位置是每一磁場(chǎng)分量由4個(gè)電場(chǎng)分量包圍著，反之亦然。 這種電磁場(chǎng)的空間放置方法符合法拉第定律和安培定律的自然幾何結(jié)構(gòu)。因此FDTD算法是計(jì)算機(jī)在數(shù)據(jù)存儲(chǔ)空間中對(duì)連續(xù)的實(shí)際電磁波的傳播過(guò)程在時(shí)間進(jìn)程上進(jìn)行數(shù)字模擬。而在每一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)上各場(chǎng)分量的新值均僅依賴(lài)于該點(diǎn)在同一時(shí)間步

9、的值及在該點(diǎn)周?chē)徑c(diǎn)其他場(chǎng)前半個(gè)時(shí)間步的值。這正是電磁場(chǎng)的感應(yīng)原理。這些關(guān)系構(gòu)成FDTD法的基本算式，通過(guò)逐個(gè)時(shí)間步對(duì)模擬區(qū)域各網(wǎng)格點(diǎn)的計(jì)算，在執(zhí)行到適當(dāng)?shù)臅r(shí)間步數(shù)后，即可獲得所需要的結(jié)果。 在上述算法中，時(shí)間增量t和空間增量x，y和z不是相互獨(dú)立的，他們的取值必須滿(mǎn)足一定的關(guān)系，以避免數(shù)值不穩(wěn)定。這種不穩(wěn)定表現(xiàn)為在解顯式 差分方程時(shí)隨著時(shí)間步的繼續(xù)計(jì)算結(jié)果也將無(wú)限制的67增加。為了保證數(shù)值穩(wěn)定性必須滿(mǎn)足數(shù)值穩(wěn)定條件： 其中：（對(duì)非均勻區(qū)域，應(yīng)選c的最大值）4。 用差分方法對(duì)麥克斯韋方程的數(shù)值計(jì)算還會(huì)在網(wǎng)格中引起所模擬波模的色散，即在FDTD網(wǎng)格中數(shù)字波模的傳播速度將隨波長(zhǎng)、在網(wǎng)格中的傳播方

10、向以及離散化的情況而改變。這種色散將導(dǎo)致非物理原因引起的脈沖波形的畸變、人為的各向異性及虛擬的繞射等，因此必須考慮數(shù)值色散問(wèn)題。如果在模擬空間中采用大小不同的網(wǎng)格或包含不同的介質(zhì)區(qū)域，這時(shí)網(wǎng)格尺寸與波長(zhǎng)之比將是位置的函數(shù)，在不同網(wǎng)格或介質(zhì)的交界面處將出現(xiàn)非物理的繞射和反射現(xiàn)象，對(duì)此也應(yīng)該進(jìn)行定量的研究，以保證正確估計(jì)FDTD算法的精度。在開(kāi)放問(wèn)題中電磁場(chǎng)將占據(jù)無(wú)限大空間，而由于計(jì)算機(jī)內(nèi)存總是有限的，只能模擬有限空間，因此差分網(wǎng)格在某處必將截?cái)?，這就要求在網(wǎng)格截?cái)嗵幉灰鸩ǖ拿黠@反射，使對(duì)外傳播的波就像在無(wú)限大空間中傳播一樣。這就是在截?cái)嗵幵O(shè)置吸收邊界條件，使傳播到截?cái)嗵幍牟ū贿吔缥斩划a(chǎn)生反

11、射，當(dāng)然不可能達(dá)到完全沒(méi)有反射，目前已創(chuàng)立的一些吸收邊界條件可達(dá)到精度上的要求，如Mur所導(dǎo)出的吸收邊界條件。 （4）復(fù)射線(xiàn)方法 復(fù)射線(xiàn)是用于求解波場(chǎng)傳播和散射問(wèn)題的一種高頻近似方法。他根據(jù)幾何光學(xué)理論和幾何繞射理論的分析方法和計(jì)算公式，在解析延拓的復(fù)空間中求解復(fù)射線(xiàn)軌跡和場(chǎng)的振幅和相位，從而直接得出局部不均勻波（凋落波）的傳播和散射規(guī)律5。復(fù)射線(xiàn)方法是包括復(fù)射線(xiàn)追蹤、復(fù)射線(xiàn)近軸近似、復(fù)射線(xiàn)展開(kāi)以及復(fù)繞射線(xiàn)等處理技術(shù)在內(nèi)的一系列處理方法的統(tǒng)稱(chēng)。其共同特點(diǎn)在于：通過(guò)將射線(xiàn)參考點(diǎn)坐標(biāo)延拓到復(fù)空間而建立了一個(gè)簡(jiǎn)單而統(tǒng)一的實(shí)空間中波束射線(xiàn)束（Bundle ofrays）分析模型；通過(guò)費(fèi)馬原理及其延拓，

12、由基于復(fù)射線(xiàn)追蹤或復(fù)射線(xiàn)近軸近似的處理技術(shù)，構(gòu)造了射線(xiàn)光學(xué)架構(gòu)下有效的鞍點(diǎn)場(chǎng)描述方法等。例如，復(fù)射線(xiàn)追蹤法將射線(xiàn)光學(xué)中使用的射線(xiàn)追蹤方法和場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算公式直接地解析延拓到復(fù)空間，利用延拓后的復(fù)費(fèi)馬原理進(jìn)行復(fù)射線(xiàn)搜索，從而求出復(fù)射線(xiàn)軌跡和復(fù)射線(xiàn)場(chǎng)。這一方法的特點(diǎn)在于可以基于射線(xiàn)光學(xué)方法有效地描述空間中波束的傳播，因此，提供了一類(lèi)分析波束傳播的簡(jiǎn)便方法。其不足之處是對(duì)每一個(gè)給定的觀察點(diǎn)必須進(jìn)行一次二維或四維的復(fù)射線(xiàn)軌跡搜索，這是一個(gè)十分花費(fèi)時(shí)間的計(jì)算機(jī)迭代過(guò)程。 4 幾種方法的比較和進(jìn)展 將有限元法移植到電磁工程領(lǐng)域還是二十世紀(jì)六七十年代的事情，他比較新穎。有限元法的優(yōu)點(diǎn)是適用于具有復(fù)雜邊界形狀或邊界

13、條件、含有復(fù)雜媒質(zhì)的定解問(wèn)題。這種方法的各個(gè)環(huán)節(jié)可以實(shí)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)化，得到通用的計(jì)算程序，而且有較高的計(jì)算精度。但是這種方法的計(jì)算程序復(fù)雜冗長(zhǎng)，由于他是區(qū)域性解法，分割的元素?cái)?shù)和節(jié)點(diǎn)數(shù)較多，導(dǎo)致需要的初始數(shù)據(jù)復(fù)雜繁多，最終得到的方程組的元數(shù)很大，這使得計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)，而且對(duì)計(jì)算機(jī)本身的存儲(chǔ)也提出了要求。對(duì)電磁學(xué)中的許多問(wèn)題，有限元產(chǎn)生的是帶狀（如果適當(dāng)?shù)亟o節(jié)點(diǎn)編號(hào)的話(huà)）、稀疏陣（許多矩陣元素是0）。但是單獨(dú)采用有限元法只能解決開(kāi)域問(wèn)題。用有限元法進(jìn)行數(shù)值分析的第一步是對(duì)目標(biāo)的離散，多年來(lái)人們一直在研究這個(gè)問(wèn)題，試圖找到一種有效、方便的離散方法，但由于電磁場(chǎng)領(lǐng)域的特殊性，這個(gè)問(wèn)題一直沒(méi)有得到很好的解決。問(wèn)

14、題的關(guān)鍵在于一方面對(duì)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，一般的剖分方法難于適用；另一方面，由于剖分的疏密與最終所形成的系數(shù)矩陣的存貯量密切相關(guān)，因而人們采用了許多方法來(lái)減少存儲(chǔ)量，如多重網(wǎng)格法，但這些方法的實(shí)現(xiàn)較為困難6。 網(wǎng)格剖分與加密是有限元方法發(fā)展的瓶頸之一，采用自適應(yīng)網(wǎng)格剖分和加密技術(shù)相對(duì)來(lái)說(shuō)可以較好地解決這一問(wèn)題。自適應(yīng)網(wǎng)格剖分根據(jù)對(duì)場(chǎng)量分布求解后的結(jié)果對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行增加剖分密度的調(diào)整，在網(wǎng)格密集區(qū)采用高階插值函數(shù)，以進(jìn)一步提高精度，在場(chǎng)域分布變化劇烈區(qū)域，進(jìn)行多次加密。 這些年有限元方法的發(fā)展日益加快，與其他理論相結(jié)合方面也有了新的進(jìn)展，并取得了相當(dāng)應(yīng)用范圍的成果，如自適應(yīng)網(wǎng)格剖分、三維場(chǎng)建模求解、耦合問(wèn)題、

15、開(kāi)域問(wèn)題、高磁性材料及具有磁滯飽和非線(xiàn)性特性介質(zhì)的處理等，還包括一些尚處于探索階段的工作，如擬問(wèn)題、人工智能和專(zhuān)家系統(tǒng)在電磁裝置優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用、邊基有限元法等，這些都使得有限元方法的發(fā)展有了質(zhì)的飛躍。 矩量法將連續(xù)方程離散化為代數(shù)方程組，既適用于求解微分方程，又適用于求解積分方程。他的求解過(guò)程簡(jiǎn)單，求解步驟統(tǒng)一，應(yīng)用起來(lái)比較方便。然而 77他需要一定的數(shù)學(xué)技巧，如離散化的程度、基函數(shù)與權(quán)函數(shù)的選取，矩陣求解過(guò)程等。另外必須指出的是，矩量法可以達(dá)到所需要的精確度，解析部分簡(jiǎn)單，可計(jì)算量很大，即使用高速大容量計(jì)算機(jī)，計(jì)算任務(wù)也很繁重。矩量法在天線(xiàn)分析和電磁場(chǎng)散射問(wèn)題中有比較廣泛地應(yīng)用，已成功用于

16、天線(xiàn)和天線(xiàn)陣的輻射、散射問(wèn)題、微帶和有耗結(jié)構(gòu)分析、非均勻地球上的傳播及人體中電磁吸收等。 FDTD用有限差分式替代時(shí)域麥克斯韋旋度方程中的微分式，得到關(guān)于場(chǎng)分量的有限差分式，針對(duì)不同的研究對(duì)象，可在不同的坐標(biāo)系中建模，因而具有這幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)，容易對(duì)復(fù)雜媒體建模，通過(guò)一次時(shí)域分析計(jì)算，借助傅里葉變換可以得到整個(gè)同帶范圍內(nèi)的頻率響應(yīng)；能夠?qū)崟r(shí)在現(xiàn)場(chǎng)的空間分布，精確模擬各種輻射體和散射體的輻射特性和散射特性；計(jì)算時(shí)間短。但是FDTD分析方法由于受到計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)容量的限制，其網(wǎng)格空間不能無(wú)限制的增加，造成FDTD方法不能適用于較大尺寸，也不能適用于細(xì)薄結(jié)構(gòu)的媒質(zhì)。因?yàn)檫@種細(xì)薄結(jié)構(gòu)的最小尺寸比FDTD網(wǎng)格尺寸

17、小很多，若用網(wǎng)格擬和這類(lèi)細(xì)薄結(jié)構(gòu)只能減小網(wǎng)格尺寸，而這必然導(dǎo)致計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)容量的加大。因此需要將FDTD與其他技術(shù)相結(jié)合，目前這種技術(shù)正蓬勃發(fā)展，如時(shí)域積分方程FDTD方法，F(xiàn)DTDMOM等。FDTD的應(yīng)用范圍也很廣闊，諸如手持機(jī)輻射、天線(xiàn)、不同建筑物結(jié)構(gòu)室內(nèi)的電磁干擾特性研究、微帶線(xiàn)等7。 復(fù)射線(xiàn)技術(shù)具有物理模型簡(jiǎn)單、數(shù)學(xué)處理方便、計(jì)算效率高等特點(diǎn)，在復(fù)雜目標(biāo)散射特性分析等應(yīng)用領(lǐng)域中有重要的研究?jī)r(jià)值。典型的處理方式是首先將入射平面波離散化為一組波束指向平行的復(fù)源點(diǎn)場(chǎng)，通過(guò)特定目標(biāo)情形下的射線(xiàn)追蹤、場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算和疊加各射線(xiàn)場(chǎng)的貢獻(xiàn)，可以得到特定觀察位置處散射場(chǎng)的高頻漸進(jìn)解。目前已運(yùn)用復(fù)射線(xiàn)分析方法對(duì)飛行器天線(xiàn)和天線(xiàn)罩（雷達(dá)艙）、（加吸波涂層）翼身結(jié)合部和進(jìn)氣道以及涂層的金屬平板、角形反射器等典型目標(biāo)散射特性進(jìn)行了成功的分析。盡管復(fù)射線(xiàn)技術(shù)的計(jì)算誤差可以通過(guò)參數(shù)調(diào)整得到控制，但其本身是一種高頻近似計(jì)算方法，由于入射波場(chǎng)的離散和只引入鞍點(diǎn)貢獻(xiàn)，帶來(lái)了不可避免的計(jì)算誤差?？偟膩?lái)說(shuō)復(fù)射線(xiàn)方法在目標(biāo)電磁散射領(lǐng)域還是具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，尤其是對(duì)復(fù) 雜目標(biāo)的處理。